【文档说明】北京市第四中学20222023学年高二上学期期中考试数学试题 含答案.docx，共(10)页，768.635 KB，由小赞的店铺上传

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高二数学（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）Ⅰ卷（满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.）1.直线1yx=−+的倾斜角是（）A.45

°B.135°C.120°D.90°2.已知()2,1,3a=−，()4,2,bx=−，且ab⊥，则x=（）A.103B.6−C.6D.13.已知点()1,2A，()3,1B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A

.425xy+=B.425xy−=C.25xy+=D.25xy−=4.正方体1111ABCDABCD−中，E为正方形1111ABCD的中心，1AEAAxAByAD=++，则x，y的值是（）A.1x=，1y=B.1x=，12y=C.12x=，12y=D.12x=，1y=5.“1a=

”是“直线()110axay+−−=与直线()110axay−++=垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.若点()1,1M为圆22:40Cxyx+−=的弦AB的中点，则直线AB

的方程是（）A.20xy−−=B.20xy−+=C.0xy−=D.0xy+=7.已知()2,3A−，()3,2B−−，直线l过点()1,1P且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.4k−或34k

B.344k−C.14k−或43kD.344k−8.在正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别是棱11AB，11AD的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值是（）A.63B.33C.2515−D.25159.如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直

的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为（）A.OABC−是正三棱锥B.直线OB∥平面ACDC.直线AD与OB所成的角是45°D.二面角DOBA−−为45°10.过直线0xym−−=上一点P作圆()()22:231Mxy−+−=的两条切线，切线分别为A，B，若使得四边形PAMB的

面积为7的点P有两个，则实数m的取值范围为（）A.53m−B.35m−C.5m−或3mD.3m−或5m二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.直线10xy−−=和直线10xy−+=之间的距离是______.12.若直

线()31230axy−++=与直线()2110axay−++=平行，则a=______.13.与直线260xy++=平行，且与圆22240xyxy++−=相切的直线方程为______.14.在四面体ABCD中，所有棱长都是1，P，Q分别为棱BC，AB的中点，则DPCQ=______.15

.如图，已知四棱锥PABCD−的底面是边长为2的菱形，且3DAB=，PDAD=，PD⊥平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：①ACOE⊥；②FCPO=；③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为55；④AEC△面积的取值范围是6,152.

其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（本题共2个小题，共25分，需要写出详细的演算过程和推理过程.）16.（本题满分12分）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点.（Ⅰ）求证：1BD∥平面ACE；（Ⅱ）求直线AD

与平面ACE所成角的正弦值.17.（本小题满分13分）已知点()1,3A，()3,1B，()1,0C−，求：（Ⅰ）直线BC的方程；（Ⅱ）BC边上的中线所在直线的方程；（Ⅲ）ABC△的面积.Ⅱ卷（满分50分）四、解答题（本题

共4个小题，共50分，需要写出详细的演算过程和推理过程.）18.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，ABAC⊥，11ABACAA===，M为线段11AC上的一点.（Ⅰ）求证：1BMAB⊥；（Ⅱ）若直线1AB与平面BC

M所成角为4，求点1A到平面BCM的距离.19.（本题满分12分）已知圆()()22:6725Mxy−+−=及其上一点()2,4A.（Ⅰ）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线6x=上，求圆N的标准方程；（Ⅱ）平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA=，求直线l的方程

.20.（本题满分13分）如图，在四棱锥PABCD−中，CD⊥平面PAD，PAD△为等边三角形，ADBC∥，22ADCDBC===，E，F分别为棱PD，PB的中点.（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角．．．．的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存

在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求直线DG与平面AEF的距离；若不存在，说明理由.21.（本题满分13分）已知圆C与圆22168255xy−+−=关于直线240xy+−=对称.（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若A，B为圆C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线OA，OB

，AB的斜率分别为1k，2k，k，当123kk=时，求k的取值范围.高二数学参考答案及评分标准一、选择题题号12345678910答案BABCACADBA二、填空题题号1112131415答案21或2

220xy++=或280xy+−=18−①④三、解答题16.（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接OE，在正方形ABCD中，OBOD=.因为E为1DD的中点，所以1OEBD∥.因为1BD平面ACE，OE平面ACE，所以1BD∥平面ACE.（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示

的空间直角坐标系Axyz−.则()0,0,0A，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,2,1E，所以()0,2,0AD=，()2,2,0AC=，()0,2,1AE=.设平面ACE的法向量为(),,nxyz=，所以0,0,nACnAE==所以220,20,

xyyz+=+=即,2,xyzy=−=−令1y=−，则1x=，2z=，于是()1,1,2n=−.设直线AD与平面ACE所成角为，则26sincos,626ADnADnADn====.所以

直线AD与平面ACE所成角的正弦值为66.17.解：（Ⅰ）直线BC的斜率是()101314−=−−，所以直线BC的方程是()1014yx−=+，即直线BC的方程是410xy−+=.（Ⅱ）因为()1,3A，()3,1B，()1,0C−，所以线段BC的中点坐标为11,2

