【文档说明】广西南宁市2020-2021学年高二上学期期末联考数学（理）试题 含答案.docx，共(10)页，755.647 KB，由小赞的店铺上传

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1南宁市2020年秋季学期高二年级期末联考试题数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．第

Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3

．本卷命题范围：必修⑤+选修2-1．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(2,1,0)−A和向量(3,5,10)=−a），且2=

ABa，则点B的坐标为（）A．(4,9,20)−B．(7,10,24)−−C．(4,9,20)−−D．(5,6,24)−2．与双曲线2212−=xy共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是（）A．2212+=xyB．2214+=xyC．2222193+=xyD．22163+

=xy3．已知实数a、b、c满足abc，且0ac，那么下列选项中一定成立的是（）A．()0−acacB．()0−cbaC．22cbabD．abac4．记nS为等差数列na的前n项和．已知40=S，510=a

，则（）A．16=aB．4=−dC．510=SD．24=−nSnn5．设变量x、y满足约束条件404021+−−+−−xyxyxy，则目标函数2=+zxy的最大值为（）A．4B．3C．9D．86．关于双曲线22146−=

xy与双曲线221(46)46−=−+−xyttt，下列说法正确的是（）2A．实轴长相等B．离心率相等C．焦距相等D．焦点到渐近线的距离相等7．在ABC中，23=AC，4=BC，3=ABC，则ABC的面积等于（）A．3B．

2C．23D．38．下列四个结论：①命题“若260−−=xx，则3=x”的逆否命题为“若3x，则260−−xx”；②“2x”是“260+−xx”的必要不充分条件；③2()=++fxxxa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(2,0)−；④对于命题

p：存在0xR，使得20010++xx，则p为：对任意xR，均有210++xx．其中，错误的结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．已知数列na中，11=a，前n项和为nS，且点()()*1,+nnPaanN在直线10−+=xy

上，则121111++++=nSSS（）A．(1)(2)2++nnB．2(1)(2)++nnC．2(1)2++nnD．12(2)++nn10．设抛物线2:4=−Cyx的焦点为F，以抛物线上不同两点A、B为直径的圆恰好过焦点F，直线AB与抛物线C的准线的交点恰好在x轴上，则该

圆的半径为（）A．3B．6C．23D．511．如图，在直三棱柱111−ABCABC的底面ABC中，1==ABAC，2=BC，12=AA，则直线1BC与平面11ABC所成角的正弦为（）3A．63B．5381C．69D．3312．已知椭圆22

221(0)+=xyabab的左、右两个顶点分别是1A、2A，左、右两个焦点分别是1F、2F，P是椭圆上异于1A、2A的任意一点，若椭圆的离心率为32，则下列命题中是假命题的是（）A．124+=PFPFbB．直线1PA，2PA的斜率之积等

于定值14−C．使12PFF为等腰三角形的点P有6个D．使得1290=FPF的点P有2个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“0x，sincos1+xx”的否定是________，且是________命题（填：真、假）．14．设0x，0

y，22+=xy，则xy的最大值为________．15．已知向量(0,,3)=ak，(3,2,3)=−b，若,60=ab，则=k________．16．已知抛物线2:12=Cxy，直线l过点(0,3)与抛

物线C交于A，B两点，且||14=AB，则直线l倾斜角的正弦值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知2:340+−pxx；:()(1)

0−+qxmx．（1）若2=m，pq为真，求x的取值范围；（2）已知命题“若q，则p”为真命题，求实数m的取值范围．18．（本小题满分12分）数列na的前n项和为nS，29=a，133+=+nnSS，*nN．（

1）求1a；（2）求数列na的通项公式．19．（本小题满分12分）已知定点(3,0)−A，(3,0)B，动点P到两定点A、B距离之差的绝对值为22．4（1）求动点P对应曲线C的轨迹方程；（2）过点(1,1)Q作直线与曲线C交于M、N两点，若点

Q恰为MN的中点，求直线MN的方程．20．（本小题满分12分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sinsin)()sin()−+=−ACacBab．（1）求角C的大小；（2）若3=c且bc，求1

