【文档说明】考点49 合情推理与证明（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）.docx，共(20)页，694.800 KB，由管理员店铺上传

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考点49合情推理与证明一．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类

比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．二．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特

殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．三．直接证明(1)定义：直接从原命题

的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2)一般形式本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止

．这种证明方法常称为综合法．②推证过程知识理解已知条件⇒…⇒…⇒结论(4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②推证过程结论⇐…⇐…⇐已

知条件四．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．(2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾

结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．考向一推理【例1】（2021·河南）有一个三段论推理：“等比数列中没有等于0的项，数列na是等比数列，所以0na”，这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【答案】D

【解析】由等比数列的定义可知等比数列中没有等于0的项，即0na，可知推理正确.故选：D.【举一反三】1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()cossinfxxx=−，()fx为()fx的导函数，定义1()()fxfx=

，21()()fxfx=，…，()1()()nnfxfxn+=N，经计算，1()sincosfxxx=−−，2()cossinfxxx=−+，3()sincosfxxx=+，…，照此规律，则2021()fx=（）A．c

ossinxx−+B．cossinxx−C．sincosxx+D．sincosxx−−【答案】D考向分析【解析】根据题意，可得43()()cossinfxfxxx==−，54()()sincosfxfxxx==−−，65()()cos

sinfxfxxx==−+，…，观察知()nfx呈周期性变化，周期为4，所以2021505411()()()fxfxfx+==sincosxx=−−．故选：D.2．（2021·全国高三月考（理））某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉

宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个1、几个2？”甲说：“我看到三个1.”乙说：“我看到一个2和两个1.”丙说：“我看到三个2.”

三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有（）A．乙B．甲、乙C．丁D．乙、丁【答案】D【解析】若甲说真话，则乙、丙说假话，但按甲所说内容看，乙说的又是真话，矛盾，故甲说的是假话，进而可确定丙也说的是假话.若乙说的是

假话，要么甲、丙中至少有一个2，要么甲、乙、丁都是1，以上情形相互矛盾，所以乙说的是真话，号码为2的嘉宾只能是乙和丁.故选：D.3．（2021·安徽省泗县第一中学）将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为（）351715131

191921232527172931A．1915B．1917C．1919D．1921【答案】B【解析】如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，归纳可得第31行有312-1=61个奇数，且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．

又因为前31行共有1+61136131=9612+++=个奇数，则第31行第1个数是第961个奇数即是9612-1=1921，则第3个数为1917．故选：考向二证明【例2】（2020·全国高三专题练习（理））

已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab.【答案】证明见解析.【解析】因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证alnb>blna，只需证lnlnbaba取函数f(x)＝lnxx，因为f′(x)＝21lnxx−，所以当x>e时，f′

(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减.所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即lnlnbaba得证.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（文））已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.【答案】证明见解

析【解析】①设0a，因为0abc，所以0bc.又由0abc++，则0bca+−，所以()0abbccaabcbc++=++，与题设矛盾.②若0a=，则与0abc矛盾，所以必有0a.同理可证：0b，0c.综上可证,,0abc.2．（2020·全国高三专题练习（文））

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.（1）证明：1a是f(x)＝0的一个根；（2）试比较1a与c的大小．【答案】（1）证明见解析；（

2）1a>c.【解析】（1）∵f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）＝0的两个根x1，x2满足12cxxa=，又f（c）＝0，不妨设x1＝c∴21xa=，即1a是()0fx=的一个根．（2）假设1ca＜，又10a＞由0＜x＜c时

，f（x）＞0，得10fa＞，与10fa=矛盾∴1ca∵f（x）＝0的两个根不相等∴1ca，只有1ca＞；3．（2020·全国高三专题练习（理））已知a>5，求证：5a−－32aa−−

