【文档说明】河南省金科·新未来2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(15)页，1.017 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前金科·新未来2023年秋季学期高二年级10月质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2

．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案+的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试

结束后，请将试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足213izz−=+，则iz=（）A．1i−+B．1i−C．1i+D．1i

−−2．经过点()1,3，倾斜角为120的直线方程为（）A．3230xy+−=B．30xy−=C．340xy+−=D．320xy−+=3．已知()()()1,2,1,0,1,2,3,1,1ABC，若平面ABC的一

个法向量为(),,1nxy=，则n=（）A．12,,133−B．12,,133−C．12,,133D．122,,1334．若直线1:20lxay+−=与()22:2120lxay++−=平行，则两直线之间的距离为（）A．2B．1C．22D．25．

已知向量()()2,1,4,4,2,abt=−=−，设甲：“52t−”；乙：“向量,ab的夹角为锐角”，则（）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件6．已知圆锥PO（P为圆锥的顶点，O

为圆锥底面的圆心）的轴截面是等边三角形，,,ABC为底面圆周上的三点，且AB为底面圆的直径，D为PC的中点．若三棱锥DABC−的外接球的表面积为4，则圆锥PO的外接球的表面积为（）A．163B．323C．16D．6437．设ABC△的内角,,ABC的对边分别为,

,abc，若2c=，且cos0baC+=，则ABC△的面积的最大值为（）A．4B．2C．1D．128．如图，在四面体ABCD中，222,3ACABCDBCAD=====，若132BD=，则二面角BACD−−的大小为（）A．30B．45C．120D．150二、

多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正三棱柱111ABCABC−的所有棱长均为2，则（）A．正三棱柱111ABCABC−的体积为233B．正三棱柱111ABCABC−的侧

面积为1223+C．直线1AC与平面ABC所成的角为45D．直线1AA到平面11BCCB的距离为310．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”

，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（）A．()23PA=B．()118PB=C．()1318PAB+=D．事件A与B相互独立11．已知圆22:(2)(2)4Mxy−+−=与直线:220lkxyk+−−=相交于

,CD两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．直线l过定点1,22TB．若CDOM⊥，则MCD的面积为3238C．CD的最小值为22D．MCD△的面积的最大值为212．在平行六面体1111ABCDABCD−中，1111,60ABAD

AAAABAAD=====，90DAB=，若1AQmABnADpAA=++，其中(,,0,1mnp，则下列结论正确的有（）A．若12p=，则三棱锥QABD−的体积为定值B．若mn=，则QCBD⊥C．若mn=，则1

BD与平面QAC所成的角的正弦值为33D．当1mn+=时，线段QC的长度的最小值为64三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()()()0,2,3,0,,1ABCmm−三点共线，则m=_____________．14．一组样本数据为1,,4,5,,8ab，若,a

b是方程31x−=的两根，则这个样本的方差是_____________．15．已知圆台1OO的体积为73，且其上、下底面半径分别为1，2，若AB为下底面圆周的一条直径，P为上底面圆周上的一个动点，则22PAPB+=____

_________．16．设O为坐标原点，()3,4A，若2228:(0)3Mxyrr++=上存在点P，使得2PAPO=，则r的取值范围是_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）在平面直角

坐标系xOy中，已知()()()1,1,3,1,1,7ABC−−．（1）求AB边上的高所在的直线方程；（2）若点P在直线BC上，且PAPB=，求点P到直线AB的距离．18．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCDA

BCD−中，12,,AAEF=分别为1,AACD的中点．（1）求异面直线EF与1BD的夹角的余弦值；（2）求点A到平面1EFB的距离．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥平面,ABCDABP△为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，ABCD∥，且224ABCDAD

===．（1）在棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由；（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，圆222:()(3)3Exkykk−+−=，直线:3lx

yk+=，其中0k．（1）当1k=时，过点O作圆E的两条切线，切点分别为,AB，求直线AB的方程；（2）若直线l与圆E相交于,CD两点，求CED．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，

平面PAB⊥底面ABCD，侧棱PC与底面所成的角为60．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若平面PBD⊥平面PAC，求二面角BPCD−−的正弦值．22．（本小题满分12分）设O为坐标原点，已知22:(1)4Mxy−+=与直线1:(0)ly

kxk=相交于,AB两点．（1）若2OABO=，求k的值；（2）过点O的直线2l与1l相互垂直，直线2l与圆M相交于,CD两点，求四边形ABCD的面积的最大值．金科·新未来2023年秋季学期高二年级10月质量检测·数学参考答案、提示及

评分细则题号123456789101112答案BACCBADCCDACABDAB一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】设()i,zabab=+RR，则izab=−，所以23i13izabz−=

+=+，所以1i1,1iiizab+====−，故选B．2．【答案】A【解析】直线斜率为tan1203=−，所以该直线方程为()331yx−=−−，即3230xy+−=，故选A．3．【答案】C【解析()()1,1,1

,2,1,0ABAC=−−=−，所以0,0nABnAC==，即10,20xyxy−−+=−=，解得12,33xy==，所以12,,133n=，故选C．4．【答案】C【解析】依题意，221aa=+，解得1a=，所以两直线

