【文档说明】专题07 一元二次方程-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第1期）（解析版）.docx，共(22)页，905.805 KB，由管理员店铺上传

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专题07一元二次方程一．选择题1．（2022·四川乐山）关于x的一元二次方程2320xxm−+=有两根，其中一根为1x=，则这两根之积为（）A．13B．23C．1D．13−【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即

可求解．【详解】解：关于x的一元二次方程2320xxm−+=有两根，其中一根为1x=，设另一根为2x，则223xx+=，213x=−，213xx=−，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．2．（2022·

天津）方程2430xx++=的两个根为（）A．121,3xx==B．121,3xx=−=C．121,3xx==−D．121,3xx=−=−【答案】D【分析】将243xx++进行因式分解，243=(1)(3)xxxx++++，计算出答案．【详解】∵243=(1)(3)xxxx++++∴(

1)(3)=0xx++∴1213xx=−=−，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．3．（2022·湖南怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1

＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0【答案】C【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．【详解】A选项中，224(1)42170bac=−=−−=−△，故方程无实数根；B选项中，2(2)41240=−−=−△，故方程无实数根；C选项中，

2341(2)170=−−=△，故方程有两个不相等的实数根；D选项中，80=−△，故方程无实数根；故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关

键．4．（2022·甘肃武威）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A．()213x+=B．()216x+=C．()213x−=D．()216x−=【答案】C【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到

结果．【详解】解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5．（2022·浙江温州）若关于x的方程260x

xc++=有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36B．36−C．9D．9−【答案】C【分析】根据判别式的意义得到2640c=−=，然后解关于c的一次方程即可．【详解】解：∵方程260xxc++=有两个相等的实数根∴26410c=−=解得9c

=故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a0)++=axbxc的跟与24bac=−的关系，关键是分清楚以下三种情况：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．6．（202

2·四川遂宁）已知m为方程2320220xx+−=的根，那么32220252022mmm+−+的值为（）A．2022−B．0C．2022D．4044【答案】B【分析】根据题意有2320220mm+−=，即有32320220mmm+−=，据此即可作答．【详解】∵m为2

320220xx+−=的根据，∴2320220mm+−=，且m≠0，∴32320220mmm+−=，则有原式=322(32022)(32022)000mmmmm+−−+−=−=，故选：B．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程

的根求解代数式的值，由m为2320220xx+−=得到2320220mm+−=是解答本题的关键．7．（2022·浙江绍兴）已知抛物线2yxmx=+的对称轴为直线2x=，则关于x的方程25xmx+=的根是（）A．0，

4B．1，5C．1，－5D．－1，5【答案】D【分析】根据抛物线2yxmx=+的对称轴为直线2x=可求出m的值，然后解方程即可．【详解】抛物线2yxmx=+的对称轴为直线2x=，221m−=，解得4m=−

，关于x的方程25xmx+=为2450xx−−=，(5)(1)0xx−+=，解得125,1xx==−，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．8．（

2022·重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A．2625(1)400x−=B．2400(1)625x+=C．26254

00x=D．2400625x=【答案】B【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可．【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：2400(

1)625x+=．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．9．（2022·山东滨州）一元二次方程22560xx−+=的根的情况为（）A．无实数根B．有两个不等的

实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【答案】A【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．10．（2022·四川泸州）已知关于x的方程()22210xmxm−−+=的两实数根为1x，2x，若()()12113++=xx，则m的值为（）A

．3−B．1−C．3−或3D．1−或3【答案】A【分析】利用根与系数的关系以及()22=2140−−≥mm求解即可．【详解】解：由题意可知：1221221xxmxxm+=−=，且()22=2140−−≥mm∵()()121212111=3++=+++xxxxx

x，∴()22113+−+=mm，解得：3m=−或1m=，∵()22=2140−−≥mm，即14m，∴3m=−，故选：A【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出1

4m，再利用根与系数的关系求出3m=−或1m=（舍去）．11．（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．(

)22001242x+=B．()22001242x−=C．()20012242x+=D．()20012242x−=【答案】A【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件24

2件，∴可列方程为：()22001242x+=，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．12．（2022·湖南常德）关于x的一元二次方程240xxk−+=无实数解，则k的取值范