－a.【答案】证明见解析.【解析】要证5a−－32aa−−－a，只需证5a−＋a<3a−＋2a−，只需证(5a−＋a)2<(3a−＋2a−)2，只需证2a－5＋225aa−<2a－5＋2256aa−+，只需证22556aaaa−−+，只需证a2－

5a<a2－5a＋6，只需证0<6，∵0<6恒成立，∴5a−－32aaa−−−成立.强化练习1．（2021·河南高二月考（理））请阅读下列材料：若两个正实数1a，2a，满足22122aa+=，求证：122aa+„．证明：构造函数()()2212()fxxaxa=−+−()2

12222xaax=−++，因为对一切实数x，恒有()0fx…，所以Δ0„，即()2124160aa+−„，所以122aa+„．根据上述证明方法，若n个正实数1a，2a，，na，满足222122naaan+++=，你能得到的结论是（）A．12naaan+

++„B．1222nnaaa+++„C．12naaan+++„D．122naaan+++„【答案】D【解析】设函数()()()22212()nfxxaxaxa=−+−++−()21222nnxaaaxn=−++

++，因为对一切实数x，恒有()0fx，所以Δ0，即()2212480naaan+++−„，所以122naaan+++„．故选：D2．（2021·河南）在等差数列na中，若20200a=，则有等式12124039nnaaaaaa−+++=+++（4039n且nN）成立

，类比上述性质，在等比数列nb中，若20211b=，则有（）A．12124041nnbbbbbb−=（4041n且nN）B．12124040nnbbbbbb−=（4040n且nN）C．12124041nnbbbbbb−+++=+++（4041n且n

N）D．12124040nnbbbbbb−+++=+++（4040n且nN）【答案】A【解析】在等差数列na中，有14039202020nnaaa+−+==所以有12124039nnaaaaaa−+++=+

++在等比数列nb中，若20211b=，则21404120211nnbbb+−+==当2020n时，则4041nn−，则140411nnbb+−=124041121404112nnnnnbbbbbbbbbbb−+−=

=当2021n时，则4041nn−，则404111nnbb−+=1212404140411124041nnnnnbbbbbbbbbbb−−+−==所以12124041nnbbbbbb−=故选：A3．（202

1·河南）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(2,1)A−，且法向量为(1,2)n→=−的直线（点法式）方程为1(2)2(1)0xy−−++=，化简得240xy−−=．类比以上方法，在空间直角坐标系

中，经过点(1,1,2)B−−，且法向量为(1,2,1)m→=−的平面的方程为（）A．210xyz+++=B．210xyz−−−=C．210xyz++−=D．210xyz+−−=【答案】D【解析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则BP

→=（x﹣1，y+1，z+2）∵平面法向量为(1,2,1)m→=−所求的平面方程为1(1)2(1)xy−++(1)(2)0z+−+=，化简得210xyz+−−=．故选：D4．（2021·全国=测试）如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1，2，

3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在（）号座位上．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座

位后，小动物回到原座位，而2014＝4×503＋2，所以第2014次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，故选：B．5．（2021·贵溪市实验中学）“干支纪年法”是中国历法上自古以来

使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支

纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪

年法”中的（）A．庚子年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年【答案】B【解析】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即

2021年是辛丑年，故选：B.6．（2021·全国单元测试）已知26=22464+−−，53=25434+−−，71=27414+−−，102=210424−+−−−，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A．8=24(8

)4nnnn−+−−−B．1(1)5=2(1)4(1)4nnnn+++++−+−C．4=24(1)4nnnn++−+−D．15=2(1)4(5)4nnnn++++−+−【答案】A【解析】从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为

相应分子减去4，设其中一个分子为n，另一个分子必为8－n，故8=24(8)4nnnn−+−−−满足；故选：A7．（2020·全国高三专题练习（理））已知,,(,0)abc−，则下列三个数1ab+，4bc+，9ca+（）A．都