分别为20,10xyxy+−=+−=，所以两直线之间的距离为21222−=，故选C．5．【答案】B【解析】由向量,ab夹角为锐角，则8240abt=++，解得52t−，当ab∥时，21442t−==−，得8t=，所以t的取值范围为()5,88,2−+，所以甲是乙的必要不

充分条件，故选B．6．【答案】A【解析】因为圆锥PO的轴截面是等边三角形，设底面半径为R，则圆锥的高为3R，且ODOAOBOCR====，从而244R=，所以1R=，且圆锥的外接球的半径为2232sin603RR

=，其表面积为2216433=．故选A．7．【答案】D【解析】由余弦定理，222cos2abcCab+−=，得22202abcbaab+−+=，整理可得22234abc+==，又由22222224421sin1cos1babbbC

Caaaa−−−=−=−===，有21212ABCbSaba−==△()22222111122bbbbbb+−−=−=（当且仅当22b=时取“=”），故选D．8．【答案】C【解析】作BM垂直AC于,MDN垂直AC于N，则3,12BMDNMN===

，所以BDBMMNND=++，设二面角BACD−−的大小为，则22222||()222BDBMMNNDBMMNNDBMNDBMMNNDMN=++=+++++=()333312cos4422

+++−，有1cos2=−，解得120=，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】CD【解析】正三棱柱111ABCABC−的体积为2322234=，A选

项错误；正三棱柱111ABCABC−的侧面积为32212=，B选项错误；1AC与平面ABC所成角即为145CAC=，C选项正确；过A作AD垂直BC于D，则AD为1AA与平面11BCCB之间的距离，3AD=，D选项正确，故选CD．10．【答案】

AC【解析】第二次取出球为3,4,5,6，所以()4263PA==，A选项正确；()()()()4,1,3,2,2,3,1,4B=，所以()41669PB==，B选项错误；()()2,3,1,4AB=，所以()216618PAB==，所以()()

()()PABPAPBPAB+=+−=21113391818+−=，C选项正确；因为()()(),DPABPAPB选项错误，故选AC．11．【答案】ABD【解析】直线():2120lkxy−+−=，所以直线l过定点1,22，A选项正确；易知道1QM

k=，若直线CDOM⊥，则21k−=−，此时直线5:0,2lxyM+−=到l的距离3322,411dMCD==+△的面积为213232428dd−=，B选项正确；由A知直线l过定点1,22，所以302d，所以当32d=时，CD取得最小值为7，C选项错误

；MCD△面积为222214244222dddddd−+−=−=，当且仅当2d=时，等号成立，D选项正确．故选ABD．12．【答案】AB【解析】若12p=，则点Q到平面ABD的距离为定值，所以三棱锥QABD−的体积为定值，A选项正确；若mn=，则()()()1

11CQAQACAQABADmABnADpAA=−=−+=−+−+，且()(),110DBABADCQDBmn=−=−−−=，所以QCBD⊥，B选项正确；若mn=，由B可知QCBD⊥，且ACBD⊥，所以BD为平面QAC的一个法向量，且()()22111

1112,,3,3BDBDADABAAADABBDAAADABBD==−=+−=+−==，又因为()1BDBDADAB=−．()12AAADAB+−=，所以11126,323BDBDBDBDBD==与平面QAC所成角的正弦值为63，C选项错误；()()()()

222222221||11(1)(1)11CQmABnADpAAmnppmpnmnp=−+−+=−+−++−+−=++22()11111224244mnpp+−+−−−=，当且仅当12mnp===时等号成立，所以QC长度的最小值为12，D选项错误．故选AB．三、填空题

：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】3−【解析】直线AB的方程为132xy+=，代人1132mm−+=，解得3m=−．14．【答案】5【解析】31x−=，解得2x=或4，不妨设2,4ab==，则样本平均数是4，根据方差公式得2222222(14)(24)(44)(

44)(54)(84)56s−+−+−+−+−+−==．15．【答案】12【解析】设圆台1OO的高为h，则()227121433h++=，解得1h=，不妨设()()2,0,0,2,0,0AB−，则()cos,sin,1P，所以22222

2(cos2)sin1(cos2)sin112PAPB+=++++−++=．16．【答案】5,53【解析】设点(),Pxy，由2PAPO=，可知2222(3)(4)2xyxy−+−=+，整理可得点P的轨迹方程为222410:(1)33Nxy+++=

，即M与N存在交点，易知圆心距为53，因此10510333rr−+，解得5,53r．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．【答案】（1）80xy−+=（2）23【解析】（1）直线()()11:1113AByx−−

−=−−，即20xy+−=，直线AB的斜率为1−2以边AB上的高所在直线的斜率为1，所以边AB上的高所在的直线方程为71yx−=+，整理得80xy−+=；（2）直线()()71:1313BCyx−−+=−−−，即250xy+−=，AB

