【文档说明】重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.642 MB，由envi的店铺上传

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重庆市永川中学校高2026届高二（上）12月月考数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I卷（选择题共58分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选

项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点()2,5,4M关于平面Oxz和x轴对称的点分别为(),,abc，(),,def，则bf+=（）A.9−B.1−C.1D.9【答案】A【解析】【分析】点关于面坐标平

面Oxz对称则对应的,xz坐标不变y坐标变为相反数，点关于坐标轴x轴对称则对应的x坐标不变，,yz变为相反数，得出点坐标，知道,bf的值，再求和即可.【详解】点()2,5,4M关于平面Oxz对称的点为()(),,2,5,4abc=−，关于x轴对称的点为()(),,2,5,4def=−−，所以5b

=−，4f=−，故9bf+=−．故选：A．2.已知圆221:(1)(1)1Cxy++−=与圆()2222:42500Cxyxyaa+−−+−=外切，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】两圆外切时，两圆的圆

心距等于两圆半径之和.我们先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解a的值.【详解】对于圆221:(1)(1)1Cxy++−=，其圆心坐标1(1,1)C−，半径11r=.对于圆2222:4250(0)Cxyxyaa+−−+−

=,其圆心坐标2(2,1)C，半径2ra=.因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和.两圆的圆心距222(2(1))(11)33d=−−+−==.根据两圆外切性质12drr=+，即31a=+，解得2a=.故选：B.3.已

知椭圆221113xymm+=−−的焦点在y轴上，且焦距为4，则m=（）A.5B.6C.9D.10【答案】C【解析】【分析】根据要求列出方程和不等式，然后求解出m的值即可.【详解】因为221113xymm+=−−表示焦点在y轴上且焦距为4的椭

圆，所以()()2311043112mmmm−−−−−=，解得9m=，故选：C.4.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别是CD，1CC的中点，则直线1AM与DN的位置关

系是（）A.平行B.垂直C.异面垂直D.异面不垂直【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可.【详解】以D为原点，DA，DC，1DD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，设正

方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则()12,0,2A，()0,1,0M，()0,0,0D，()0,2,1N，()12,1,2AM=−−，()0,2,1DN=，10AMDN=，1AMDN⊥，又DN平面11DCCD，1AMË平面11

DCCD，M平面11DCCD，且MDN，直线1AM与DN异面垂直．故选：C．5.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点P为C在第一象限上的一点.若12PFF为直角三角形，12122PFPFFF+=，则C的离心率为（）A.32B.3C.2D.52

【答案】C【解析】【分析】根据双曲线定义可得122,2PFacPFca=+=−，即可根据勾股定理，结合分类讨论求解.【详解】由题意可得121224PFPFFFc+==，由双曲线定义可得122PFPFa−=，故122,2PFacPFca=+=−，若2

21PFFF⊥,则2221212PFPFFF=+,即()()222224accac+=−+，化简可得2ca=，则2e=，若21PFPF⊥,则2221212PFPFFF+=,即()()222224accac++−=，化简可得222ca=−，不符合题意

舍去，故选：C6.已知等差数列na满足13273978100aaaaaaaa+++=，则5a=（）A.52B.5C.5或－5D.52或52−【答案】C【解析】【分析】根据式子13273978100aaaaaaaa+++=的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质和等差中项公式不断简化

式子即可得解.【详解】由题()13273978319aaaaaaaaaaa+++=++()()2728535753752224100aaaaaaaaaaa+=+=+==，解得55a=，故选：C.7.已知椭圆()222:106272xyCbb+=，

过点(2,1)P且斜率为1−的直线与C相交于,AB两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为（）A.6B.626−C.623−D.626+【答案】B【解析】【分析】由点差法结合已知可得b，进而求出c，根据椭圆C

上一点M到焦点F的距离的最小值为ac−求得结果.【详解】设112212(,),(,),AxyBxyxx，则22212221221,17722xyyxbb+=+=，两式作差得222212212072yxxyb−−+=，即22222122172yybxx−=−−，即11221222172yyyyxx

xxb+−=−+−①，因为点(2,1)P恰好是AB的中点，所以12124,2xxyy+=+=，又因为直线AB的斜率为12121yyxx−=−−，将它们代入①式得21)4722(b−=−，解得236b=，又272,62aa=

