【文档说明】上海市川沙中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.281 MB，由小赞的店铺上传

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川沙中学高二期末数学试卷一.填空题1.椭圆22154xy+=的焦距等于________【答案】2【解析】【分析】根据椭圆方程，求出,ab，即可求解.【详解】设椭圆的焦距为2c，椭圆方程为22154xy+=，225,4,1ab

c===.故答案为:2.【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.2.双曲线221169xy−=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx=?【解析】【分析】令220169xy−

=解得结果【详解】令220169xy−=解得两条渐近线的方程为34yx=?【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若线性方程组的增广矩阵是122301cc，其解

为11xy==，则12cc+=________【答案】6【解析】【分析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11xy==代入线性方程组即可得到1c、2c的值，最终可得出结果．【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223

xycyc+==，将解11xy==代入上面方程组，可得：1251cc==．126cc+=．故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．

本题属基础题．4.已知复数22izi+=，则z的虚部为________．【答案】-1【解析】【分析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z的结果，然后根据z的结果直接确定虚部.【详解】因为()22242122242iiiiziiii++−==

==−−，所以z虚部为1−.故答案为1−.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数zabi=+，则z的实部为a，虚部为b，注意实、虚部都是数值.5.圆22240xyxy+−+=的圆心到直线3450xy+−=的距离等于________

．【答案】2【解析】【分析】先根据圆的一般方程确定圆的圆心，然后根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离.【详解】因为圆的方程为22240xyxy+−+=即()()22125xy−++=，所以圆心为()1,2−，则圆心到直线的距离22385234

d−−==+.故答案为2.【点睛】本题考查根据圆的一般方程确定圆心以及点到直线的距离公式的运用，难度较易.由圆的一般方程确定圆心可考虑先将圆的一般方程化为标准方程然后直接得到圆心坐标6.若复数32(1i)2(i)za

−=−（aR），若2||3z=，则a=________【答案】2【解析】【分析】根据模长的性质，求出||z且等于23，即可求解.【详解】33222(1i)|(1i)|22||||132(i)2|(i)|zaaa−−====+−−,解

得2a=.故答案为:2.【点睛】本题考查复数的模长，注意模长性质的应用，属于基础题.7.已知向量()=1,2a，()=2,2b−，()=1,c．若()2+cab，则=________．【答案】12【解析】【分析】由两

向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得()24,2ab+=()//2,cab+()1,c=4λ20−=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．8.参数方程2c

os2sinxy==+（为参数，且R）化为普通方程是_____【答案】23xy+=【解析】【分析】由题得222cos2sinxy=−=，再把两式相加即得参数方程的普通方程.【详解】由题得222co

s2sinxy=−=，两式相加得2221,3xyxy+−=+=.所以普通方程为23xy+=.故答案为:23xy+=【点睛】(1)本题主要考查参数方程化普通方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)参数方程消参常用的方法有三种.①加减消参：直接把两个方程

相加减即可消去参数.②代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.③恒等式消参：通过方程计算出sincos、，再利用三角恒等式22sincos1aa+=消去参数.9.已知直线0axbyc++=与圆22:1Oxy+=相交于A、B两点，且|

|3AB=，OAOB=uuruuur________【答案】12−【解析】【分析】根据已知求出AOB，用向量数量积公式，即可求解.【详解】直线0axbyc++=与圆22:1Oxy+=相交于A、B两点，||||1,||3OAO

BAB===，取AB中点D，则⊥ODAB，3cos,0,226OABOABOAB==，221,||||coscos332AOBOAOBOAOBAOB====−.故答案为:12−.【点睛】本题考查直线与圆的关系，注意半弦长、圆心距与半径关系，考查向量的数量

积，属于中档题.10.若椭圆22142xy+=上一动点(,)Mxy到定点(,0)Nm（02m）的距离||MN的最小值为1，则m=________【答案】1【解析】【分析】求出||MN，结合椭圆方程将2y用x表示，利用二次函数求出其最小值且

