【文档说明】四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题含答案.docx，共(19)页，70.280 KB，由小赞的店铺上传

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高2019级高二上入学考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.𝑐𝑜𝑠45°𝑐𝑜𝑠15°−𝑠𝑖𝑛45°𝑠𝑖𝑛15°=()A.12B.√32C.−12D.−√322.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若𝑎=3，𝑏=5，𝑐

=7，则𝑐𝑜𝑠𝐶=()A.12B.−12C.1114D.13143.两数√2+1与√2−1的等比中项是()A.1B.−1C.−1或1D.124.若𝑠𝑖𝑛𝛼=13，则𝑐𝑜𝑠2𝛼=()A.89B.79C.−79D.−895.设a

，𝑏∈𝑅，若𝑎−|𝑏|>0，则下列不等式中正确的是()A.𝑏−𝑎>0B.𝑎3+𝑏3<0C.𝑎2−𝑏2<0D.𝑏+𝑎>06.设△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎𝑠�

�𝑛𝐴，则△𝐴𝐵𝐶的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定7.已知𝑥>0，𝑦>0，𝑥+9𝑦=3，则1𝑥+1𝑦的最小值为()A.16B.4C.163D.2038.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶所对的边为a，b，c，𝐴

=60°，𝑏=1，𝑆△𝐴𝐵𝐶=√3，则c等于()A.1B.2C.3D.49.关于x的不等式𝑥2−(𝑎+2)𝑥+𝑎+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是()A.(2,3]B.(3,4]C.[−3,−2)∪(2,3]D.[−3

,−2)∪(3,4]10.已知三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷，若𝐴𝐵⊥平面BCD，∠𝐶𝐵𝐷=90°，𝐶𝐷=3√2，𝐴𝐵=2√3，则三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷外接球的表面积为()A.28𝜋B.30𝜋C.32𝜋D.36𝜋11.△𝐴𝐵𝐶的内角

A，B，C的对边分别为a，b，𝑐.已知𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=4𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，𝑐𝑜𝑠𝐴=−14，则𝑏𝑐=()A.6B.5C.4D.312.设x，y满足约束条件{2𝑥+𝑦−2≥0𝑥−�

�−1≤0𝑥+2𝑦−4≤0，则目标函数𝑧=𝑥−2𝑦的最大值是()A.3B.23C.1D.12二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.如图所示，直观图四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′是一个底角为45°

，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．14.已知两点𝐴(2,1)、𝐵(1,1+√3)满足12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑠𝑖𝑛𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽)，𝛼，𝛽∈(−𝜋2,𝜋2)，则𝛼+�

�=______15.等比数列{𝑎𝑛}的前m项和为10，前2m项和为30，则前3m项的和为______．16.对下列命题：(1)𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥(0<𝑥<𝜋)的最小值为4；(2)若{𝑎𝑛}是各项均为正数的等比数

列，则{𝑙𝑛𝑎𝑛}是等差数列；(3)已知△𝐴𝐵𝐶的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且最大边长为c，若𝑎2+𝑏2>𝑐2，则△𝐴𝐵𝐶一定是锐角三角形；(4)若向量𝑎⃗⃗=(4,2)

，𝑏⃗=(𝜆,1)，且<𝑎⃗⃗，𝑏⃗>是锐角，则实数𝜆的取值范围为(−12,+∞)．其中所有正确命题的序号为______(填出所有正确命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知函数𝑓(

𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+2𝑐𝑜𝑠2(𝑥−𝜋3).(Ⅰ)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期；(Ⅱ)若𝛼∈(0,𝜋2)，𝑓(𝛼)=43，求𝑐𝑜𝑠2𝛼．18.（12分）已知等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞>1，且𝑎1，𝑎3的等差中项为5，𝑎2=4．(1)求数

列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛．19.（12分）在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且2𝑎−𝑐𝑏=𝑐𝑜𝑠𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若△𝐴𝐵𝐶的面积为√3，𝑎+�

�=2√10，D为AC的中点，求BD的长．20.（12分）已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，𝑎1=−10，且𝑎2+10，𝑎3+8，𝑎4+6成等比数列．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)记数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆�

