【文档说明】三角函数与解三角形练习题——2023届高考数学一轮复习【高考】.docx，共(16)页，37.970 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

三角函数与解三角形解答题1.已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝2π3.(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度.①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC＝334.2.

在①3sinB＝cosB＋1，②2bsinA＝atanB，③(a－c)sinA＋csinC＝bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝2，b＝3，若________，求角B的值与△ABC的面积.(注：如果选

择多个条件分别解答，按第一个解答计分)3.在①cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0，②cos2B－3cos(A＋C)＝1，③bcosC＋33csinB＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若a＋c＝1，___

_____，求角B的大小和b的最小值.4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋b＝1且满足条件________.(1)求C；(2)求c的取值范围.请从下列两个条件：①S＝34(a2＋b

2－c2)；②3tanAtanB－tanA－tanB＝3中选一个条件补充到横线上并解决问题.5.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acosB)＝3b.(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC的面积的取值范围.6.已知△ABC的内角A，B，C的对

边分别为a，b，c.2a＋b＝2ccosB，c＝3.(1)求角C；(2)延长线段AC到点D，使CD＝CB，求△ABD周长的取值范围.7.在①ac＝3，②csinA＝3，③c＝3b这三个条件中任选一个，补充在

下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝3sinB，C＝π6，__________？注：如果选择多个条件分别解答

，按第一个解答计分.8.△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.9.已知函数f(x)＝sinxcosx＋π6＋cos2x.(1)求f(x)在0

，π4上的最值；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，fA2＝1，a＝23，△ABC的面积为3，求sinB＋sinC的值.10.在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2π3，b＝6.(1

)若cosAcosC＝23，求△ABC的面积；(2)试问1a＋1c＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不成立，请说明理由.11.现给出两个条件：①2c－3b＝2acosB，②(2b－3c)cosA＝3acosC.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△

ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，________.(1)求A；(2)若a＝3－1，求△ABC面积的最大值.12.在①ba＝cosB＋13sinA；②2bsinA＝atanB；③(a－

c)sinA＋csin(A＋B)＝bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________.(1)求角B；(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，

并求出此时△ABC的面积.答案;1.解:(1)由正弦定理bsinB＝csinC，得sinC＝csinBb，又c＝2bcosB，所以sinC＝2sinBcosB＝sin2B，又A，B，C为△ABC的内角，C＝2π3，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π，

即B＝π6，又A＋B＋C＝π，所以A＝π6(2)由(1)知，c＝3b，故不能选①选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故周长为(4＋23)x＝4＋23，解得x＝1.从而BC＝AC＝2，AB＝23设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cosB＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝

12＋1－AD243＝32，解得AD＝7.故BC边上的中线长为7选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故S△ABC＝12·2x·2x·sin120°＝3x2＝334，解得x＝32，从而BC＝AC＝3，AB＝3.设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cosB＝AB2＋

BD2－AD22·AB·BD＝9＋322－AD233＝32，解得AD＝212.故BC边上的中线长为212.2.解:若选①：由3sinB＝cosB＋1，可得sinB－π6＝12，因为B∈(0，π)，

所以B－π6＝π6，所以B＝π3，由正弦定理得sinA＝22，又因为a＜b，所以A＝π4.所以sinC＝sin5π12＝sinπ4＋π6＝sinπ4cosπ6＋cosπ4sinπ6＝6＋24，所以S△ABC＝12absinC＝3

＋34.若选②：由2bsinA＝atanB得2bsinAcosB＝asinB，结合正弦定理得cosB＝12，因为B∈(0，π)，所以B＝π3，以下解法与选①相同.若选③：由正弦定理，(a－c)sinA＋csinC＝bsin

B可化简为a2－ac＋c2＝b2，而cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，因为B∈(0，π)，所以B＝π3，以下解法与选①相同.3.解:选择条件①：由cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0，可得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即－cosAc

osB＋sinAsinB＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即sinAsinB－3sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－3cosB＝0，所以tanB＝3，因为B∈(0，π)，所以B＝π3.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac

＝(a＋c)2－3ac＝1－3ac，因为ac≤a＋c22＝14，当且仅当a＝c＝12时等号成立，所以b2＝1－3ac≥1－34＝14，所以b≥12，即b的最小值为12.选择条件②：cos2B－3cos(A＋C)＝1，

可得2cos2B－1＋3cosB＝1，即2cos2B＋3cosB－2＝0，解得cosB＝12或cosB＝－2(舍)，因为B∈(0，π)，所以B＝π3.下同①.选择条件③：bcosC＋33csinB＝a，由正弦定理可得sinBcosC＋33sinCsinB＝sinA＝si

n(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，即33sinCsinB＝cosBsinC，因为sinC≠0，所以33sinB＝cosB，即tanB＝3，因为B∈(0，π)，所以B＝π3.下同①.4.解:(1)补充①S＝34(a2＋b2－c2).由余弦定理可知2abcosC＝a2＋b2－c2，则

S＝34·2abcosC＝32·abcosC，又S＝12·absinC，故可得tanC＝3，所以C＝π3.补充②3tanAtanB－tanA－tanB＝3.由3tanAtanB－tanA－tanB＝3，可得tan(A＋B)＝－3，故

tanC＝3，所以C＝π3.(2)由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，又cosC＝12，a＋b＝1，∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab.又a＋b≥2ab，a＞0，b＞0，∴0＜ab≤12

