【文档说明】浙江省杭州之江高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(11)页，415.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，5，6，7}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，

2}2．已知命题p：“∃x＞0，使得x2﹣x﹣2＞0”，则命题p的否定是（）A．∀x≤0，总有x2﹣x﹣2＞0B．∀x＞0，总有x2﹣x﹣2≤0C．∃x＞0，使得x2﹣x﹣2≤0D．∃x≤0，使得x2﹣x﹣2＞03．“三角形为等边三角形”是“

三角形为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中表示同一函数的是（）A．y＝与B．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1C．y＝与D．y＝与y＝x﹣35．若a，b，c为实数，且a＜

b＜0，则（）A．ac2≤bc2B．C．ac＜bc＜0D．0＜a2＜b26．函数中，有（）A．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增B．f（x）在（1，+∞）上单调递减C．f（x）在（1，+∞）上单调递增D．f（x）在（

﹣1，+∞）上单调递减7．若正数x，y满足＝1，则x+2y的最小值为（）A．B．C．25D．278．定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（1，+∞）∪（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）D．（0，1

）9．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，1]∪{0}D．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]∪{0}1

0．函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+12），y＝f（x﹣1）的图形关于（1，0）对称，且f（8）＝1，则f（2020）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空

题每小题6分，共36分。11．函数的定义域为，f（x）的表达式为．12．设函数，则f（1）＝，f（f（3））＝．13．函数的奇偶性是，在[1，+∞）上的单调性是．14．已知函数f（x）＝﹣ax3﹣bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，若它的定义域为[a

﹣1，2a]，那么a＝，b＝．15．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是．16．给定下列四个命题：其中为假命题的有.（填上假命题的序号）（1）x＞0，记M＝x+，则M≥2；（2）如果函数f（x）为偶函数，那么

一定有f（x）＝f（|x|）；（3）函数f（x）＝x+的最大值为；（4）命题p：＞0的否定为≤0．17．若正数a，b满足a+b＝1，则+的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。18．集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x

|x＜﹣3或x＞1}，D＝{x|m≤x≤m+6}．（1）求∁RB及A∩B；（2）若B∪D＝R，求实数m的取值范围．19．（1）已知x＞，求函数y＝4x﹣2+的最小值；（2）当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．20．已知函数．（1）判断f（x）

的奇偶性；（2）当k＝2时，用函数单调性定义证明f（x）在（0，2]上单调递减．21．已知函数f（x）＝，x∈[1，+∞）．（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒

成立，试求实数a的取值范围．22．设函数f（x）＝x2+2ax+2﹣a，（a∈R）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞（1﹣a）x2﹣a+5；（2）若∃x∈[1，2]，使得f（x）＞0成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．已知集合A＝{1，

2，3，4}，B＝{2，5，6，7}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}解：∵集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，5，6，7}，∴A∩B＝{2}．故选：B．2．已知命题p：“∃x＞0，使得x2﹣x﹣2＞0”，则命题p的否定是

（）A．∀x≤0，总有x2﹣x﹣2＞0B．∀x＞0，总有x2﹣x﹣2≤0C．∃x＞0，使得x2﹣x﹣2≤0D．∃x≤0，使得x2﹣x﹣2＞0解：因为命题p为特称命题，所以命题p的否定为全称命题，即命题p的否定为：“∀x＞0，总有x2﹣x﹣2≤0”，故选：B

．3．“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：三角形为等边三角形⇒三角形为等腰三角形，反之不一定成立．∴“三角形为等边三

角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故选：A．4．下列函数中表示同一函数的是（）A．y＝与B．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1C．y＝与D．y＝与y＝x﹣3解：选项A：函数y＝的定义域为R，函数y＝（）4的定义域为[0，+∞），故不是同一函数

，选项B：函数f（x）与g（t）的关系式相同，定义域相同，故是同一函数，选项C：因为y＝，x≠0，则y≠0，函数y＝，则y＞0，故不是同一函数，选项D：因为y＝≥0，而y＝x﹣3∈R，故不是同一函数，故选：B．5．若a，b，c为实数，

且a＜b＜0，则（）A．ac2≤bc2B．C．ac＜bc＜0D．0＜a2＜b2解：根据题意，依次分析选项：对于A，c2≥0，必有ac2≤bc2，A正确；对于B，a＜b＜0，则＞0，则有＜＜0，B错误；对于C，c＜0时，有ac＞bc＞0，C错误

；对于D，a＜b＜0，则有0＜b2＜a2，D错误；故选：A．6．函数中，有（）A．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增B．f（x）在（1，+∞）上单调递减C．f（x）在（1，+∞）上单调递增D．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减解：函数y＝的图象

向左平移1个单位可得函数y＝的图象，因为函数y＝在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，则函数y＝在（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）上单调递减．故选：D．7．若正数x，y满足＝1，则x+2y的最小值为（）A．B．C．25D．2

7解：∵正数x，y满足＝1，∴x+2y＝（x+2y）（+）＝1+16++≤17+2×2＝25，当且仅当y＝2x＝10时取等号．故选：C．8．定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（）A

．（﹣1，0）B．（1，+∞）∪（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）D．（0，1）解：因为f（x）是偶函数，且f（x）在x∈[0，+∞）上单调递减，所以不等式f（2x﹣1）＜f（1）等价于f（|2x﹣1|）＜f（1），即|2

x﹣1|＞1，解得x＜0或x＞1，所以满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，0）．故选：B．9．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（）A．[﹣1，1]B．[1

，+∞）∪（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，1]∪{0}D．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]∪{0}解：对于方程ax2﹣2x+a＝0至多只有一个根，当a＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；当a≠0时，△＝4﹣4a2≤0，解得a≤﹣1或a≥1．综上所述，实数a

