【文档说明】【精准解析】河北省唐山一中2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷.doc，共(19)页，1.575 MB，由小赞的店铺上传

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唐山一中2019-2020学年度第一学期期中考试高三年级文科数学试卷卷Ⅰ（选择题共60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）1.已知全集U=R，集合91Axx=和44,BxxxZ=−关系的Venn图如图所示，则阴影部

分所表示集合中的元素共有（）A.3个B.4个C.5个D.无穷多个【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A，再化简B，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】因为91(0,9)Axx==，44,3,2,1,0,1,2,3BxxxZ=−

=−−−，所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}UCAB=−−−,元素共有4个，故选B【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知数列na满足11a=，1nnarar+=+，(*nN，rR，0r)，则“1r=

”是“数列na为等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.【详解】当1r=时，111nnnnara

raa++=+=+，所以数列na为公差为1的等差数列，即充分性成立；21123,12,2nnararaararr+=+===+，所以若数列na为等差数列，则2412,1rrrr=++=或12r=，即必要性不成立，综

上，“1r=”是“数列na为等差数列”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.3.已知向量1,tan3a=，()cos,1b=，,2，且//ab，则sin2

−=（）A.13−B.13C.223D.223−【答案】C【解析】【分析】根据向量平行可构造方程求得sin，由同角三角函数关系求得cos；根据诱导公式可求得结果.【详解】//ab11tancossin033−=−=，解得：1sin3=,2222cos

1sin3=−−=−22sincos23−=−=故选：C【点睛】本题考查向量平行关系的应用、同角三角函数关系与诱导公式求解三角函数值的问题；关键是能够根据向量平行关系求得sin.4.函数()()13,2log1,2xexfxxx−=−−，则

不等式()1fx的解集为（）A.()1,2B.4(,)3−C.4(1,)3D.)2,+【答案】A【解析】【分析】先根据分段函数转化为两个不等式组，解得结果.【详解】因为()1fx，所以121xxe−或()32log11xx

−−因此210xx−或21013xx−，12x或x，即12x故选:A【点睛】本题考查分段函数性质以及解指对数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.5.某工厂产

生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝3002tp−，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率

是－10ln2，则p(60)＝()A.150毫克/升B.300毫克/升C.150ln2毫克/升D.300ln2毫克/升【答案】C【解析】【分析】由当30t=时，污染物数量的变化率是102ln−，求出0p，再利用关系式，可求60p

（）的值．【详解】选C因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，所以－10ln2＝，所以p0＝600ln2，因为p(t)＝3002tp−，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2

(毫克/升)．【点睛】本题考查指数函数的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．6.已知22axx=++，lg3b=，12ce−=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.cabC.cbaD.bca【答案】D【解析】【分析】借助第三量比较大小关系.【

详解】因为12221112()221244axxxe−=++=++−−12122lg3lg3lg3lg101ebebcc===所以bca故选D【点睛】本题考查比较大小以及二次函数值域，考查基本分析判断能力，属中档题.7.已知x>0，y>0,x+2y+2xy

=8，则x+2y的最小值是A.3B.4C.92D.112【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82xyxyxy++=−−，整理得2(2)4(2)320xyxy+++−即(24)(28)0xyxy+−++，又x+2y>0，24xy+8.函

数321xyx=−的图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【详解】∵函数32()1xfxx=−∴32()()1xfxfxx−−==−−∴

函数32()1xfxx=−为奇函数，即图象关于原点对称当x向右趋向于1时，()fx趋向于+，故排除D；当x向左趋向于1时，()fx趋向于−，故排除B、C.故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向

，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,xxxx+−→→→+→−时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除9.若2x=−是函数21()(1)xfxxaxe−=

+−的极值点，则()fx的极小值为（）．A.1−B.32e−−C.35e−D.1【答案】A【解析】由题可得()()()()121212121xxxfxxaexaxexaxae−−−=+++−=+++−，因为()20f

−=，所以1a=−，()()211xfxxxe−=−−，故()()212xfxxxe−−=+，令()0fx，解得2x−或1x，所以()fx在()(),2,1,−−+上单调递增，在()2,1−上单调递减，所以()fx的极小值为()()1111111fe−=−−=−，故

选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．10.在△ABC中，内角A，B，C的对

边分别为a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为()A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】【详解】由正弦定理得()2sincos2sincossinsinBCCABC−==+sincoscossinBCBC=+，2sincos3sincos,sin2c

os3sincos2BCCBCCCC==，()2222cos3cossinCCC=−，213tan,tan33CC==，2,BCC=为锐角,所以,,632CBA===，故选A.11.实数a，b，c成等差，点()1,1P−在动直线:

