【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练35 复数.docx，共(8)页，37.319 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。三十五复数(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)已知复数1+i(2-a-ai)为纯虚数,则实数a的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析

】选A.因为1+i(2-a-ai)=(1+a)+(2-a)i为纯虚数,所以{1+𝑎=02-𝑎≠0,解得a=-1.2.(5分)(2022·浙江高考)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则()A.a=1,b=-3B

.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3【解析】选B.a+3i=(b+i)i=-1+bi,所以a=-1,b=3.3.(5分)(2023·嘉兴模拟)已知(1+i)z=2+4i,则|z|=()A.

10B.2C.√10D.4【解析】选C.z=2+4i1+i=(2+4i)(1-i)(1+i)(1-i)=2+4+2i2=3+i,则|z|=√10.4.(5分)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限

D.第四象限【解析】选A.(1+3i)(3-i)=6+8i,故对应的点在第一象限.5.(5分)若复数z满足z(1+i)=2+3i,则z的虚部是()A.12B.12iC.1D.-i【解析】选A.z=2+3i1+i=(2+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=52+12i,故z的虚部是12.6

.(5分)(多选题)(2023·荆州模拟)下面关于复数结论正确的是()A.若z(2-i)=i23,则z的实部为15B.若复数z满足1𝑧∈R,则z∈RC.对任意复数z恒有z·𝑧=|𝑧|2成立D.若复数z1,z2满足z1z2∈

R,则z1=𝑧2【解析】选ABC.对于A,若z(2-i)=i23,z=i232-i=-i(2+i)(2-i)(2+i)=1-2i5=15-25i,则z的实部为15,故A正确;对于B,设z=a+bi(a,b∈R),若复数z

满足1𝑧=𝑎-𝑏i(𝑎+𝑏i)(𝑎-𝑏i)=𝑎𝑎2+𝑏2-𝑏𝑎2+𝑏2i∈R,则-𝑏𝑎2+𝑏2=0,可得b=0,则z∈R,故B正确;对于C,设z=a+bi(a,b∈R),则z·𝑧=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|𝑧|2=a2+b2

,所以对任意复数z恒有z·𝑧=|𝑧|2成立,故C正确;对于D,设z1=-1+i,z2=2+2i,若z1z2=(-1+i)(2+2i)=-4∈R,但z1≠𝑧2,故D错误.【加练备选】1.(2023·信阳模拟)

已知a∈R,复数z=a+2i,z2-2z是实数,则|z|=()A.5B.10C.√5D.√10【解析】选C.z2-2z=(a+2i)2-2(a+2i)=a2-4+4ai-2(a+2i)=a2-2a-4+(4a-4)i∈R,故4a-4=0,解

得a=1,故|z|=√5.2.若复数z满足2(2+𝑧)=i(1-z),则z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.设z=a+bi(a,b∈R),由2(2+𝑧)=i(1-z),得(2a+4)-2bi=b+(1-a)i,由实部和虚部分别相等知{2�

�+4=𝑏,-2𝑏=1-𝑎,解得{𝑎=-3,𝑏=-2,则z在复平面内对应的点(-3,-2)在第三象限.7.(5分)若实系数方程x2+ax+b=0的一个根是i,则a+b=__________.【解析】由题意得i2+ai

+b=0,即ai+b-1=0,即a=0,b=1,所以a+b=1.答案:18.(5分)(2023·保定模拟)已知复数z满足|z-1+i|=2√2,𝑧为z的共轭复数,则z·𝑧的最大值为__________.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则|z-1+i|=2√2的几何意义为z在复平

面内所对应的点(a,b)到(1,-1)的距离为2√2,所以z所对应的点(a,b)的轨迹是以A(1,-1)为圆心,2√2为半径的圆,而z·𝑧=a2+b2可看作该圆上的点(a,b)到原点的距离的平方,所以(𝑧·𝑧)max=(√2+2√2)2=18.答案:189.

(10分)(2023·朔州模拟)在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i.分别求出满足下列条件的复数z.(1)在虚轴上;【解析】(1)若复数z对应的点在虚轴上,则m2-m-2=0,即m=-1或m=2.此时z=6i或z=0;9.(10分)(2023·朔州模拟)在复平面内,复数z=(

m2-m-2)+(m2-3m+2)i.分别求出满足下列条件的复数z.(2)在实轴负半轴上;【解析】(2)若复数z对应的点在实轴负半轴上,则{𝑚2-𝑚-2<0𝑚2-3𝑚+2=0,解得m=1,即z=-2;9.(10分)(2023·朔州模拟)

在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i.分别求出满足下列条件的复数z.(3)在直线y=x上.【解析】(3)若复数z对应的点在直线y=x上,则m2-m-2=m2-3m+2,得m=2,即复数z=0.【能力提升练】10.(

5分)(2023·武汉模拟)复数z=2-i2+i,则z-𝑧=()A.-65B.65C.-85iD.85i【解析】选C.依题意,z=(2-i)(2-i)(2+i)(2-i)=3-4i5=35-45i,于是𝑧=35+45i,所以z-𝑧=(35-45i)-(35+45i)=

-85i.11.(5分)(2023·长沙模拟)已知复数z=a+i(a>0,i是虚数单位),若|z|=√10,则1𝑧的虚部是()A.110B.-110C.110iD.-110i【解析】选B.因为复数z=a+i(a>0,i是虚数单位),|z|=√10,所以|z|=

