【文档说明】专题1-9 数列性质的综合运用17类题型（原卷版）.docx，共(14)页，1.440 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-9数列性质的综合运用17类题型近2年考情考题示例考点分析关联考点2023年新2卷，第8题基本量的计算等差数列片段和相关计算2023新高考1卷，第7题等差数列前n项和性质的判断等差数列前n项和解析式特征2023年全国乙卷理数，15题等比数列基

本量计算构造方程组求等比数列首项和公比2023年全国甲卷理数，5题等比数列前n项和的基本量计算构造方程求基本量2023新高考1卷，第20题已知等差数列的和求公差等差中项与前n项和的计算知识点梳理模块一等差数列【题型1】等差中项与前n项和【题型2】等差数列

片段和【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算【题型5】等差数列奇偶项和相关运算【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值【题型7】等差数列性质判断与综合运用【题型8】等比数列及其前n项和的基本量计算模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算【题型10

】等比数列的基本性质【题型11】等比数列片段和【题型12】等比中项的运用【题型13】等比数列性质判断与综合运用【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值模块三其它综合问题【题型15】周期数列【题型16】数列中的最值问题【题型17】数列新定义问题知识点梳理一、基本

量计算方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公

式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用．二、等差数列重要性质若数列{an}是等差数列，公差是d，则等差数列{an}有如下性质：(1)当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；

当d＝0时，{an}是常数列．(2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)．(3)am－anm－n＝d(m，n∈N*且n≠m)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.

特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.三、求等差数列前n项和Sn最值的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用an≥0，an＋1≤0或an≤0，an＋1≥0来寻找．(2)运用二次函数的图象求最值．四、等差数列

奇偶项问题(1)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，S偶S奇＝an＋1an.(2)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，S偶S奇＝nn＋1.五、

等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列Snn也是等差数列，且公差为d2.(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S

3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.六、等比数列的性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq；若m＋n＝2k(m，n，k∈

N*)，则a2k＝am·an.(2)若数列{an}是等比数列，则{|an|}，{a2n}，1an仍为等比数列．七、等比数列的前n项和性质1.在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与

q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2.等比数列前n项和的常用性质：(1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.(2)

“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列．模块一等差数列【题型1】等差中项与前n项和1．在等差数列{}na中

，351024aaa++=，则此数列的前13项的和等于()A．13B．26C．8D．1622．已知公差不为0的等差数列{}na满足22225678aaaa+=+，则12S=0．3．两个等差数列{}na，{}nb的前n项和分别为nS和nT，已知723nnSnTn+=+，求55ab的值．

4．已知等差数列na和nb的前n项和分别为nS，nT，若234nnSnTn+=+，则39468aabbb+=++（）．A．13111B．2637C．26111D．13372023新高考1卷——基本量计算：利用等差中项简化计算5．设等差数列

na的公差为d，且1d．令2nnnnba+=，记,nnST分别为数列,nnab的前n项和．(1)若2133333,21aaaST=++=，求na的通项公式；(2)若nb为等差数列

，且999999ST−=，求d．【题型2】等差数列片段和2023新高考2卷T86．记nS为等比数列na的前n项和，若45S=−，6221SS=，则8S=（）．A．120B．85C．85−D．120−7．（2023·广东深圳二模）设等差数列na的前n项和为nS，若1020S=

，2010S=，则30S=（）A．0B．10−C．30−D．40−2024届·江苏连云港&、南通质量调研(一)8．设等差数列na的前n项和为nS，已知5kS=，2145ka+=−，12245kkkaaa++

+++=−，其中正整数2k，则该数列的首项1a为（）A．-5B．0C．3D．52020年全国Ⅱ卷（理）——等差数列片段和9．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9

块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【题型3】等差数列及其前n项和的

基本量计算10．已知等差数列{}na的前n项和为nS，440S=，210nS=，4130nS−=，则n等于()A．12B．14C．16D．1811．在等差数列{}na中，公差0d，1614aa+=，2540

aa=，则数列{}na的前9项之和等于．【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算12．已知等差数列na和等差数列nb的前n项和分别为nS和nT，且5633nnSnTn+=+，则使得nnab为整

数的正整数n的个数为（）A．6B．7C．8D．913．两等差数列{}na和{}nb前n项和分别为nS，nT，且723nnSnTn+=+，则2945aabb+=+．14．已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且

3393nnSnTn+=+，则使得nnab为整数的正整数n的值为.【题型5】等差数列奇偶项和相关运算15．在项数为21n+的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于10．16．已知等差数列{}na共有21n+项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则

n等于．31．已知等差数列{}na共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是4．【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值17．在等差数列{}na中，其前n项和是nS，若90S，100S，则在912129,,,

SSSaaa中最大的是A．11SaB．88SaC．55SaD．99Sa18．已知等差数列na的前n项和为nS，并且10110,0SS，若nkSS对Nn+恒成立，则正整数k的值为.19．若等