20laxbyc++=上的射影为M，点()2,2N则线段MN长度的取值范围为（）A.2,22B.2,32C.2,32D.2,3【答案】B【解析】【分析】先根据条件确定动直线:20

laxbyc++=过定点，再确定M点轨迹，最后根据点与圆位置关系求最值.【详解】因为a，b，c成等差，所以2bac=+，因此:20laxbyc++=过定点(1,1)A−,因为点()1,1P−在动直线:20laxbyc++=上的射影为M，所以M点轨迹为以AP为直径的圆，即222xy+=，

从而[2,2][2,32]MNONON−+=,（O为坐标原点）故选B【点睛】本题考查直线过定点、圆的轨迹以及点与圆的位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数,0()2(1),0xxmemxxfxe

xx−++=−（e为自然对数的底），若方程()()0fxfx-+=有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是（）．A.(0,)eB.(,)e+C.(0,2)eD.(2,)e+【答案】D【解析】【分析】首先需要根据方程特点构造函数()()()Fxfxfx=+−,将方程根的

问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()Fx在()0,+上的零点个数，再转化成方程1e2xxmx=−解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数()()()Fxfxfx=−+是偶函

数，()00F，所以零点成对出现，依题意，方程()()0fxfx−+=有两个不同的正根，又当0x时，()e2xmfxmx−=−+，所以方程可以化为：eee02xxxmmxx−++−=，即1e2xxm

x=−，记()e(0)xgxxx=，()()e10xgxx=+，设直线12ymx=−与()gx图像相切时的切点为(),ettt，则切线方程为()()ee1ttyttxt−=+−，过

点1,02，所以()1ee112tttttt−=+−=或12−（舍弃），所以切线的斜率为2e，由图像可以得2em.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数

与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.卷Ⅱ（非选择题共90分）二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13.已知i为虚数单位，a为实数，复数()()12ziai=−+在复平面内对应的点为M，若点M在第四

象限，则实数a的取值范围是__________．【答案】1(,)2+【解析】【详解】因为()()12(2)(12)ziaiaai=−+=++−，又点M在第四象限，所以2011202aaa+−，故答案为1(,)2+【点睛】本题考查复数

几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.14.函数()21ln2fxxxax=++存在与直线30xy−=平行的切线，则实数a的取值范围是__________．【答案】(,1−【解析】试题分析：由题意，得1()fxxax=++，故存在切点，使得，所以有解．

由于，所以（当且仅当取等号），即．考点：1、导数的几何意义；2、基本不等式．【思路点晴】求解时要充分借助题设和直线与函数代表的曲线相切的的条件,建立含参数的方程,然后运用存在变量使得方程有解,再进一步转化为求函数的值域问题．求值域时又利用题设中的，巧妙运用基本不等式

使得问题简捷巧妙获解．15.执行如图所示的程序框图，若输出5k=，则输入p的取值范围为__________．【答案】(7,15【解析】执行程序一次，1,2sk==，执行第二次后3,3sk==，执行第三次后7,4sk==，执行第四次后15,5sk==，此时应该跳出循环，所以715

p，故填7,15]（．16.已知三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，,4,23BCCDBCCDABAD⊥====，则三棱锥ABCD−的外接球的大圆面积为________．【答案】9【解析】【分析】球的切接问题

是最近高考的热点之一，解题的关键是利用所给几何体的特征，找到球心，求出半径；找球心常用方法就是先找到多面体的一个三角形面的外心，球心在过这个外心且垂直于这个平面的直线上，再利用已知条件求出半径，如本题就釆用这种方法；或者是看所给多面体是否能放入某

个正方体或长方体中，借助正方体或长方体的外接球去求解.【详解】解：如下图所示，设BD的中点为E，，连结,AEEC，因为ABAD=，所以AEBD⊥，又平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD，又因为BCD是等腰直角三角形，所E为BCD的外心，4

2,22BDCE==，所以球心O一定在直线AE上，222AEABBECE=−=，所以球心O在线段AE的延长线上，设OEx=，则三棱锥外接球半径22RxAExBE=+=+，即()22222xx+=+，解得1x=，所以3R=，所以三棱锥

ABCD−的外接球的大圆面积29SR==.【名师点睛】本题主要考查球的切接问题与球的性质，属中档题.考点：1.球的切接问题；2.球的性质.三．解答题（共6小题，计70分）17.在ABC中，5cos13B=−，3sin5C=.(

1)求sinA的值；(2)设ABC的面积332，求BC边上的高.【答案】（1）3365（2）6【解析】【分析】（1）根据三角形内角关系以及两角和正弦公式求解，（2）先根据正弦定理以及三角形面积公式求BC，再利用三角形面积公式求高.【详解】解：(1)5cos013B=−，B

