【文档说明】江西省2021届高三下学期5月联考数学（理）试题含答案.docx，共(17)页，849.174 KB，由小赞的店铺上传

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江西省2021届高三下学期5月联考数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号和座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后

，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小

题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合220Axxx=−，13Bxx=，则AB=A.(1,2B.0,3C.0,2D.()0,32.设复数z

满足()2i2iz+=−，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在ABC△中，17BC=，3AC=，1cos3A=，则ABC△的面积为A.42B.2C.4D.924.生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，

从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖﹐繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型()lnKnn=来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且1TQ=+，在物种入侵初期，基于现

有数据得出9Q=，80T=.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ln20.69，ln31.10）A.6.9天B.11.0天C.13.8天D.22.0天5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹个角的余

弦值为A.8210B.225C.210D.32106.家庭开支是指一般生活开支的人均细分.如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收人用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同.根据以上信息，判断

下列结论中正确的是A.小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C.小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D.小王一

家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%7.已知非零向量a，b满足=2ba，且()()32abab−⊥+，则a与b的夹角为A.45°B.135°C.60°D.120°8.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千

到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的

体积为A.3727cm4−B.324cm4+C.3936cm4−D.3718cm4+9.把函数2sin2yx=的图象向左平移3个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数()fx的图象，则A.()2sin213fxx

=++B.()fx的最小正周期为2C.()fx的图象关于直线6x=对称D.()fx在5,612上单调递减10.已知()()()()20212202101220212111xaaxaxax−=+++++++，则0

122021aaaa++++=A.60422B.1C.20212D.011.若函数()lnxfxxexxa=−−−存在零点，则a的取值范围为A.()0,1B.)1,+C.1,eeD.1,1e12.已知斜率为k的直线l过抛物线()

2:20Cypxp=的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点()1,1M−−满足0MAMB=，则AB=A.32B.42C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若1tan2=，则22sinsincos+

=▲.14.已知双曲线()2212:104xyCbb−=的右焦点为F，其一条渐近线的方程为520xy−=，点P为双曲线1C与圆()()2222:30Cxyrr++=的一个交点，若4PF=，则双曲线1C的离心率为▲；r=▲.（第一空2分，第二空3分）15.已知函数()fx的定义域为R，对

任意xR，()()23fxfx+=恒成立，且当(0,2x时，()2xfx=，则()7f=▲.16.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块正方形、一块平行四边形和五块等腰直角

三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为▲.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列na中，11a=，其前n项和nS满足()*11nnaSn+=+N.（1）求n

S；（2）记11nnnnnSSbSS++−=，求数列nb的前n项和nT.18.2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了

跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y（单位：万只）与相应年份代码x的数据如下表：年份201520162017201820192020年份代码x123456售卖山羊y（万只）111316152021（1）由表可知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归

方程；（2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2：3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲

品种山羊和乙品种山羊备100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：养殖时间（月数）6789甲品种山羊（只）20353510乙品种山羊（只）10304020以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各

养殖时间的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全部及时卖完）.（利润=卖山羊的收入-山羊的养殖成本）参考公式及数据：回归直线方程为ybxa=+，其

中()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1ACBC==，120ACB=，112AAAB==，160AAC=.（1）证

明：平面ABC⊥平面11AACC；.（2）若113CPCC=，求二面角1PABA−−的余弦值.20.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的离心率为12，椭圆上的点离右焦点F的最短距离为1.（1）求椭圆E的方程.（2）直线l（斜率不为0）经过F点，与椭圆E交于A，

B两点，问x轴上是否存在一定点P，使得PAAFPBBF=?若存在，求出Р点的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数()()212ln2axxxfx=−+..（1）若12a=，求曲线()yfx=在点()()1,1f处

的切线方程；（2）若()fx的两个极值点为1x，2x，且221exx，不等式()()()221212fxfxbxx−−恒成立，求实数b的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xO

y中，直线l的参数方程为112xtyt=−=−+，（t为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2212sin3=+.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）

