【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：2.3空间直角坐标系【高考】.docx，共(12)页，308.653 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

§3空间直角坐标系3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标3．3空间两点间的距离公式填一填1.空间直角坐标系的特征①三条轴两两相交；②三条轴两两垂直；③有相同的单位长度.2．空间直角坐标系中点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，

z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．3．空间两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1

)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.判一判1.空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标满足z＝0，x＝0.(√)2．空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(√)3．长方体的对角线长

度都相等．(√)4．空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(×)5．将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(×)6．空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式．(√)7．关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反

．(√)8．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是(2,1,1)．(√)想一想1.在空间直角坐标系中求空间一点P的坐标的步骤是什么？提示：2．求空间两点间距离的关键及方法是什么？提示：关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应

用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．3．求空间对称点的方

法是什么？提示：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．4．两点间距离公式在几何中的两个应用是什么？提示：(1)求立体几何中线段长度问题①建系：将立体图形

放在空间直角坐标系中．②定坐标：在空间直角坐标系中，根据条件确定有关的点的坐标．③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长．(2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长．②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状．思考感悟：练一练1.点Q(0,0,3)的位置是()A．在x轴上

B．在y轴上C．在z轴上D．在面xOy上答案：C2．点A(－3,1,5)，点B(4,3,1)的中点坐标是()A.72，1，－2B.12，2，3C．(－12,3,5)D.13，43，2答案：B3．已知点A(－1,2,7)

，则点A关于x轴对称的点的坐标为()A．(－1，－2，－7)B．(－1，－2,7)C．(1，－2，－7)D．(1,2，－7)答案：A4．已知点A(2,3,5)，B(－2,1,3)，则|AB|等于()A.6B．2

6C.2D．22答案：B5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为()A．9B.92C．4D．2答案：D知识点一空间中点的坐标及其位置1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()

A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)解析：点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.答案：C2.如图所示，已知四棱锥P－ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的等边三角形，

底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°，G是棱PB的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点P，A，B，C，D，G的坐标．解析：如图所示，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连接PE.

因为AD⊥PB，PO⊥AD，PO∩PB＝P，所以AD⊥平面POB，所以AD⊥OB.因为PA＝PD，所以OA＝OD.于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.所以以垂足O为原点，以OB，OP及在底面ABCD内过O且垂直

于OB的直线分别为y轴、z轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题意可得∠PEB＝120°，∠PEO＝180°－120°＝60°.又等边三角形PAD的边长等于2，所以AE＝ED＝1，PE＝3.所以在Rt△POE中，OE

＝PE·cos60°＝32，PO＝PE·sin60°＝32.又底面ABCD为菱形，所以AD＝BC＝AB＝CD＝2.所以在Rt△AEB中，BE＝AB2－AE2＝3，所以OB＝OE＋BE＝332.所以所求坐标分别为P0，0，32，A1，32，0

，B0，332，0，C－2，332，0，D－1，32，0.又因为G是棱PB的中点，所以由中点坐标公式可得G0，334，34.知识点二空间中点的对称问题3.在空间直角坐标系中，若P(3，－2,1)，则P点关

于坐标平面xOz的对称点坐标为()A．(－3，－2，－1)B．(3,2,1)C．(－3,2，－1)D．(3，－2，－1)解析：设所求的点为Q(x，y，z)，因为点Q(x，y，z)与点P(3，－2,1)关于平面xOz对称，所以P，Q两点的横坐标和

竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x＝3，y＝2，z＝1，得Q点坐标为(3,2,1)，故选B.答案：B4．点P(1,3,5)关于坐标原点对称的点P′的坐标是()A．(－1，－3，－5)B．(1，－3,5)C．(－1，－3,5)D．(－1,3,5)解析：把点P(1,3,5)的横坐标、纵坐标、竖

坐标均变为原来的相反数即可，故点P′的坐标为(－1，－3，－5)．答案：A知识点三空间两点间的距离5.已知空间中两点A(1,2,3)，B(4,2，a)，且|AB|＝10，则a的值为()A．2B．4C．0D．2或4解析：由空间

两点间的距离公式得|AB|＝(4－1)2＋(2－2)2＋(a－3)2＝10，即9＋a2－6a＋9＝10，所以a2－6a＋8＝0，所以a＝2或a＝4.故选D.答案：D6．在空间直角坐标系中，给定点M(2，－1,3)，若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|等于()A

．2B．4C．25D．37解析：由题可知，A(2，－1，－3)，B(2,1，－3)，所以|AB|＝(2－2)2＋(1＋1)2＋(－3＋3)2＝2.故选A.答案：A7．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为()A

．19B．－87C.87D.1914解析：|AB|＝(x－1)2＋(3－2x)2＋(3x－3)2＝14x2－32x＋19，∴当x＝－－322×14＝87时，|AB|最小．答案：C知识点四距离公式的综合应用8.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)．

(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．解析：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|，设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y

∈R恒成立．这就是说，y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，对y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝(3－

0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，于是10＋y2＝20，解得y＝±10，故在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).综合

知识空间直角坐标系9.点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为()A．25B．4C．22D．27解析：点A关于平面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，

－2,1)，故|BC|＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.答案：B10．已知ABCD为平行四边形，且A(1,2,3)，B(2，－5,1)，C(－3,2，－1)，求D点坐标．解析：设D(x，y，z)，A、C

的中点坐标(－1,2,1)∴x＋22＝－1y－52＝2z＋12＝1∴x＝－4y＝9z＝1∴D点坐标为(－4,9,1)基础达标一、选择题1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为()A.61B．25C．5D.57解析：|AB|＝(1＋2)2＋(3－3)

