【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测:2.3空间直角坐标系【高考】.docx,共(12)页,308.653 KB,由管理员店铺上传
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§3空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式填一填1.空间直角坐标系的特征①三条轴两两相交;②三条轴两两垂直;③有相同的单位长度.2.空间直角坐标系中点的坐标
空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.3.空间两点间的距离公式空间两点A(x1,y1,z
1),B(x2,y2,z2)间的距离|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.判一判1.空间直角坐标系中,y轴上的点的坐标满足z=0,x=0.(√)2.空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的.(√)3.长方体的对角线长
度都相等.(√)4.空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点.(×)5.将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换,结果会改变.(×)6.空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式.(√)7.关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保
持不变,横坐标相反.(√)8.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是(2,1,1).(√)想一想1.在空间直角坐标系中求空间一点P的坐标的步骤是什么?提示:2.求空间两点间距离的关键及方法是什么?提示:关键:求空
间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.(2)方法:确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的
知识确定.3.求空间对称点的方法是什么?提示:空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.4.两点
间距离公式在几何中的两个应用是什么?提示:(1)求立体几何中线段长度问题①建系:将立体图形放在空间直角坐标系中.②定坐标:在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐标.③定距离:利用空间两点间距离公式确定所求线段的长.(2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长.②结合三边长及三角形有关知
识判断三角形的形状.思考感悟:练一练1.点Q(0,0,3)的位置是()A.在x轴上B.在y轴上C.在z轴上D.在面xOy上答案:C2.点A(-3,1,5),点B(4,3,1)的中点坐标是()A.
72,1,-2B.12,2,3C.(-12,3,5)D.13,43,2答案:B3.已知点A(-1,2,7),则点A关于x轴对称的点的坐标为()A.(-1,-2,-7)B.(-1,-2,
7)C.(1,-2,-7)D.(1,2,-7)答案:A4.已知点A(2,3,5),B(-2,1,3),则|AB|等于()A.6B.26C.2D.22答案:B5.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线长为6,且底面是边长为4的正
方形,则该长方体的高为()A.9B.92C.4D.2答案:D知识点一空间中点的坐标及其位置1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是()A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0)解析:点B1到三个坐标平面的距离都为1,易知其坐标为
(1,1,1),故选C.答案:C2.如图所示,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的等边三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°,G是棱PB的中点,请建立适当的空间直角坐标系,求出点P,A,B,C,D,G
的坐标.解析:如图所示,过点P作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连接PE.因为AD⊥PB,PO⊥AD,PO∩PB=P,所以AD⊥平面POB,所以AD⊥OB.因为PA=PD,所以OA=OD.于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.所以以垂足O为原点,以OB,OP及在底面ABCD内过O且垂
直于OB的直线分别为y轴、z轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意可得∠PEB=120°,∠PEO=180°-120°=60°.又等边三角形PAD的边长等于2,所以AE=ED=1,PE=3.所以在Rt△POE中,OE=PE·cos6
0°=32,PO=PE·sin60°=32.又底面ABCD为菱形,所以AD=BC=AB=CD=2.所以在Rt△AEB中,BE=AB2-AE2=3,所以OB=OE+BE=332.所以所求坐标分别为P0,0,32,A1,32,0,B0,332,0,C-2,33
2,0,D-1,32,0.又因为G是棱PB的中点,所以由中点坐标公式可得G0,334,34.知识点二空间中点的对称问题3.在空间直角坐标系中,若P(3,-2,1),则P点关于坐标平面xOz的对称点坐标为()A.(-3,-2,
-1)B.(3,2,1)C.(-3,2,-1)D.(3,-2,-1)解析:设所求的点为Q(x,y,z),因为点Q(x,y,z)与点P(3,-2,1)关于平面xOz对称,所以P,Q两点的横坐标和竖坐标相等,而纵坐标互为相反数,即x=3
