【文档说明】《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第19讲 等差数列、等比数列的综合问题（原卷版）.docx，共(9)页，612.392 KB，由管理员店铺上传

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第19讲等差数列、等比数列的综合问题方法总结：1.等差数列性质与等比数列性质：等差数列na等比数列nb递推公式()1nnaadnN+−=()1nnbqnNb+=通项公式()11naand=+−1nnbbq=等

差（比）中项122nnnaaa++=+212nnnbbb++=mnpq+=+mnpqaaaa+=+mnpqbbbb=等间隔抽项仍构成等差数列仍构成等比数列相邻k项和232,,nnnnnSSSSS−−成等差数列232,,nnnnnSS

SSS−−成等比数列2.如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1nnaad+−=（等差），1nnaqa+=（等比）（2）通项公式：naknm=+（等差），()0nnakqq=

（等比）（3）前n项和：2nSAnBn=+（等差），nnSkqk=−（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项3.如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利

用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即nN，均有：122nnnaaa++=+（等差）212nnnaaa++=（等比）典型例题：例1．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项数列na的前n项和为nS，且na和nS满足：()()24

11,2,3nnSan=+=．（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求nb的前n项和nT；（3）在（2）的条件下，对任意*nN，23nmT都成立，求整数m的最大值．例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}na各

项均为正数，其前n项和2*1(23)()4nnnSaanN=+−，数列{}nb是公差为正数的等差数列，且213115,,,bbbb=成等比数列（1）求数列{},{}nnab的通项公式;（2）令1,(21)nnncab=−求数列{}nc的前n项和.nT例3．（2022·

全国·高三专题练习）已知数列na满足()1102nnaanN++−=，且2a，32a+，4a成等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若()2lognnbanN+=，求数列nnba的前n项和nT

.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，1434nnnaab+−=+，1434nnnbba+−=−.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的

通项公式.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列na的前n项和为nS，对任意()()11*,22nnnnnNaaaa++−=+且312S=.（1）证明：数列na为等差数列，并求数列na的通

项公式；（2）若11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和为nT.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足111,31nnaaa+==+.(1)证明12na+是等比数列，并求na

的通项公式；(2)证明：121113...2naaa+++.过关练习：1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（）A．978B．557C．467D．9792．（2022

·全国·高三专题练习）已知正项等差数列na和正项等比数列nb}，111ab==，3b是2a，6a的等差中项，8a是3b，5b的等比中项，则下列关系成立的是（）A．100100abB．102411ab=C．105abD．999ab

3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列na满足3a、432a、52a成等差数列.其前n项和为nS，且531S=，则（）A．412−=nnaB．32nna−=C．51322nnS−=−D．4216

nnS−=−4．（2022·全国·高三专题练习）设数列na满足13a=，26a=，()2*129nnnaana+++=N，（）A．存在*nN，naQB．存在0p，使得1nnapa+−是等差数列C．存在*nN，5na=D

．存在0p，使得1nnapa+−是等比数列5．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列na中，2a，8a，12a依次成等比数列，则4a的值是（）A．1619B．2219C．26−D．586．（2022

·全国·高三专题练习）已知数列na是公差不为零的等差数列，nb是正项等比数列，若11ab=，77ab=，则（）A．44ab=B．55abC．88abD．99ab7．（2022·安徽六安·一模（理））已知na为等比数列，且2312aaa=，4a与

72a的等差中项为54，则5a=（）A．1B．2C．31D．128．（2022·全国·高三专题练习）数列na，nb满足112ab==，112nnnnbaab++−==，*nN，则数列nab的前n项和为（）A．()1441

3n−−B．()4413n−C．()11413n−−D．()1413n−9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na，nb中满足()1231nnaan++=，110a=，1nnba=−，若nb前

n项之和为nS，则满足不等式16170nS−的最小整数n是（）.A．8B．9C．11D．1010．（2022·全国·高三专题练习）对于无穷数列{}na，给出下列命题：①若数列{}na既是等差数列，又是等比数列，则数列{}na是常数列．②若等差数列{}na满足||2021na，则

数列{}na是常数列．③若等比数列{}na满足||2021na，则数列{}na是常数列．④若各项为正数的等比数列{}na满足12021na，则数列{}na是常数列．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．411．（202