√𝑎2+1=√10,解得a=3.所以1𝑧=13+i=3-i(3+i)(3-i)=310-110i,故1𝑧的虚部是-110.12.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)已知i为虚数单位,以下四个说法正确的是()A.1i+1i2+1i3+1i4=0B.3+i>

1+iC.若z=(1+2i)2,则复数z对应的点位于第四象限D.已知复数z满足|z-2i|=3,则z在复平面内对应的点的轨迹为圆【解析】选AD.A:1i+1i2+1i3+1i4=-i-1+i+1=0,本选项正确;B:因为两个虚数不能比较大小,所以本选项不正确;C:因为z=(1+2i)2=1

+4i-4=-3+4i,所以复数z对应的点位于第二象限,因此本选项不正确;D:因为|z-2i|=3,所以z在复平面内对应的点的轨迹为圆心为(0,2),半径为3的圆,因此本选项正确.13.(5分)(多选题)已知复数z

1=1-i,z2=-2+3i,i为虚数单位,下列说法正确的是()A.z1+z2在复平面内对应的点位于第二象限B.若向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗分别对应的复数为z1,z2,则向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为3-4iC.若z1(a+i)=z2+bi(a,b∈

R),则ab=-3D.若复数z3=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位),且|z3|=1,则|z3-z1|的最大值为√2+1【解析】选ACD.对于A,z1+z2=-1+2i在复平面内对应的点(-1,2)位于第二象限,故A正确;对于B,因为向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗分别对应的复数为z1,z2,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,z2-z1=-2+3i-(1-i)=-3+4i,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为-3+4i,故B错误;对于C,由z1(a+i)=z2+bi得(1-i

)(a+i)=-2+3i+bi,得a+1+(1-a)i=-2+(b+3)i,得{𝑎+1=-21-𝑎=𝑏+3,得a=-3,b=1,所以ab=-3,故C正确;对于D,|z3|=1,则x2+y2=1,表示的轨迹为圆,而|z3-z1|=|

(x-1)+(y+1)i|=√(𝑥-1)2+(𝑦+1)2,表示圆上的点到定点(1,-1)的距离,因为圆心(0,0)到定点的距离d为√2,则圆上的点到定点(1,-1)的距离的最大值为√2+1=√2+1,故D正确.14.(10分)(2023·宁波模拟)已知复数z=4+ai,其中a是

正实数,i是虚数单位.(1)如果z(3a+ai)为纯虚数,求实数a的值;【解析】(1)因为z(3a+ai)=(4+ai)(3a+ai)=12a-a2+(3a2+4a)i,由z(3a+ai)为纯虚数,可得{12𝑎-𝑎

2=03𝑎2+4𝑎≠0,解得a=12;14.(10分)(2023·宁波模拟)已知复数z=4+ai,其中a是正实数,i是虚数单位.(2)如果a=2,z1=𝑧1-i是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,求b

+c的值.【解析】(2)因为a=2,所以z=4+2i,z1=4+2i1-i=(4+2i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i,将z1=1+3i代入方程x2+bx+c=0(b,c∈R),得(1+3i)2+b(1+3i)+c=0,即有b+c-8+(6+3

b)i=0,所以{𝑏+𝑐-8=06+3𝑏=0,解得{𝑏=-2𝑐=10,b+c=8.15.(10分)(2023·苏州模拟)已知复数z=(m-1)+(m+1)i(m∈R).(1)若z在复平面内的对应点位于第二象限,求m的取值范围;【解析】(1)z在复平面内的对应点为(m-1,m+1),

因为点(m-1,m+1)位于第二象限,所以{𝑚-1<0𝑚+1>0,解得-1<m<1.所以m的取值范围为(-1,1).15.(10分)(2023·苏州模拟)已知复数z=(m-1)+(m+1)i(m∈R).(2)若z为纯虚数,设z3,z2-z在复平面上对应的点分别为A,B,求向量𝑂

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗在向量𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量的坐标.【解析】(2)因为z为纯虚数,所以{𝑚-1=0𝑚+1≠0,解得m=1,所以z=2i,所以z3=(2i)3=-8i,z2-z=-4-2i,所以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-8),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-4,-2).所以|�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1620(-4,-2)=(-165,-85

).即向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗在向量𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量的坐标为(-165,-85).【素养创新练】16.(5分)棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ

+isinnθ).根据复数乘方公式,复数[-2(cosπ5+isinπ5)]2023在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由题意得[-2(cosπ5+isinπ5)]2023=(-2)2023(cos

2023π5+isin2023π5)=(-2)2023(cos3π5+isin3π5),因为(-2)2023<0,cos3π5<0,sin3π5>0,所以复数[-2(cosπ5+isinπ5)]2023在复平面内对应的点位于第四象限.17.(5分)(多选题)欧拉公式exi=co

sx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式,下列选项正确的是()A.eπ3i对应的点位于第一象限B.eπi为纯虚数C.eπi√3+i的模等于12D.eπ6i

的共轭复数为12-√32i【解析】选AC.对于A:eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+√32i,所以eπ3i在复平面内对应的点为(12,√32)位于第一象限,故A正确;对于B:eπi=cosπ+isinπ=-1,所以eπ

i为实数,故B不正确;对于C:由eπi=cosπ+isinπ=-1,所以eπi√3+i=-1√3+i=-1(√3-i)(√3+i)(√3-i)=-√34+i4,所以|eπi√3+i|=√(-√34)2+(14)2=12,故C正确;对于D:eπ6i=cosπ6+isinπ6=

√32+12i,所以eπ6i的共轭复数为√32-12i,故D错误.