已知点()1,1P−，直线l与曲线C交于A，B两点，求11PAPB+.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()()20fxxtxtt=−−+.（1）当1t=时，求不等式()1fx的解集；（2若()2tfx

对任意的xR恒成立，81tMtt+=+−，求M的最小值.高三数学试卷参考答案（理科）1.B【解析】本题考查集合的并集，考查运算求解能力.因为02Axx=，13Bxx=，所以03ABxx=.2.D【解析】本题考查复数的四则运算及复数的概念，

考查运算求解能力.因为2i34i34i2i555z−−===−+，所以z在复平面内对应的点位于第四象限.3.A【解析】本题考查余弦定理，考查运算求解能力.因为17BC=，3AC=，1cos3A=，由余弦定理得2222cosBCABACABACA=+−

，所以2280ABAB−−=，所以4AB=.又因为1cos3A=，所以22sin3A=，所以1122sin4342223ABCSABACA===△.4.C【解析】本题考查函数的性质，考查信息提取能力及运算求解能力.因为1TQ=+，9Q

=，80T=，所以8091=+，解得10=.设初始时间为1K，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加3倍后的时间为2K，则()21ln4lnln420ln213.8KKnn−=−==天.5.D【解析】本题考查三视图，考查空间想象能力与运算求解能力.该几何体是三棱锥，

将该三棱锥放入长方体中，如图，由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5.计算可得最长棱52PB=，最短棱3AB=.因为ABPA⊥，所以最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为3210.6.C【解析】本题考查统计图，考查数据处理能力.因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为a，则2017

年总收入为53a，2020年总收入为52a.因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了56a，即增加了50%，所以A错误.因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为110a和310a，所以B错误.因为小

王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为512a和58a，明显增加，所以C正确.因为小王家2017年和2020年的总收入不一样，所以D错误.7.B【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力.因为()()3

2abab−⊥+，2ba=，所以()()22232320ababaabbaba−+=−−=−−=，所以2aba=−.设a与b的夹角为，则22cos22ababaaa−===−.因为0,180，所以135=.8.A【解析】本题考查简

单空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力.由图可知，组合体的体积222333741333327cm224V=−+−=−.9.D【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.将其图象向左平移3个单位

长度得到22sin22sin233yxx=+=+的图象，再问上平移1个单位长度可得到()22sin213fxx=++的图象﹐故A，B错误.令2232xk+=+，kZ，

得122kx=−+，kZ，当0k=时，12x=−；当1k=时，512x=，故C错误.令23222232kxk+++，kZ.得51212kxk++，kZ.所以()fx在5,612

上单调递减，故D正确.10.A【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力.因为()()20212021231xx−=−+的展开式中，0242020,,,,aaaa都大于零，而1352021,,,,aaaa都小于零，所以()()

012202102420201352021aaaaaaaaaaaa++++=+++−++++.令2x=−，则2021012345202020214aaaaaaaa−+−+−++−=.所以604201220212aaaa++++=.11.B【解析】本题考查导数在函数

中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.()()11ee11exxxfxxxxx=+−−=+−.因为0x，所以10x+.令()1exgxx=−，因为()gx在()0,+上单调递增，

所以()00,x+，()00gx=，即00ln0xx+=.当()00,xx时，()0fx0；当()0,xx+时，()0fx.所以()fx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()()00000mineln1xfxxaxxfxa==−−−=−.要使(

)fx存在零点，只需()min0fx，即1a.12.C【解析】本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.由题意知，抛物线C的准线为1x=−，即12p=，得2p=，所以抛物线C的方程为24yx=，其焦点为()1,0F.因

为直线l过抛物线的焦点()1,0F，所以直线l的方程为()1ykx=−.因为0MAMB=，所以M在以AB为直径的圆上.设点()11,Axy，()22,Bxy，联立方程组21122244,,yxyx==两式相减可得1212124yykxxyy−==−+.设A

B的中点为()00,Qxy，则02yk=.因为点()00,Qxy在直线l上，所以0221xk=+，所以点2221,Qkk+是以AB为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知，圆Q的半径0122222222

