【文档说明】辽宁省实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题+含答案.docx，共(33)页，3.367 MB，由小赞的店铺上传

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辽宁省实验高中高二年级10月月考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知(2,3,1)a=−−，(2,0,4)b=，(4,6,2)c=−−，则下列结论正确的是

（）A.//,//acbcB.,abac⊥//C.//,acab⊥D.以上都不对2.已知直线()():2110lmxmym++−+−=，若直线l与连接()1,2A−、()2,1B两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（）A.ππ,44−B.3π,π4

C.π3π,44D.π3π0,,π443.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥PABCD−为阳马，PA⊥平面ABCD，且2

ECPE=，若DExAByAzAPC+=+，则xyz++=（）A.1B.2C.13D.534.已知直线221:(23)()41lmmxmmym+−+−=−，2:350lxy−−=互相垂直，则实数m的值为（）A.3B.3或1C.1D.3−或1−5.正方体1111ABCDABC

D−的棱长为2，P是空间内的动点，且123PBPD+=，则APPB的最大值为（）.A.－8B.426−+C.13D.16.若点()00Pxy，是直线l：0AxByC++=外一点，则方程00()0AxByCAxByC

+++++=表示（）A.过点P且与l平行的直线B.过点P且与l垂直的直线C.不过点P且与l平行的直线D.不过点P且与l垂直的直线7.在直角坐标系中，已知(1,0)A，(4,0)B，若直线10xmy+−=上存在点P，使得||2||PAPB=，则正实数m最小值是()A.13B.3C.33D.38.已

知正方体ABCDABCD−的棱长为3E，为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CCDD上运动，当平面BEP与平面ABCD和平面CCDD所成的角相等时，则DP的最小值为（）A.3105B.31010C.9101

0D.71010二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间四点()()()()0,0,0,4,

3,0,3,0,4,5,6,4OABC−，则下列说法正确的是（）A.12OAOB=B.12cos,25OAOB=−C.点O到直线BC的距离为5D.,,,OABC四点共面10.已知直线:2410lkxyk−−+=，则下列表述正确的是（）A.当2k=时，直线

的倾斜角为45°B.当实数k变化时，直线l恒过点14,2C.当直线l与直线240xy+−=平行时，则两条直线的距离为1D.原点到直线l的距离最大值为65211.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P，Q分别是线段1AB，11BD上的点，则下

列结论正确的的是（）A.三棱锥11PCBD−的体积是43B.线段PQ的长的取值范围是23,233C.若P，Q分别是线段1AB，11BD中点，则PQ与平面AC所成的角为π6D.若P，Q分别是线段1AB，11BD的中点，则PQ与直线AC所成的角为π312

.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确的是（）A.当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥11PAADD−的体积不变B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是ππ,32C.使直线

AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2242π3+D.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，PF长度的最小值是5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1,0a=r，

()1,0,2b=−，若向量kab+与akb+平行，则k=______．14.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足112++233APABADAE=，则P到AB的距离为______的15.已知10xy++=，则()2222+－2－2＋2＋－2＋xyxyxy的最小值为_

_____16.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体1111ABCDABCD−的上底面1111D

CBA绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCDEFGH−.已知2ABAD==，7AE=，()221DCDP=+，过直线EP作平面，则十面体ABCDEFGH−外接球被平面所截的截面圆面积的最小

值是______四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知直线230xy−+=与直线320xy++=交于点P.求：（1）过点P且垂直于直线4320xy++=的直线1l的一般式方程；（2）过点P且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线2l的一

般式方程.18.如图，己知在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，点Q在棱PA上，且44PAPQ==，底面为直角梯形，90CDABAD==，2,1,2,,ABCDADMN===分别是,PDPB的

中点．（1）求证：//MQ平面PCB；（2）求直线BC与平面MCN所成角的正弦值.19.已知直线l的方程为：()()()212430mxmym++−+−=．.（1）求证：不论m为何值，直线必过定点M；（2