=，则2272366cab−==−=，所以椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为626ac−=−．故选：B．8.已知双曲线()2222:100xyCabab−=，的左、右焦点分别为12FF，，124FF=，且C的一条渐近线与直线:310lxy−+=平行．ABDE，

，，分别是C在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形ABDE是平行四边形．若2AEF，，三点共线，则ADEV面积的最小值为（）A.12B.24C.16D.8【答案】A【解析】【分析】已知条件,,abc→→双曲线C⎯⎯⎯⎯⎯⎯→平行四边形的性质2ADEOAESS=△△⎯

⎯⎯⎯→联立方程1212,yyyy+⎯⎯⎯⎯⎯⎯→象限内点的坐标特征22221611003133OAEmmSmm+→=−⎯⎯⎯⎯⎯→构造新函数函数的单调性()()minminOAEADESS→【详解】由题意知222243cbaabc==+=解得132a

bc===，故双曲线C的标准方程为2213yx−=．由题意及双曲线的对称性，平行四边形ABDE与双曲线C如图．四边形ABDE为平行四边形，所以2ADEOAESS=△△．由题知，直线AE的斜率不为零，且()22,0F，故设直线AE的方程为2xmy

=+．由22132yxxmy−==+，消去x并整理得()22311290mymy−++=，2310m−，()2Δ3610m=+，设()()1122,,,AxyExy，由根与系数的关系可得121222129,3131myyyymm+=−=−−．因为点,A

E均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为：3，所以133m−，解得2103m，所以()22121212142OAESOFyyyyyy=−=+−．22212943131mmm=−−−−226113mm+=−，2

103m令223113mtt+=，则221mt=−，所以26623144333OAEtStttt==−−．因为43ytt=−在231,3

上单调递减，当1t=时，()min6OAES=，所以ADEV面积的最小值为12故选：A二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记等差数列{}na的前n项和为nS，9

27S=，21010aa+=，则（）A.15a=−B.62S=C.3nSSD.77Sa=【答案】ACD【解析】【分析】设等差数列{}na的公差为d，由题意可得9111989272910Sadadad=+=+++=，计算可得1,a

d判断A；可求6S判断B；()2399nSn=−−−，可判断C；计算可得77Sa=判断D.【详解】设等差数列{}na的公差为d，又等差数列{}na的前n项和为nS，927S=，21010aa+=，∴9111

989272910Sadadad=+=+++=，解得15a=−，2=d，故A正确；6165602Sad=+=，故B错误；()()2215263992nnnSnnnn−=−+=−=−−−，∴3nS

S，故C正确；77657272S=−+=，75627a=−+=，∴77Sa=，故D正确．故选：ACD．10.已知()0,4A，()3,0B−，()3,0C点P满足4PBPC−=．则（）A.点P的轨迹为双曲线B.直线0xy+=上存在满足题意

的点PC.满足83PA=的点P共有0个D.PAB的周长的取值范围是)14,+【答案】BCD【解析】【分析】由4PBPCBC−=，()()3,0,3,0BC−，则再根据双曲线的定义可得点P的轨迹方程是双曲线的右支判断A

,联立方程组计算判断B,根据点到渐近线的距离判断C，转化PAB的周长为5ABAPPBAPPB++=++，再结合三点共线判断D.【详解】因为()()3,0,3,0BC−，4PBPCBC−=，所以点P的轨迹是以,BC为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，所以24,

26ac==，故22,3,5acb===，所以P的轨迹方程为()221245xyx−=，双曲线的右支，故A错误；联立221450xyxy−=+=，解得25x=（25=−x舍去），所以直线0xy+=上存在满足题意的点P，故B正确；双曲线()221245xyx−=的渐近线

方程为52yx=，则点()0,4A到渐近线52yx=的距离483514d==+，所以满足83PA=的点P共有0个，故C正确；因为()3,0B−即左焦点()23,0F−，而9165,9165ABAC=+==+=，因为4PBPC−=，所以4PBPC=+，所以PAB的周长为5ABAPPBAPPB++

