【文档说明】《新九年级数学暑假精品课程（浙教版）》第二十八讲 相似三角形 相似多边形《九年级数学讲义上海专用》（解析版）.doc，共(27)页，1.410 MB，由管理员店铺上传

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1第二十八讲相似三角形相似多边形4.3、4.6相似三角形相似多边形【学习目标】1、掌握相似图形、相似三角形的性质及应用；2、掌握相似多边形的性质及应用。【基础知识】一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似

图形.要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”三、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的

对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如

：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.【考点剖析】例1．如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍【答案】A【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，

从而得到答案．【解析】由题意知：这两个三角形的面积之比等于4:1，则它们的相似比为2：1，因此边长扩大到原来的2倍，2故选：A.例2．若两个相似三角形对应高之比为31∶，则它们的周长之比为（）A．91∶B．61∶C．31∶D．13∶【答案】C【解析】∵两个相似三角形对应高的比是3：1，

∴它们的相似比是3：1，∴它们的周长比是3：1．故选C.【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应高的比等于相似比与相似三角形的周长比等于相似比定理的应用．例3．若ABCABCV:V，

40A=，110B=，则'C的度数为（）A．30°B．40°C．70°D．110°【答案】A【解析】因为ABCABC∽△△，所以'CC=.因为40A=，110B=，所以30C=，所以'30C=.故选A

.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等，是关键.例4．如果ABCDEF∽，A、B分别对应D、E，且:1:2ABDE=，那么下列等式一定成立的是（）A．:1:2BCDE=B．ABC的面积：DEF

的面积1:2=C．A的度数：D的度数1:2=D．ABC的周长：DEF的周长1:2=【答案】D【分析】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【解析】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错

；B：面积比应该是1:4，故错；C:对应角相等，3故错；D：周长比等于相似比，故正确.故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.例5．如图，已知点D、E分别在ABCV边AB、AC上，//DEBC，B

D＝2AD，那么:DBEEBCSSVV等于（）A．1:2B．1:3C．1:4D．2:3【答案】B【分析】根据BD=2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解．【解析】解：∵BD=2AD，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，A

DDEABBC=∴DE：BC=1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，∴112132DBEEBCDEhDESSBCBCh===VV：故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．

4例6．下列各组图形中，不一定相似的是（）A．各有一个角是100°的两个等腰三角形B．各有一个角是90°的两个等腰三角形C．各有一个角是60°的两个等腰三角形D．各有一个角是50°的两个等腰三角形【答案】D【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对

各选项分析判断求解．【解析】A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C、各有一个角是6

0°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照

判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．例7．已知△ABC的三边长分别为6,7.5,9,△DEF的一边长为4,若△DEF与△ABC相似,则△DEF的另两边长可能为()A．2,3B．4,5C．5,6

D．6,7【答案】C【解析】①若边长为4的边与边长为6的边相对应，则另两边为7.5×46=5和9×46=6；②若边长为4的边与边长为7.5的边相对应，则另两边为4166=7.55和4249=7.55；③若边长为4的边与边长为9的边相对应，则另两边为486=93和4107.5=93．故三角形

框架的两边长可以是：5和6或165和245或83和103．故选C．5【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的三边对应成比例，解答时注意分类讨论思想的运用.例8．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那

么原来矩形长与宽的比为（）A．2:1B．2:1C．3:1D．3:1【答案】B【分析】先设出原矩形的长和宽，可根据对折表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．【解析】解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形

的长为b，宽为a，∵对折后的矩形与原矩形相似，∴b=b2aa，∴2212ab=，∴1=b2a，∴222=b12a=．故选B．【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例．例9．两个相似多边形

的面积之比为5，周长之比为m，则5m为（）A．1B．55C．5D．5【答案】C【解析】解：根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可以先求出m=5，m=5−不合题意，舍去，6所以5m=55=

5故选：C【点睛】本题考查相似多边形的性质．例10．下列说法正确的有（）．①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据相

似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.【解析】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；③

当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；②③④说法正确，故选C.【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解

决本题的关键.例11．下列多边形一定相似的是（）A．两个平行四边形B．两个矩形C．两个菱形D．两个正方形【答案】D【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．【解析】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，两

个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，7两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．例12．

如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若:2:3ABFG=，则下列结论正确的是（）A．23DEMN=B．32DEMN=C．32AF=D．23AF=【答案】B【分析】根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形

，逐一分析即可．【解析】解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，所以,:2:3AFDEMN==，故可排除C和D所以32DEMN=．故排除A故选B．【点睛】此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是

解决此题的关键．例13．如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点I、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出BIJ面积的条件是（）A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差8C．

矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差【答案】B【分析】根据相似多边形的性质得到AFAHABBC=，即AF·BC=AB·AH①．然后根据IJ∥CD可得，IJBJDCBC=，再结合AFAHABBC=以及矩形中的边相等可以得出

IJ=AF=DE．最后根据S△BIJ=12BJ·IJ=12BJ·DE=12(BC-DH)·DE=12BC·AF-12DH·DE②，结合①②可得出结论．【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形FAHG，AFAHABBC

=，∴AF·BC=AB·AH，又IJ∥CD，∴IJBJDCBC=，又DC=AB，BJ=AH，∴=IJAHAFBCBABA=，∴IJ=AF=DE．S△BIJ=12BJ·IJ=12BJ·DE=12(BC-DH)·DE=12BC·AF-12DH·DE=12AB·AH

-12DH·DE=12(S矩形ABJH-S矩形HDEG)．∴能求出△BIJ面积的条件是知道矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质等知识，正确的识别图形及运用相关性质是解题的关键．例14．如图（1），将一个正六边形各边延长，

构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六

角星形A4F4B4D4C4E4的面积为（）9A．116B．164C．1128D．1256【答案】D【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．【解析】∵A1、F1、

B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为14，同理可得，第

二个六角形的面积为：211416=，第三个六角形的面积为：311464=，第四个六角形的面积为：4114256=，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．【过关检测】一、单选题1．下列语句

中的图形必成相似形的是()A．只有一个角为30°的等腰三角形B．邻边之比为2的两个平行四边形C．底角为40°的两个等腰梯形D．有一个角为40°的两个等腰梯形【答案】A【解析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．10解：A、只有一个角为30

°的等腰三角形，30°的角必定是顶角，所以，底角也一定相等，三角形相似，故本选项正确；B、邻边之比为2，夹角不一定相等，两平行四边形不一定相似，故本选项错误；C、底角为40°的等腰梯形，角对应相等，边不一

定对应成比例，两等腰梯形不一定相似，故本选项错误；D、有一个角为40°的等腰梯形，角对应相等，边不一定对应成比例，两等腰梯形不一定相似，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查相似图形的定义，解题的关键是熟记相似多边

形的定义和性质.2．如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为()A．2：1B．4：1C．21：D．1：2【答案】A【解析】设原矩形的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．解：设原矩形

ABCD的长为x，宽为y，∴小矩形的长为y，宽为4x，∵小矩形与原矩形相似，4xyyx=，∴x：y=2：1故选：A．【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．

113．下列图形中不一定是相似图形的是()A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形C．两个正方形D．两个长方形【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似来分析解答本题.【解析】等边三角形的三个内角都是6

0，所以任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故A选项错误；等腰直角三角形的三个内角分别为454590、、，所以任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角

三角形一定相似，故B选项错误；正方形可以看作是两个全等的直角三角形拼接而成，故任意两个正方形也相似，故C选项错误；任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，所以任意两个长方形不一定相似，故正确答案为D选项.【点睛】本题主要考察相似三角形的定义和判定定理

以及正方形相似和长方形相似的判定方法.4．下列说法不正确的是（）A．含30o角的直角三角形与含60o角的直角三角形是相似的B．所有的矩形是相似的C．所有边数相等的正多边形是相似的D．所有的等边三角形都是相似的【答案】B【解析】A.含30o角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含60o角的直角

三角形是相似的，故不符合题意；B.若一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，则这两个矩形就不相似，故B选项符合题意；C.所有边数相等的正多边形是相似的，正确，故不符合题意；D.所有的等边三角形都是相似的，正

确，故不符合题意，12故选B.【点睛】本题考查了相似三角形与相似多边形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键.5．下列各组图形中不一定相似的有（）①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形

；⑥两个等腰直角三角形．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】①两个矩形，对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似；②两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；③两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；④两个等边三角形，角都是60°，故相似；⑤两个直角三角形

，不一定有锐角相等，故不一定相似；⑥两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．所以共有①③⑤3个不一定相似，故选B．6．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6B．8C．12D．

10【答案】B【解析】解：设这个多边形的最短边是x，∵两个多边形相似，则6242x=，解得x=8故选B【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．7．手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图

，下面四个图案是她剪裁出的空13心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选

项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；故选：D．【点睛】本题考查的是相似形的定义

，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例．8．下列说法正确的个数有（）个①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81．A

．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】根据相似图形的概念以及相似多边形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各小题分析判断即可得解．【解析】14解：①凡正方形都相似，正确；②等腰三角形两腰相等

，对应成比例，但顶角不一定相等，所以不一定相似，故本小题错误；③凡等腰直角三角形都相似，正确；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为2：3，故本小题错误；所以，说法正确的有①③共2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似图形的概念和相似的性质，掌握相似的性质是解题的关键.9