）过点M引直线1l，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l的方程．20.如图所示，ABC是等腰直角三角形，90ACB=，EA、FC都垂直平面ABC，且222FCEAAC===．（1）证明：EFEB⊥；（2）在平面EFB内寻求一点M，

使得AM⊥平面EFB，求此时二面角MABF−−的平面角的正弦值.21.如图，在三棱柱111ABCABC-中，ACBC=，四边形11ABBA是菱形，160ABB=，点D在棱1CC上，且1CDCC=．（1）

若1ADBC⊥，证明：平面1ABC⊥平面ABD．（2）若12ABBCAC==，是否存在实数，使得平面1ABC与平面ABD所成角余弦值是17？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22.如图，菱形ABCD边长为2，60BAD=，E为AB的中点.将A

DEV沿DE折起，使A到达A，连接AB，AC，得到四棱锥ABCDE−.的的（1）证明：DEAB⊥；（2）当二面角ADEB−−在π2π,33内变化时，求直线AC与平面ADE¢所成角的正弦值的最大值.辽宁省实验高中高二年级10月月考一、选择题共8小题，

每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知(2,3,1)a=−−，(2,0,4)b=，(4,6,2)c=−−，则下列结论正确的是（）A.//,//acbcB.,abac⊥//C.//,acab⊥D.以上都不对【

答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标，逐项判断作答.【详解】由(2,3,1)a=−−，(2,0,4)b=，(4,6,2)c=−−，知(4622,3,1())22ca=−−−=−=,,，即//ac，B错误；又22(3)0140

ab=−+−+=，因此ab⊥，同理bc⊥，AD错误，C正确.故选：C2.已知直线()():2110lmxmym++−+−=，若直线l与连接()1,2A−、()2,1B两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（）A.ππ,44−B.3π,π4C.π3π,4

4D.π3π0,,π44【答案】D【解析】【分析】求出直线l过的定点，利用数形结合方法求出直线l的斜率范围，进而求出倾斜角范围.【详解】直线()()1210xym

xy+++−−=，由10210xyxy++=−−=，解得01xy==−，即直线l过定点()0,1P−，设直线l的斜率为k，直线l的倾斜角为，则0π，显然直线PA的斜率为()12101−−−=−−，直线PB的斜率为1

1102−−=−，由于直线l经过点()0,1P−，且与线段AB总有公共点，则11k−，即ta11n−，又231111mkmm+==−+−−−，于是1tan1−，因此π04或3ππ4，所以直线l的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44

.故选：D3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥PABCD−为阳马，PA⊥平面ABCD，且2ECPE=，若DExAByA

zAPC+=+，则xyz++=（）A.1B.2C.13D.53【答案】A【解析】【分析】根据向量线性运算，以,,ABACAP为基底表示出DE，从而确定,,xyz的取值.【详解】2ECPE=，13PEPC=，()1133DEAEADAPPEADAPPCADAPAC

APAD=−=+−=+−=+−−()212121333333APACADAPACBCAPACACAB=+−=+−=+−−2233APACAB=−+，1x=，23y=−，23z=，1xyz++=.故选：A.4.已知直线221:(23)()41lmmxmmym+−+−=−，2:350lxy

−−=互相垂直，则实数m的值为（）A.3B.3或1C.1D.3−或1−【答案】A【解析】【分析】根据两一般式直线相互垂直求m的值，注意验证求得m的值是否满足直线方程.【详解】因为直线221:(23)()41lmmxmmym+−+−=−，2

:350lxy−−=互相垂直，所以()22(23)1()30mmmm+−+−−=，所以3m=或1，当1m=，直线1:001lxy+=−不存在，故3m=.故选：A5.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，P是空间内的动点，且123PBPD+=，则APPB的最大值为（）.A.－

8B.426−+C.13D.1【答案】B【解析】【分析】取1BD的中点M，连接PM，取AB的中点N，连接PN，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体1111ABCDABCD−的外接球，然后由向量的运算可得21APPBPN=−，从而可求得结果.【详解】取1BD的中