2−ba的取值范围．21．（本小题满分12分）如图所示，圆锥的高2=PO，底面半径1=OB，D为PO的中点，E为母线PB的中点，点F为底面圆周上一点，满足0=EFAB．（1）求异面直线EF与BD所成角的余弦值；（2）求二面角−−EDFB的

正弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=xyCabab的离心率为22，且经过点21,2A．（1）求C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足+=OMONOA

，求MON面积最大时直线l的方程．2020年秋季学期高二年级期末联考试题·数学（理科）参考答案、提示及评分细则1．A∵(3,5,10)=−a，且2=ABa，∴(6,10,20)=−AB，∵(2,1,0)−A，∴B的坐标为(62,1

01,200)−+−+，即(4,9,20)−）．52．C由条件，双曲线的焦点坐标为(3,0)，离心率为62．3．A∵abc，且0ac，∴aaccac，即()0−acac，故A正确．4．C由条件140+=aa

，510=a，解得16=−a，4=d，∴2(1)64282−=−+=−nnnSnnn．5．C确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值．6．C双曲线22146−=xy每个量都是确定的，双曲线221(46)46−=−

+−xyttt的实轴长、离心率、虚轴长都与t有关，它们的焦距相同都为210．7．C∵23=AC，4=BC，3=B，∴2222cos=+−bacacB，∴222(23)424cos3=+−cc，解得2=c，∴113si

n4223222===ABCSacB．8．B对于结论②，解不等式260+−xx，可得3−x或2x，所以“2x”是“2-60+xx”的充分不必要条件．9．C∵点()()*1,+nnPaanN在一次函数1=+yx的图

象上，∴11+−=nnaa，∴数列na为等差数列，中首项为11=a，公差为1，∴=nan，∴数列na的前n项和(1)2+=nnnS，∴12112(1)1==−++nSnnnn，∴123111111111112(1)21212231222+++++

+=−+−++−=−=++++nnSSSSnnnn．10．C准线与x轴的交点坐标为(1,0)，故直线AB可设为：1=+xty，设211,4−yAy，222,4−yBy，联立直线与抛物线得方程组214=+=−xtyyx，化简得2440++=

yty，所以124+=−yyt，124=yy，由⊥AFBF得()222212121216164=−++−yyyyyy，解得22=t，故圆的半径为6()22121214||2322++−==tyyyyAB．11．C以AB为x轴，AC为y轴，1AA为z轴建立空间坐标系，则(1,0,0)B，1(

0,1,2)C，∴1(1,1,2)=−BC，1(1,0,2)=AB，1(0,1,2)=AC，故平面11ABC的法向量为(2,2,1)−，所以直线1BC与平面11ABC所成角的正弦为|222|69114441−+−=++++．12．D因为离心率为32，故2=ab

，由椭圆定义知1224+==PFPFab；设()00,Pxy，则2200221+=xyab，所以122202200222000114−−===−=−+−−PAPAxbayybkkxaxaxaa；又∵22||33−+ccPFcc„，∴使12PFF

为等腰三角形的点P有6个；当点P在上、下顶点处时，12120=FPF取到最大角，故使得1290=FPF的点P有4个．13．0x，sincos1+xx真14．140x，0y，222+xyxy，即222xy，两边平方整理得14xy，当且仅当22

=x，24=y时，xy取最大值14．15．14−由题意，2231cos602||||34−+===+abkabk，解得14=−k．16．77由题意可知，直线l的斜率存在当直线的斜率为零时，由于(0,3)为抛物线的焦点，故应有||12=AB，所以直线的斜率

存在，且不为零，设直线l的方程为3(0)=+ykxk，由2312=+=ykxxy，消去x得，()2212690−++=yky，所以212126+=+yyk，所以212||6121214=++=+=AByyk，所以66=

k，所以6tan6=，所以7sin7=．17．解：（1）若2=m，:41−px，:12−qx，7命题pq为真时，p、q两个命题一真一假或两个都为真，其反面为两个都为假，当p假且q假时1421−−或或xx

xx，即2x或4−x，所以命题pq为真时42−x，即x的取值范围为[4,2]−．5分（2）“若q则p”为真命题，则q的解集包含于p的解集，当1=−m时，满足题意；当1−m时:41−px，:1−qxm，因为q的解集p的