=++5499514APPCAC=++++=+=，当且仅当,,APC三点共线时，等号成立，所以PAB的周长的取值范围是)14,+，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化PAB的周长为5ABAPPBAPPB++=++

，再结合当,,APC三点共线时取得最小值.11.如图，点P是棱长为2的正方体1111ABCDABCD−的表面上一个动点，则（）A.当P在平面11BCCB上运动时，三棱锥1PAAD−的体积为定值4B.当P在线段AC上运动时，1DP与1

1AC所成角的取值范围是ππ,32C.若F是11AB的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足//PF平面11BCD时，PF长度的最小值是5D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45的点P的轨迹长度为π42+【答案】BD【解析】【分析】对

A：由1AAD△的面积不变，点P到平面11AADD的距离不变，求出体积即可；对B：以D为原点，建立空间直角坐标系，设(),2,0Pxx−，则()1,2,2DPxx=−−，()112,2,0AC=−，结合向量的夹角公式，可判定B正确；对C：设(),,0Pm

n，求得平面11CBD的一个法向量为()1,1,1n=−−，得到()2216FPm=−+，可判定C错误；对D：由直线AP与平面ABCD所成的角为45，作PM⊥平面ABCD，得到点P的轨迹，可判定D正确.【详解】解：对于A：1A

AD△的面积不变，点P到平面11AADD的距离为正方体棱长，所以三棱锥1PAAD−的体积不变，且11111142223323PAADAADVSAB−===，所以A错误；对于B：以D为原点，1,,DADADD所

在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，可得()()()1112,0,2,0,0,2,0,2,2ADC，设(),2,0,02Pxxx−，则()1,2,2DPxx=−−，()112,2,0AC=−，设1D

P与11AC所成角为，111,coscosDPAC=＝111111DPACDPAC＝()2113xx−−+，因为011x−，当10x−=时，可得cos0=，所以π2=，当011x−时，()21cos13xx−=−

+＝112311xx−+−，由π0,2，所以ππ32，所以异面直线1DP与11AC所成角的取值范围是ππ,32，所以B正确；对于C，由()()()()112,2,2,0,0

,2,0,2,0,2,1,2BDCF，设(),,0Pmn，02,02,mn则()12,0,2CB=，()10,2,2CD=−，()2,1,2FPmn=−−−，设平面11BCD的一个法向量为(),,nabc=，则11220,220nCDbcnCBac=−+==+=，取1a

=，可得1,1bc=−=−，所以()1,1,1n=−−，因为//PF平面11BCD，所以()()2120FPnmn=−−−+=，可得1nm=+，所以()()22214FPmn=−+−+＝2248mm−+＝()22166m−+，

当1m=时，等号成立，所以C错误；对于D：因为直线AP与平面ABCD所成的角为45，由1AA⊥平面ABCD，得直线AP与1AA所成的角为45，若点P在平面11DCCD和平面11BCCB内，因为145BAB=，145DAD=，故不成立；在平面11ADDA内，点P

的轨迹是122AD=；在平面11ABBA内，点P的轨迹是122AB=；在平面1111DCBA内，作PM⊥平面ABCD，如图所示，因为45PAM=，所以PMAM=，又因为PMAB=，所以AMAB=，所以1APAB=，所以点P的轨迹是以1A点

为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点P的轨迹的长度为12π2π4=，综上，点P的轨迹的总长度为π42+，所以D正确.故选：BD.第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点(),

Mab在直线430xyc−+=上，若22(1)(1)ab−+−的最小值为4，则c=_______．【答案】11−或9【解析】【分析】根据22(1)(1)ab−+−的几何意义，结合点线距离公式求参数即可.【详解】因为点(),Mab在直线430xyc−+=上，那么22(1)(1)ab−+−的最小值

是定点()1,1到直线430xyc−+=的距离d的平方，所以413125cd−+==，解得11c=−或9．故答案为：11−或913.若数列na满足112a=，212323nnaaanana++++=，则2025a=__________．【答案】4675【解析】【

分析】根据na与nS的关系，结合累乘法求解即可.【详解】因为212323nnaaanana++++=①，所以()()2123112311nnnaaananana++++++++=+②，②−①得，()()2211

1111nnnnnannananaan++++=+−=+，所以有324111231123112234nnnaaaanaaaaaaann−−===，所以20254675a=．故答案为：4675.14.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，过点F且斜率为3