为钝角，12sin13B=，B为钝角C为锐角，3sin5C=，4cos5C=.()sinsinABC=+=sincoscossinBCBC+124533313513565=−=.(2)::sin:sin:sinabcABC=

11:20:13=，设11ak=，20bk=，13ck=，BC边上的高为h则2133sin6622SabCk===，12k=112a=，11133222Sh==，6h=.BC边上的高为6.【点睛】本题考查正弦定理、三角形

面积公式以及两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在数列na中，11a=，23a=，且对任意的nN*，都有2132nnnaaa++=−.（Ⅰ）证明数列1n+naa−是等比数列，并求数列na的通项公式；（Ⅱ）设12nnnnbaa+=

，记数列nb的前n项和为nS，若对任意的nN*都有1nnSma+，求实数m的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）13m−【解析】【分析】（Ⅰ）2132nnnaaa++=−可变形为2112nnnnaaaa+++−=−，故1{}nnaa+−是等比数列.利用累加法

可以求出na的通项.（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211(21)(21)2121nnnnnnb++==−−−−−，用裂项相消法可求nS，求出1nnSa−的最小值后可得m的取值范围.【详解】（Ⅰ）由2132nnnaaa++=−可得2112()nnnnaaaa+++−=−．又

11a=，23a=，所以2120aa−=，故2112nnnnaaaa+++−=−.所以1{}nnaa+−是首项为2，公比为2的等比数列.所以12nnnaa+−=.所以1211()()nnnaaaaaa−=+−++−21222n=++++21n=−.（Ⅱ）因为12(

21)(21)nnnnb+=−−11(21)(21)(21)(21)nnnn++−−−=−−1112121nn+=−−−.所以12nnSbbb=+++223+1111111212121212121nn=−+−++−−−−−−−+11

=121n−−.又因为对任意的*nN都有1nnSma+，所以11112121nn+m−−−−恒成立，即1min1112121nnm+−−−−,即当1n=时，13m−.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和

关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，

则用并项求和法.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，122AAAB==，13BAA=，D为1AA的中点，点C在平面11ABBA内的射影在线段BD上.(1)求证：1BDCBD⊥平面；(2)若CBD是正三角形，求三棱柱111ABCABC−的体积.【答案】（1）见证明；(2)34【

解析】【分析】（1）分别证明1CEBD⊥和1BDBD⊥，结合直线与平面垂直判定，即可．（2）法一：计算1AABS，结合1113CAABAABVSCE−=和11113ABCABCCAABVV−−=，即可．法二:计算111ABBAPCCQV−，结合11111

112ABCABCABBAPCCQVV−−=，计算体积，即可．法三：结合11122ABCABCABCDABDVShSCE−==，计算结果，即可．【详解】(1)证明：设点C在平面11ABBA内的射影为E，则EBD，CE

CBD平面，且11CEABBA⊥平面，因111BDABBA平面，所以1CEBD⊥.在ABD中，1ABAD==，3BAD=，则323ABDADB−===，在11ABD中，1111ABAD==，1123BAD=，则11112326ABDAD

B−===，故1362BDB=−−=，故1BDBD⊥.因CEBDE=，故1BDCBD⊥平面.(2)法一、1111133ABCABCAABCCAABVVV−−−==，由(1)得11CEABBA⊥平面，故CE是三棱锥1CA

AB−的高，CBD是正三角形，1BDABAD===，32CE=，111113sin12sin2232AABSABAABAA===，111133133224CAABAABVSCE−===，故三棱柱的体积1111334A

BCABCCAABVV−−==，故三棱柱111ABCABC−的体积为34.法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因PACBACSS=且高一样，故11111ABCABCAPCAQCVV−−=，故1111111112ABC

ABCAPCAQCABBAPCCQVVV−−−==，由(1)得11CEABBA⊥平面，故CE是四棱柱111ABBAPCCQ−的高，故11111133sin12sin322ABBAPCCQABBAVSCEABAABADCE−====，故1111111324ABCABC

ABBAPCCQVV−−==，故三棱柱111ABCABC−的体积为34.法三、在三棱锥CABDV−中，由(1)得CEABD⊥平面，CE是三棱锥CABD−的高，6分记D到平面ABC的距离为Dh，由DABCCAB

DVV−−=得1133ABCDABDShSCE=，即ABDDABCSCEhS=，D为1AA的中点，故A到平面ABC的距离为22ABDDABCSCEhS=，11113322211sin2324ABCABCABC