解集，所以1m，即11−m；当1−m时:41−px，:1−qmx，因为q的解集p的解集，所以41−−m．综上，实数m的取值范围为[4,1]−．10分18．解：（1）由133+=+nnSS得12133+=+aaa，因为29=a，所以13=a．5分（2）当2

n时，133−=+nnSS，则()113+−−=−nnnnSSSS，即13+=nnaa，所以13+=nnaa，又∵21933==aa，所以数列na是以3为首项，3为公比的等比数列，所以数列na的通项公式是3=nna．12分

19．解：（1）由题意知：||||||22||23−==PAPBAB，故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且2=a，3=c，∴221=−=bca，故曲线C的方程为：2212−=xy；6分（2）设()11,Mxy

，()22,Nxy，满足221122221212−=−=xyxy，两式相减得222212122−=−xxyy，即()()12222−+=xxxx()()1212−+yyyy，因为点Q为MN的中点，故12121212+=+=xxyy，∴121212−=−yyx

x，即直线MN的斜率为12，又过点Q，故直线MN的方程为：11(1)2−=−yx，即210−+=xy．12分820．解：（1）∵(sinsin)()sin()−+=−ACacBab，由正弦定理，()()()−+=−

acacbab，即222−=−acabb．由余弦定理，2221cos22+−==abcCab，又∵(0,)C，∴3=C．6分（2）因为3=c且bc，由正弦定理得32sinsinsin32===

=bacBAC，∴2sin=bB，2sin=aA，∵23+=BA，∴23=−AB．∵bc，∴BC．∴233B．∴12332sinsin2sinsinsincos3sin23226−=−=−−=−=−baBABBBBB．∵662−

B．∴1sin126−B．∴13,322−ba．12分21．解：设弧AFB的中点为G，以O为原点，OG为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P，(0,1,0)B，(0,0,1)D，10,,12

E，设=GOF，0,2，则(cos,sin,0)F，1cos,sin,12=−−EF，(0,2,0)=AB，由0=EFAB，∴2sin10−=，∴1sin2=，3cos2=，∴31,,022F，（1）3,0,

12=−EF，(0,1,1)=−BD，114cos,731114−==−++EFBD，故异面直线EF与BD所成角的余弦值为147；6分（2）(0,1,1)=−BD，31,,122

=−DF，9设平面DFB的法向量为1(,,)=nxyz，则由1100==BDnDFn，得031022−+=+−=yzxyz，令1=x，则3=y，3=z，∴1(1,3,3)=n，又10,,02=DE，设平面EDF

的法向量为2(,,)=nxyz，则由10231022=+−=yxyz，令2=x，则0=y，3=z，∴2(2,0,3)=n，则12235cos,713343+==+++nn，故二面角−−EDFB的正弦值为

267．12分22．解：（1）由题意得22222221112=+==+caababc，解得2221==ab，所以椭圆C的方程为2212+=xy；4分（2）由题意可知，直线MN的斜率显然存在，设直线MN的方程为(0)=+yk

xmm，()11,Mxy，()22,Nxy，由2212+==+xyykxm得()222214220+++−=kxkmxm．∴()()()22222216421228210=−+−=+−kmkmkm①且12221224212221+=−+−=+kmxxkmxxk

，所以()121222221+=++=+myykxxmk，10因为+=OMONOA，所以12212242122212+=−=++==+kmxxkmyyk，所以22=−k，代入①得22−m且0m，所以()()222212121228211112||2||||4||

222212+−−=−=+−==+MONkmmmSmxxmxxxxmk()2222222222222−+−==mmmm„．当且仅当222=−mm，即1=m时上式取等号，此时符合题意，所以直线MN的方程为212=−yx．12分