�，求𝑆𝑛的最小值．21.（12分）在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的长，𝑐𝑜𝑠𝐵=35，且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−21．(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；(2)若�

�=5，求角C．22.（12分）已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，满足2𝑎𝑛−𝑎𝑛−1+1=0(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)且𝑎1=1，数列{𝑐𝑛}满足𝑐𝑛=1𝑛(𝑛+2)(𝑛∈𝑁∗)，其前n项和为𝑇𝑛．(1)设�

�𝑛=𝑎𝑛+1，求证：数列{𝑏𝑛}为等比数列；(2)求𝑆𝑛和𝑇𝑛；(3)不等式𝑇𝑛>13log𝑎(1−𝑎)对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．高2019级高二上入学考试数学试题班级：姓名：总分：一、选择题（本大题共12小题，共60分）23.𝑐𝑜𝑠4

5°𝑐𝑜𝑠15°−𝑠𝑖𝑛45°𝑠𝑖𝑛15°=()A.12B.√32C.−12D.−√32【答案】A【解析】解：𝑐𝑜𝑠45°𝑐𝑜𝑠15°−𝑠𝑖𝑛45°𝑠𝑖𝑛15°=cos(45°+15°)=𝑐𝑜𝑠60°=12．故选：A．观察所求的式子，发现满足两角和与

差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．24.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若𝑎=3，𝑏=5，𝑐=7，则𝑐𝑜𝑠𝐶=()A.12

B.−12C.1114D.1314【答案】B【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=3，𝑏=5，𝑐=7，根据余弦定理，得𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=32+52−722×3×5=−12．故选：B．直接利用余弦定理求出cosC

的值．本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．25.两数√2+1与√2−1的等比中项是()A.1B.−1C.−1或1D.12【答案】C【解析】解：设√2+1与√2−1的等比中项是x，则满足𝑥2=(√2+1)(√2−1)=(√2)2−1=2−

1，则𝑥=1或𝑥=−1，故选：C．根据等比数列等比中项的公式进行求解即可．本题主要考查等比中项的求解，比较基础．26.若𝑠𝑖𝑛𝛼=13，则𝑐𝑜𝑠2𝛼=()A.89B.79C.−79D.−89【答案】B【解析】【

分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．根据𝑐𝑜𝑠2𝛼=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼能求出结果．【解答】解：∵𝑠𝑖𝑛𝛼=13，∴𝑐𝑜𝑠2𝛼=1−2𝑠𝑖𝑛

2𝛼=1−2×19=79．故选B．27.设a，𝑏∈𝑅，若𝑎−|𝑏|>0，则下列不等式中正确的是()A.𝑏−𝑎>0B.𝑎3+𝑏3<0C.𝑎2−𝑏2<0D.𝑏+𝑎>0【答案】D【解析】解：利用赋值法：令𝑎=1，𝑏=0𝑏−𝑎=−1<0，故A错误；𝑎

3+𝑏3=1>0，故B错误；𝑎2−𝑏2=1>0，故C错误；排除A，B，C，故选：D．由题意可以令𝑎=1，𝑏=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题．28.设△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为

a，b，c，若𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴，则△𝐴𝐵𝐶的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正

弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．由条件利用正弦定理可得𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐴

，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得𝑠𝑖𝑛𝐴=1，可得𝐴=𝜋2，由此可得△𝐴𝐵𝐶的形状．【解答】解：△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎𝑠𝑖

𝑛𝐴，则由正弦定理可得𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐴，即sin(𝐵+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐴，，可得𝑠𝑖𝑛𝐴=1，故A=𝜋2

，故三角形为直角三角形，故选：B．29.已知𝑥>0，𝑦>0，𝑥+9𝑦=3，则1𝑥+1𝑦的最小值为()A.16B.4C.163D.203【答案】C【解析】解：因为𝑥>0，𝑦>0，𝑥+9𝑦=3，则1𝑥+1𝑦=(1𝑥

+1𝑦)(𝑥+9𝑦)×13=13(10+9𝑦𝑥+𝑥𝑦)≥13(10+6)=163，当且仅当9𝑦𝑥=𝑥𝑦且𝑥+9𝑦=3即𝑦=14，𝑥=34时取等号．故选：C．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．30.在△𝐴𝐵

𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶所对的边为a，b，c，𝐴=60°，𝑏=1，𝑆△𝐴𝐵𝐶=√3，则c等于()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=12×1×𝑐×𝑠𝑖𝑛60°=√3，解得�

�=4．故选：D．利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．31.关于x的不等式𝑥2−(𝑎+2)𝑥+𝑎+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是()A.(2,3]B.(3,4]C.[−3,−2)∪(2,3]D

.[−3,−2)∪(3,4]【答案】C【解析】解：由𝑥2−(𝑎+2)𝑥+𝑎+1<0可得(𝑥−1)[𝑥−(𝑎+1)]<0，当𝑎+1>1即𝑎>0时，不等式的解集为(1,𝑎+1)，若满足解集中恰有2个整数，则3<𝑎+1≤4，此时2<𝑎≤3，当𝑎+1<1即𝑎<0时，不等

式的解集为(𝑎+1,1)，若满足解集中恰有2个整数，则−2≤𝑎+1<−1此时−3≤𝑎<−2．综上可得，a的范围[−3,−2)∪(2,3]故选：C．由已知结合二次不等式的求法先求出二次不等式的解集，然后结合端点的大小即可求解．本题主要考查了含参二次不等式的求解

，体现了分类讨论思想的应用、32.已知三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷，若𝐴𝐵⊥平面BCD，∠𝐶𝐵𝐷=90°，𝐶𝐷=3√2，𝐴𝐵=2√3，则三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷外接球的表面积为()A.28𝜋B.30𝜋C.32𝜋D.36𝜋【答案】B【

解析】解：将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同，由题意可得长方体的对角线为√𝐴𝐵2+𝐶𝐷2=√(3√2)2+(2√3)2=√30，由长方体的对角线的其外接球的直径2R，所以

(2𝑅)2=(√30)2，即4𝑅2=30，所以外接球的表面积𝑆=4𝜋𝑅2=30𝜋，故选：B．由题意将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同，由题意可得长方体的对角线，而长方体的对角线与其外接球的直

径相同，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的半径与三棱锥的棱长的关系，及球的表面积公式，属于一般题．33.△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，𝑐.已知𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=4𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶

，𝑐𝑜𝑠𝐴=−14，则𝑏𝑐=()A.6B.5C.4D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设该三角形外接圆的半径

为R，根据正弦定理有：又𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=4𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，∴𝑎·𝑎2𝑅−𝑏·𝑏2𝑅=4𝑐·𝑐2𝑅,即𝑎2=4𝑐2+𝑏2，又，∴{𝑎2−𝑏2=4𝑐2𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏2+𝑐

2−𝑎22𝑏𝑐=−14，解得𝑏𝑐=6，故选A．34.设x，y满足约束条件{2𝑥+𝑦−2≥0𝑥−𝑦−1≤0𝑥+2𝑦−4≤0，则目标函数𝑧=𝑥−2𝑦的最大值是()A.3B.23C.1D.12【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区

域如图：由由𝑧=𝑥−2𝑦得𝑦=12𝑥−12𝑧，平移直线𝑦=12𝑥−12𝑧，由图象可知当直线经过点𝐵(1,0)时，直线的截距最小，此时z最大，代入𝑧=𝑥−2𝑦得最大值为𝑧=1．故选：C．利用线性

规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由𝑧=𝑥−2𝑦得𝑦=12𝑥−12𝑧，根据平移直线确定目标函数的最大值．本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20分）35.如图所示，直观图四边

形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．【答案】2+√2【解析】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底𝐴𝐷=1，高𝐴𝐵=2𝐴′𝐵′=2，下底为𝐵𝐶=1+√2，∴1+1+√22×2=2+√2．故答案

为：2+√2．原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+√2，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．36.已知两点𝐴(2,1)、𝐵(1,1+√3)满足12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑠𝑖𝑛𝛼,𝑐𝑜�

�𝛽)，𝛼，𝛽∈(−𝜋2,𝜋2)，则𝛼+𝛽=______【答案】0或−𝜋3【解析】解：两点𝐴(2,1)、𝐵(1,1+√3)满足12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑠𝑖𝑛𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽)，可得12(−1,√

3)=(−12,√32)=(𝑠𝑖𝑛𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽)，即为𝑠𝑖𝑛𝛼=−12，𝑐𝑜𝑠𝛽=√32，𝛼，𝛽∈(−𝜋2,𝜋2)，可得𝛼=−𝜋6，𝛽=±𝜋6，则𝛼+𝛽=0或−𝜋

3．故答案为：0或−𝜋3．运用向量的坐标运算和特殊角的三角函数值，可得所求和．本题考查向量的坐标运算和特殊角的三角函数值，考查运能力，属于基础题．37.等比数列{𝑎𝑛}的前m项和为10，前2m项和为30，则前3m项的和为______．【答案】70【解析】解：根据等比数列{𝑎𝑛}的性质

，(𝑆2𝑚−𝑆𝑚)2=𝑆𝑚⋅(𝑆3𝑚−𝑆2𝑚)由于前m项和为10，前2m项和为30，则：(30−10)2=10⋅(𝑆3𝑚−30)，解得：𝑆3𝑚=70．故答案为：70．直接利用等比数列的性质：

(𝑆2𝑚−𝑆𝑚)2=𝑆𝑚⋅(𝑆3𝑚−𝑆2𝑚)建立方程求出结果．本题考查的知识要点：等比数列性质的应用及相关的运算问题．38.对下列命题：(1)𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥(0<𝑥<𝜋)的

最小值为4；(2)若{𝑎𝑛}是各项均为正数的等比数列，则{𝑙𝑛𝑎𝑛}是等差数列；(3)已知△𝐴𝐵𝐶的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且最大边长为c，若𝑎2+𝑏2>𝑐2，则△𝐴𝐵𝐶一定是锐角三角形；(4)若向量𝑎⃗⃗=

(4,2)，𝑏⃗=(𝜆,1)，且<𝑎⃗⃗，𝑏⃗>是锐角，则实数𝜆的取值范围为(−12,+∞)．其中所有正确命题的序号为______(填出所有正确命题的序号)．【答案】(2)(3)【解析】解：对于(1)，因为0<

𝑥<𝜋，所以0<𝑠𝑖𝑛𝑥≤1，𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥≥4，取等条件是𝑠𝑖𝑛𝑥=2，条件不成立，(1)错误；对于(2)，因为{𝑎𝑛}是各项均为正数的等比数列，所以设𝑎𝑛=𝑎

1𝑞𝑛−1，𝑎1>0，𝑞>0，即𝑙𝑛𝑎𝑛=𝑙𝑛𝑎1+(𝑛−1)𝑙𝑛𝑞，所以{𝑙𝑛𝑎𝑛}是等差数列，(2)正确；对于(3)，根据大边对大角可知角C最大，而𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎2+𝑏

2−𝑐22𝑎𝑏>0，所以角C为锐角，故△𝐴𝐵𝐶一定是锐角三角形，(3)正确；对于(4)，因为<𝑎⃗⃗，𝑏⃗>是锐角，所以𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗>0，且𝑎⃗⃗,𝑏⃗不共线，即4𝜆+2>0且4×1−2𝜆≠0，解得𝜆>−12且𝜆≠2，(4)错误．故答案为：(2)(3)．

根据各命题对应知识逐个判断即可得出．本题主要考查基本不等式，数列，解三角形，以及向量的有关知识的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）39.（10分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+2𝑐𝑜𝑠2(𝑥−𝜋3

).(Ⅰ)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期；(Ⅱ)若𝛼∈(0,𝜋2)，𝑓(𝛼)=43，求𝑐𝑜𝑠2𝛼．【答案】解：(Ⅰ)∵𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+2𝑐𝑜𝑠2(𝑥−𝜋3)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+1+cos(2𝑥−2𝜋3)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+√32𝑠

𝑖𝑛2𝑥−12𝑐𝑜𝑠2𝑥+1=√32𝑠𝑖𝑛2𝑥+12𝑐𝑜𝑠2𝑥=sin(2𝑥+𝜋6)+1，…4分∴函数𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=2𝜋2=𝜋…5分(Ⅱ)由𝑓(𝛼)=43，可得sin(2𝛼+𝜋6)