．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为30，则这个多边形的最短边长为（）A．8B．10C．12D．14【答案】B根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】解：设这

个多边形的最短边长为x，∵两个多边形相似，3062x=，解得，x=10，故选：B．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．10．如图矩形ABCD中，ADAB，且1AB=，在BC上取一点E，沿AE将ABE

△向上折叠，使B点落在AD上的F点，若矩形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．512+B．512−C．3D．51−15【答案】A【解析】解：∵沿AE将△ABE向上翻折，使B点落在AD上的F点，

∴AB=AF=1，∴四边形ABEF是正方形，设AD=x，则FD=x-1，EF=1，∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，∴EFADFDAB=∴111xx=−解得：1152x+=，2152x−=（舍），经检验：1152x+=

是原方程的解．故选：A【点睛】本题主要考查的是折叠问题和相似多边形的性质，根据矩形EFDC和矩形ABCD相似列出比例式是解题的关键．二、填空题11．矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若矩形ABFE∽矩形BCDA，且AD=2，则AB=_____．【答案】2【解析】【分析】由于

矩形ABCD与矩形ABFE是相似的矩形，利用对应边成比例即可求出结果．【解析】解：如图，16由矩形ABCD且AD=2，可知BC=AD=2，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴112AEAD==，∵矩形ABFE∽矩形BCDA，

∴ABAEBCAB=，即12ABAB=，∴2AB=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，根据对应边成比例列出比例式是解题关键．12．两个相似多边形的周长的比为2：3，较大多边形的面积为245cm，则

较小多边形的面积为______2cm．【答案】20【解析】解：∵两个相似多边形的周长为2：3，∴相似比为：2：3，∵面积之比等于相似比的平方，∴94SS=较大多边形较小多边形，∴4594S=较小多边形，∴20S=较小多边形．故答

案为20．【点睛】本题考查了相似形的性质，掌握相似形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可．1713．如图，四边形ABCD:四边形ABCD，若65,82,110BCA===，

则D=________．【答案】103【解析】∵四边形ABCD:四边形ABCD，110AA==．360ABCD+++=Q，3603601106582103DABC=−−−=−−−=，故答

案为：103．【点睛】本题主要考查相似多边形的性质及四边形内角和，掌握相似多边形的性质及四边形内角和是解题的关键．14．如图，,EF分别为ABCDX的边,ADBC的中点，且ABFEX与ADCBX相似，则ABBC=_

______．【答案】22【解析】解：EQ为ABCDX的边AD的中点，1122AEADBC==．ABFEQX与ADCBX相似，,ABAEADAB=12BCABBCAB=，18221,2BCAB=2212ABBC=．0,ABBCQ12

22ABBC==．故答案为：22．【点睛】此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．15．北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华．经测算发现,太和殿,中和殿,保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿,南至太和门,西至弘义阁,东至体仁阁）与三大殿下的工字形大

台基所在的矩形区域EFGH为相似形,若比较宫院与台基之间的比例关系,可以发现接近于9:5,取“九五至尊”之意．根据测量数据,三大殿台基的宽(EF)为40丈,请你估算三大殿宫院的宽(AB)为_________

丈．【答案】72【解析】设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得：x：40=9：5，解得：x=72．故答案为：72．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解答本题的关键．1916．四边形ABCD和四边形''''ABCD是相似图形，点,,,A

BCD分别与',',','ABCD对应，已知3BC=，2.4CD=，''2BC=，那么''CD的长是__________．【答案】1.6【解析】∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴CD：C′D′=BC：B′C′，∵BC=3，CD=2.4，B'C′=

2，∴C′D′=1.6，故答案为：1.6．【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．17．如图，四边形ABCD和四边形1111DCBA相似，已知120A=，85B=，175C=，10AB=，1116AB=，18CD=，则1D=______，11CD=_____

_．【答案】801445【解析】∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴∠A1=∠A=120°，∠B1=∠B=85°，∠C1=∠C=75°，1111CDAB=CDAB∴∠D1=360°-∠A-∠B-∠C=80°，11CD16=1810，解得11144CD=5故答案为

：80°，1445.【点睛】本题考查相似多边形的性质，找准对应角与对应边是关键.18．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的20相似比为53，则

AEBE（AEBE）的值为_____.【答案】12【解析】解：在正方形EFGH与正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，EF=EH，∠FEH=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠AHE=∠BEF，∴△AEH≌△BFE（AAS），∴BE=AH，

