【文档说明】重庆市长寿中学校2021届高三下学期5月考前模拟数学试题含答案.docx，共(21)页，556.156 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市长寿中学高2021届5月考前模拟数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1.}16|{},62|{2==xZxBxxA，则=BA（）}4,3,2.{A}3,2.{B}2.{C}3{D（原创）2.角

终边上有一点)2,(mP，则"31cos"−=是"22"−=m的（）.A必要不充分条件.B充分不必要条件.C充要条件.D既不充分也不必要条件（原创）3.将4个“三好学生”名额分到三个班级，每个班上至少一个名额有（）不同分分

配方法.18.A4.B3.C12.D（原创）4.在ABC中，O是三角形的外心，过点B作AOBG⊥于点G，8=AB，则AGAO=（）16.A8.B24.C32.D（原创）5.甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%

，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（）.A50%%40.B%32.C%20.D（原创）6.近年来，很多学生因为手机的缘故其视力受到了很大的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势，某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取

一个样本进行调查，已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为7:6:5，现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则=n（）250.A300.B800.C900.D（原创）7.22221294yxxyyx+++的最大值为（）13.A13.B

225.C225.D（原创）8.黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割。女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁

塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美。已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段AB的黄金分割点，由此推断=144cos（）251.−A415.+−B451.−C851.−−D（原创

）二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，每个小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列运算法则正确的是（）bbAaalog32log.23=mnmnaaB=).(（原创）)10,0(lnlnlo

g.=aababbCa且),0(.++=NnmaaaaDnmnm、10.已知nS是}{na的前n项和，1111,2−−==nnaaa，则下列选项错误的是（）2.2021=aA1012.2021=SB1.23133=++nnnaaaC为周期

的周期数列是以3}.{naD（原创）11.双曲线14:22=−yxE，圆)2()2()(:222−=+−ttytxQ，双曲线QE与圆有且仅有一个公共点，则t取值可以是（）2.2.A4.2.B5.2.C7.2.D（原创）12.正方体1111DCBAABCD−的棱长为1，GFE、、分别是棱11

1DDCBAB、、的中点，下列结论正确的有（）（原创）433.的面积为三点所得正方体的截面过EFGAEFGBDB面//.65.的外接球的直径为三棱锥EFGCC−36EFG.1上的投影为在面CCD三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.6)2(−x的展开式中所有

的二项式系数之和为.（原创）14.BAsinsin=，则的关系是与BA.（原创）PA15.已知复数z满足)(11Rttzz++=−，则izz−−+−21的最小值为.（原创）16.某同学在篮球场打球时，无意间发现当球放在

地面上时，球的斜上方的一颗灯泡照过来的光线使得球在地面上留下了影子，这个影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但自己还是不太确定这个想法，于是他回到家里重新翻阅了教材对椭圆这一节知识进行学习和思考，当他读到教材中的阅读材料后瞬间明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确

定地面和球的接触点（切点）就是椭圆影子的焦点，如图，地平面上有一个球，其中求的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，椭圆的顶点中到A点的距

离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率（原创）四、解答题（本题共6个小题，共70分）17.（本题满分10分）如图四边形ABCD中，2==DCBDAB，2,3==BCAB，),0(ABCADC、.（1）求DB

，（2）求DAC面积的最大值从①为锐角且ABCSABC=233，②BCABBCABAC−+=222③7=−BCBA这三个条件中任选一个补充在上面的问题中并作答（原创）18.（本题满分12分）已知等比数列}{na的前

n项和为nS，且aSnn+=2（1）求na，（2）定义][x为取整数x的个位数，如3]143[,2]32[,1]1[===求][][][][100321aaaa++++的值（原创）19.（本题满分12分）如图正三棱

柱'''CBAABC−的所有棱长均为2，HGFE、、、分别是棱'''CBACABAA、、、的中点.（1）EFGCB面//''（2）求三棱锥EFGH−的体积（3）求二面角HFGE−−的余弦值（原创）20.（本

题满分12分）某贫困村有161个贫困户，帮扶单位为了帮助他们脱贫，提出了两种帮扶措施，通过帮扶单位的帮助种植中草药和通过帮扶单位介绍外出务工，已知选择种植中草药的有56户，选择外出务工的有105户，两年后，记录两种帮扶措施的收入情况，得到统计数据如表

所示．收入不高于10万元收入高于10万元合计种植中草药144256外出务工3570105合计49112161()1为了更好地落实精准帮扶政策，民政部门从161个贫困户中按照分层抽样的方式抽取容量为m的样本进行调研，为使数据更加精准，兼顾“种