=13，∵𝛼∈(0,𝜋2)，∴2𝛼+𝜋6∈(𝜋6,7𝜋6)，…7分又∵0<sin(2𝛼+𝜋6)=13<12，∴2𝛼+𝜋6∈(𝜋2,𝜋)，…8分∴cos(2𝛼+𝜋6)=−2√23，…10分∴𝑐𝑜𝑠2𝛼=c

os[(2𝛼+𝜋6)−𝜋6]=cos(2𝛼+𝜋6)cos𝜋6+sin(2𝛼+𝜋6)sin𝜋6=1−2√66…12分【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式𝑓(𝑥)=sin(2

𝑥+𝜋6)+1，利用正弦函数的周期公式即可求解．(Ⅱ)由𝑓(𝛼)=43，可得sin(2𝛼+𝜋6)=13，由已知又0<sin(2𝛼+𝜋6)=13<12，可求范围2𝛼+𝜋6∈(𝜋2,𝜋)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2𝛼+𝜋6)，进而根据两角差的余弦函数

公式可求𝑐𝑜𝑠2𝛼的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．40.（12分）已知等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞>1，且𝑎1，𝑎3的等差中项为5，𝑎2=4．(1)求数列{𝑎𝑛

}的通项公式；(2)设𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛．【答案】解：(1)等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞>1，且𝑎1，𝑎3的等差中项为5，𝑎2=4．故：{𝑎1(1+𝑞2)=10𝑎1𝑞=4，解得{𝑎1=2𝑞=2．故：𝑎𝑛=2𝑛．(2)𝑏𝑛=�

�𝑎𝑛=𝑛2𝑛，所以𝑆𝑛=12+222+⋯+𝑛2𝑛①，12𝑆𝑛=122+223+⋯+𝑛2𝑛+1②，①−②得：12𝑆𝑛=(12+122+⋯+12𝑛)−𝑛2𝑛+1=12(1−12𝑛)1

−12−𝑛2𝑛+1，解得：𝑆𝑛=2−𝑛+22𝑛．【解析】(1)直接利用数列的通项公式的应用求出数列的通项公式．(2)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属

于基础题型．41.（12分）在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且2𝑎−𝑐𝑏=𝑐𝑜𝑠𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若△𝐴𝐵𝐶的面积为√3，𝑎+𝑐=2√10，D为AC的中点，求BD的长．【答案】解

：(𝐼)∵2𝑎−𝑐𝑏=𝑐𝑜𝑠𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵，由正弦定理得2𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑜𝑠𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵整理得2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶=sin(

𝐵+𝑐)∵𝐵+𝐶=𝜋−𝐴，则2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴..∵𝐴∈(0,𝜋)，∴𝑠𝑖𝑛𝐴≠0∴𝑐𝑜𝑠𝐵=12∵𝐵∈(0,𝜋)，∴𝐵=𝜋3．(𝐼𝐼)由12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝜋3=√3，𝑎𝑐=4．∵𝐵𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=12(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，两边平方得|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=14(|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2+2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)∴|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=14(𝑎2+𝑐2+𝑎𝑐)=14[(𝑎

+𝑐)2−𝑎𝑐]=9∴𝐵𝐷=3．【解析】(Ⅰ)将已知条件边化角，利用三角变换公式可得；(Ⅱ)将𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)两边平方可得．本题考查了三角形中的计算，属中档题．42.（12分）已

知数列{𝑎𝑛}是等差数列，𝑎1=−10，且𝑎2+10，𝑎3+8，𝑎4+6成等比数列．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)记数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，求𝑆𝑛的最小值．【

答案】解：(1)设数列{𝑎𝑛}的公差为d，∵𝑎1=−10，且𝑎2+10，𝑎3+8，𝑎4+6成等比数列，∴(𝑎3+8)2=(𝑎2+10)(𝑎4+6)，即：(−2+2𝑑)2=𝑑(−4+3𝑑)，解得𝑑=2，∴𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑=−