等于1，即可求解.【详解】(,)Mxy在椭圆22142xy+=，222,222xyx=−−，22221||()222MNxmyxmxm=−+=−++221(2)22xmm=−−+，02m，当01m时，2xm=，2min||21,1MNmm=−+==

，舍去负值；当12m时，min2,||21,1xMNmm==−==，舍去.故答案为:1.【点睛】本题考查椭圆上的动点到定点的距离，注意应用二次函数求最值以及分类讨论，属于中档题.11.设mR，过定点A的动直线0xmy+=和

过定点B的动直线30mxym−−+=交于点(,)Pxy，则PAPB的最大值是．【答案】5【解析】试题分析：易得(0,0),(1,3)AB.设(,)Pxy，则消去m得：2230xyxy+−−=，所以点P

在以AB为直径的圆上，PAPB⊥，所以222||||10PAPBAB+==，2||52ABPAPB=.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PAPB⊥，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.【

考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.12.在平面直角坐标系xOy中,点O是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P在圆()2211xy−+=上运动,若OAxOByOP=+，则2xy+的最小值为________.【

答案】1【解析】【分析】由圆的参数方程可设1cossinxy=+=（为参数），再结合向量相等的坐标表示可得()2,1=()cos,2sinyyxy++，则2xy+=1sin121cos−++，再结合三角函数的有界性即可得解.【详解】解：因为点P在圆()2211xy−+=上运动,

设1cossinxy=+=（为参数），又OAxOByOP=+，则()()2,1(0,2)cos,sinxyyy=++()cos,2sinyyxy=++，则21cosy=+，2sin11cosx=−+

，所以2xy+=4sin21cos−+21cos++=1sin121cos−++，令1sin1cost−=+，则sincos1tt+=−，则21sin()1tt++=−，即211tt+−，解得0t，故1sin01cos−+，即当1sin0

1cos−=+时，2xy+的最小值为1201+=，故答案为：1.【点睛】本题考查了圆的参数方程、向量相等的坐标表示及三角函数的有界性，重点考查了运算能力，属中档题.二.选择题13.关于x、y的二元一次方程组50234xyxy+=+=，其中行列式xD

为（）A.0543−B.1024C.0543D.0543−【答案】C【解析】【分析】根据行列式xD定义，即可求解.【详解】关于x、y的二元一次方程组50234xyxy+=+=，其中行列式xD为0543.故选:C【点睛】本题考查二

元一次方程组与行列式关系，属于基础题.14.已知复数113zi=+，23zi=+（i为虚数单位），在复平面内，12zz−对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的减法求出复数12zz−，即可得出复数12

zz−对应的点所在的象限.【详解】复数113zi=+，23zi=+，()()1213322zziii−=+−+=−+，因此，复数12zz−在复平面内对应的点在第二象限.故选B.【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复

数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15.设点M、N均在双曲线22:143xyC−=上运动，1F、2F是双曲线C的左、右焦点，则122MFMFMN+−的最小值为（）A.23B.4C

.27D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算，化简得1212222MFMFMNMOMNNO+−=−=uuuruuuuruuuruuuuruuuruuur，结合双曲线的性质，即可求解.【详解】由题意，设O为12,FF的中点，

根据向量的运算，可得122222MFMFMNMOMNNO+−=−=uuuruuuuruuuruuuruuuruuur，又由N为双曲线22:143xyC−=上的动点，可得NOauuur，所以122224MFMFMNNOa+−

==uuuruuuuruuuruuur，即122MFMFMN+−uuuruuuuruuur的最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着

重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AFFB=││││，1ABBF=││││，则C的方程为

A.2212xy+=B.22132xy+=C.22143xy+=D.22154xy+=【答案】B【解析】【分析】由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，得12AFn=，在1AFB△中求得11cos3F

AB=，再在12AFF△中，由余弦定理得32n=，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+

==−=．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFABnn+−==．在12AFF△中，由余弦定理得2214422243nnnn+−=，解得32n=．2222423,3,312,anabac====−=−=所求椭圆方程为22132xy+=，故选B