差数列na的前n项和为nS，且满足404340440,0SS，对任意正整数n，都有nmaa，则m的值为（）A．2020B．2021C．2022D．202320．（多选）已知等差数列na的前n项和为nS，公差0d，则下列

数列一定递增的是（）A．nSnB．nnaC．nanD．3nand+21．设{}na为等差数列，nS为数列{}na的前n项和，已知251aa+=，1575S=，nT为数列nSn的前n项和*()nN．（1）求nS；（2）求nT，及nT的最小值．【题型7】等

差数列性质判断与综合运用2023新高考1卷·T7——数列性质的判断22．记nS为数列na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：{}nSn为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要

条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件23．（雅礼中学月考）（多选）设nS是公差为d（0d）的无穷等差数列na的前n项和，则下列命题正确的是（）A．若0d，则1S是数列nS的最大项B．若数列nS有最小项，则0d

C．若数列nS是递减数列，则对任意的：*Nn，均有0nSD．若对任意的*Nn，均有0nS，则数列nS是递增数列24．（多选）已知等差数列na的前n项和为nS，公差0d，则下列数列一定递增的是（）A．nSn

B．nnaC．nanD．3nand+25．（多选）已知数列na的前n项和是nS，则下列说法正确的是（）A．若nnSa=，则na是等差数列B．若12a=，123nnaa+=+，则3n

a+是等比数列C．若na是等差数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等差数列D．若na是等比数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等比数列【题型8】等比数列及其前n项和的基本量计算26．已知nS是等比数列na的前n项和，31a=，3227Sa=，则5S=．27．

已知等比数列{an}的前n项和为nS，且133,12nnaSa++==，则实数的值为模块二等比数列【题型9】等比数列中基本量的计算2023乙卷(理)T15——基本量计算：解2元方程组28．已知na为等比数列，24536aaaaa=，9108a

a=−，则7a=.【答案】2−【分析】根据等比数列公式对24536aaaaa=化简得11aq=，联立9108aa=−求出52q=−，最后得55712aaqqq===−.【详解】设na的公比为()0qq，则3252456aqaaqaaaa==，

显然0na，则24aq=，即321aqq=，则11aq=，因为9108aa=−，则89118aqaq=−，则()()3315582qq==−=−，则52q=−，则55712aaqqq===−2023

年全国甲卷(理)——基本量计算：解一元三次方程29．设等比数列na的各项均为正数，前n项和nS，若11a=，5354SS=−，则4S=（）A．158B．658C．15D．402022·全国乙卷（理）——基本量计算30．已知等比数列na的前3项和为168，2542aa−=，则6a=（）

A．14B．12C．6D．3【题型10】等比数列的基本性质31．设nA，nB分别为等比数列na，nb的前n项和．若23nnnnAaBb+=+（a，b为常数），则74ab=（）A．12881B．12780C．3227D．272632．已知nS

是等比数列na的前n项和，且12nnSa+=+，则12231011aaaaaa+++=（）A．23283−B．13283−C．20213−D．25283−33．在等比数列na中，252,16aa==，则1123(1)nnaaaa+−+−+−=.34．（2020·江苏·统考

高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和221()nnSnnn+=−+−N，则d+q的值是．【题型11】等比数列片段和2020年全国Ⅰ卷（文）T1035．设{}na是等比数列，且12

31aaa++=，234+2aaa+=，则678aaa++=（）A．12B．24C．30D．3236．已知等比数列na的前n项和为nS．若4814SS=，则124SS=（）A．13B．16C．9D．12深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研37．（

多选）设数列na的前n项和为nS.记命题p：“数列na为等比数列”，命题q：“nS，2nnSS−，32nnSS−成等比数列”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件38．（多选）设数列na，

nb都是等比数列，则（）A．若nnnCab=，则数列nC也是等比数列B．若nnnadb=，则数列nd也是等比数列C．若na的前n项和为nS，则232,,nnnnnSSSSS−−也成等比数列D．在数列na中，每隔k项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列【题型12】等

比中项的运用39．已知正项数列na满足212987,2nnnaaaaaa++==+，则数列1naa的前n项和为.40．我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面3节的容积之积为3，

最下面3节的容积之积为243，则第5节的容积是.41．设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，则“2q=”是“1nSa+为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件42．已知正项数列na满足2

12nnnaaa++=，9872aaa=+，若存在m，*nN，使得912mn+=，则21mnaaa的最小值为．43．（多选）在正项等比数列na中，44a=，则（）A．358aa+B．3514aa+的最小值为1C．268211242aa−D．26aa+的

最大值为444．（多选）公比为q的等比数列na，其前n项和为nS，前n项积为nT，满足11a,202120221aa，20212022101aa−−.则下列结论正确的是（）A．01qB．202120231aaC．nS的最大值为2023SD．nT的最大值为20