,y=2,z=1,得Q点坐标为(3,2,1),故选B.答案:B4.点P(1,3,5)关于坐标原点对称的点P′的坐标是()A.(-1,-3,-5)B.(1,-3,5)C.(-1,-3,5)D.(-1,3,5)解析:把点P(1,3,5)
的横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数即可,故点P′的坐标为(-1,-3,-5).答案:A知识点三空间两点间的距离5.已知空间中两点A(1,2,3),B(4,2,a),且|AB|=10,则a的值为()A.2B.4C.0D.2或4解析:由空间两点间的距
离公式得|AB|=(4-1)2+(2-2)2+(a-3)2=10,即9+a2-6a+9=10,所以a2-6a+8=0,所以a=2或a=4.故选D.答案:D6.在空间直角坐标系中,给定点M(2,-1,3),若点A与点M关于xOy平面对称,点B与点M
关于x轴对称,则|AB|等于()A.2B.4C.25D.37解析:由题可知,A(2,-1,-3),B(2,1,-3),所以|AB|=(2-2)2+(1+1)2+(-3+3)2=2.故选A.答案:A7.已知A(x,5-x,2x-1),B(1
,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为()A.19B.-87C.87D.1914解析:|AB|=(x-1)2+(3-2x)2+(3x-3)2=14x2-32x+19,∴当x=--322×14=87时,|AB|最小.答案:C知识点四距离公式的综合应用8.在空间直角
坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.解析:(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得32+y2+
12=12+y2+32,显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是说,y轴上所有点都满足|MA|=|MB|.(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.由(1)可知,对y轴上任一点都有|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形
.因为|MA|=(3-0)2+(0-y)2+(1-0)2=10+y2,|AB|=(1-3)2+(0-0)2+(-3-1)2=20,于是10+y2=20,解得y=±10,故在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,点M的坐标为(0,10,0)或(0,-10,
0).综合知识空间直角坐标系9.点A(1,2,-1),点C与点A关于平面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为()A.25B.4C.22D.27解析:点A关于平面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于
x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),故|BC|=(1-1)2+(2+2)2+(1-1)2=4.答案:B10.已知ABCD为平行四边形,且A(1,2,3),B(2,-5,1),C(-3,2,-1),求D点坐标.解析:设
D(x,y,z),A、C的中点坐标(-1,2,1)∴x+22=-1y-52=2z+12=1∴x=-4y=9z=1∴D点坐标为(-4,9,1)基础达标一、选择题1.若A(1,3,-2),B(-2,3,2),则A,B两点间的距离为()A.61B.2
5C.5D.57解析:|AB|=(1+2)2+(3-3)2+(-2-2)2=5.答案:C2.空间直角坐标系O-xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q,则点Q的坐标为()A.(1,2,0)B.(0,0
,3)C.(1,0,3)D.(0,2,3)解析:因为空间直角坐标系O-xyz中,在xOy平面内的点的竖坐标是0,所以点Q的坐标为(1,2,0).答案:A3.在空间直角坐标系中,点M(-5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为()A.(-5,-3,-1)
B.(5,3,-1)C.(5,-3,1)D.(5,-3,-1)解析:关于x轴的对称点的坐标中,横坐标不变,其余坐标变为相反数,故点M关于x轴的对称点的坐标为(-5,-3,-1).答案:A4.点B是点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点,则A,B两点间的距离为()A
.10B.10C.38D.38解析:由于A,B关于xOy平面对称,则A,B的横、纵坐标相等,竖坐标互为相反数,故点B的坐标为(2,-3,-5),所以|AB|=(2-2)2+(-3+3)2+(5+5)2=10.答案:A5
.已知A点坐标为(1,1,1),B(3,3,3),点P在x轴上,且|PA|=|PB|,则P点坐标为()A.(6,0,0)B.(6,0,1)C.(0,0,6)D.(0,6,0)解析:设P(x,0,0),|PA|=(x-1)
2+1+1,|PB|=(x-3)2+9+9,由|PA|=|PB|得x=6,故选A.答案:A6.在空间直角坐标系中,已知三点A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1),则三角形ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C
.等腰直角三角形D.等边三角形解析:由题|AB|=(1-1)2+(0-1)2+(0-1)2=2,|AC|=(0-1)2+(1-0)2+(1-0)2=3,|BC|=(0-1)2+(1-1)2+(1-1)2=1,所以AC2=AB2+BC2,所以三角形ABC是直角三角形.答案:A7.已知点A(
1,2,2),B(1,-3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A,B的距离相等,则点C的坐标可以为()A.(0,1,-1)B.(0,-1,6)C.(0,1,-6)D.(0,1,6)解析:由题意设点C的坐标为(0,y,z),所以1+(y-2)2+(z