点M，连接P，则12PBPDPM+=，则1223PBPDPM+==，即3PM=，故动点P的轨迹为以M为球心，3为半径的球.由正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，可知正方体1111ABCDABCD−外接球的半径为3，即动点P的轨迹为正方体1111ABCDABCD−的外接球.取AB的中点N，

连接PN，则()()()()APPBPNNAPNNBPNNAPNNA=−++=−+−2221NAPNPN=−=−.由题可知，2MN=，则3232PN−+，2526526PN−+，则24261426PN−−−−+.所以APPB的最D值为426−+，故选：B.6.若

点()00Pxy，是直线l：0AxByC++=外一点，则方程00()0AxByCAxByC+++++=表示（）A.过点P且与l平行的直线B.过点P且与l垂直的直线C.不过点P且与l平行的直线D.不过点P且与l垂直的直线【答案】C【解析】【分析】易知点P的

坐标不在直线上，根据两直线方程的一般形式中,xy的系数相同，但C不同，可得直线平行；【详解】∵点()00Pxy，不在直线l：0AxByC++=上，∴000AxByC++，∴直线00()0AxByCAxByC+++++=不过点P，又直线00()0AxByCAx

ByC+++++=与直线l：0AxByC++=平行，故选：C.7.在直角坐标系中，已知(1,0)A，(4,0)B，若直线10xmy+−=上存在点P，使得||2||PAPB=，则正实数m的最小值是()A.13B.3C

.33D.3【答案】D【解析】【分析】设(1,)Pmyy−，由||2||PAPB=结合两点间的距离公式，得到关于y的一元二次方程，利用判别式0…可解出m的范围，取其最小的正值即可．详解】解：设(1,)Pmyy−，由||2||PAPB=得2222

(11)4(14)myymyy−−+=−−+化简得22(1)8120mymy+++=，226448(1)0mm=−+…，解得3m…或3m−„（舍)，易知3m=时，3y=−．故m的最小值为3．故选：D．【点睛】本题考

查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养，属于基础题．8.已知正方体ABCDABCD−棱长为3E，为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CCD

D上运动，当平面BEP与平面ABCD和平面CCDD所成的角相等时，则DP的最小值为（）A.3105B.31010C.91010D.71010【答案】A【解析】【的【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，设(),3,Pxz，根据二面角的空间向量坐标公式表达平面BEP与平

面ABCD和平面CCDD所成的角，再化简结合z的取值范围求解即可.【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为3，则()2,0,0E，()3,0,3B，()0,3,3D，设(),3,Pxz，则()1,0,3EB=，()2,3,EPxz=−，由正方体的性质可得平面

ABCD的一个法向量为()10,0,1n=，平面CCDD的一个法向量()20,1,0n=uur，设平面BEP的法向量()3,,nabc=，则3300EBnEPn==，即()30230a

cxabzc+=−++=，取1c=，则3a=−，23zbx=−−，故33,2,13znx=−−−，又平面BEP与平面ABCD和平面CCDD所成的角相等，故1323cos,cos,nnnn

=，即13231323nnnnnnnn=，故123zx=−−，即213zx−−=，213zx−−=−.①当213zx−−=，即33zx=+时，因为0,3x，所以9,0z−，又0,3z，则0z=，3x=，此时223332PD==+.②当213zx−−=−，即1

3zx=+时，因为0,3x，所以3,6z−，又0,3z，故0,3z，此时()()22222101631310393zPDxzzzz=+−=++−=−+，故当161230,310529z−==−时210161093PDzz=−+取

最小值3105.综上PD的最小值为3105.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间四点()()()()0,0,

0,4,3,0,3,0,4,5,6,4OABC−，则下列说法正确的是（）A.12OAOB=B.12cos,25OAOB=−C.点O到直线BC的距离为5D.,,,OABC四点共面【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示公式、夹角公式，结合四点共面的性质、点到线距离公式逐一判断即可.【

