【文档说明】数学人教A版必修第一册 4.3对数 4.3.2对数的运算 教案含答案【高考】.doc，共(7)页，98.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7752ba5a12e8e8a37a27acefb3cfcdf7.html

以下为本文档部分文字说明：

14.3.2对数的运算课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．教学重点：对数的运算性质、换底公式．教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.教学过程基础知识知识点一对数运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，(

1)loga(MN)＝□01logaM＋logaN；(2)logaMN＝□02logaM－logaN；(3)logaMn＝□03nlogaM(n∈R)．思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(

MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．知识点二换底公式(1)对数的换底公式：□01logab＝logcblogca(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)

．(2)三个较为常用的推论①□02logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；②□03logab＝1logba(a>0，b>0，且均不为1)；③logambn＝□04nmlo

gab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．基础自测1．若0a，1a，0x，0y，xy，下列式子中正确的个数是()①loglo(oggl)aaaxyxy+=＋；②logloog(gl)aaaxyxy=−−；2③logloglogaaaxxyy=；④log

loglogaaaxxyy=.A．0B．1C．2D．3[解析]由对数运算法则知，均不正确．故选A．2．66log2log3＋等于()A．1B．2C．5D．6[解析]6666log2log3log(23)log61+=

==.3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：235log5log2log9=_____.[解析]原式lg5lg2lg9lg5lg22lg32lg2lg3lg5lg2lg3lg5==.4.求下列各式的值

：(1)23log(279)；(2)lg5＋lg2；(3)ln3＋ln13；(4)log35－log315.[解析](1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；方法二：log3(27×92)＝log

3(33×34)＝log337＝7log33＝7.(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.(3)ln3＋ln13＝ln(3×13)＝ln1＝0.(4)log35－log315＝log3515＝log313＝log33－1＝－1.题型探究题

型一对数运算性质的应用例1用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(xy)；(3)loga3xyz2.[解析](1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝

logax＋2logay.(2)loga(xy)＝logax＋logay＝logax＋12logay.(3)loga3xyz2＝13logaxyz2＝13[logax－loga(yz2)]3＝13(log

ax－logay－2logaz)．[归纳提升]对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【对点练习】❶用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2

)logaxyz.[解析](1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.(2)logaxyz＝logax－loga(yz)＝logax12－(logay＋logaz)题型二利用对数运算性

质化简、求值例2化简下列各式：(1)log2(23×45)；(2)lg3＋2lg2－1lg1.2；(3)lg14－2lg73＋lg7－lg18；(4)log28＋43＋log28－43；(5)log2(1＋2＋3)＋log2(1＋2－3)．[分析]熟练

掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析](1)log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋

5log24＝3＋5×2＝13.(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.(3)方法一：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋l

g7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.方法二：lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg184(4)log28＋43＋log28－43＝log2[(8＋43)(8－43)]＝log264－48＝log24＝2.(5)log2(1＋2＋3)＋l

og2(1＋2－3)＝log2[(1＋2)2－(3)2]＝log2(3＋22－3)＝log222＝log2232＝32.＝lg14×7(73)2×18＝lg1＝0.[归纳提升]利用对数运算性质化简与求值的原则(1)正用或逆用公式，对真数进行处理．(2)选哪种策略化简

，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．【对点练习】❷计算下列各式的值：(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log327＋lg25－lg4；(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50.[解析](1)原式＝32325log3lg4+＝32＋lg11

0＝32＋lg10－1＝32－1＝12.(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝l

g5＋lg2＝lg10＝1.题型三换底公式的应用例3(1)计算log2125·log318·log519；(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．[分析](1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等

式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．5[解析](1)原式＝lg125lg2·lg18lg3·lg19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得

lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8＝lgmlg3＝12，∴lgm＝12lg3，即lgm＝lg312，∴m＝3.[归纳提升]关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，

这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝1logba；logaan＝n，logambn＝nmlogab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【对点练习】❸计算下列各式的值：(1)log

89·log2732；(2)log927；(3)log21125·log3132·log513.[解析](1)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg

2·5lg23lg3＝109.(2)log927＝log327log39＝log333log332＝3log332log33＝32.(3)log21125·log3132·log513＝log25－3·log32－5·log53－1＝－3log25·(

－5log32)·(－log53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.误区警示忽视真数大于零致误例4解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.[错解]原方程变形为log2(x＋1)－12log2(x＋4)＝1，6∴log2(x＋1)

－log2x＋4＝1，∴log2x＋1x＋4＝log22，∴x＋1x＋4＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，故原方程的解为x＝－3或x＝5.[错因分析]解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义

．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解]∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4(x＋1)2x＋4＝1，∴x＋1>0，x＋4>0，(x＋1)2x＋4＝4，解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴

方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.[方法点拨]在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．学科素养转化与化归思想

的应用与综合分析解决问题的能力例5(1)设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值；(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.[分析](1)欲求2x＋1y的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到

x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、

7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝mnlogab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．[解析](1)由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝lo

g336，y＝log436，7由换底公式得：x＝log3636log363＝1log363，y＝log3636log364＝1log364，∴1x＝log363，1y＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log3

6(32×4)＝log3636＝1.(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log1256＝232log2aab++＝3＋aba＋

2.解法二：因为log23＝a，所以log32＝1a.又3b＝7，所以log37＝b.从而log1256＝log356log312＝log37＋log38log33＋log34＝log37＋3log321＋2log32＝b＋3·1a1＋2·1a＝ab＋3a＋2.[归纳提升]

1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征

，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．