∵53EHAB=，令EH=5k，AB=3k，在直角三角形AEH中，设AE=a，AH=AB-AE=3ka−，由勾股定理，得222AEAHEH+=，即222(3)(5)akak+−=，解得：ak=或2ak=，∵AEBE，∴AEk=，∴2BEk=，∴122AEkBEk==；故答案为：12.【点睛】21

本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE和BE的长度.19．如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的两矩形_____

______（填“是”或“不是”）相似矩形.【答案】不是.【解析】解：3m=300cm，1.5m=150cm∴大矩形的长为：300＋7.5×2=315cm，宽为：150＋7.5×2=165cm∵300150315165∴两矩形不相似故答案为：不是.【点睛】此题考查的是相似图形的判定，掌握

相似图形的定义是解决此题的关键.20．现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用张___________正方形纸片（不得把每个正方

形纸片剪开).【答案】8【解析】∵拼一个它形状相同但比它大的长方形，长宽至少是原来的2倍，原长方形由1×2个正方形组成，∴大的长方形至少为2×4个正方形组成，∴至少需要8个正方形纸片故答案为：8.【点睛】本题考查相似多边形的性质，

掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键.22三、解答题21．如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么（1）得到的两个四边形是否相似？若

相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；（2）这样的直线可以作多少条？【答案】见解析【解析】（1）相似．理由如下：因为EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，所以可设AB＝a，AD＝b，BE＝x．于是有11()?()?22xAFabxbAFa+=−+−，所以x

＋AF＝b－x＋b－AF，即AF＝b－x．又EC＝b－x，所以AF＝EC．在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，所以DF＝BE，∠AFE＝∠FEC，∠DFE＝∠BEF，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．所以在四

边形ABEF与四边形CDFE中，有∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D＝90°，∠AFE＝∠FEC，∠BEF＝∠DFE，1ABAFBEEFCDCEDFEF====，所以四边形ABEF与四边形CDFE相似，相似比为1．（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．

22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形1111DCBA是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：23

（1）当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）存在；

理由见解析；（2）不存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．（2）正方形和其他的正方形是相似图

形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．【解析】解：（1）存在假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x，y，则472xyxy+==①②，由①，得：4yx=−，③把③代入②，得2

7402xx−+=，解得1222x=+，2222x=−．所以“减半”矩形长和宽分别为222+与222−．（2）不存在因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为12时，面积比必定是14，所以正方形不存在“减半”正方形．24【点睛】本

题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．23．设四边形ABCD与四边形1111DCBA是相似的图形，且A与1A、B与1B、C与1C是对应点，已知12,18ABBC==，11189,8CDADAB===,，求四边形1111DCBA的

周长．【答案】38【解析】【分析】四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长．【解析】解：∵四边形ABCD与四边形

A1B1C1D1是相似的图形，∴11111111===ABBCCDDAABBCCDDA，又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，∴1111111218189===8BCCDDA，∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，∴四边形A1B1C1D1的周

长=8+12+12+6=38．【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等．24．如图，四边形ABCD和四边形ABCD相似，6AB=，60BC==，4AB=，12BC=，8CD=，150A=．（1）求BC、CD的长度；（2）求D、D

的大小；（3）若63AD=，求四边形ABCD和四边形ABCD的周长的比．25【答案】（1）18BC=，12CD=；（2）90D=，90D=；（3）3:2【解析】（1）根据相似多边形对应边成比例列出比例式，

代入数据即可求解；（2）根据相似多边形对应角相等和四边形内角和即可求解；（3）根据相似多边形的周长比等于对应边之比即可得出答案.【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形ABCD，∴即ABBCCD

ABBCCD==，即64128BCCD==．∴18BC=，12CD=．（2）∵四边形ABCD∽四边形ABCD，∴150AA==．∵60BC==，∴90D=，即90D

=．（3）∵ABAB=64=32∴四边形ABCD和四边形ABCD的周长的比=3:2．【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比是解决本题的关键.25．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各

矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；（2）根据An系列纸张的规格特征，求

出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）【答案】（1）2，2；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为2：1；（3）A8纸张的重

量是（12）267a克．【解析】【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是2a，A4纸的长是2a，宽是2b，A4纸的长周长=2（2a+2b）=a+b，由此可

得出结论；（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，12m，求出mn的值即可；（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．【解析】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到

两张A2纸，∴A1纸面积是A2纸面积2倍；∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是2a，A4纸的长是2a，宽是2b，A4纸的长周长=2（2a+2b）=a+b，∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．故答案

为：2，2；（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，12m，∴mn=12nm，即mn=2，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为2：1；（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，∴A2纸的重量为12a，同理，A3纸的

重量是14a克，∴A8纸张的重量是712a克．27故答案为：（1）2，2；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为2：1；（3）A8纸张的重量是（12）7a克．【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键．