详解】A：因为()()4,3,0,3,0,4OAOB==−，所以()4312OAOB=−=−，因此本选项不正确；B：因为()()4,3,0,3,0,4OAOB==−，所以()22221212cos,254334O

AOBOAOBOAOB==−=−+−+，因此本选项正确；C：()()3,0,4,8,6,0BOBC=−=，()22222412cos,253486BOBCBOBCBOBC===+−+，所以2481sin,1cos,25BOBCBOBC=−=

所以点O到直线BC的距离为481481sin,5255BOBOBC==，因此本选项不正确；D：因为()()4,3,0,8,6,0OABC==，所以有2BCOA=，因此,BCOA是共线向量，所以,,,OABC四点共面，因此本选项正确，故选：BD10.已知直线:2410lk

xyk−−+=，则下列表述正确的是（）A.当2k=时，直线倾斜角为45°B.当实数k变化时，直线l恒过点14,2C.当直线l与直线240xy+−=平行时，则两条直线的距离为1D.原点到直线l的距离最大值为652【答案】ABD【解析】【分析】A选项，可求出直

线斜率，即可判断选项正误；B选项，将直线方程整理为()4120kxy−+−=，由此可得直线所过定点；C选项，由题可得1k=−，后由平行直线距离公式可判断选项；D选项，根据直线l恒过点14,2判断即可.【详解】A选项，当2k=时，直线方

程为2270xy−−=，可得直线斜率为1，则倾斜角为45°，故A正确；B选项，由题可得()4120kxy−+−=，则直线过定点14,2，故B正确；C选项，因直线l与直线240xy+−=平行，则2282

8kk=−−+，解得1k=−，则直线方程为：250xy−−+=，即250xy+−=.则l与直线240xy+−=之间的距离为22455512−+=+，故C错误；D选项，因为直线l恒过点14,2P，故原点到直线l的距离22165422dOP

=+=，当且仅当lOP⊥时取等号，故D正确.的故选：ABD11.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P，Q分别是线段1AB，11BD上的点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥11PCBD−的体积是43B.线段PQ的长的取值范围是23,233C.若P，Q分别是

线段1AB，11BD的中点，则PQ与平面AC所成的角为π6D.若P，Q分别是线段1AB，11BD的中点，则PQ与直线AC所成的角为π3【答案】AC【解析】【分析】以D为坐标原点，以1,,DADCDD的方向为正

方向建立空间直角坐标系，对于A,利用//,ABDC得到//AB平面CBD，从而故点P到平面CBD的距离等价于点B到平面CBD的距离,近一步转化即可求出三棱锥11PCBD−的体积；对于B,设出点,PQ

的坐标，利用空间中两点间的距离公式计算出PQ，通过化简，求出PQ的最小值即可；对于C,求得平面AC的法向量n，利用公式sincos,PQn=，即可求得；对于D，求出cos,PQAC，得到,PQAC的大小即可.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：因为棱长为2，所以()2,0,

0,(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)ABCAD,(0,2,2),(0,2,2),(2,2,0)ABDCAC=−=−=−,对于A,(0,2,2),(0,2,2),ABDC=−=−,

ABDC=则//,ABDC所以//ABDC,又AB平面CBD,DC平面CBD，所以//AB平面CBD，又点PAB,故点P到平面CBD的距离等价于点B到平面CBD的距离,所以111111142233PCBDBCBDDBCB

VVV−−−====,故A正确；对于B,设(2,,2),(,,2),,[0,2]PmmQnnmn−则()()22222222224PQnnmmmnmnn=−+−+=+−−+2232102()()22

33nmn=−+−+，故223nmn==及1323mn==时，min103023333PQ==，故B错误；对于C,若P，Q分别是线段1AB，11BD的中点，则(2,1,1),(1,1,2)PQ,(1,0,1)PQ=−,取平面AC的法向量(0,0,1

