【文档说明】甘肃省兰州市2021届高三下学期第一次诊断性考试（一模） 数学（理）含答案11111111111.doc，共(10)页，2.726 MB，由小赞的店铺上传

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2021年高三诊断考试数学(理科)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全

部在答题纸上完成，试卷上答题无效。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg(1－x)}，则M∪N＝A.[0，1)B

.[0，1]C.(－∞，1)D.(－∞，1]2.已知复数z满足(1－i)(3＋z)＝1＋i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为A.3－iB.3＋iC.－3－iD.－3＋i3.若双曲线22214xya−=(a>2)的

一条渐近线经过点P(2，1)，则双曲线的焦距是A.5B.25C.43D.454.正方形ABCD边长为4，点E为BC边的中点，点F为CD边的一点，若2AFAEAE=，则CF＝A.5B.3C.2D.15.某学校高一开展数学建模活动，有六位教师负责指导该活动，

现有甲、乙两位同学分别从这六位教师中选择一位作为自己的指导教师，所有可能的选择方法数共有A.64种B.36种C.30种D.15种6.函数f(x)＝xex的图象如图所示，则函数f(1－x)的图象为7.《九章算术

·商功》有如下叙述：斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”(阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓)。取一个长方体，按下图所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵。再沿堑堵的一顶点与

相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个。其中以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马。余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑。那么如图所示，a＝3，b＝4，c＝5的阳马外接球的表面积是

A.202πB.252πC.50πD.200π8.一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，现定义这组数据的平均差为123nxxxxxxxxDn−+−+−++−=。下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图。根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差D1，D2的大小关系是A.D1>D2B.D1

＝D2C.D1<D2D.无法确定9.若椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上存在一点P，使|PF1|－|PF2|＝2b，|PF1|·|PF2|＝29a，则椭圆的离心率为A.13B.73C.19D.7910.已知递增等比数列{an}满足1

3511178aaa++=，a3＝4，则a7＝A.8B.82C.16D.16211.下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0>1”。②α，β是两个不同的平面，α⊥β，α∩β＝l，m⊥

l，则m⊥β。③函数f(x)＝x1ex12x3x1−−，，为R上的增函数。④sin2x＋24sinx≥4(x≠kπ，k∈Z)。其中真命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个12.若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0

)时f'(x)>ex－e－x，则不等式f(2x－1)－f(x－1)>ex－1－(ex－1)(1－e2－3x)的解集为A.(0，2)B.(0，23)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，0)∪(23，＋

∞)第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2题～第23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代

中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台。2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，某单位组织全体党员登录学习，统计学习积分得到的频率分布直方图如图所示，若学习积分在[1，1.5)(单位：万分)的人数是32人，则该单位共有名党员

，若学习积分超过2万分的党员可获得“学习达人”称号，则该单位有名党员能获得该称号。(本题第一空2分，第二空3分)。14.已知x，y满足约束条件xy10xy30x0−−+−，则z＝2x＋y的最大值为。15.已知等差数列{an}的公差大于0，其前n项和为Sn，且a2·a5＝10，

a3＋a4＝7，则tan94a＝。16.如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(

本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bcos2A＝asinB。(I)求A；(II)若△ABC的面积S＝23，D为BC的中点，求BC边上中线AD的最小值。18.(本小题满分12分)在三棱锥P－BCD中，A是CD的中点，AB＝AC，BC＝6，PB＝BD＝63，P

C＝12。(I)证明：BC⊥平面PBD；(II)若PD＝63，求二面角D－PB－A的余弦值。19.(本小题满分12分)2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》

(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划。强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生。据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，

校考过程中通过笔试后才能进人面试环节。已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立。若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为16，23，m，其中

0<m<1。(I)若m＝23，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(II)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希

望通过乙大学的笔试时，求m的范围。20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sincos2axxxx+−。(I)当a＝2时，证明：f(x)>x对x∈(0，π)恒成立；(II)若函数g(x)＝xf(x)在

x∈(0，π)存在极大值点x0，求acos2x0－sinx0的最小值。21.(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x及点P(4，0)。(I)以抛物线焦点F为圆心，|FP|为半径作圆，求圆F与抛物线交点的横坐

标；(II)A、B是抛物线上不同的两点，且直线AB与x轴不垂直，弦AB的垂直平分线恰好经过点P，求PAPB的范围。22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为322xtyt=+=(t为参数)。以原点O为极点，x轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝2443sin−。(I)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(II)已知点P是曲线C2上一点，求线段OP的中点M到曲线C1距离的最小值。23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已

知f(x)＝－|x＋a|－|x－3|。(I)当a＝－1时，画出函数y＝f(x)的图象；(II)若关于x的不等式f(x)≥－a2－1有解，求实数a的取值范围。