DABDVShSCE−====.故三棱柱111ABCABC−的体积为34.【点睛】本道题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大．20.已知1x=为函数()()2lnfxxaxxx=−+的一个极值点.（1）求实数

a的值，并讨论函数()fx的单调性；（2）若方程()22fxmxx=+有且只有一个实数根，求实数m的值.【答案】（1）见解析；（2）1−【解析】【详解】（1）()()2lnfxxaxxx=−+，()0,x+．()()()2ln1fxxxaxa=+−−−．∵1x=为函数()()2lnfx

xaxxx=−+的一个极值点，∴()()1110,2faa=−−==，故()()22lnfxxxxx=−+，()()()()22ln1112lnfxxxxxx=+−−=−+．令()0fx=，解得1x=或exe=．∴

当0,exe时，()0fx，函数()fx单调递增；当,1exe时，()0fx，函数()fx单调递减；当()1,x+时，()0fx，函数()fx单调递增；（2）方程()()222ln2fxxxxxmxx=−+=+，整理得(

)()222lnfxxxxxmx=−−=．因为()0,x+，所以有()()222ln2ln1xxxxxxmxx−−−−==．令()()2ln1211lnxxgxxxxx−−==−−，则()22ln1xxgxx=+−．令()2ln1hxxx=+−，()210hx

x=+，故()hx在()0,+上是增函数．∵()10h=，∴当()0,1x时，()0hx，即()0gx，()gx单调递减；当()1,x+时，()0hx，即()0gx，()gx单调递增；∴(

)()min110gxg==−．∵当0x→或x→+时，()gx→+，∴方程()22fxmxx=+有且只有一个实数根时，实数1m=−．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将

参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．21.已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若coscosabAB=且()

221sin2coscos2ACB−=+，求角C的大小；(2)若ABC为锐角三角形，且4A=，2a=，求ABC面积的取值范围.【答案】（1）2C=（2）(2,21+【解析】【分析】（1）先根据正弦定理化简coscosabAB=得AB=，再代入条件()221sin2coscos2A

CB−=+化简得2C=，（2）根据正弦定理以及三角形面积公式得ABC面积为2sin(2)14B−+，再根据锐角三角形确定B角范围，最后根据正弦函数性质求取值范围.【详解】(1)由于coscosabAB=，由正弦定可得sin

cossincos0ABBA−=，即()sin0AB−=，(),0,AB，AB=，故22CA=−，22CB=−，又()221sin2coscos2ACB−=+，所以()221cos2cossin222C

CC−=+，即()1cos1cos12cos222CCC+−−=+()2coscos0CC−=由于2cos0C−，所以cos0C=，由于C是三角形的内角，故2C=.(2)由22sinsinsinabcA

BC===，所以22sinbB=，22sincC=，所以ABC面积为1sin22sinsin2SbcABC==322sinsin()4BB=−2sin(2)14B=−+由于ABC为锐角三角形，所以0202CB

，即304202BB−，解得42B，所以32444B−，2sin(2)124B−，所以221S+.即ABC面积的取值范围是(2,21+.【点睛】本

题考查正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.22.已知1()2(2)lnfxaxaxx=−−+（0)a（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，

讨论f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（2,3），x-1,x2∈[1,3]，恒有（m－ln3）a－2ln3＞|f（x1）－f（x-2）|成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）()fx的极大值为1()2ln222f=−，无极小值；

（2）①当02a时，()fx在10,2和1,a+上是增函数，在11,2a上是减函数；②当2a=时，()fx在()0,+上是增函数；③当2a时，()fx在10,a和1,2+上

是增函数，在11,2a上是减函数（3）133m.【解析】【详解】（1）当0a=时，221121-2()2ln()=-=(0)xfxxfxxxxxx=−−、由21-2()=0xfxx、,解得12x，可知()fx在10,

2上是增函数，在1,2+上是减函数.∴()fx的极大值为1()2ln222f=−，无极小值.2221112(2)1(2)()2(2)ln()=2(2)axaxfxaxaxfxaaxxxx−++=−−++−+=、①当02a时，()fx在10,2

和1,a+上是增函数，在11,2a上是减函数；②当2a=时，()fx在()0,+上是增函数；③当2a时，()fx在10,a和1,2+上是增函数，在11,2a上是减函数（3）当23a时，由（2）可知()fx在1

,3上是增函数，∴122()()(3)(1)4(2)ln33fxfxffaa−−=−++.由12(ln3)2ln3()()mafxfx−−−对任意的a∈（2,3），x-1,x2∈[1,3]恒成立，∴12max(

ln3)2ln3()()mafxfx−−−即2(ln3)2ln34(2)ln33maaa−−−++对任意23a恒成立，即243ma+对任意23a恒成立，由于当23a时，382134933a+，∴133m.