【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修二 6-3-1 平面向量基本定理 Word版含解析.docx，共(9)页，562.035 KB，由小赞的店铺上传

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6.3.1平面向量基本定理例1如图6.3-4，OA，OB不共线，且()APtABtR=，用OA，OB表示OP．解：因APtAB=，所以OPOAAP=+uuuruuruuurOAtAB=+()OAtOBOA=+−OAtOBtOA=+−()1tOAtOB=−+．例2如图6.3-5，CD是

ABC的中线，12CDAB=，用向量方法证明ABC是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取,CDDA为基底，用它表示CA，CB．证明0CACB=，可得CACB⊥，从而证得ABC是

直角三角形．证明：如图6.3-6，设CDa=，DAb=，则CAab=+，DBb=−，于CBab=−.为是()()22CACBababab=+−=−.因为12CDAB=，所以CDDA=.因为22aCD=，22bDA=，所以0CACB=.因此CACB⊥.

于是ABC是直角三角形.练习1.如图，AD，BE，CF是ABC的三条中线，CAa=，CBb=．用,ab表示AB，ADuuuv，BE，CF．【答案】ABba=−；12ADba=−；12BEab=−；1122CFab=+．

【解析】【分析】直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。【详解】解：ABCBCAba=−=−；1122ADCDCACBaba=−=−=−；1122BECECBCACBab=−=−=−；1111()()2222CFCACBabab=+=+=+．【点睛】本题主要考查了向量的减法三角

形法则以及平行四边形法则，属于基础题。2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，ABa=，ADb=，点E，F分别是OA，OC的中点，G是CD的三等分点13DGCD=．（1）用,a

b表示DE，FB，OG；（2）能由（1）得出DE，BF的关系吗？【答案】（1）1344DEab=−，FB=1344ab−，1162OGab=−+；（2）DEBF=【解析】【分析】（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。（2）利用（1）的结果找出,DEB

F的关系即可得出DE，BF的关系【详解】解：（1）11()44DEAEADACADABADAD=−=−=+−13134444ABADab=−=−，33()44FBABAFABACABABAD=−=−=−+13134444

ABADab=−=−，1111()3232OGDGDODCDBABABAD=−=−=−−11116262ABADab=−+=−+．（2）由（1）知，1344DEab=−，1344BFFBabDE=−=−−=−，∴||||DEBF=，即DE

BF=．【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。3.如图，在ABC中，14ADAB=，点E，F分别是AC，BC的中点．设ABa=，ACb=．（1）用,ab表CD，EF．（2）如果60A=，2ABAC=，CD，

EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．【答案】（1）14CDab=−，12EFa=；（2）CDEF⊥，证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出CD，EF（2）设ACm=，则2ABm=，EFm=．计算CDEF即可。【详解】解：（1）11

44CDADACABACab=−=−=−；1122EFABa==．（2）CDEF⊥，证明如下：设ACm=，则2ABm=，EFm=．22111111(2)2cos60428282CDEFabaaabmmm=−=−=−

2211022mm=−=．∴CDEF⊥，∴CDEF⊥．【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。变式练习题4.在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝___

_______.【答案】43【解析】【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可证得结论成立.【详解】解：如下图所示，由平面向量的加法法则可得ACABAD=+，12AFABBFABAD=+=+，12AEADDEABAD=

+=+，因为11121222ACAEAFABADADABADAB=+=++=++++，所以，112112+=+=，解得23==，因此，43+=.故答案为：43.5.若

向量,OAOB不共线，且OPxOAyOB=+uuuruuruuur（其中1xy+=），求证：,,APB共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题设条件和向量的运算法则，化简得到yAAPB=，结合向量AP与AB有公共点A，即可证得,,A

PB三点共线．【详解】由题意，向量,OAOB不共线，且OPxOAyOB=+uuuruuruuur（其中1xy+=），可得(1)yOAyOBOAyOAyOOBP=−+=−+，所以()OOAyOPBOA−=

−，即yAAPB=，所以//APAB，由向量AP与AB有公共点A，所以,,APB三点共线．6.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.【答案】4∶1.【解析

】【详解】设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在λ,μ∈R,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,而=+=2e1+3e2,∴∴∴=,∴=,即AP∶PM=4.7.如图所示，在△A

BO中，14OCOA=，12ODOB=，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示向量OM.【答案】OM＝a＋b.【解析】【详解】设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，＝－＝－＝－a＋b.又∵A，

M，D三点共线，∴与共线．∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t.∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C，M，B

三点共线，∴与共线．∴存在实数t1，使得＝t1，∴a＋nb＝t1，∴消去t1得4m＋n＝1.②由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.8..如图，在△OAB中，11,42OCOAODOB==，AD与BC交于点M，设,OAaOBb→==在线段A

C上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE＝pOA，OF＝qOB，求证：17p＋37q＝1.【答案】证明见解析【解析】【分析】由,,BMC三点共线计算可得1(1)4OMmamb→=+−，由,,AMD三点共线，

计算可得1(1)2OMnanb→=+−，即可求得1377OMab→→=+，由,,EMF三点共线，计算可得()1(1)OMOEOFbpaq→→=+−=+−，消去,即可证得结果.【详解】因为,,BMC三点共线，所以存在实数m，使得11(1)(1)(1)4

4OMmOCmOBmOAmOBmamb→=+−=+−=+−，又,,AMD三点共线，所以存在实数n，使得1(1)(1)2OMnOAnODnanb→=+−=+−,由于,ab→→不共线，所以1411(1)2mnmn=−=−,解得4717mn==.故1377

OMab→→=+.因为,,EMF三点共线，所以存在实数，使得()1(1)OMOEOFbpaq→→=+−=+−,1,73(1),7pq=−=消去,得17p＋37q＝1.