不大于-4B．至少有一个不大于-4C．都不小于-4D．至少有一个不小于-4【答案】B【解析】设1ab+，4bc+，9ca+都大于4−，则19241bbacac+++++−，由于,,(,0)abc−，故(),,0,abc−−−+，利用基本不等式可得41914

9acabcbcbaabc+++=−−−+−−+−−++()()()912142abcabc−−−+−−+−−=−，当且仅当3,1,2abc=−=−=−时等号成立，这与假设所得结

论矛盾，故假设不成立，故下列三个数1ab+，4bc+，9ca+至少有一个不大于4−，故选：B.8．（2020·全国高三专题练习（理））用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是（）A．假设三内角都

不大于60B．假设三内角都大于60C．假设三内角至少有一个大于60D．假设三内角至多有两个大于60【答案】B【解析】题设条件为至少有一个角不大于60，所以与之相反的条件为没有任何一个角不大于60，即三角形的内角均大于60.故

选：B9．（2020·全国高三专题练习）命题“对于任意角θ，44cosθsinθcos2θ−=”的证明：“()()44222222cosθsinθcosθsinθcosθsinθcosθsinθcos2θ−=−+=−

=”，其过程应用了A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法【答案】B【解析】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B．10（多选）．（2021·河北邯郸市·高三一模）新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向202

0级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一

个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（）A．可能是家常菜青椒土豆丝B．可能是川菜干烧大虾C．可能是烹制西式点心D．可能是烹制中式面食【答案】BD【解析】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；若小华选择的是川菜干

烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件；若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除；若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件．故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，所以选：BD．11．（2

021·江苏常州市·高三一模）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：2zz+=；乙：23zzi−=；丙：4zz=；丁：22zzz=.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=___________.

【答案】1i+【解析】设()0,0zabiab=+，则zabi=−，2zza+=，2zzbi−=，22zzab=+，222zzzab=+.4zz=与22zzz=不可能同时成立，丙丁不能同时正确；23zzi−=时，232b=，22zzz=不成立，乙丁不能同时正确；当甲乙正确时

：1a=，3b=，则丙也正确，不合题意；当甲丙正确时：1a=，3b=，则乙也正确，不合题意；当乙丙正确时：3b=，1a=，则甲也正确，不合题意；甲丁陈述正确，此时1ab==，1zi=+.故答案为：1i+.12．（2021·河南高二月考（理））观

察下列不等式：111223++，11113237++++，111142315++++，…，可归纳的一个不等式是11123++++__________n（nN且1n）．【答案】121n−【解析】不等式右边是从2n=开始的逐渐增加1，

每个式子的左边的分母逐渐增加1，末项分母分别为()3,7,1521n−，．所以归纳的一个不等式是11112321nn++++−故答案为：121n−13．（2021·河南）甲、乙、丙三位同学是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过C城市；乙说：我去过某一个

城市，但没去过B城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为__________．【答案】A【解析】甲去过的城市比乙、丙多，且甲没去过C城市，甲去过A城市，B城市，丙去过C城市，乙没去过B城市，则乙可能去过A或C城市，再根据丙的说法可知

乙去过A城市．故答案为：A14．（2021·山西高三一模（理））观察下列各式：211121122C−+=，3122211211233CC−++=，41233331112112344CCC−+++=，512344444111121123455CCCC−++++=，……照此规律，当*n

N时，121111231nnnnCCCn++++=+_________________．【答案】1211nn+−+【解析】由已知等式观察，等式右边为21kk−形式，其中k比等式左侧各组合数下标大1，照此规律，当*nN时，1121112112311nnn

nnCCCnn+−++++=++．故答案为：1211nn+−+.15．（2021·山东日照市·高三一模）为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的

意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练

后跳远增加了______米.【答案】0.42【解析】该生成绩为70分时，其立定跳远距离为90701.840.031.725−−=米，该生成绩为105分时，其立定跳远距离为105901.840.12.145−+=米，所以增加了

