【文档说明】天津市南开区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(14)页，619.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7880711b2ca25492b55ebca22f67f441.html

以下为本文档部分文字说明：

2020-2021学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共9小题）.1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为（）A．40B．48C．50D．802．某校在“

创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图（如图）．已知从左至右4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（）（分数大于或等于80分为

优秀且分数为整数）A．18篇B．24篇C．25篇D．27篇3．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa24．设点A（﹣1，2），B（2，3），C（3，﹣1）

，且，则点D的坐标为（）A．（2，16）B．（﹣2，﹣16）C．（4，16）D．（2，0）5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l

2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面6．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝+λ，则λ＝（）A．B．C．D．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥ADB．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C

1与B1C成60°角8．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+i的模为（）A．B．C．D．9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分

的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）A．B．C．me＜m0D．me＝m010．如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC'处，使二面角B﹣AD﹣C'为60°，则折叠后二面角A﹣

BC'﹣D的正切值为（）A．B．C．2D．二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）．11．i是虚数单位，则的共轭复数是．12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩

是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．13．一个几何体是由一个圆锥和一个半球组成的（相关尺寸如图），则该几何体的体积为．14．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1，2，3，4，5，若从中

一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为．15．某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为米．三、解答题：本大题

共5个小题，该55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知复数z1＝﹣2+i，z1z2＝﹣5+5i（其中i为虚数单位）（1）求复数z2；（2）若复数z3＝（3﹣z2）[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]所对应的点在第四象限，求实数m的取值

范围．17．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°．（1）求的值；（2）若a+b＝ab，求△ABC的面积S△ABC．19．甲、乙二

人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次

比赛胜利的概率．20．在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形．已知CD＝EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求证：

平面ADF⊥平面BCE．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高

三抽取的人数应为（）A．40B．48C．50D．80解：各年级学生数的比例为400：300：500＝4：3：5，则从高三抽取的人数应为：＝50人故选：C．2．某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报

告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图（如图）．已知从左至右4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（）（分数大于或等于80分为优秀且分数为整数）A．18篇B．24篇C

．25篇D．27篇解：根据频率分布直方图，可得分数大于80分的频率为：1﹣（0.05+0.15+0.35）＝0.45，∴这次评比中被评为优秀的调查报告有60×0.45＝27．故选：D．3．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a

，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解：根据题意球的半径R满足（2R）2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2．故选：B．4．设点A（﹣1，2），B（2，3），C（3，﹣1），且，则点D的坐标为（）A．（2，16）B．（﹣

2，﹣16）C．（4，16）D．（2，0）解：∵，∴＝+2﹣3＝（﹣1，2）+2（3，1）﹣3（1，﹣4）＝（2，16），则点D的坐标为（2，16）．故选：A．5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的

是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，

A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，

但不共面，故D错．故选：B．6．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝+λ，则λ＝（）A．B．C．D．解：∵在△ABC中，已知D是边AB上的一点，，，而由题意可得＝＝＝，故有λ＝，故选：B．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是

（）A．A1C1⊥ADB．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角解：由题意画出如下图形：A．因为AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1＝45°，所以A错；B．因为D1C1

∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA＝60°，所以D正确．故选：D．

8．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+i的模为（）A．B．C．D．解：＝＝，若为纯虚数，则，解得a＝，则z＝（2a+1）+i＝z＝2+i，则复数z＝（2a+1）+i的模为，故选

：C．9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）A．B．C．me＜m0D．me＝m0解：中位数为第15，16个数（分别为5，6）的

平均数，即me＝5.5，5出现的次数最多，故众数为m0＝5，平均数为+≈5.97∴，故选：A．10．如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC'处，使二面角B﹣AD

﹣C'为60°，则折叠后二面角A﹣BC'﹣D的正切值为（）A．B．C．2D．解：因为BD⊥AD，C'D⊥AD，则∠BDC'即为二面角B﹣AD﹣C'的平面角，所以∠BDC'＝60°，则△BDC'为等边三角形，取BC'的中点M，连结DM，AM，因为AB＝AC'，BD＝DC

'，所以DM⊥BC'，AM⊥BC'，则二面角A﹣BC'﹣D的平面角为∠AMD，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝4，所以AD＝，在等边三角形法BDC'中，BD＝BC'＝C'D＝2，所以DM＝，则，故折叠后二面角A﹣BC'﹣D的正切值为2．故选

：C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．11．i是虚数单位，则的共轭复数是．解：i是虚数单位，则＝＝＝＝，∴的共轭复数是．故答案为：．12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次

考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是85分．解：甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是

81分，该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．故答案为：8513．一个几何体是由一个圆锥和一个半球组成的（相关尺寸如图），则该几何体的体积为．解：半球的半径为2，所以半球的体积为，圆锥的底面半径为2，高为12，所以圆锥的体积为，故

该几何体的体积为．故答案为：．14．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1，2，3，4，5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为．解：口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1，2，3，4，5，从中一次随机摸出两个球，基本事件总数n＝＝

10，摸出的两个球的编号之和大于6包含的基本事件有：（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共4个，∴摸出的两个球的编号之和大于6的概率为p＝＝．故答案为：．15．某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D处，测得塔顶A的仰角为30°

，则塔高为100米．解：由题意得，AB⊥平面BCO，∵BC、BD⊂平面BCO，∴AB⊥BC，AB⊥BD．设塔高AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝

30°，∴BD＝x，在△BCD中由余弦定理，得BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CDcos120°，∴3x2＝x2+10000+100x，解得x＝100或＝﹣50（舍去）．故塔高为100米．故答案为：100．三、解答题：本大题共5个小题，该55分．解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤．16．已知复数z1＝﹣2+i，z1z2＝﹣5+5i（其中i为虚数单位）（1）求复数z2；（2）若复数z3＝（3﹣z2）[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．解：（1）∵复数z1＝﹣2+i，z1z2＝﹣5+5i，∴＝；（2）z3＝（3﹣z2）[

（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]＝i[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]＝﹣（m﹣1）+（m2﹣2m﹣3）i，∵复数z3所对应的点在第四象限，∴，解得﹣1＜m＜1．∴实数m的取值范围是﹣1＜m＜1．17．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．解：（1）由可知存在实数t，使

，即，解得，故k＝时，可得；（2）由＝（）•（）＝0可得15+3k+（5k+9）＝0，代入数据可得15×4+27k+（5k+9）×＝0，解得k＝﹣，故当k＝﹣时，．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°．（1）求的值；（2）若a+

b＝ab，求△ABC的面积S△ABC．解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，即4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，又a+b＝ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4＝0，解得ab＝4或ab＝﹣1（舍去）所以．…1

9．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比

赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．解：记“第i局甲获胜”为事件Ai（i＝3，4，5），“第j局甲获胜”为事件Bi（j＝3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A＝A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结

果相互独立，故P（A）＝P（A3•A4+B3•B4）＝P（A3•A4）+P（B3•B4）＝P（A3）P（A4）+P（B3）P（B4）＝0.6×0.6+0.4×0.4＝0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲

获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而H＝A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）＝P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）＝P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5

）＝P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）＝0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6＝0.64820．在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示

的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形．已知CD＝EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求证：平面ADF⊥平面BCE．【解答】证明：（1）∵AB，CD，EF相互平行，四边形

ABEF是梯形．CD＝EF，∴四边形CDFE是平行四边形，∴DF∥CE，∵DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，∴DF∥平面BCE．（2）∵AD⊥平面ABEF，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥AD，∵BE⊥AF，AF∩AD＝A．∴BE⊥平面ADF，∵BE⊂平面BCE，∴平

面ADF⊥平面BCE．