，∴14≤1－3ab＜1，∴14≤c2＜1，∴12≤c＜1，∴c的取值范围为12，1.5.解:(1)由2(c－acosB)＝3b及正弦定理得2(sinC－sinAcosB)＝3sinB，所以2sin(A＋B)－2sinAcosB＝3sinB，即2cosAsinB＝3sinB，因为si

nB≠0，所以cosA＝32，又0＜A＜π，所以A＝π6.(2)因为a＝2，所以由正弦定理得b＝4sinB，c＝4sinC，所以S△ABC＝12bcsinA＝14bc＝4sinBsinC，因为C＝π－(A＋B)＝5π6－B，所以sinC＝sin5π6－B.所以S△ABC＝4sin

Bsin5π6－B＝4sinB12cosB＋32sinB＝2sinBcosB＋23sin2B＝sin2B－3cos2B＋3＝2sin2B－π3＋3.因为0＜B＜5π6，所以－π3＜2

B－π3＜4π3.所以－32＜sin2B－π3≤1，所以0＜S△ABC≤2＋3，即△ABC的面积的取值范围是(0，2＋3].6.解:(1)∵2a＋b＝2ccosB，∴根据余弦定理得2a＋b＝2c×a2＋c2－b22ac，整理得a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝a2＋b2－c2

2ab＝－12.∵C∈(0，π)，∴C＝2π3.(2)由题意得△BCD为等边三角形，∴△ABD的周长为2a＋b＋3.∵asinA＝bsinB＝csinC＝332＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，∴2a＋b＝4sinA＋2sinB＝4sinA＋2sinπ3－A＝

23sinA＋π6.∵A∈0，π3，∴A＋π6∈π6，π2，∴sinA＋π6∈12，1，∴2a＋b∈(3，23).∴△ABD周长的取值范围是(23，3

3).7.解:由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.选条件①.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由①ac＝3，解得a＝3，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.选条件②.由sinA＝3sin

B及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.由②csinA＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝23.选条件③.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32

，由此可得b＝c.由③c＝3b，与b＝c矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.8.解:(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①

②得cosA＝－12.因为0<A<π，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3

sinB＋3cosB＝3＋23sinB＋π3.又0<B<π3，所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.9.解:(1)f(x)＝sinx32cosx－12sinx＋cos2x＝32sinxcosx－12si

n2x＋cos2x＝34sin2x－1－cos2x4＋1＋cos2x2＝34sin2x＋34cos2x＋14＝32sin2x＋π3＋14.∵x∈0，π4，∴π3≤2x＋π3≤5π6，∴12≤si

n2x＋π3≤1，∴当x∈0，π4时，f(x)min＝3＋14，f(x)max＝23＋14.(2)fA2＝32sinA＋π3＋14＝1，则sinA＋π3＝32，∵A∈(0，

π)，∴A＋π3∈π3，4π3，∴A＝π3.∵S△ABC＝12bcsinA＝34bc＝3，∴bc＝4.又a＝23，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－128＝（b＋c）2－208＝12，∴(b＋c)2

＝24，∴b＋c＝26，又asinA＝bsinB＝csinC＝4，∴sinB＋sinC＝14(b＋c)＝62.10.解:(1)由B＝2π3，得A＋C＝π3，则cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，即12＝cosAcosC－si

nAsinC.又∵cosAcosC＝23，∴sinAsinC＝16，∵asinA＝csinC＝632＝22，∴a＝22sinA，c＝22sinC，∴S△ABC＝12acsinB＝12·22sinA·22sinCsinB＝4sinAsinBsinC＝4×16×32＝33.(2

)假设1a＋1c＝1成立，∴a＋c＝ac.由余弦定理得6＝a2＋c2－2accos2π3＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac，代入可得(ac)2－ac－6＝0，∴ac＝3或ac＝－2(舍)，此时a＋c＝ac＝3，不满足a＋c≥2ac，∴1a＋1c＝1不成立

.11.解:选择条件①：2c－3b＝2acosB，(1)∵由余弦定理可得2c－3b＝2acosB＝2a·a2＋c2－b22ac，∴整理可得c2＋b2－a2＝3bc，可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，∵A∈(0，π)，∴A＝π6.(2)∵a＝3－1，A＝π6，∴由余弦定理a

2＝b2＋c2－2bccosA，可得(3－1)2＝b2＋c2－2bc·32，∴4－23＝b2＋c2－3bc≥2bc－3bc，可得bc≤2，∴S△ABC＝12bcsinA≤12×2×12＝12，即△ABC面积的最大值为12.选择条件②：(2b－3c)cosA＝3acosC.(1)∵由题意可得

2bcosA＝3acosC＋3ccosA，∴2sinBcosA＝3(sinAcosC＋sinCcosA)＝3sin(A＋C)＝3sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝32，∵A∈(0，π)，∴A＝π6.(2)下同选择条件①.12.解:(1)选①，由正弦定理

得sinBsinA＝cosB＋13sinA，∵sinA≠0，∴3sinB－cosB＝1，即sinB－π6＝12，∵0＜B＜π，∴－π6＜B－π6＜5π6，∴B－π6＝π6，∴B＝π3.选②，∵2

bsinA＝atanB＝asinBcosB，∴由正弦定理可得2sinBsinA＝sinA·sinBcosB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosB＝12，∵B∈(0，π)，∴B＝π3.选③，∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin

C，由已知结合正弦定理可得，(a－c)a＋c2＝b2，∴a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac＝16－3

ac，即3ac＝16－b2，∴16－b2≤3a＋c22，解得b≥2，当且仅当a＝c＝2时取等号，∴bmin＝2，△ABC周长的最小值为6，此时△ABC的面积S＝12acsinB＝3.