植中草药或外出务工”“收入高于10万元或不高于10万元”进行分层，若抽取到“种植中草药且收入不高于10万元”的户数为4，求m．()2计算有没有90%以上的把握认为“两年收入是否高于10万元”与“种植中草药或外出务工”有关(结果精确到0.001)．()

3春节前，该村对口扶贫单位--某中医院为村民们送来年货，另外，还专门为种植中草药的村民准备了抽奖活动，已知抽奖箱中共有20张券，其中10张有奖，10张无奖，种植中草药的村民有放回地抽取4次，设X为某中草药种植户抽取到有奖奖券的次数，写出X的分布列，并求数学期望值()EX．附：()()()()

22()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．（改编）21.（本题满分12分）抛物线)0(2:2=ppxyE的焦点为F，过F的动直线l交E于),(),(2211yxByxA、两点，'l过点A且F关于'l

对称的点'F的坐标为),1(1y−.（1）求E的方程()20PKk0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010k0.4550.7081.3232.0722.706

3.8415.0246.6357.87910.828（2）过)0,2(G作直线1l交E于NM、两点，2l是E在M处的切线，QlNQ于2⊥且直线NQ与x轴的交点为T，求MNT面积的最小值.（原创）22.（本题满分12分）已知Ra，1tan)(2++−=xxaxxxf.（1）当

0=a时，求证：对任意)2,1(−x，0)(xf；（2）若0=x是函数)(xf的极大值点，求a的取值范围.（原创）2021届5月考前模拟数学试题一、单选题1.}16|{},62|{2==xZxBxxA，则=BA（B）}4,3,2.{A}3,2.{B

}2.{C}3{D2.角终边上有一点)2,(mP，则"31cos"−=是"22"−=m的（C）.A必要不充分条件.B充分不必要条件.C充要条件.D既不充分也不必要条件3.将4个“三好学生”名额分到三个班级，每个班上至少一个名额有（C）不同分分配方法.1

8.A4.B3.C36.D4.在ABC中，O是三角形的外心，过点B作AOBG⊥于点G，8=AB，则AGAO=（D）16.A8.B24.C32.D5.甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的

概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（C）.A50%%40.B%32.C%20.D6.近年来，很多学生因为手机的缘故其视力受到了很大的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势，

某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查，已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为7:6:5，现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则=n（D）250.A300.B800.C900.D7.22221

294yxxyyx+++的最大值为（B）13.A13.B225.C225.D8.黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，

满足黄金分割比值的分割称为黄金分割。女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美。已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段AB的黄金分割点，由此推断=144cos（

B）251.−A415.+−B451.−C851.−−D二、多选题9.下列运算法则正确的是（CD）bbAaalog32log.23=mnmnaaB=).()10,0(lnlnlog.=aababbCa且),0(.++=NnmaaaaDnmnm、1

2.已知nS是}{na的前n项和，1111,2−−==nnaaa，则下列选项错误的是（AC）2.2021=aA1012.2021=SB1.23133=++nnnaaaC为周期的周期数列是以3}.{naD13.双曲线14:22=−yxE，圆)2()2()(:

222−=+−ttytxQ，双曲线QE与圆有且仅有一个公共点，则t取值可以是（ABC）2.2.A4.2.B5.2.C7.2.D解析：设双曲线右支上的一点为),(yx，则2)(22−+−tytx对任意的),(yx恒成立即是tx2)2(45+对任意的2

x恒成立，即可得5.22t12.正方体1111DCBAABCD−的棱长为1，GFE、、分别是棱111DDCBAB、、的中点，下列结论正确的有（ABD）433.的面积为三点所得正方体的截面过EFGAEFGBDB面//

.PA65.的外接球的直径为三棱锥EFGCC−36EFG.1上的投影为在面CCD三、填空题17.6)2(−x的展开式中所有的二项式系数之和为64.18.BAsinsin=，则的关系是与BA)(22ZkkBAkBA+−=+=或.19.已知复数z满足)(11Rttz

z++=−，则izz−−+−21的最小值为2.20.某同学在篮球场打球时，无意间发现当球放在地面上时，球的斜上方的一颗灯泡照过来的光线使得球在地面上留下了影子，这个影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但自己还是不太确定这个想法，于是他回到家里重新翻阅了教材对椭圆

这一节知识进行学习和思考，当他读到教材中的阅读材料后瞬间明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和球的接触点（切点）就是椭圆影子的焦点，如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与地面的距离为3个单位长度，