22xxxABrk+++====+，因为222222221QMrkk=+++=，所以22222222212kkk+++=+，解得2k=−，所以弦长2222222254ABrk==+=+=.13.45【解析】本

题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.因为1tan2=，所以2222222sinsincos2tantan42sinsincossincostan15+++===++.14.32；8【解析】本题考查双曲线的离心率及圆的方程，考查化归与转化的数学思想.设2F

为双曲线2212:14xyCb−=的左焦点，因为2a=，一条渐近线的方程为520xy−=，所以5b=，故离心率为2312ba+=.圆2C的圆心为双曲线1C的左焦点，连接2PF（图略）.因为4PF=，所以P在双曲线的右支上，由224PFPFa−==，得28

rPF==.15.54【解析】本题考查函数的性质，考查运算求解能力.因为()()23fxfx+=，所以()()()()23735333154ffff====.16.564【解析】本题考查相互独立事件的概率，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.由图可知，()114P−=，(

)128P−=，()138P−=，()104P=，()118P=，()1216P=，()1316P=，所以两次投中分值之和为2的概率为1111115221641648864++=.17.解：（1）当2n时，11nnaS−=+

，所以11nnnnnaaSSa+−−=−=，即()122nnaan+=，在11nnaS+=+中，令1n=，可得211aa=+.因为11a=，所以212aa=，故na是首项为l，公比为2的等比数列，其通项公式为12nna−=，所以1121nnnSa+=−=−.（2）因为1111111

12121nnnnnnnnnSSbSSSS++++−==−=−−−，所以1111111111337212121nnnnT++=−+−++−=−−−−.评分细则：【1】第（l）

问没有验证1n=的情况，扣1分；【2】第（2）问的结果写成112221nnnT++−=−不扣分.18.解.（1）因为1234563.56x+++++==，111316152021166y+++++==，所以()()()()()()()()2

222222.551.530.500.511.542.5535217.52.51.50.50.51.52.5b−−+−−+−+−++===−+−+−+++，可得1623.59a=−=.所以y与x之间的线性回归方程为29yx=+.（2）由（1）可知，当8x=时

，可得25y=，其中甲品种山羊有225105=万只，乙品种山羊有325155=万只.由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的

期望为6×0.2+7×0.35+8×0.35+9×0.1=7.35（月）.由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，所以乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6×0.1

+7×0.3+8×0.4+9×0.2=7.7（月）.养殖每只甲品种山羊利润的期望为2500-7.35×300=2500-2205=295（元），养殖每只乙品种山羊利润的期望为2700-7.7×300=2700-2310=390（

元），故2022年该县售卖的山羊所获利润的期望为10×295+15×390=8800（万元）.评分细则：【1】第（l）问b的计算也可以用第二个公式，计算正确正常给分；【2】第（2）问的结果没带单位扣1分.19.（1）证明：如图，连接1AC.在1AAC△中，12A

A=，1AC=，160AAC=，由余弦定理得13AC=，所以22211ACACAA+=，所以1ACAC⊥.同理1ACBC⊥.又因为BCACC=，所以1AC⊥平面ABC.因为1AC平面11AACC，所以平面ABC⊥平面11AACC.（2）解：以C为坐标原点，CA的方向为x

轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz−，则()1,0,0A，13,,022B−，()0,0,0C，()10,0,3A，13,0,33P−.()11,0,3AA=−，33,,

022AB=−，113,,322AB=−−，1123,0,33AP=−−.设平面1AAB的法向量为()111,,mxyz=，则1111130,330,22mAAxz

mABxy=−+==−+=令11z=，得()3,3,1m=.设平面1PAB的法向量为()222,,nxyz=，则12221221330,221230,33nABxyznAPxz=−+−=

=−−=令21z=，得()23,0,1n=−，所以615cos,131313mnnmmn−+===−.因为二面角1PABA−−为锐角，所以二面角1PABA−−的余弦值为513.评分细则：【1】第（1）问请严格按步骤给分；

【2】第（2）问中，法向量的取法不唯一，计算正确正常给分.20.解：（1）因为12cea==，所以2ac=，因为椭圆上的点离右焦点F的最短距离为1ac−=，所以2a=，1c=，3b=，所以椭圆E的方程为22143xy+=.（2）当P与F重合时，显

然符合题意；当P与F不重合时，设直线l的方程为1xmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，(),0Pt，联立方程组221,3412,xmyxy=++=得()2234690mymy++−=，则122634myym+=−+，122934yym=−+.