21T【题型13】等比数列性质判断与综合运用45．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，首项为a，前n项和为Sn，则下列结论错误的是()A．若a＞0，则anSn＞0B．若q＞0，则anSn＞0C．若a＜0，则anSn＜0D．若q＜0，则anSn＜046．（多选）已知数列

na为等比数列，首项10a，公比()1,0q−，则下列叙述正确的是（）A．数列na的最大项为1aB．数列na的最小项为2aC．数列1nnaa+为递增数列D．数列212nnaa−+为

递增数列47．（多选）已知等比数列na的前n项和为nS，且214Sa=，2a是11a+与312a的等差中项，数列nb满足1nnnnabSS+=，数列nb的前n项和为nT，则下列命题正确的是（）A．数列na的通项公式1

23nna−=B．31nns=−C．数列nb的通项公式为()()1233131nnnnb+=−−D．nT的取值范围是11,8648．（多选）设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，且满足条件11a，202220231aa，()()202220231

10aa−−，则下列选项正确的是（）A．na为递减数列B．202220231SS+C．2022T是数列Tn中的最大项D．40451T49．（多选）设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，且满足条件11a，202020211aa，()()20

202021110aa−−，则下列选项错误的是（）A．1qB．202020211SS+C．2020T是数列nT中的最大项D．40411T【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值50．已知－2，a1，a2，－8成等差数列，－2，b1，b2，b3，－8成等比数

列，则a2－a1b2＝________.51．有四个实数，前3个数成等比数列，且它们的积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．52．已知na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列.若数列nnab+的前n项和()2*221nnS

nnnN=−+−，则dq+的值为.模块三其它综合问题【题型15】周期数列53．（重庆·西南大学附中校联考）在首项为1的数列na中，满足132nnnaaa+−−=+，则520a=（）A．52−B．43−C．0D．154．（重庆巴蜀中学校考）已知数列n

a满足1122nnnaaa++−=，且13a=，则2023a=（）A．3B．12C．-2D．4355．（2023·哈师大附中校考期中）在数列na中，若11a=，22a=，21nnnaaa++=−，则2

024a=（）A．1−B．2−C．2D．156．已知数列na满足13a=，22a=，当2n时，11nnnaaa+−+=，则数列na的前2023项的和为（）A．0B．1C．3D．457．数列{}na

满足112,0,2121,1,2nnnnnaaaaa+=−若125a=，则2024a等于（）A．15B．25C．35D．4558．数列na满足12a=，111nnnaaa++=−

，其前n项积为nT，则10T等于（）A．16B．16−C．6D．6−【题型16】数列中的最值问题59．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（）A．10B．

15C．20D．2560．（2023秋·重庆巴蜀中学校考）已知等差数列{}na的前n项和为nS，对任意的*nN，均有5nSS成立，则86aa的值的取值范围是（）A．()3,+B．)3,+C．(

)),33,−−+D．(),33,−−+61．已知各项为正的数列na的前n项和为nS，满足21nnaS=−，则通项公式na=；且2163nnSa++的最小值为.62．正项等比数列na满足：7652aaa=+，若存在两项ma、pa，使

得2116mpaaa=，则19mp+的最小值为（）A．32B．83C．114D．145【题型17】数列新定义问题2021新高考2卷T1263．（多选）设正整数010112222kkkknaaaa−−=++++，其中0,1i

a，记()01knaaa=+++．则（）A．()()2nn=B．()()231nn+=+C．()()8543nn+=+D．()21nn−=64．有一个非常有趣的数列1n叫做

调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，1111ln23nn+++++，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，0.57721566490

1…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知ln20.693，ln102.303．用上式估算出的ln5与实际的ln5的误差绝对值近似为（）A．0.003

B．0.096C．0.121D．0.21665．对于一个给定的数列na，把它的连续两项1na+与na的差1nnaa+−记为nb，得到一个新数列nb，把数列nb称为原数列na的一阶差数列.若数列nb为原数列na的

一阶差数列，数列nc为原数列nb的一阶差数列，则称数列nc为原数列na的二阶差数列.已知数列na的二阶差数列是等比数列，且12342,3,6,13aaaa====，则数列na的通项公式na=.66．数列{}na中，1log(2)(N)nnann+=+

，定义：使12kaaa为整数的数k(N)k叫做期盼数，则区间[1,2023]内的所有期盼数的和等于（）A．2023B．2024C．2025D．202667．（多选）若数列na满足：对,*ijN，若ij，则ijaa，称数列na为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列

na是“鲤鱼跃龙门数列”的有（）A．241nann=−+B．12nnan+=+C．sinπnan=D．ln1nnan=+68．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:1,1,2,3,5,8,,该数列从第三项起,

每一项都等于前两项的和,即递推关系式为*21,Nnnnaaan++=+,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列na的通项公式为151522nnnaAB+−=+,其中AB

，的值可由1a和2a得到,比如兔子数列中121,1aa==代入解得11,55AB==−.利用以上信息计算()551.(2x+=表示不超过x的最大整数)（）A．10B．11C．12D．1369．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基

础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间120,,,133

分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第n次操作去掉的区

间长度为na，数列nb满足：2nnbna=，则数列nb中的取值最大的项为（）