)n=，设为PQ与平面AC所成的角，则12sincos,22PQnPQnPQn====，所以π4=，即PQ与平面AC所成的角为π4，故C错误；对于D,若P，Q分别是线段1AB，11BD的中点，则(2,1,1),(1,1,2)PQ,(1,0,1)PQ=−，则(1,0

,1)(2,2,0)2PQAC=−−=,则21cos,2222PQACPQACPQAC===，则π,,3PQAC=即PQ与直线AC所成的角为π3，故D正确.故选：AD.12.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确

的是（）A.当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥11PAADD−的体积不变B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是ππ,32C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹

长度为2242π3+D.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，PF长度的最小值是5【答案】CD【解析】分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即

可【详解】A选项，底面正方形11AADD的面积不变，P到平面11AADD的距离为正方体棱长，故四棱锥11PAADD−的体积不变，A选项正确:B选项，1DP与11AC所成角即1DP与AC所成，当P在端点,AC时，所成角最小，

为π3，当P在AC中点时，所成角最大为π2，故B选项正确；C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线1AB，1AD，以及以1A为圆心2为半径的14圆弧如图，【故P的轨迹长度为42π+，C选项错误；D选项，FP所在的平

面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应边的中点，设1BB中点为Q，DC中点为O，此时当P为BC中点时FP取最小值，此时FPOP⊥，FQP为等腰三角形，故36FPFQ==，故D选项错误.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分.13.已知()1,1,0a=r，()1,0,2b=−，若向量kab+与akb+平行，则k=______．【答案】1或1−【解析】【分析】先求出kab+和akb+rr的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算即可．【详解】由()1,1,0a=r，()1,0,2b

=−r，则()1,,2kabkk+=−，()1,1,2akbkk+=−rr，又向量kab+与akb+rr平行，即存在使得()()1,,21,1,2kkkk−=−成立，则有()1122kkkk

−=−==，解得1k=或1k=−．故答案为：1或1−．14.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足112++233APABADAE=，则P到AB的距离为______【答案】53【解析】【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在的直线分别为,,xyz轴建

立空间直角坐标系，计算出AB和AP的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离即可.【详解】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，因为()1,0,0AB=，()0,1,0AD=uuur，()0,0,1AE=，故112112++2,32

3,33APABADAE==，则设AP，AB的夹角为，则222132cos29112233ABAPABAP===++，故22325sin1cos1

2929=−=−=，则点P到AB的距离为2221122529255sin233632929dAP==++==.故答案为：5315.已知10xy++=，则()2222+－2－2＋2＋－2＋xyxyxy的最小值为______【答案】25

【解析】【分析】由两点距离公式可将()2222+－2－2＋2＋－2＋xyxyxy转化为(),Pxy到()1,1A，()2,0B的距离和，先求得()1,1A关于直线10xy++=的对称点()2,2C−−，则BC即为距离和的最小值，由距离公式求BC即可.【详解】()()()()

xyxyxyxyxy=−−+22222222+－2－2＋2＋－2＋1+1－2＋，设(),Pxy在直线10xy++=上，点()1,1A，()2,0B，则()()221+1PAxy−−=，()222+xyPB−=，则()xyxyxyPAPB=+2222+－2－2＋2＋－

2＋,如图，A关于直线的对称点为C，则PAPB+的最小值即为线段长BC，设()11,Cxy，则()11111110221111xyyx++++=−−=−−，解得1122xy=−=−，

即()2,2C−−，故()()22222025BC=−−+−−=，所以()xyxyxyPAPBBC=+=222225+－2－2＋2＋－2＋，故答案为：2516.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为

全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体1111ABCDABCD−的上底面1111DCBA绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCDEFGH−.已知2ABAD==，7AE=，()221DCDP=+，过直线EP作平面，则十面体ABCDEFGH−外接球被平面

所截的截面圆面积的最小值是______【答案】(81562)π48+【解析】【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答.【详解】依题意，四边形EFGH是正方形，令正方形ABCD与正方形EFGH中心分别为1,OO，

连接1OO，因为正方形1111DCBA与正方形EFGH在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，从而十面体ABCDEFGH−与长方体1111ABCDABCD−的外接球相同，球心O是线段1OO