的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则sinQMN的值为__________.【答案】58【解析】【分析】由题意得3p=，可得抛物线的方程和直线AB的方程，联立直线AB方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式可

得中点Q的坐标和弦长AB，可得圆Q的半径，在QMPRt中，由锐角三角函数的定义可得所求值.【详解】抛物线2:2(0)Cypxp=得焦点为,02pF，准线方程为2px=−，由题意得3p=，则抛物

线方程为26yx=，3,02F，直线AB方程为332yx=−，由23326yxyx=−=得，22731504xx−+=，设,AB的横坐标为12,xx，则1

25xx+=，12522xx+=，所以5,32Q，12538ABxxp=++=+=，圆O的半径为4，过点Q作QPy⊥轴于点P，则52QP=，在QMPRt中，5sin8QPQMNQM==.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，

共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列na满足：11a=，121nnnaaa+=+.（1）若1nnba=，求证：nb为等差数列.（2）求数列1nnaa+的前n项和nS.【答案】（1）证明见解析（2）21nn+【解析】【分析】（1）将121nnn

aaa+=+两边取倒数，即可得到12nnbb+-=，从而得证；（2）由（1）可得121nan=−，从而得到111122121nnaann+=−−+，利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】因为121n

nnaaa+=+，所以121112nnnnaaaa++==+，即1112nnaa+−=，12nnbb+-=，又1111ba==，所以nb是以1为首项，2为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）可得121nnbna==−，则121nan

=−，所以111111212122121nnaannnn+==−−+−+，所以11111111121323522121nSnn=−+−++−−+111111111121335212122121nnnnn=−+−

++−=−=−+++.16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线2yx=−上，且圆M与直线50xy−−=相切于点()2,3P−.（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】（1）2

2(1)(2)2xy−++=（2）0xy+=或70xy+=.【解析】【分析】（1）根据直线与圆的相切的关系得出圆心与切点连线方程，联立方程组计算可得圆心坐标，根据两点距离公式计算半径即可得圆M的标准方程；（2）根据弦长公式可得

圆心M到直线l的距离，分类讨论直线斜率是否存在，并点到直线的距离公式计算斜率即可.【小问1详解】易知过点()2,3P−且与直线50xy−−=垂直的直线斜率为1，故圆心M与切点连线方程为10xy++=，联立102xyyx++==−解得

12xy==−，所以()1,2M−；所以圆M的半径为22(21)(32)2MP=−+−+=，所以圆M的方程为22(1)(2)2xy−++=.【小问2详解】如图，由（1）可知圆M的方程为22(1)(2)2x

y−++=，因为直线l被圆M截得的弦长为6，所以M到直线l的距离为262222d=−=，若直线l的斜率不存在，则方程为0x=，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；若直线l的斜率存在，设方程为ykx=，则

22221kdk+==+，即2870kk++=，解得1k=−或7k=−，所以直线l的方程为0xy+=或70xy+=.17.已知直三棱柱111ABCABC−中，12ABBCBB===，且ABBC⊥，点,EF分别为线段AC和1CC的中点.（1）证明：1AE⊥平面BEF；（2）求平面

1ABC与平面BEF的夹角.【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）通过证明1AEBE⊥、1AEEF⊥来证得1AE⊥平面BEF.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面1ABC与平面BEF的夹角.【小问1详解】1AA⊥平面,ABCBE平面1,ABCAABE⊥

，又,.ABBCAEECBEAC==⊥，又1AAACA=，,1AAAC平面11ACCA，BE⊥平面11ACCA又1AE平面111,AACCAEBE⊥.又1tantan2AEAEFC==11ππ,22AEAEFCEFCFECAEAFEC

=+=+=，即1AEEF⊥.又,,EFBEEEFBE=平面BEF，1AE⊥平面BEF.【小问2详解】如图所示，以点B原点，BA为x轴，BC为y轴建立空间直角坐标系，易得11(2,0,0),(0,0,0),(0,2,2),(2,0

,2),(1,1,0)ABCAE，()()12,0,0,0,2,2,BABC==设平面1ABC的法向量𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则120,220nBAxnBCyz===+=，取1y=，则法向量𝑛⃗=(0,1,−1).由