的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）∪{0}．故选：D．10．函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+12），y＝f（x﹣1）的图形关于（1，0）对称，且f（8）＝1，则f（2020）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2解：因为函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）＝f（

x+12），所以函数f（x）的周期为T＝12，将y＝f（x﹣1）的图形向左平移1个单位可得y＝f（x）的图象，又y＝f（x﹣1）的图形关于（1，0）对称，所以y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，故f（x）为R上的奇函数，所以f（

2020）＝f（168×12+4）＝f（4）＝f（4﹣12）＝f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣1．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。11．函数的定义域为[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），f（x）的表达式为，x∈[﹣1，0）∪（0，+∞）．

解：因为函数，则，解得x≥﹣2且x≠﹣1，故函数的定义域为[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）；令t＝x+1，则x＝t﹣1，且t∈[﹣1，0）∪（0，+∞），所以f（t）＝，t∈[﹣1，0）∪（0，+∞），则f（x）的表达式为，x∈[﹣1，0）∪（0

，+∞）．故答案为：[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）；，x∈[﹣1，0）∪（0，+∞）．12．设函数，则f（1）＝2，f（f（3））＝．解：由已知可得f（1）＝12+1＝2，f（3）＝，所以f（f（3））＝f（）＝（），故答案为：2；．13．函数的奇偶性是奇函数，在[1，+∞）上的

单调性是增函数．解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣（x+）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，任取x1＞x2≥1，则f（x1）﹣f（x2）＝（x1+）﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），

∵x1＞x2≥1，∴x1﹣x2＞0，1﹣＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x）在[1，+∞）上单调递增．故答案为：奇函数；增函数．14．已知函数f（x）＝﹣ax3﹣bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，若它的定义域为[a﹣1，2a]，那么a＝，b＝﹣1．解：根据题意，函数f（x

）＝﹣ax3﹣bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，即f（x）为奇函数，若它的定义域为[a﹣1，2a]，则有（a﹣1）+2a＝0，解可得a＝，则f（x）＝﹣x3﹣bx+1+b，f（﹣x）＝x3+bx+1+b，则有f（﹣x）+f（x）＝2+2b＝0，解可得b＝﹣

1，故答案为：，﹣1．15．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是[﹣3，﹣2]．解：要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且，所以有，解得﹣3≤a≤﹣2，故a的取值范围为[﹣3，﹣2]．故答案为：[﹣3，﹣2]．16．

给定下列四个命题：其中为假命题的有（1）（2）（4）.（填上假命题的序号）（1）x＞0，记M＝x+，则M≥2；（2）如果函数f（x）为偶函数，那么一定有f（x）＝f（|x|）；（3）函数f（x）＝x+的最大值为；（4）命题p：＞0的否定为≤0．解：对于（1）

x＞0，记M＝x+，当且仅当x＝时，等号成立，故（1）错误；对于（2），函数f（x）为偶函数，那么一定有f（x）＝f（|x|），例：f（x）＝x2﹣1，就不满足，故（2）错误；对于（3）函数f（x）＝x+，（x≤4），令，所以x

＝4﹣t2，故g（t）＝，由于t≥0，所以，故（3）正确；对于（4），命题p：＞0的否定为＜0，故（4）错误．故答案为：（1）（2）（4）．17．若正数a，b满足a+b＝1，则+的最小值为．解：∵正数a，b满足a+b＝1，∴（3a+2）+（3b+2）＝7．∴+＝＝＝，当且仅当a＝b＝时取等号

．∴+的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。18．集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，D＝{x|m≤x≤m+6}．（1）求∁RB及A∩B；（2）

若B∪D＝R，求实数m的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，∴∁RB＝{x|﹣3≤x≤1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}；（2）∵B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，D＝{x|m≤x≤m+6

}，B∪D＝R，∴，解得﹣5＜m＜﹣3．∴实数m的取值范围是（﹣5，﹣3）．19．（1）已知x＞，求函数y＝4x﹣2+的最小值；（2）当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解：（1）∵x＞，∴4x﹣5＞0，∴函数y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3≥2+3＝5，当且仅当x＝时取等号

，∴函数y＝4x﹣2+的最小值为5．（2）当0＜x＜4时，可得y＝x（8﹣2x）＝2x（4﹣x）≤2•＝8，当且仅当x＝2时取等号，∴y＝x（8﹣2x）的最大值为8．20．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当k＝2时，用函数单调性定义证明f（x）在（0，2]上单调递减．【

解答】（1）解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数．（2）证明：任取0＜x1＜x2≤2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（

x1﹣x2）+（﹣）＝（x1﹣x2）（1﹣），∵0＜x1＜x2≤2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＜4，即1﹣＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故当k＝2时，f（x）在（0，2]上单调递减．21．已知函数f（x）＝，x∈[1，+∞）．（

1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）＝．…（2）问题等价于f（x）＝x

2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．令g（x）＝﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x＝1时，g（x）max＝﹣3，所以a＞﹣3，即实数a

的取值范围是（﹣3，+∞）．…22．设函数f（x）＝x2+2ax+2﹣a，（a∈R）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞（1﹣a）x2﹣a+5；（2）若∃x∈[1，2]，使得f（x）＞0成立，求a的取值范围．解：（1）当a＝

1时，f（x）＞（1﹣a）x2﹣a+5⇔（x+3）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣3或x＞1，故原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．（2）考虑反面，对∀x∈[1，2]，f（x）⩽0恒成立，则，解得a⩽﹣3，若原命题成立，则a的取值范围为（﹣3，+∞）．