的中点为()2,0，所以AB的垂直平分线所在的直线方程为20xy−−=，因为P为AB垂直平分线与直线BC的交点，所以250,20,xyxy+−=−−=解得71,33P，所以P到直线AB的距离为712233311+−

=+．18．【答案】（1）23（2）42929【解析】由11111,,DADCDD两两垂直，以正交基底11111,,DADCDD建系如图，()()110,0,0,2,0,0DA，()()()()()()()112,2,0,0,2,0,2,0,2,2,2,2,0,2,

2,2,0,1,0,1,2BCABCEF，()()112,0,1,0,1,2DEDF==，所以()112,1,1EFDFDE=−=−，又()12,2,2BD=−−，设异面直线EF与1BD的夹角为，则1142cos3236BDEFBDEF=

==，即异面直线EF与1BD夹角的余弦值为23；（2）设平面1EFB的法向量为(),,nxyz=，由()()10,2,1,2,1,1BEEF=−=−，得10,0,BEnEFn==即20,20,yzxyz−+=−++=取()3,2,4n=，又()0,

0,1AE=−，则点A到平面1EFB的距离44292929AEndn===．19．【答案】（1）存在，当F为PB中点时，CF∥平面PAD（2）1510【解析】（1）如图，分别取,PAPB中点,EF，连接,,EF

DECF，则1,2EFABEFAB=∥，因为1,2CDABCDAB=∥，所以,CDEFCDEF=∥，四边形CDEF为平行四边形，所以CFDE∥，又因为DE平面,PADCF平面PAD，所以CF∥平面PAD，即当F为

PB中点时，CF∥平面PAD；（2）取AB的中点,OCD的中点M，连接,OMOP，因为PAPB=，所以OPAB⊥，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面,,ABCDABOPABOP=⊥平面PAB，所以OP⊥平面ABCD，又因为OM平面ABCD，所以OPOM⊥，如图

，以O为原点，,,OPOBOM方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，可求得梯形ABCD的高为242432−−=，可得()()()()()()23,0,0,0,2,0,0,1,3,0,2,0,0,1,3,23,1,3P

ADBCPC−−=−，所以()()0,1,3,23,2,0ADAP==，设(),,nxyz=为平面PAD的法向量，则由0,0,nADnAP==得30,2320,yzxy+=+=令3y=−，则1,1xz==，即()1

,3,1n=−，设PC与平面PAD所成角为，有23,4,5PCnPCn=−==，则2315sincos,1045PCnPCnPCn====，所以PC与平面PAD所成角的正弦值为1510．20．【答案】（1）

310xy+−=（2）60【解析】（1）当1k=时，圆22:(1)(3)3Exy−+−=，以OE为直径的圆的方程为()()130xxyy−+−=，两圆方程相减，则直线:310ABxy+−=；（2）点E到直线l的距离为33

213kkd==+，设M为CD中点，即32kEM=，所以332cos23kEMCEMECk===，可得30CEM=，所以60CED=．21．【答案】（1）略（2）437【解析】（1）证明：在正

方形ABCD中，ADAB⊥．因为平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB平面,,ABCDABAD=平面ABCD所以AD⊥平面PAB．而AD平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD；（2）设AC与BD交于点O，则平面PAC平面PBDPO=，作AH垂直PO于H，

则AH⊥平面PBD，所以AHBD⊥，又ACBD⊥，且AHACA=，所以BD⊥平面PAC，因为PA平面PAC，所以BDPA⊥，由（1）可知，,ADPAADBDD⊥=，所以AP⊥底面ABCD，故PC和底面ABCD所成的角等于PCA，故3PAAC=．

以A为原点，AB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz−．设,0ABaa=．则()()()()0,0,6,,0,0,,,0,0,,0PaBaCaaDa．设平面PBC和平面PCD的法向量分别为()()12,,,,,nxyznpqr==．()()()(),0,6,0,

,0,0,,6,,0,0PBaaBCaPDaaDCa=−==−=，由110,0,nPBnBC==即60,0,axazay−==取6x=，得()16,0,1n=；由220,0,n

PDnDC==即60,0,aqarap−==，取6q=，得()20,6,1n=．由12121,7nnnn===，有121cos,7nn=，设二面角BPCD−−的大小为，则2212143sin1cos,177

nn=−=−=．所以二面角BPCD−−的正弦值为437．22．【答案】（1）153（2）7【解析】（1）不妨设()()1122,,,AxkxBxkx，且12xx，由2OABO=，可知122xx=−，联立1:lykx=与22:(1)4Mxy−+

=，可得()221230kxx+−−=，则12122223,11xxxxkk−+==++，()()212212121241222231xxxxxxxxk++=−=−=−−−+，因为0k，解得153k=；（2）由（1）可知，()2222121

21222431141kABkxxkxxxxk+=+−=++−=+，同理可得，22221243243111kkCDkk++==++，设四边形ACBD的面积为S，则()()22242221112243431212251221211kkkkk

kSABCDkkkk++++++====+++，设12tkk=+，则2221121121221274tStt+==++=（当且仅当1k=时取“=”），所以四边形ACBD的面积的最大值为7

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