．法二：由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+==−=．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4,422

cos9nnAFFnnnBFFn+−=+−=，又2121,AFFBFF互补，2121coscos0AFFBFF+=，两式消去2121coscosAFFBFF,，得223611nn+=，解得32n=．2222423,3,312,anabac==

==−=−=所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三.解答题17.设z为关于x的方程20xmxn++=（,mnR）的虚根，i为虚

数单位.（1）当1iz=−+时，求m、n的值；（2）若1n=，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数24i+所对应的点为Q，试求||PQ的取值范围.【答案】（1）2mn==；（2）[251,251]−+.【解析】【分析】（

1）将1iz=−+代入方程，,mnR，利用复数相等，得出关于,mn的方程组，即可求解；（2）设(,)zabiabR=+代入方程210xmx++=方程，求出复数z所对应的点(,)Pab的轨迹，根据，求出m范围，利用几何法，即可求出结论.【详解】（1）

1iz=−+为方程20xmxn++=（,mnR）的虚根，2(1)(1)(2)0iminmnmi−++−++=−++−=，解得2mn==；（2）设(,zabiabR=+且0)b是210xmx++=的虚根，240,22mm

=−−，2()()10abimabi++++=，221(2)0abmaabmb−++++=，222240,,,124mmbabab−=−=+=，复数z所对应的点P在单位圆上（去掉(1,0)，复数24i+所对应的点为22||2425(2,4),QOQ=+=，所以||PQ的

范围为[251,251]−+.故答案为:[251,251]−+.【点睛】本题考查复数相等求参数及轨迹方程，以及复数几何意义，考查用几何法求定点到圆上点的距离，属于中档题.18.过抛物线24yx=的焦点F的

直线交抛物线于点A、B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点.（1）求直线AB的倾斜角；（2）求线段AB的长.【答案】（1）3；（2）163【解析】【分析】（1）根据F是AC的中点计算出A点坐标，由,AF两点的坐标即可求解AB的斜率，再

根据斜率与倾斜角关系从而可求倾斜角；（2）联立直线与抛物线方程，求解出,AB的坐标，利用点到点的距离公式即可求解AB的长.【详解】（1）依题意：(1,0)F，准线l：1x=−，设1122(,),(,)AxyBxy，设0(1,)Cy−，由已知可得1112x−+=，故13x=，代入24yx=，得

1230y=，故23331ABAFkk===−，直线AB的倾斜角为3；（2）由24yx=与3(1)yx=−联立可得231030xx−+=，解得：3x=或13，所以123(3,23),(,)33AB−，故2212316||323333AB=−++

=.（或121016||||||(1)(1)233ABAFBFxx=+=+++=+=）【点睛】抛物线的焦点弦的计算除了可以利用弦长公式求解之外，还可以利用抛物线的焦半径公式求解焦点弦的弦长：已知交点为()()1122,,,AxyBxy，若抛物线的焦点在x轴上，则()12ABx

xp=++，若焦点在y轴上，则()12AByyp=++.19.直线1ykx=+与双曲线2231xy−=相交于不同的两点A,B.（1）求实数k的取值范围；（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值.【答案】（1）()()()6,33,33,6k−

−−；（2）1k=.【解析】【分析】（1）由直线1ykx=+与双曲线2231xy−=，消去y，利用判别式大于零得不等式，解出即可；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为0OAOB=，即12120xxyy

+=，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．【详解】解：（1）由直线1ykx=+与双曲线2231xy−=，得()223220kxkx−−−=，所以2223048(3)0kkk−=+−，解得()()()6,33,33,6

k−−−；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点，设()()1122,,,AxyBxy，则0OAOB=，即12120xxyy+=，()()1212110xxkxkx+++=，即()()21212110kxxkxx++++=，()22222kk1k033kk−

++=−−，整理得21k=，符合条件，∴1k=．【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．20

.已知两点1(2,0)F−、2(2,0)F，动点P在y轴上的射影是H，且21212PFPFPH=uuuruuuruuur.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线1PF、2PF的两个斜率存在，分别记为1k、2k，若1212kk=，求点P的坐标；（3）若经过点(1,0)N−的直线l与动点P的