2·全国·高三专题练习）已知1a，2a，3a，……，na是各项不为零的()4nn项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则n的值为（）A．4B．6C．7D．无法

确定12．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（）A．8B．﹣8C．±8D．98二、多选题13．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，若221(2,,nnaapnn

Np−−=为常数），则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（）A．若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列B．若{an}是等方差数列，则{an2}是等方差数列C．{（﹣1）n}是等方差数列D．若{an}是等方差数列，

则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下

来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n项记为na，数列na的前n项和为nS，则（）A．6016a=B．18128S=C．2122kkka−+=D．2221kkkSk+=−−15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，且满足1114240,

1nnnnaaaaa++++−−==，则下列结论正确的是（）A．若11,2==，则{}na是等差数列B．若11,2==，则数列1nS的前n项和为1nn+C．若12,2==，则1na+是等比数列D

．若12,2==，则122nnSn+=−−三、双空题16．（2022·浙江·高三学业考试）设等差数列na的公差为非零常数d，且12a=，若124,,aaa成等比数列，则公差d=___________，na=___________.四、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不

为0的等差数列na的部分项1ka，2ka，3ka，……构成等比数列na，且11k=，22k=，35k=，则nk=___________.18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na是首项14a=的等比数列，且14a，5a，32a−成等差数列，则其公比q等于__

______．19．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列na中公比()01q，，若352654aaaa+==，，2lognnba=，记数列nb的前n项和为nS，则1212nSSSn+++L的最大值为_______20．（2022·浙江·高三专

题练习）na为公差不为0的等差数列，且123,,,nkkkkaaaa恰为等比数列，其中1233,5,9kkk===，则nk为_______．21．（2022·上海·高三专题练习）已知数列na满足：11a=，()*112,,,nnnaaaaanN+−，记数列na的前

n项和为nS，若对所有满足条件的列数na，10S的最大值为M，最小值为m，则Mm+=________.五、解答题22．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列2na−是公比为12的等比数列，②nSn是公差为1的等差数列，③21nnSa=−，

在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列na的前n项和为nS，11a=，对任意的*nN，都有___________.已知数列nb满足32nnb=，

是否存在*kN，使得对任意的*nN，都有nknkaabb？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．（2022·浙江·高三专题练习）已知na是

等差数列，11a=，410a=，且1a，()kakN，6a是等比数列nb的前3项.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）数列nc是由数列na的项删去数列nb的项后仍按照原来的顺序构成

的新数列，求数列nc的前20项的和.24．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列na的前n项和为3,9nSS=，若1231,1,3aaa+++构成等比数列.（1）求数列na的通项公式.（2）设数列11nnaa+的前n项和为

nT，求证:13nT25．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列na和等比数列nb满足14a=，12b=，2221ab=−，332ab=+.（1）求na和nb的通项公式；（2）数列na和nb中的

所有项分别构成集合A，B，将AB的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列nc，求数列nc的前60项和60S.26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等比数列na，前n项和为nS，若2125,2,l

ogaloga成等差数列，37S=，数列nb满足，11b=，数列11nnnbba++−的前n项和为232nn+（1）求na的公比q的值；（2）求nb的通项公式.27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()yfx=的定义域为R，数列na满

足21aa，1()nnafa−=，*11()()()(2,)nnnnfakfatakannN−−+=+(实数kt、是非零常数).（1）若1k=−，且数列na是等差数列，求实数t的值；（2）若210aka+，数列nb满足*1()nnnbakanN+=+，求通项公式nb；

（3）若11kt=−，，数列na是等比数列，且1(0,R)aaaa=，21aa，试证明：()fata=.28．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列na的前四项和为10，且237,,aaa成等比数列（1）求数列n

a通项公式（2）设2nnnba=+，求数列nb的前n项和nS29．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列na满足25a=，且4a、51a+、71a+成等比数列，数列nb满足113ab=，11nnbb+−=．（1）求数列nb的通项公式；（2）设1nn

nnacbb+=，求数列nc的前n项和nS．30．（2022·浙江·高三专题练习）已知na是各项均为正数的等比数列，1a=1，且3a，23a，4a成等差数列．（1）求na的通项公式；（2）设2lognnnba

a=+，求数列nb的前n项和．