，所以BC边上的中线所在的直线的斜率不存在，BC边上的中线所在的直线方程为1x=.（Ⅲ）由（Ⅰ）知直线BC的方程为410xy−+=，则点A到直线BC的距离22134110171714d−+==+，又()()22311017BC=+

+−=，故11017175217ABCS==△.18.解：（Ⅰ）因为1AA⊥平面ABC，所以1AAAB⊥，1AAAC⊥.因为ABAC⊥，所以AC⊥平面11AABB.所以1ACAB⊥.因为在三棱柱111ABCABC−中，11ACAC∥，所以111ACAB⊥.又因为1AAAB=，

所以四边形11AABB为正方形.连结1AB，则11ABAB⊥.又因为1111ABACA=，所以1AB⊥平面11BAC.因为BM平面11BAC，所以1ABBM⊥.（Ⅱ）因为AB，AC，1AA两两垂直，

所以如图建立空间直角坐标系Axyz−.可得()0,0,0A，()1,0,0B，()0,1,0C，()10,0,1A，()11,0,1B，()10,1,1C.则()1,1,0BC=−，()11,0,1AB=，()11,0,1AB=−.设()11101

AMAC=，则()()()111111,0,10,1,01,,1BMBAAMBAAC=+=+=−+=−.设(),,nxyz=为平面BCM的法向量，则0,0,nBCnBM==即0,0.xyxyz−+=−++=令1x=，则1y=，1z=−，可得()1,1,

1n=−.则1121,22sincos,42223ABnABnABn−====−+.解得12=，则11,1,2n=.所以点1A到平面BCM的距离113ABndn==，19.解：（Ⅰ）因为圆N的圆心在6x=上，所以设圆(

)()()222:60Nxybrr−+−=.由已知，br=，()()22675abr−+−=+，解得1br==，所以圆N的标准方程为()()22611xy−+−=.（Ⅱ）由已知，()()22204025OA=−+−=，直线OA的斜率40220k−==−.因为直线

lOA∥，所以设直线:2lyxt=+，即20xyt−+=.圆M的圆心到直线l的距离()222675521ttd−++==+−，所以()225225225255tBCd+=−=−=，解得15t=−，或5t=，所以直线l的方程为21

5yx=−或25yx=+.20.解：（Ⅰ）因为CD⊥平面PAD，AE平面PAD，所以CDAE⊥.因为在等边PAD△中，E是PD的中点，所以AEPD⊥.因为PDCDD=，PD，CD平面PCD，所以AE⊥平面PCD.（

Ⅱ）取AD的中点O，连接OP，OB.因为在四边形ABCD中，ADBC∥，2ADBC=，所以ODBC∥，ODBC=，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBCD∥.因为CD⊥平面PAD，所以OB⊥平面PAD.因为OA，OP平面PAD，所以OBOA⊥，OBOP⊥.因为在等边PAD△中，O

是AD的中点，所以OPOA⊥.以O为原点，OA，OB，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.()1,0,0A，13,0,22E−，30,1,2F，33,0,22EA=−

，1,1,02EF=，设平面AEF的法向量(),,nxyz=，所以0,0,nEAnEF==即330,2210.2xzxy−=+=令2x=，()2,1,23n=−.又平面PAD的法向量()0,1,0m=，

设平面AEF与平面PAD所成的锐二面角为，所以17coscos,17mnmnmn===，即平面AEF与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为1717.（Ⅲ）设点G满足PGPC=，0,1.因为()0,0,3P，()1

,2,0C−，()1,0,0D−，所以(),2,33G−−，()1,2,33DG=−+−.因为DG∥平面AEF，所以()()21223330DGn=−+−+−=，解得45=.即棱PC上存在点G使得DG∥平面AEF，且45PGPC=.因为DG∥平面AEF，所以直线DG到平

面AEF的距离等于点D到平面AEF的距离，因为()2,0,0AD=−，所以直线DG到平面AEF的距离44171717ADndn===.21.解：（Ⅰ）设圆C的标准方程为()()222xayb−+−=，由题意得()16855240228521165abba+++−=−

−=−−，即202abba+==，解得00ab==，所以圆C的圆心为()0,0，所以圆C的方程为222xy+=.（Ⅱ）设点()11,Axy，()22,Bxy，直线AB的方程为ykxm=+，由12121212123yykxmkxmk

kxxxx++===，得()()12123kxmkxmxx++=，即()()22121230kxxmkxxm−+++=①，由222xyykxm+==+，消去y，整理得()()2221220kxmkxm+++

−=，由韦达定理12221mkxxk+=−+，212221mxxk−=+，将其代入①整理得2230mk=−，解得33k−②，由直线AB与圆C相交，故221mk+，得2222mk+，即231k，解得3

3k或33k−③，又要使1k，2k，k有意义，则10x，20x，且12xx，所以0不是方程（*）的根，所以220m−，即1k且1k−④，由②③④得，k的取值范围为)(333,11,,11,333−−−−

.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com