10+2𝑛−2=2𝑛−12；(2)由𝑎1=−10，𝑑=2，得：𝑆𝑛=−10𝑛+𝑛(𝑛−1)2⋅2=𝑛2−11𝑛=(𝑛−112)2−1214，∴𝑛=5或𝑛=6时，𝑆𝑛取最小值−30．【解析】(1)设数列{𝑎𝑛}的公差为

d，由题设条件列出d的方程，解得d，即可求得𝑎𝑛；(2)先由(1)求得𝑆𝑛，再求𝑆𝑛的最小值．本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和的最值，属于基础题．43.（12分）在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的长，𝑐𝑜𝑠𝐵=35，且𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−21．(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；(2)若𝑐=5，求角C．【答案】解：(1)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝐵)=−𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=−21，∵𝑐𝑜𝑠𝐵=35，∴𝑎𝑐=35，𝑠𝑖𝑛𝐵=45，则

△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=14；(2)∵𝑐=5，∴𝑎=7，则由余弦定理可得𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=49+25−2×5×7×35=32，即𝑏=4√2由余弦定理可得：𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎2+𝑏2

−𝑐22𝑎𝑏=√22，因为𝐶∈(0,𝜋)，所以𝐶=𝜋4．【解析】(1)根据𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−21结合𝑐𝑜𝑠𝐵=35可求得ac，sinB，利用三角形面积公式可得其面积；(2)利用余弦定理得到b，再利用余弦定理求得cosC，

即可求得C．本题考查平面向量数量积运算性质，涉及余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．44.（12分）已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，满足2𝑎𝑛−𝑎𝑛−1+1=0(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)且𝑎1=1，数列{𝑐𝑛}满足𝑐𝑛=1𝑛(𝑛+2)(𝑛∈𝑁∗)，其

前n项和为𝑇𝑛．(1)设𝑏𝑛=𝑎𝑛+1，求证：数列{𝑏𝑛}为等比数列；(2)求𝑆𝑛和𝑇𝑛；(3)不等式𝑇𝑛>13log𝑎(1−𝑎)对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，满

足2𝑎𝑛−𝑎𝑛−1+1=0，整理得𝑎𝑛=12𝑎𝑛−1−12，变形为：𝑎𝑛+1=12(𝑎𝑛−1+1)，由于𝑏𝑛=𝑎𝑛+1，所以𝑏𝑛=12𝑏𝑛−1，故数列{𝑏𝑛}为等比数列是以2为首项，12为公比的等比数列．(2)数列{𝑐𝑛}满足𝑐𝑛

=1𝑛(𝑛+2)=12(1𝑛−1𝑛+2)．所以：𝑇𝑛=𝑐1+𝑐2+𝑐3+⋯+𝑐𝑛=12(1−13+12−14+⋯+1𝑛−1−1𝑛+1+1𝑛−1𝑛+2)=34−12(1𝑛+1+1𝑛+2)．数列{𝑏𝑛}为等

比数列是以2为首项，12为公比的等比数列．由于𝑏𝑛=𝑎𝑛+1，所以𝑎𝑛=𝑏𝑛=𝑎𝑛−1，所以𝑆𝑛=2(1−12𝑛)1−12−𝑛=4−22−𝑛−𝑛．(3)由𝑇𝑛+1−𝑇𝑛=12[(1𝑛+1+1𝑛+2)−(1𝑛+2+1

𝑛+3)]=12(1𝑛+1−1𝑛+3)>0，所以数列{𝑇𝑛}单调递增，𝑇𝑛的最小值为𝑇1=13．不等式𝑇𝑛>13log𝑎(1−𝑎)对任意的正整数恒成立，即13𝑙𝑜𝑔𝑎(1

−𝑎)<13，所以log𝑎(1−𝑎)<1=log𝑎𝑎，即：{0<𝑎<11−𝑎>𝑎，解得：0<𝑎<12．【解析】(1)直接利用关系式的变换和定义的应用求出结果．(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用和分组法的应用求出结果．(3)利用数列的单调性的应用和恒成立问题

的应用及对数的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，数列的单调性的应用，恒成立问题的应用，对数的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．