2.141.720.42−=米，故答案为：0.4216．（2021·全国=课时练习）观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有___________小圆圈.【答案】2nn1−+【解析】观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2+1，2×3

+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.故答案为：n2-n+117．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（文））2223sin30sin90sin1502++=，2223sin8sin68sin1282+

+=.通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题___________.【答案】()()2223sinsin60sin1202++++=(答案不唯一)【解析】由已知中：22222233sin30sin90sin150,sinsin68si+=8+n1

=2822++，归纳推理的一般性的命题为：2223sin+sin(+60)sin(120).2++=证明如下：左边1cos21cos(2+120)+22−−=+1cos(2240)2−+313cos2+cos(2120

)cos(2240)==222=−+++右边.结论正确.故答案为：2223sin+sin(+60)sin(120)2++=18．（2021·全国高三专题练习）某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数()fx在0

,1上有意义，且()()01ff=，如果对于不同的1x、20,1x，都有()()1212fxfxxx−−，求证：()()1212fxfx−.那么他的反设应该是________.【答案】“存在1x、20,1x，使得()()1212fxfxxx−−，则()()1

212fxfx−”.【解析】根据反证法的原理可知，该同学所做的反设应该是：“存在1x、20,1x，使得()()1212fxfxxx−−，则()()1212fxfx−”.故答案为：“存在1x、20,1x，使得()()1212fx

fxxx−−，则()()1212fxfx−”.19．（2020·全国高三专题练习（文））如果aabbabba++，则,ab应满足的条件是__________．【答案】0,0ab且ab¹【解析】由aabbabba++得2()

()0abab−+所以,ab应满足的条件是0,0ab且ab¹.故答案为：0,0ab且ab¹20．（2021·全国高三专题练习）小赵、小钱、小孙、小李每人去A、B、C、D四地之一，去的地方各不相同．小赵说：我去A小钱说：我去B或C或D地；小孙说：我去C地；小李说：我去D地；①代表小赵，②

代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．（填写你认为正确的序号）【答案】③或④【解析】假设小赵说错了，则其他三人正确，就意味着小钱、小孙、小李分别去了B地、C地、D地，则小赵去了A地，

这也假设矛盾，所以小赵说对了.同理，若小钱说错了，则小钱必须去A地，这与小赵去A地矛盾，所以小钱说对了.若小孙说错了，则小赵去A地、小钱去C地、小孙去B地，小李去D地，符合题意.若小李说错了，则小赵去A地、小钱去D地、小孙去C地，小李去B地，符合题意.故答案为：③或④21．（2021·北

京高三专题练习）对于正整数集合12{,,,}nAaaa=（nN，3n），如果去掉其中任意一个元素ia（1,2,,in=）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4

,5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．【答案】（Ⅰ）不是“和谐集”；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）7.【解析】（Ⅰ）集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”．（Ⅱ）设集合12{,

,,}nAaaa=所有元素之和为M．由题可知，iMa-（1,2,,in=）均为偶数，因此ia（1,2,,in=）的奇偶性相同．（ⅰ）如果M为奇数，则ia（1,2,,in=）也均为奇数，由于12nMaaa=+++，所以n为奇数．（ⅱ）如果M为偶数，则ia（1,2,,i

n=）均为偶数，此时设2iiab=，则12{,,,}nbbb也是“和谐集”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A中元素个数为奇数，当3n=时，显然任意集合123{

,,}aaa不是“和谐集”．当5n=时，不妨设12345aaaaa，将集合1345{,,,}aaaa分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534aaaa+=+①，或者5134aa

aa=++②；将集合2345{,,,}aaaa分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534aaaa+=+③，或者5234aaaa=++④．由①、③，得12aa=，矛盾；由①、④，得12aa=−，矛盾；由②、③，得12aa=−，

矛盾；由②、④，得12aa=，矛盾．因此当5n=时，集合A一定不是“和谐集”．当7n=时，设{1,3,5,7,9,11,13}A=，因为35791113+++=+，19135711++=++，91313711+=+++，13511713+++=+，19113513,++=++