灯泡垂直照射在平面的点为A，椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率13106+解：如图以A为原点建立直角坐标系，由题可知caNQ+=，caQR−=因此只需要求出RQN、、的横坐标即可，3,033:−==−+PRkyxPR，设)0,(),1,(nQnM，caQRn

rnd−=−=+===−+=31103210110313又设PRPN、：03=+−ykx，由034)1(1131222=++−=++−=nkknknkd132−=nkkPNPR211nkPN−=3332−=−=nkxPNN11033

2+=−−==+nnNQca，所以−=−+=+3110110caca求出ca、既可以求出离心率.四、解答题17.如图，在平面四边形ABCD中，2==DCBDAB，2,3==BCAB，),0(ABCADC、.（1）求DB，（2）求DAC面积的最大值从①

是锐角且ABCSABC=233，②BCABBCABAC−+=222③7=−BCBA这三个条件中任选一个补充在上面的问题中并作答解：选①，23sin233sin21===ABCABCBCABSABC3=ABCABC是锐角再由余弦定理可得7=AC

……………………2分选②212cos222222=−+=−+=BCABACBCABABCBCABBCABAC),0(ABC3=ABC再由余弦定理可得7=AC……………………2分选③21cos772

722===−+=−ABCACBCBABCBABCBA………………2分的外接圆直径是四边形ABCDBDDCBDAB==2………………3分的外接圆直径是ABCBD………………4

分3212327sin2===ABCACR………………5分（2）由（1）32,7==ADCAC，在DCADACDCADADCADC−+=2cos,222中DCADDCAD−=−+722……

…………6分3772722−−+=−DCADDCADDCADDCAD………………8分当且仅当321==DCAD时取等号………………10分20.已知等比数列}{na的前n项和为nS，且aSnn+=2（2）求na，（2）定义][x为取整数x的个位

数，如3]143[,2]32[,1]1[===求][][][][100321aaaa++++的值解：（1）=+=−==−−2,21,22,1,111nnaanssnsannnnn………………2分是等比数列}{na12211−==+−aa

………………4分+−=Nnann,21………………6分（3）4][,2][,6][,8][,4][,2][,1][7654321=======aaaaaaa不难发现这是一个从第二项起周期为4的数列………………8分842)6842(241100+++++++=S………………10分49

5842)6842(241100=+++++++=S………………12分21.如图正三棱柱'''CBAABC−的所有棱长均为2，HGFE、、、分别是棱'''CBACABAA、、、的中点.（1）EFGCB面//''（2）求三棱锥EFGH−的体积（3）求二面角HF

GE−−的余弦值，证明：（1）BCCBCBAABC//'''''−是三棱柱又FGBCGCAGFBAF//,==EFGCBEFGFGFGCB面面'',,//''EFGCB面//''………………………………3分（2）由（1）''EFBGEFGBEFGHVVV−

−−==…………………5分hSVEFBEFBG=−''31，的距离到平面是点''AABBGh，23=h…………………6分43231121212231'=−−=−EFBGV…………………7分（4）设二面角的HFGEBFGHAFGE−−−−−−

、、的平面角分别为、、则−−=，coscossinsin)cos()cos(cos−=+−=−−=…………………8分过点A作ERRFGAR连接于,⊥易证=ARE，可得73cos,72sin==类似的方

法可得194sin,193cos==………………10分133133513357319319472cos==−=………………11分所以二面角HFGE−−的余弦值为1331335………………12分20.某贫困村有161个贫困户，帮扶单位

为了帮助他们脱贫，提出了两种帮扶措施，通过帮扶单位的帮助种植中草药和通过帮扶单位介绍外出务工，已知选择种植中草药的有56户，选择外出务工的有105户，两年后，记录两种帮扶措施的收入情况，得到统计数据如表所示．收入不高于10万元收入高于10万元合计种植中草药144256外出务工3570105

合计49112161()1为了更好地落实精准帮扶政策，民政部门从161个贫困户中按照分层抽样的方式抽取容量为m的样本进行调研，为使数据更加精准，兼顾“种植中草药或外出务工”“收入高于10万元或不高于10万元”进行分层，若抽取到“种植中草药且收入不高于1

0万元”的户数为4，求m．()2计算有没有90%以上的把握认为“两年收入是否高于10万元”与“种植中草药或外出务工”有关(结果精确到0.001)．()3春节前，该村对口扶贫单位--某中医院为村民们送来年货，另外，还专门为种植中草

药的村民准备了抽奖活动，已知抽奖箱中共有20张券，其中10张有奖，10张无奖，种植中草药的村民有放回地抽取4次，设X为某中草药种植户抽取到有奖奖券的次数，写出X的分布列，并求数学期望值()EX．附：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．