2＋(－2－2)2＝5.答案：C2．空间直角坐标系O－xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为()A．(1,2,0)B．(0,0,3)C．(1,0,3)D．(0,2,3)解析：因

为空间直角坐标系O－xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．答案：A3．在空间直角坐标系中，点M(－5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为()A．(－5，－3，－1)B．(5,3，－1)C．(5，－3,1)D．(5，－3

，－1)解析：关于x轴的对称点的坐标中，横坐标不变，其余坐标变为相反数，故点M关于x轴的对称点的坐标为(－5，－3，－1)．答案：A4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点间的距离为()

A．10B.10C.38D．38解析：由于A，B关于xOy平面对称，则A，B的横、纵坐标相等，竖坐标互为相反数，故点B的坐标为(2，－3，－5)，所以|AB|＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.答案：A5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴

上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为()A．(6,0,0)B．(6,0,1)C．(0,0,6)D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝(x－1)2＋1＋1，|PB|＝(x－3)2＋9＋9，由|PA|＝|PB|得x＝6，故选A.答案：A6．在空间直角坐标系

中，已知三点A(1,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，则三角形ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：由题|AB|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2，|AC|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(1－

0)2＝3，|BC|＝(0－1)2＋(1－1)2＋(1－1)2＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以三角形ABC是直角三角形．答案：A7．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为()A．(0,1，－1)B．(

0，－1,6)C．(0,1，－6)D．(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0，y，z)，所以1＋(y－2)2＋(z－2)2＝1＋(y＋3)2＋(z－1)2，即(y－2)2＋(z－2)2＝(y＋3)2＋(z－1)2.经检

验知，只有选项C满足．答案：C二、填空题8．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是________________________________________________________

________________．解析：设点P与点Q的中点坐标为(x，y，z)，则x＝1＋32＝2，y＝4－22＝1，z＝－3＋52＝1.所以中点坐标是(2,1,1)．答案：(2,1,1)9．已知P32，52，z到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5

，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.解析：AB中点C12，92，－2，|PC|＝3.而32－122＋52－922＋[z－(－2)]2＝3，解为z＝0，或z＝－4.答案：0或－410．已知平行四边形ABCD中，

A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3，7，－5)，则点D的坐标为________．解析：设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为点P，则P为AC，BD的中点．由A(4,1,3)，C(3,7，－5)，得点P的坐标为72，4，－1.又点B(2，－5,1)

，所以点D的坐标为(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)11．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′点关于原点的对称点的坐标是________．解析：点M(－2,4，－3)在平面xOz上的射影M′(－2

,0，－3)，M′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)12．三棱锥P－ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥P－ABC的体积为________．解析：由A，B，C，P四点

的坐标，知△ABC为直角三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由空间两点间的距离公式，得|AB|＝1，|AC|＝2，|PA|＝3，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13Sh＝13×12×1×2×3＝1.答案：1三、解答题13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D

1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求B1E的长．解析：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz.则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，

C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)，在坐标平面xOy内，直线AC的方程为x2＋y4＝1，即2x＋y－4＝0，又DE⊥AC，直线DE的方程为x－2y＝0.由2x＋y－4＝0，x－2y＝0得x＝85，y＝45，∴E85，

45，0.∴|B1E|＝85－22＋45－42＋(0－2)2＝6105，即B1E的长为6105.14．已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0<a<2)．(1)求|

MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小．解析：∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB，BC，BE两两垂直．过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G，H，连接

NG，易证NG⊥AB.∵|CM|＝|BN|＝a，∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝22a，∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则M22a，0，1－22a，N

22a，22a，0.(1)|MN|＝22a－22a2＋0－22a2＋1－22a－02＝a2－2a＋1＝a－222＋12.(2)由(1)得，当a＝22时，|MN|最短，最短为22，这时M，N恰好为AC，BF的中点.能力提升15.

已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析：AB＝(－1－1)2＋(1－2)2＋(2＋1)2＝14，AC＝(－1－a)2＋(1－0)2＋(2－

3)2＝(a＋1)2＋2，BC＝(1－a)2＋(2－0)2＋(－1－3)2＝(a－1)2＋20，因为BC>AB，所以，若A，B，C三点共线，有BC＝AC＋AB或AC＝BC＋AB，若BC＝AC＋AB，整理得：5a2＋18a＋1

9＝0，此方程无解；若AC＝BC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程也无解．所以不存在实数a，使A、B、C共线．16.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB

上，点Q在正方体的棱CD上．(1)当2|DQ|＝|QC|时，求|PQ|；(2)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；(3)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探

究|PQ|的最小值．解析：设正方体的棱长为a.(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是a2，a2，a2.由2|DQ|＝|QC|，易知|QC|＝23a，故Q0，a，23a从而|PQ|＝

a2－02＋(a－a2)2＋a2－23a2＝196a.(2)∵点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)∴|PQ|＝－a22＋a－a22＋z－a22＝z－a22＋12a2.当z＝a2时，|

PQ|的最小值为22a.即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值22a.(3)如图，当Q为CD的中点时，Q0，a，a2，设P的坐标为(x，x，z)，则由三角形相似可得za＝2a－2x2a，则z＝a－x.∴|PQ|2＝x2＋(x－a)2＋

a2－x2＝3x2－3ax＋54a2＝3x－a22＋a22.当x＝a2时，|PQ|有最小值为22a，此时Pa2，a2，a2为AB的中点．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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