的中点，如图，取AB中点M，连接,OMEM，因为AEBE=，则EMAB⊥，显然OMAB⊥，又,,OMEMMOMEM=平面EMO，则AB⊥平面EMO，而1OO⊥平面ABCD，AB平面ABCD，即有1OOAB⊥，11,,O

OOMOOMOO=平面1MOO，则AB⊥平面1MOO，平面EMO与平面1MOO有公共点O，显然平面EMO与平面1MOO为同一平面，有1//OEOM，而12,1OEOM==，226MEAEAM=−

=，在直角梯形1EMOO中，过M作1MIOE⊥于I，22216(21)21OOMIMEEI==−=−−=+，球O的半径2222211122()(2)22ROBOOOB++==+=+=，过D作Dz⊥平面ABCD，以

点D为原点，射线,,DADCDz分别为,,xyz轴非负半轴，建立空间直角坐标系，则21(0,0,0),(0,2,0),(21,1,21),(1,1,)2DCEO+++，(0,2,0)DC=，由已知得)1)2,(0,102(12DPDC==−+，即(0,21,0)P−，

(21,22,21)PE=+−+，21(2,0,)2OE+=，则点O到直线PE的距离d有：222||||()||PEOEdOEPE=−,球O被过直线EP的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点O到直线PE的距离d，截得的最小截面圆

半径为r，而OER=，则22222222||||[||()]||||PEOEPEOErRdROEPEPE=−=−−=222322(22)815622482(21)(22)++++==++−，所以截得的截面圆面积的最小值是2(81562)ππ48r+=.故答案为：(815

62)π48+四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线230xy−+=与直线320xy++=交于点P.求：（1）过点P且垂直于直线4320xy++=的直线1l的一般式方程；（2）

过点P且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线2l的一般式方程.【答案】（1）3470xy−+=（2）0xy+=或20xy−+=【解析】【分析】（1）联立已知直线方程，得交点P的坐标，根据直线1l垂直于直线4320xy++=设直线1

l的方程，代入P点坐标即可得1l的方程；（2）根据直线2l在两坐标轴上的截距互为相反，讨论直线过原点和截距不为零的情况分别求得直线2l的方程即可.【小问1详解】联立230320xyxy−+=++=，解得11x

y=−=，所以()1,1P−.由于直线1l垂直于直线4320xy++=则可设直线1l的方程为340xy−+=，代入点P的坐标，得7=.所以直线1l的一般式方程为3470xy−+=.【小问2详解】解：当直线2l过坐标原点时，直线2l的斜率10110OPkk−==

=−−−此时直线2l的方程为yx=−，即0xy+=；当直线2l不过坐标原点时，由于直线2l在两坐标轴上的截距互为相反数则可设直线2l的方程为()10xyaaa+=−，代入点P的坐标，得2a=−，所以直线2l的方程为122xy+=−，即20xy−+

=.综上所述，直线2l的一般式方程为0xy+=或20xy−+=.18.如图，己知在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，点Q在棱PA上，且44PAPQ==，底面为直角梯形，90CDABAD==，2,1,2,,ABCDADM

N===分别是,PDPB的中点．（1）求证：//MQ平面PCB；（2）求直线BC与平面MCN所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）36【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，计算各点坐标，计算平面PCB的法向量，由00MQn=，

即可证明；（2）求出直线BC的方向向量与平面MCN的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案.小问1详解】以A为原点，以,,ADABAP分别为,,xyz建立空间直角坐标系Oxyz−，【由2,1,2,ABCDAD===44PAPQ==，,MN分别是,PDPB的中点，可得：()()()()()()

20,0,0,0,2,0,2,1,0,2,0,0,0,0,4,0,0,3,,0,2,2ABCDPQM()0,1,2N，∴()()2,1,0,0,2,4BCPB=−=−，2,0,12MQ=−设平面的PBC的法向量为()0111,,

nxyz=，则有：0111100202400nBCxyyznPB=−=−==，令11z=，则()1102,22,2,1xyn===，∴()02,0,12,2,102MQn=−=，又MQ平面PCB，∴MQ//平面PCB