()20PKk0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.00500k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.8791解：()1由题意可知：抽样共分4层.故414161m=，解得

46m=．………………2分()22161(70143542)21.1982.7064911210556K−=．故没有90%以上的把握认为“两年收入是否高于10万元”与“种植中草药或外出务工”有关．……………

…………………5分()3由题意可得：每人每次抽到有奖奖券的概率为12，可得：13,2XB～，X可能取值为0，1，2，3，4．………………6分161)21()0(4===xP，41)21()1(414===CxP，83)21()2(424===C

xP41)21()3(434===CxP，161)21()1(444===CxP可得分布列：X01234P161413841161…………11分2214)(==XE……………………12分21.抛物线)0(2:2

=ppxyE的焦点为F，过F的动直线l交E于),(),(2211yxByxA、两点，'l过点A且F关于'l对称的点'F的坐标为),1(1y−.（1）求E的方程（2）过)0,2(G作直线1l交E于NM、两点，2l是E在M处的切线，QlNQ于2⊥且直线NQ与x轴的

交点为T，求MNT面积的最小值.解：（1）由对称性知'AFAF=且'AF与直线1−=x垂直，所以1−=x是E的准线212=−=−ppxy42=即为所求E的方程.……………………4分（2）设),(),,(4433yxNyxM，由题意直线2l

的斜率存在，设为k则)(:332xxkyyl−=−3233204)(ykxyxxkyy===−=−23ykQT−=，…5分设点)0,(TxT，由NTQ、、三点共线，TTNQTxxykyk−−==−=443

0234342yyyxxT+=，……6分由题意，直线MN不与x轴重合，设22:33+=+=myxmyxMN343433434)(22yyyymyyyyxxT++=+=…………7分+==242myxxy0842=−−myy

的根为43yy、，所以8,44343−==+yymyy……8分088)(2334343=+−=++=ymmyyyymyxT)0,0(T…………9分2432164)(21243243+=−+=myyyyGTSMNT，…………

10分当0=m时取等号…………11分MNT面积的最小值为24…………12分22.已知Ra，1tan)(2++−=xxaxxxf.（3）当0=a时，求证：对任意)2,1(−x，0)(xf；（4）若0=x是函数)(xf的极大值点，求a的取值范围.解：（1）当0=a时

，11tan)(+−=xxxf，则222222')1(coscos)1()1(1cos1)(+−+=+−=xxxxxxxf22)1(cos)cos1)(cos1(+−+++=xxxxxx，当)2,1(−x时

，0cos1++xx，令xxxhcos1)(−+=，则0sin1)('+=xxh，所以)(xh在)2,1(−x上单调递增，又注意到0)0(=h，所以当)0,1(−x时，0)(,0)('xfxh，)(xf单调递减；

当)2,0(x时，0)(,0)('xfxh，)(xf单调递增，所以0)0()(=fxf，故对任意)2,1(−x，0)(xf.…………4分（2）22222222222')1()12()cos1()1(coscos)12()1()1(12cos1)(+++−+=+++−+=+++−

=xaxaxxxxxxaxaxxxaxaxxxf，令)12()cos1()(22++−+=axaxxxxg，0)0()()(=gxfxg的单调性有关，的正负与…………5分分]cossin)1(cos)[1(2)('3axxxxxxg−+++=…………6分令axxxxx−++=3cossin

)1(cos)(xxxxxx42cos2sin23sin)1(21)('++++=易知0)(']4,0[xx时，；当]0,41[−x时，xxxxxx4cos2sin23)2cos1)(1(1)('+−+++=

0cos14cos)1(25coscos)1(322cos2sin232cos)1(22)('4444+=+−++−++++−+=xxxxxxxxxxxxxxxx0)(',]4,41[−xx时，)(x在单调递增]4,41[−，a−=1)0(………………8分

当01)0(−=a时，即1a，）单增，在（40)(0)(',0)(),4,0(xgxgxx，由0)0(=g)4,0(0)(在xg上恒成立，)4,0(0)('在xf上恒成立，)4,0()(在xf上单调递增，这与题目不合，所

以1a不可取；…………10分当01)0(−=a时，即1a，恒为负在使得),41()(,00xxx−上成立在)0,41(0)('−xxg单调递减在)0,41()(−xg，注意0)0(=g，0)(,),0(

;0)()0,41(0−xgxxxgx时时0)(',),0(;0)(')0,41(0−xfxxxfx时时单调递减时单调递增时)(,),0(;)()0,41(0xfxxxfx−，处取得极大值在0)(=xxf，

1a即为所求范围………………12分