轨迹有两个交点T、Q，当4||||||7NTNQ−=uuuruuur时，求直线l的方程.【答案】（1）22184xy+=；（2）(6,1)或(6,1)−或(6,1)−或(6,1)−−；（3）3(1)yx=+或3(1)yx=−+.【解析】【分析】（1）设(,)Pxy得(

0,)Hy，用坐标表示21212PFPFPH=uuuruuuruuur，求出轨迹方程为22184xy+=；（2）由1212kk=，求出,xy关系，与椭圆方程联立，即可求解；（3）设出直线l方程，与椭圆方程联立，消去x，得到关于y的一元二次方程，由根与系数关系，得出,TQ

两点纵坐标关系，将||||||NTNQ−uuuruuur转化为,AB纵坐标表示，即可求解.【详解】（1）设(,)Pxy，则12(0,),(2,),(2,)HyPFxyPFxy=−−−=−−，22221211(,0),422PHx

PFPFxyPHx=−=−+==，22184xy+=，即为所求的轨迹方程；（2）直线1PF、2PF的两个斜率存在，2x2221221,242242yyykkxyxxx====+−+−，联立222218424xyxy+==+解得2261xy

==，即61xy==，所以P坐标为(6,1)或(6,1)−或(6,1)−或(6,1)−−；（3）若直线l斜率为0，||||||2NTNQ−=uuuruuur，不合题意，设直线l方程为1xmy=−，联立22128

xmyxy=−+=，消去x得222(2)270,32560mymym+−−==+，设112212122227(,),(,),,22mTxyQxyyyyymm+==−++，221212||||||1||||||

1||NTNQmyymyy−=+−=++uuuruuur，222||4127mmm=+=+，整理得424533160mm+−=，22211(31)(1516)0,,33mmmm−+===，所求的直线方程为3(1)yx=+或3(1)yx=−+.【点睛】本题考查椭圆

的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求方法求相交弦问题，属于中档题.21.已知两点1(2,0)F−、2(2,0)F，动点(,)Mxy满足12|||4|MFMF+=，记M的轨迹为曲线C，直线:lykx=（0k）

交曲线C于P、Q两点，点P在第一象限，PEx⊥轴，垂足为E，连结QE并延长交曲线C于点G.（1）求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线；（2）若2k=，求△PQG的面积；（3）证明：△PQG为直角三角形.【答案】（1）22142xy+

=，轨迹是以(2,0)、(2,0)−为焦点的椭圆；（2）4027；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）1212|||||4|MFMFFF+=，根据椭圆定义，即可求出方程；（2）设111(,),0,0Pxkxxk，可得111(,),(,0

)QxkxEx−−，求出QE方程，与椭圆方程联立求出G点坐标，再将2yx=与椭圆方程联立，求出,,PQG坐标，即可求解；（2）根据（2）中G点坐标求出PG斜率，即可证明结论.【详解】（1）1212|||||

4|MFMFFF+=，M点轨迹就是以12(2,0),(2,0)FF−为焦点的椭圆，其方程为22142xy+=；（2）设111(,),0,0Pxkxxk，则111(,),(,0)QxkxEx−−，直线QE方程为1()2kyxx=−，联立122()2240

kyxxxy=−+−=消去y得，2222211(2)280kxkxxkx+−+−=，①设221(,),Gxyx−为方程①的解，222111121212222232,222kxkxkxxxxxxkkk+−==+=+++，3231111

22122232(),(,)2222kxkxxkxkyxxGkkk+=−=+++，联立22224yxxy=+=，解得2343xy==或2343xy=−=−，2424148(,),(,),(,

)333399PQG−−，1414240()239327PQGS=+=；（3）由（2）得231112232(,)22kxxkxGkk+++，3112122111122123222PGkxkxkxkkkxxkxkxk−+===−+−−+，PQPG⊥，即△PQG为直角三角形.【

点睛】本题考查椭圆定义求标准方程，考查直线与椭圆位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.