.【小问2详解】设平面的MCN的法向量为(),,nxyz=，又()2,1,2,2,0,22CMCN=−−=−则有：202020220nCMxyznCNxz=−−+==−+=，令1z=，则2,1xy==，所以()2,1,1n=又()2,1,0

BC=−，设直线BC与平面MCN所成角为，∴13sincos623nBCnBCnBC====，∴求直线BC与平面MCN所成的角的正弦值为36.19.已知直线l的方程为：()()()212430mxmym++−+−=．（1）求证：不论m为何值，直线必过定点M；

（2）过点M引直线1l，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l的方程．【答案】（1）证明见解析（2）240xy++=【解析】【分析】（1）列出方程()23240xymxy−−+++=，分别

令230xy−−=，240xy++=可求出定点；（2）先令20kyxk−==−，，令02xyk==−，，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可.【小问1详解】证明：直线l的方程为：()()()212

430mxmym++−+−=提参整理可得：()23240xymxy−−+++=．令230240xyxy−−=++=，可得12xy=−=−，不论m为何值，直线必过定点()1,2M−−.【小问2详解】设直线1l的方程为()12(0)ykxk=+−．令0y=，则

2kxk−=−，令0x=，．则2yk=−，直线1l与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积()()12141424244222kSkkkkkk−=−=−++−+=−−−．当且仅当4

kk−=−，即2k=−时，三角形面积最小．此时1l的方程为240xy++=．20.如图所示，ABC是等腰直角三角形，90ACB=，EA、FC都垂直平面ABC，且222FCEAAC===．（1）证明：EFEB⊥；（2）在平面EFB内寻求一点M，使得AM⊥平面EFB，求此时二面角MABF−−的平面

角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）107833【解析】【分析】（1）以C为原点，,,CACBCF分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明；（2）根据四点共面、线面垂直等求出点M的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角MABF−−的平面角的正弦值.【

小问1详解】因为90ACB=，EA、FC都垂直平面ABC，如图，以C为原点，,,CACBCF分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，222FCEAAC===，则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1

,0,1,0,0,2CABEF，所以()()1,0,1,1,1,1EFEB=−=−−，则()1010EFEB=++−=，故EFEB⊥；【小问2详解】设平面EFB的法向量为(),,nxyz=，则00020EFnxzxzxyzyzEBn=−+==−+−=

==，令1z=，则()1,2,1n=设(),,Mmnl，则()1,,AMmnl=−，由于AM⊥平面EFB，所以//AMn，则1121mnl−==，所以1,2mlnl=+=，即()1,2,Mlll+，又M平面EFB，故存在实数,,abc，且满足1abc++=，使得()()()(),0,0

,0,20,,0,,2CMaCEbCFcCBaabcacab=++=++=+，故1221lalclababc+===+++=，解得16l=，所以711,,636M设平面ABF的法向量为()111,,mxyz=，又()()1,0,2,1,1,0AFAB=−=−则111

11111202000xzxzAFmxyxyABm−+===−+===，令11z=，则()2,2,1m=设平面MAB的法向量为()222,,txyz=，又()111,,,1,1,0636AMAB==−

则22222222211130063600zxAMtxyzxyABtxy=−=++===−+=，令21x=，则()1,1,3t=−，所以22311cos,33311mtmtmt+−===，所以21078sin

,1cos,33mtmt=−=则二面角MABF−−的平面角的正弦值为107833.21.如图，在三棱柱111ABCABC-中，ACBC=，四边形11ABBA是菱形，160ABB=，点D在棱1CC上，且1CDCC=．（1）若1ADBC⊥，证明：平面1ABC⊥平面ABD．（

2）若12ABBCAC==，是否存在实数，使得平面1ABC与平面ABD所成角的余弦值是17？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在12=或15=【解析】【分析】(1)取AB的中点O，连接1OB，OC，利用题中的条件得出A