围是（）A．4kB．4kC．4k−D．1k【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程240xxk−+=无实数解，∴1640k=−解得：4k故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程20axbxc++=(0a

abc，，，为常数)的根的判别式24bac=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0时，方程有两个不相等的实数根；当0=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．13．（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第

一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（）A．8(12)11.52x+=B．28(1)11.52x+=C．28(1)11.52x+=D．()28111.52x+=【答案】C【分析

】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是8(1+)x万元，第三个月的销售额为28(1+)x万元，即可得．【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是8(1+)x万元，

第三个月的销售额为28(1+)x万元，∴28(1+)=11.52x故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．14．（2022·新疆）若关于x的一元二次方程20xxk+−=有两个实数根，则k的取值范围是（）A

．14k−B．14k−C．14k−D．14k−【答案】B【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x-k=0有两个实数根，得出Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，从而求出k的取值范围．【详解】解：∵x2+x-k=0

有两个实数根，∴Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，解得：k≥-14，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．15．（2022·山东泰安）我国古

代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于

一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．()316210xx−=B．()316210x−=C．()316210xx−=D．36210x=【答案】A【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×

数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（2022·河南）一元二次方程210xx+−=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】计算一元二次方程根的判别式进而

即可求解．【详解】解：241450bac=−=+=一元二次方程210xx+−=的根的情况是有两个不相等的实数根，故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程20axbxc++=(0aabc，，，为常数)的根的判别式24bac=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解

题的关键．当0时，方程有两个不相等的实数根；当0=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．17．（2022·四川宜宾）已知m、n是一元二次方程2250xx+−=的两个根，则22mmnm++的值为（

）A．0B．－10C．3D．10【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．【详解】解：∵m、n是一元二次方程2250xx+−=的两个根，∴mn

=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴22mmnm++=5－5=10，故选：A．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．18．（2022

·四川宜宾）若关于x的一元二次方程2210axx+-=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．0aB．1a−且0aC．1a−且0aD．1a−【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根

的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故选：

B．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方

程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．19．（2022·湖北荆州）关于x的方程2320xkx−−=实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根【答案】B【分析】根据根的判别式直接判

断即可得出答案．【详解】解：对于关于x的方程2320xkx−−=，∵()22341(2)980kk=−−−=+，∴此方程有两个不相等的实数根．故选B．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方

程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．（2022·湖南湘潭·中考真题）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦

图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则tan=（）A．2B．32C．12D．55【答案】A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接

着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，∴a2

+(a+1)2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，tan=1aa+=111+=2，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．二、填空题21．（2022·江苏

扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程22+−xx____________0=有两个不相等的实数根．【答案】0（答案不唯一）【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a，∵要使原方程有两个不同的实数根，∴()2=

240a−−，∴1a，∴满足题意的常数可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．22．（2022·云南）方程2x2+1=3x的解为________．【答案】12

11,2xx==【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310xx−+=，∴()()2110xx−−=，∴210x−=或10x−=，解得：1211,2xx==，故答案为：1211,2xx==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，

熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．23．（2022·安徽）若一元二次方程2240xxm−+=有两个相等的实数根，则m=________．【答案】2【分析】由方程有两个相等的实数

根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，【详解】解：由题意可知：2a=，4b=−，cm=240bac=−=，∴16420m−=，解得：2m=．故答案为：2．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式24bac=−△求参数：方程有两个不相等的实数根时，0＞；方程有两个相等的实数根时，0

=；方程无实数根时，△＜0等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．24．（2022·四川成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640xx−+=的两个实数根，则这个直角三

角形斜边的长是_________．【答案】27【分析】由题意解一元二次方程2640xx−+=得到35x=+或35x=−，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是27．【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次

方程2640xx−+=的两个实数根，由公式法解一元二次方程2640xx−+=可得636166253522x−===，根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是()()2235352827++−==，故答案为：27．【点睛】本

题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．25．（2022·江西）已知关于x的方程220xxk++=有两个相等的实数根，则k的值是______．【答案】1【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答

案．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式0=，∴440k−=，解得：1k=．故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．26．（2022·湖北荆州）一元二次方程2430xx−+=配方为()22xk−=，则k的

值是______．【答案】１【分析】将原方程2430xx−+=变形成与()22xk−=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430xx−+=243101xx−++=+2441xx−+=()221x−=∴1k=故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步

骤是解本题的关键．27．（2022·湖北黄冈）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝_____．【答案】3【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元

二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，∴x1•x2＝31＝3．故答案为3．【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-12•cxxbaa=，．28．（2022·江苏宿迁）若关于x的一元二次方

程220xxk−+=有实数根，则实数k的取值范围是_____．【答案】1k【分析】由关于x的一元二次方程220xxk−+=有实数根，可得440,k-?再解不等式可得答案．【详解】解：关于x的一元二次方程220xxk−+=有实数根，∴()22410k=−−，即440,k-?