因为PAAFPBBF=，所以PF为APB的角平分线，所以12120PAPByykkxtxt+=+=−−，即()()12210yxtyxt−+−=，整理得()()1212210myytyy+−+=，即()22962103434mmtmm−++−=++，解得

4t=，故存在()1,0P，()4,0P满足题意.评分细则：【1】第（l）问请严格按步骤给分；【2】第（2问也可设直线l的方程为()1ykx=−，没有考虑Р与F重合的情况，扣1分.参照上述步骤给分.21.解：（1）当12a=时，()21ln2fxxxx=−

+，()2111xxfxxxx−+=−+=.因为()11f=，()112f=−，所以所求切线方程为32yx=−，即2230xy−−=.（2）因为()222xaxafxx−+=，所以1x，2x是方程2220xaxa−+=的两个正根.令()222gxxaxa=−+，则()

2480,0,020,aaaga=−=△，解得2a.因为12122xxxxa+==，所以()()2221222111112ln22ln222fxfxaxaxxaxaxx−=−+−−+()222122111ln2xxxxxx=−−.由()()()2

21212fxfxbxx−−，可得()()()()222222121122111ln02xfxfxbxxxxbxxx−−−=−+−.因为120xx，所以2211121ln02xxxbxxx−+−，即2121211ln02xxxbxxx

+−−恒成立.令21xtx=，因为221exx，所以2et，则11ln02bttt+−−，整理得21lnln121tttbttt+=−−.令()2ln1tthtt=−，2et，则()()()()()()()22222222ln112ln11ln0

11ttttttthttt+−−−−+==−−.所以()ht在()2e,+上单调递减，所以()()2242eee1hth=−.由2412e2e1b+−，解得()224442e1e4e1e122e1b−++−=−−，故b的取值范围是()244e4e1,2e

1−+++−.评分细则：【1】第（1）问切线方程未写成一般式不扣分；【2】第（2）问若用其他方法解答，只要解答正确，酌情按步骤给分.22.解：（l）由1,12,xtyt=−=−+得210xy+−=，即直线l的普通方程为210

xy+−=.由2212sin3=+，得222sin312+=.因为siny=，222xy+=，223412xy+=，故曲线C的直角坐标方程为22143xy+=.（2）直线l的参数方程为1,12xtyt=−=−+（t为参数），化为标准形式51,52

515xtyt=−=−+（t为参数），代入223412xy+=，得219225250tt−−=.设A，B对应的参数分别为1t，2t，则1222519tt+=，1225019tt=−.可知1t，2t异号，所以1212121211PAPBttttPAPBPAPBtt

tt++−+===.因为()21212121230419tttttt−=+−=，所以11123025PAPB+=.评分细则：【1】第（l）问直线方程未写成一般式不扣分，曲线C的直角坐标方程未写成标准形式也不扣分；【2】第（2）问若用其他方法解答，解答正确则正常给分.2

3.解：（1）当1t=时，()21fxxx=−−+.当1x−时，2131xx−+++=恒成立，所以1x−；当12x−时，由211xx−+−−，得0x，所以10x−；当2x时，211xx−−−不成立.所以不等式()1fx的解集为(,0−.（2）因为()2tfx对任

意的xR恒成立，所以()2maxtfx.因为()223fxxtxtxtxtt=−−+−−−=，所以23tt.因为0t，所以3t.8912292811tMtttt+=+=−+++=−−，当且

仅当911tt−=−，即4t=时取等号.所以M的最小值为8.评分细则：【1】第（1）问也可以先将()fx写成分段函数，再结合函数单调性解答﹐解答正确则正常给分；【2】第（2）问中没有说明取等条件，扣1分.