（1）可知()11,1,2AE=−−平面BEF的法向量.为11133cos,,226AEnAEnAEn===平面1ABC与平面BEF的夹角为π6.18.已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，点()2,Aa在抛物线C上，且3AF=.（1）求抛物线C的方程，并求a的值；（2）过焦

点F直线l与抛物线C交于M，N两点，若点()1,1B−满足90MBN=，求直线l的方程.【答案】（1）24yx=，22a=（2）220xy−−=.【解析】【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出p，即可求出抛物线方程；（2）设直线l的方程为1xmy=+

，𝑀(𝑥1,𝑦1)、𝑁(𝑥2,𝑦2)，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由0BMBN=得到方程，解得即可.【小问1详解】抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的准线方程为2px=−，因为点(2,)Aa在抛物线C上，且3AF=，所以232pAF=+=，解得2p=，所以抛物线

方程为24yx=，又因为点(2,)Aa在抛物线C上，所以28a=，即22a=.小问2详解】由（1）可知抛物线的焦点𝐹(1,0)，显然直线l斜率不为0，设直线的方程为1xmy=+，𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，的【的由214xmyyx=+=，消去x整理得

2440ymy−−=，所以216160m=+△，则124yym+=，124yy=−，所以()21212242xxmyym+=++=+，()()()2121212121111xxmymymyymyy=++=+++=，又(1,1)B−，所以()111,1BM

xy=+−，()221,1BNxy=+−，因为90MBN=，所以()()()()211211110BMBNxxyy=+++−−=，即()()12121212110xxxxyyyy++++−++=，即214214410mm+++−−+=，解得12m=，所以直线l的方程为11

2xy=+，即220xy−−=.19.如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线1C与椭圆2C是“共轴”曲线，且椭圆()2222:1039xyCbb+=，12459ee=（1e、2e分别为曲线1C、2C的离心率）．已知点

()1,0M，点P为双曲线1C上任意一点．（1）求双曲线1C的方程；（2）延长线段PM到点Q，且2PMMQ=，若点Q在椭圆2C上，试求点P的坐标；（3）若点P在双曲线1C的右支上，点A、B分别为双曲线1C的左、右

顶点，直线PM交双曲线的左支于点R，直线AP、BR的斜率分别为APk、BRk．是否存在实数，使得APBRkk=？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2219xy−=（2）()6,3−或()6,3或()3,0（3

）当PB、重合时，R；当PB、不重合时，存在实数12=，使得12APBRkk=，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案；（2）设()()1122,,,PxyQxy，由2PMMQ=，可得

122131==22xxyy−−，，代入2C方程与1C方程联立，即可求得点P的坐标；（3）讨论当PB、重合时，R；PB、不重合时，设出直线PR的方程为1xty=+，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.【小问1详解】根据题意双曲线(

)2222:1039xyCbb−=，因22129945339bbee−+==，解得1b=，双曲线1C的方程为2219xy−=；【小问2详解】由（1）知，221:19xCy−=，222:19xCy+=，设()()1122,,,Px

yQxy，已知()1,0M，又2PMMQ=，所以122131==22xxyy−−，，由点Q在椭圆2C上，则2121312=192xy−+−，为又点P为双曲线1C上任意一点，则221119xy−=，联立，

解得11=6=3xy，或11=3=0xy−，所以点P的坐标为()6,3−或()6,3或()3,0；【小问3详解】当PB、重合时，R；当PB、不重合时，存在实数12=，使得12APBRkk

=，理由如下，当PB、重合时，由题意0BRk=，则0APk=，则R，当PB、不重合时，0BRk，设直线PR的方程为1xty=+，()()1133,,,PxyRxy，由22119xtyxy=+−=得()229280t

yty−+−=，因为双曲线的渐近线方程为3xy=，又直线PM交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以()3,3t−，由韦达定理得，13132228,99tyyyytt−−+==−−，所以11313111133131333322344432A

PBRkyytytyyyxtyyyytyytyyyxtyk−−++====++−−()()21212112282829198221649499tytytttttytytt−−−−−−====−−−−−+−−−，所以存在实数12

=，使得12APBRkk=.【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值.