解得：1k．故答案为：1k．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．29．（2022·湖南娄底）已知实数

12,xx是方程210xx+−=的两根，则12xx=______．【答案】1−【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【详解】解：实数12,xx是方程210xx+−=的两根，1211,1xx-\==-故答案为：1−【点睛】本题考查

的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“12cxxa=”是解本题的关键．30．（2022·浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（0x），则x=_________（用百分数

表示）．【答案】30%【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（0x），则2020年新注册用户数为100（1+x）

万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，依题意得100（1+x）2=169，解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），∴x=0.3=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．31．（20

22·四川眉山）设1x，2x是方程2230xx+−=的两个实数根，则2212xx+的值为________．【答案】10【分析】由根与系数的关系，得到122xx+=−，123xx=−，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵1x，2x是方程2230xx+−=

的两个实数根，∴122xx+=−，123xx=−，∴2212122212()2(2)2(3)10xxxxxx=+−=−−−=+；故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题

的关键是掌握得到122xx+=−，123xx=−．32．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【答案】7.5【分析】如详解中图

所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，∵EG过圆心，且垂直于AD，∴G为AD的中点，则AG=0.5AD=0.5×12=6

cm，在RtOAG中，由勾股定理可得，222OAOGAG=+，即222(12)6rr=−+，解方程得r=7.5，则球的半径为7.5cm．【点睛】本题考查主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．33．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知关于x的一元二次方程

220xxm++=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______．【答案】1m【分析】根据判别式的意义得到22410m=−，然后解不等式求出m的取值即可．【详解】解：根据题意得22410m=−，解得1m，所以实数m的取值范围是1m．故答案为：1m

．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=axbxca的根与24bac=−有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．34．

（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为___

___．【答案】289【分析】设直角三角形的三边分别为,,abc，较长的直角边为,a较短的直角边为,bc为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于2abc+−，即6abc+−=，根据小正方的面积为49，可得()249ab−=，进而

计算2c即22ab+即可求解．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为,,abc，较长的直角边为,a较短的直角边为,bc为斜边，直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，()23492abcab+−=−=，，6abc+−=①，7ab−=②，131,22

ccab+−==，222abc+=③，22213122ccc+−+=，解得=17c或5c=−（舍去），大正方形的面积为2217289c==，故答案为：289．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于2a

bc+−是解题的关键．35．（2022·四川凉山）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．【答案】6【分析】根据a－b2＝4得出24ba=−，代入代数式a

2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．【详解】∵a－b2＝4∴24ba=−将24ba=−代入a2－3b2＋a－14中得：()2222341423142aaabaaaa=−−+−=−−－＋－()2222221313aaaaa−−=−+−=−−

∵240ba=−∴4a当a=4时，()213a−−取得最小值为6∴222aa−−的最小值为6∵22231422aaaba−−=－＋－∴22314aba－＋－的最小值6答案为：6．【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．三、解答题36．（

2022·四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0【答案】121,3xx=−=【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：2230xx−−=，(1)(3)0xx+−=，10x+=或30x−=，1x=−或3x=，故方程的解为121,3xx=−=．【点睛】本题考查了解一元二次

方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．37．（2022·四川南充）已知关于x的一元二次方程2320xxk++−=有实数根．(1)求实数k的取值范围．

(2)设方程的两个实数根分别为12,xx，若()()12111xx++=−，求k的值．【答案】(1)k174；(2)k=3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2xxxxk−+==−，将等式左侧

展开代入计算即可得到k值．【解析】(1)解：∵一元二次方程2320xxk++−=有实数根．∴∆0，即32-4（k-2）0，解得k174(2)∵方程的两个实数根分别为12,xx，∴12123,2xxxxk−+==−，∵()()12111xx++=−，∴121211xxxx+++=−，∴2