-2)2=1+(y+3)2+(z-1)2,即(y-2)2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2.经检验知,只有选项C满足.答案:C二、填空题8.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是________
________________________________________________________________.解析:设点P与点Q的中点坐标为(x,y,z),则x=1+32=2,y=4-22=1,z=-3+52=1.所以中点坐标是(2,1,1).答案:(2,1,1)9.已知P
32,52,z到直线AB中点的距离为3,其中A(3,5,-7),B(-2,4,3),则z=________.解析:AB中点C12,92,-2,|PC|=3.而32-122+52-922+[z-(-2)]2=3,解为z=0,或z=-4
.答案:0或-410.已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为________.解析:设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为点P,则P为AC,BD的中点.由A(4,1,3),C(3
,7,-5),得点P的坐标为72,4,-1.又点B(2,-5,1),所以点D的坐标为(5,13,-3).答案:(5,13,-3)11.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′点,则M′点关于原点的对称点的坐标是________.解析:点
M(-2,4,-3)在平面xOz上的射影M′(-2,0,-3),M′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).答案:(2,0,3)12.三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0
,0,3),则三棱锥P-ABC的体积为________.解析:由A,B,C,P四点的坐标,知△ABC为直角三角形,AB⊥AC,PA⊥底面ABC.由空间两点间的距离公式,得|AB|=1,|AC|=2,|PA|=3,所以三
棱锥P-ABC的体积V=13Sh=13×12×1×2×3=1.答案:1三、解答题13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,求B1E的长.解析:如图,以点D为原点,以DA,DC,DD
1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.则D(0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0),设点E的坐标为(x,y,0),在坐标平面xOy内,直线AC的方程为x2+y4=1,即2x+y-4=0,又DE⊥AC,直线DE
的方程为x-2y=0.由2x+y-4=0,x-2y=0得x=85,y=45,∴E85,45,0.∴|B1E|=85-22+45-42+(0-2)2=6105,即B1E的长为6105.14.已知
正方形ABCD,ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若|CM|=|BN|=a(0<a<2).(1)求|MN|的长;(2)当a为何值时,|MN|的长最小.解析:∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,∴BE⊥平面
ABCD,∴AB,BC,BE两两垂直.过点M作MG⊥AB,MH⊥BC,垂足分别为G,H,连接NG,易证NG⊥AB.∵|CM|=|BN|=a,∴|CH|=|MH|=|BG|=|GN|=22a,∴以B为原点,以BA,BE,BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz
,则M22a,0,1-22a,N22a,22a,0.(1)|MN|=22a-22a2+0-22a2+1-22a-02=a2-2a+1=a-222+12.(2)由(1)得,当
a=22时,|MN|最短,最短为22,这时M,N恰好为AC,BF的中点.能力提升15.已知三点A(-1,1,2),B(1,2,-1),C(a,0,3),是否存在实数a,使A、B、C共线?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解析:AB=(-1-1)2+(1-2)2+(2+1)2=
14,AC=(-1-a)2+(1-0)2+(2-3)2=(a+1)2+2,BC=(1-a)2+(2-0)2+(-1-3)2=(a-1)2+20,因为BC>AB,所以,若A,B,C三点共线,有BC=AC+AB或AC=BC+AB,若BC=AC+AB,整理得:5a2+18a+19
=0,此方程无解;若AC=BC+AB,整理得:5a2+18a+19=0,此方程也无解.所以不存在实数a,使A、B、C共线.16.如图,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.(1)当2|DQ|=|QC|时,求|P
Q|;(2)当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值;(3)当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时,探究|PQ|的最小值.解析:设正方体的棱长为a.(1)当点P为对角线AB的中点时,点P
的坐标是a2,a2,a2.由2|DQ|=|QC|,易知|QC|=23a,故Q0,a,23a从而|PQ|=a2-02+(a-a2)2+a2-23a2=196a.(2)∵点Q在线段CD上,设
Q(0,a,z)∴|PQ|=-a22+a-a22+z-a22=z-a22+12a2.当z=a2时,|PQ|的最小值为22a.即点Q在棱CD的中点时,|PQ|有最小值22a.(3)如图
,当Q为CD的中点时,Q0,a,a2,设P的坐标为(x,x,z),则由三角形相似可得za=2a-2x2a,则z=a-x.∴|PQ|2=x2+(x-a)2+a2-x2=3x2-3ax+54a2=3x-a22+a22.当x=a2时,|PQ
|有最小值为22a,此时Pa2,a2,a2为AB的中点.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com