B⊥平面1OBC，由线面垂直得到线线垂直1ABBC⊥，最后结合面面垂直的判定即可求解；(2)根据条件建立空间直角坐标系，设2AB=，根据坐标之间的关系得出(),1,3D−，然后分别求出两平面的法向量，根据两平面所成角的余弦值是

17，代入向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：取AB的中点O，连接1OB，OC．因为四边形11ABBA是菱形，且160ABB=，所以11ABBB=．因为O为AB的中点，所以1ABOB⊥．因为ACBC=，且O为AB的中点，所以AB⊥OC．因为1OB，OC

平面1OBC，且1OBOCO=，所以AB⊥平面1OBC．因为1BC平面1OBC，所以1ABBC⊥．因为1ADBC⊥，AB，AD平面ABD．且ABADA=，所以1BC⊥平面ABD．因为1BC平面1ABC，所以平面1ABC⊥平面ABD．【小问2详解】因

为22ABACBC==，所以222ABACBC=+，所以AC⊥BC．因为O是AB的中点，所以12OCAB=．因为四边形11ABBA是菱形，且∠160ABB=，所以1ABB是等边三角形．因为O是AB的中点，所以132OBAB=．因为222222111OBOAABO

BOCBC+=+==，所以1ABBC=，则OB，OC，1OB两两垂直，故以O为原点，OB，OC，1OB的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB=，则()1,0,0A−，()1,0,

0B，()0,1,0C，()12,0,3A−，()10,0,3B，故()1,1,0AC=，()2,0,0AB=，()11,0,3AB=，()1,1,0BC=−uuur，1(1,0,3)AA=−.因为()11,0,3CDCCAA===−，所以(),1,3D−，所以(

)1,1,3AD=−．设平面1ABC的法向量为()111,,xnyz=，则11111·0·30nACxynABxz=+==+=，令13x=，得()3,3,1n=−−．设平面ABD的法向量为()222,,mxyz=，则2222·20·(1)

30mABxmADxyz===−++=，令21z=−，得()0,3,1m=−．设平面1ABC与平面ABD所成的角为，则2131coscos,7731nmnmnm−====+，解得12=或1

5=，故存在12=或15=，使得平面1ABC与平面ABD所成角的余弦值是17．22.如图，菱形ABCD的边长为2，60BAD=，E为AB的中点.将ADEV沿DE折起，使A到达A，连接AB

，AC，得到四棱锥ABCDE−.（1）证明：DEAB⊥；（2）当二面角ADEB−−在π2π,33内变化时，求直线AC与平面ADE¢所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（

2）31−【解析】【分析】（1）根据线面垂直即可得线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角求解线面角，结合基本不等式即可求解最值.【小问1详解】在菱形ABCD中，因为E为AB的中点，60BAD=，所以DEAB⊥

，在翻折过程中，恒有DEAE⊥，DEBE⊥，又AEBEE=，,AEBE平面ABE，所以DE⊥平面ABE，而AB平面ABE，所以DEAB⊥.【小问2详解】由（1）知AEB为二面角ADEB−−的平面角，记其为，则π2π,33，以EB的方向为x轴的

正方向，ED的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0E，()cos,0,sinA，()0,3,0D，()2,3,0C，()cos,0,sinEA=，()0,3,0

ED=,设平面ADE¢的法向量(),,nxyz=，则0EAnEDn==，得cossin0,30,xzy+==令sinx=，得()sin,0,cosn=−，()2cos,3,sinAC=−−，则22sin1cos,84cos2cos1cosACnA

CnACn===−−−.令2cost=−，π2π,33，得35,22t.2113cos,44233113344ACnttttttt===−++−=−−

+−−++，当且仅当3t=时，等号成立.设直线AC与平面ADE¢所成角为，则sincos,ACn=故直线AC与平面ADE¢所成角的正弦值的最大值为31−.获得更多资源请扫码加入享

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