311k−−+=−，解得k=3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．38．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，20

21年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增

长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20%(2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据2019年投入资金2(1)x+=2021年投入的总

资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据题意得：2

1000(1)1440x+=，解这个方程得，10.2x=，22.2x=−，经检验，0.220%x==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．(2)设该市在2022年可以改造y个老旧小区，由题意

得：80(115%)1440(120%)y++，解得181823y．∵y为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．39．

（2022·四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ba−，x1x2＝ca材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n

，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1

＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求nmmn+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求11st−的值．【答案】(1)32

；12−(2)132−(3)17或17−【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32mn+=，12mn=−，然后将nmmn+进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出32st+=，12st

=−，然后求出s-t的值，然后将11st−进行变形求解即可．【解析】(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴123322bxxa−+=−=−=，1212cxxa==−．故答案为：32；12−．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两

根分别为m、n，∴3322bmna−+=−=−=，12cmna==−，∴22nmmnmnmn++=()22mnmnmn+−=23122212−−=−132=−(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0

，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴3322bsta−+=−=−=，12csta==−，∵()()224tstsst−=+−231422=−−924=+174=∴172ts−=或172ts−=−，当17

2ts−=时，171121712tsstst−−===−−，当172ts−=−时，171121712tsstst−−−===−，综上分析可知，11st−的值为17或17−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出17

2ts−=或172ts−=−，是解答本题的关键．40．（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份

再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200

元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)m的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3月份再生纸产量

为x吨，则4月份的再生纸产量为()2100x−吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润

的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为()2100x−吨，由题意得：()2100800xx+−=，解得：300x=，∴2100500x−=

，答：4月份再生纸的产量为500吨；(2)解：由题意得：500(1%)10001%6600002mm++=，解得：%20%m=或%3.2m=−（不合题意，舍去）∴20m=，∴m的值20；(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月

平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，21200(1)(1)(125%)1200(1)yayya++=++∴()2120011500y+=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考

查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．41．（2022·湖北随州）已知关于x的一元二次方程()222110xkxk++++=有两个不等实数根1x，2x．(1)求k的取值范围；(2)若125xx

=，求k的值．【答案】(1)34k(2)2【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得21215xxk=+=，再结合（1）的结论即可得．

【解析】(1)解：关于x的一元二次方程()222110xkxk++++=有两个不等实数根，此方程根的判别式()()2221410kk=+−+，解得34k．(2)解：由题意得：21215xxk=+=，解得2k=−或2k=，由（1）已得：34k，则k

的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．42．（2022·湖北十堰）已知关于x的一元二次方程22230xxm−−=．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个

实数根分别为，，且25+=，求m的值．【答案】(1)见解析(2)1m=【分析】（1）根据根的判别式24bac=−，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2+=，由25+=即可解出，

，再根据23m=−，即可得到m的值．【解析】(1)()22224241(3)412bacmm=−=−−−=+，∵2120m，∴241240m+，该方程总有两个不相等的实数根；(2)方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，2+=，23m=−，∵

25+=，∴52=−，∴522−+=，解得：3=，1=−，∴23133m−=−=−，即1m=．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．43．（2022

·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程20(a0)++=axbxc的根就是相应的二次函数2(0)yaxbxca=++的图象（称为抛物线）与x轴交点的

横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（2ba−，244acba−）和一元二次方程根的判别

式24bac=−△，分别分0a和0a两种情况进行分析：（1）0a时，抛物线开口向上．①当240bac=−时，有240acb−．∵0a，∴顶点纵坐标2404acba−．∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．②当240bac=−=时，有240acb−=．∵0a，∴

顶点纵坐标2404acba−=．∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．∴一元二次方程20(a0)++=axbxc有两个相等的实数根．③当240bac=−=时，……（2）0a时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出

两个即可）；A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想(2)请参照小论文中当0a时①②的分析过程，写出③中当0,0a△时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用

函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为【答案】(1)AC（或AD或CD）(2)分析见解析；作图见解析(3)答案见解析【解析】【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分

类讨论思想；（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．(1)解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，故答案为：AC（或AD

或CD）；(2)解：a>0时，抛物线开口向上．当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒∵a>0，∴顶点纵坐标2404acba−﹒∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．(3)

解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴

的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com