3791513++=++，1359711+++=+，所以集合{1,3,5,7,9,11,13}A=是“和谐集”．集合A中元素个数n的最小值是7．22．（2021·全国高三专题练习）已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，

f(x)在[－1，1]上的最大值为2，最小值为52−.求证：a≠0且2ba.【答案】证明见解析.【解析】证明：假设a＝0或ba≥2.（1）当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，由题意得f(x)＝bx在[－1，1]上是单调函数，显然0b≠，当[1,1]x−时，因为()(

)0fxfx-+=，所以()fx是[－1，1]上奇函数，因此该函数的最大值和最小值之和为零，而maxmin51()()2()022fxfx+=+−=−，所以0a；（2）当2ba时，则有2ba或2ba−，显然有12ba−−或12ba−

，所以()fx是[－1，1]上是单调函数，因此有max()(1)2fxfabc==++=且min5()(1)2fxfabc=−=−+=−，或max()(1)2fxfabc=−=−+=且min5()(1)2fxfabc==++=−，而a＋c

＝0，所以两种情况b都无实数解，因此假设不成立，故a≠0且2ba.23．（2020·全国高三专题练习（理））已知a＞0，证明：221aa+－2≥a＋1a－2.【答案】证明见解析.【解析】证明：要证221aa+－2≥a＋1a－2，只需证221aa+≥1

()aa+－(2－2)．因为a＞0，1122aaaa+=，所以1()aa+－(2－2)＞0，所以只需证2221aa+≥21()(22)aa+−−,即2(2－2)1()aa+≥8－42，只需证a＋1a≥2.因为a＞0，a＋1a≥2显然成

立当a＝1a＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．24．（2020·全国高三专题练习（文））已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程220axbxc++=，220bxcxa++=，220cxaxb++=中至

少有一个方程有两个相异实根．【答案】证明见解析.【解析】证明：假设三个方程都没有两个相异实根．则21440bac=−，22440cab=−，23440abc=−上述三个式子相加得：2222222220aabbbbcccaca−++−++−+，即222()()(

)0abbcca+−+−−，则abc==这与a，b，c是互不相等的非零实数矛盾，故假设不成立，所以三个方程220axbxc++=，220bxcxa++=，220cxaxb++=中至少有一个方程有两个相异实根.25（2020·浙江高三专题练习）已知数列

na满足1a=12且1na+=na-2na(n*N)（1）证明：112nnaa+(n*N)；（2）设数列2na的前n项和为nS，证明112(2)2(1)nSnnn++(n*N).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见

解析.【解析】（1）由题意得，210nnnaaa+−=−，即1nnaa+，12na，由11(1)nnnaaa−−=−得1211(1)(1)(1)0nnnaaaaa−−=−−−，由102na得

，211[1,2]1nnnnnnaaaaaa+==−−，即112nnaa+；（2）由题意得21nnnaaa+=−，∴11nnSaa+=−①，由1111=nnnnaaaa++−和112nnaa+

得，11112nnaa+−，∴11112nnnaa+−，因此*111()2(1)2nanNnn+++②，由①②得112(2)2(1)nSnnn++.26．（2020·全国高三专题练习）设0ab，用综合法证明：3322ababab++．【答案】证明见解析.【解析

】证明如下：33223232()()()()abababaabbab+−+=−+−22()()aabbba=−+−222()()()()abababab=−−=+−又0,0,0abab+，而2()0ab−2()()0abab

+−故3322()()0ababab+−+即3322ababab++27．（2020·全国高三专题练习）用综合法证明：如果,0ab，则lglglg22abab++.【答案】见证明【解析】由题意，当,0ab时，有02abab+，根据对数函数的

单调性，可得lglg2abab+，∴1lglglglg222ababab++=，∴lglglg22abab++.