【文档说明】专题19.8直角三角形的性质-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【沪教版】.docx，共(19)页，183.117 KB，由envi的店铺上传

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2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题19.8直角三角形的性质姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道

、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：

3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．【解析】①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝1

80°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180，解得：x＝18°，∴∠5＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°

，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（108011）°，∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共

3个，故选：C．2．（2020春•凤凰县期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8kmB．1.2kmC．1.3km

D．5.2km【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解析】在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM=12AB=12×2.6＝1.3（km），故选：C．3．（2021•大渡口区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在

斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（）A．∠DCB＝∠BB．BC＝BDC．AD＝BDD．∠ACD=12∠BDC【分析】根据同角的余角相等判断A；根据题意判断B；根据等腰三角形的性质判断C；根据三角形的

外角性质判断D．【解析】∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∴∠B＝∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；∵∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∵AD＝CD，∴AD＝BD，C选项结论正确

，不符合题意；∵∠A＝∠ACD，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠ACD，∴∠ACD=12∠BDC，D选项结论正确，不符合题意；故选：B．4．（2021春•闵行区校级月考）下列说法中错误的是（）A．三角形的三个内角中，

最多有一个钝角B．三角形三个内角中，至少有两个锐角C．直角三角形中有两个锐角互余D．三角形中两个内角和必大于90°【分析】根据三角形内角和定理，一一判断即可．【解析】A、三角形的三个内角中，最多有一个钝角，正确．B、三角形三个内角中，至少有两个锐角，正确．C、直角三角形中

有两个锐角互余，正确，D、三角形中两个内角和必大于90°，错误，比如钝角三角形的两个锐角的和小于90°．故选：D．5．（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角

形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（）A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】∵∠DEB＝m°，∴∠AEC＝∠DEB＝

m°，∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，∴30°+m°＝45°+∠AOC，∴∠AOC＝（m﹣15）°，故选：B．6．（2021春•深圳期中）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，

绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（）A．3B．3.3C．4D．5【分析】直接利用直角三角形的性质斜边大于直角边进而得出答案．【解析】∵旗杆的高度为AB＝3.2米，∴AP

＞AB，∴绳子AP的长度不可能是：3米．故选：A．7．（2021春•广安期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（）A．60B．50C．40D．30【分析】根据直角三角形的性质得到AB

＝2CD，求得AB＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，∴AB＝2CD，∵CD＝6，∴AB＝12，∵CE⊥AB于点E，CE＝5，∴△ABC的面积=12AB•CE=12×12×5＝

30，故选：D．8．（2021春•潮阳区期末）如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为

同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（）A．不变B．变小C．变大D．无法判断【分析】根据题意知，OP是直角△AOB斜边上的中线，则OP=12AB，长度不变．【解析】如图，连接O

P，根据题意知，点P是直角△AOB斜边的中点，则OP是直角△AOB斜边上的中线，则OP=12AB，由于AB的长度不变，则OP的长度不变．故选：A．9．（2021春•任丘市期末）如图，点E是△ABC内一点，∠A

EB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．152C．8D．9【分析】根据直角三角形的性质求出DE，由EF＝1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求

出线段AC的长．【解析】∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，∴DE=12AB＝3，∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴AC＝2DF＝8．故选：C．10．（2021

春•海淀区校级期中）一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑

动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2√5B．2√5−2C．2D．4【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．【解析】如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5（米），∵∠MBN＝9

0°，MN＝4米，EM＝NE，∴BE=12MN＝2（米），∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2米为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为（2√5−2）米．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2√5−2确定最小值），故选：B．二、填空题（本大

题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB，交BC于点D且AD＝1，则BC＝3．【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，∠C＝∠CAD

，然后利用含30°角的直角三角形可得BD长，进而可得答案．【解析】∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，AD＝1，∴BD＝2，∵∠BAD＝90°，∴∠DAC＝30°，∴AD＝CD＝1，∴CB＝3，故

答案为：3．12．（2019秋•潮阳区期末）若三角形三个内角的度数之比为1：2：3，最短的边长是5cm，则其最长的边的长是10cm．【分析】根据三角形内角和定理可求得三个角的度数分别为30°，60°，90°，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可求解．

【解析】∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3，∴三个角的度数分别为30°，60°，90°，∵最短的边长是5cm，∴最长的边的长为10cm．故答案为：10cm．13．（2020秋•大安市期末）如图，A

C＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为5cm．【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边

的一半解答即可．【解析】∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝15°，∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，∵AD⊥BC，∴AD=12AC=12×10＝5（cm）．故答案为：5cm．14．（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝9

0°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，∠BCD＝3∠ACD，CD＝3，则AB的长为6√2．【分析】根据已知条件得到ACD＝22.5°，求得∠B＝∠ACD＝22.5°，根据直角三角形的性质得到CE＝BE=12AB，求得∠DCE＝∠DEC＝45°，得到CE=√2CD＝3√2，于是得到结

论．【解析】∵∠ACB＝90°，∠BCD＝3∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD＝22.5°，∵点E是AB的中点，∴CE＝BE=12AB，∴∠BCE＝∠B＝22.5°，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝

90°，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∴CE=√2CD＝3√2，∴AB＝2CE＝6√2，故答案为：6√2．15．（2021春•河东区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝3．则AC的长为6．【分析】根据等腰三角形的性质

求出AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线得出EF=12AC，代入求出答案即可．【解析】连接AF，∵AB＝AD，F为BD的中点，∴AF⊥BD，即∠AFC＝90°，∵E为AC的中点，∴EF=12AC，∵EF＝3，∴AC＝6，故答案为：6．16．（

2021春•宛城区期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△AD

C是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°．【分析】分三种情况进行讨论：①当∠ADC＝3∠C时；②当∠C＝3∠CAD时；③当∠ADC＝3∠CAD时．根据“和谐三角形”的定义求解即

可．【解析】∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°．当△ADC是“和谐三角形”时，分三种情况：①当∠ADC＝3∠C时，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°，∴∠DAB

＝∠CAB﹣∠CAD＝30°；②当∠C＝3∠CAD时，∠CAD＝10°，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°；③当∠ADC＝3∠CAD时，∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°，∴∠CAD=14×150°＝37.5°，∴

∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝52.5°．综上所述，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°．故答案为：30°或80°或52.5°．17．（2021春•青秀区校级期末）如图，Rt△ABC中，BC＝13，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，

E分别是边AB，AC上的点，且满足AD＝2CE，则CD﹣CE的最小值为13√36．【分析】作EF∥AB交BC于点F，连接DF，根据平行线的性质得出∠CFE＝∠B＝30°，再根据直角三角形中，30°角所对直角边是斜边一半得出EF＝2CE＝AD，取EF中点G，连接CG、DG，

可得CE＝CG，当C，D，G三点共线时，D为AB的中点，EF为中位线，此时，CD﹣CE取得最小值．【解析】作EF∥AB交BC于点F，连接DF，∵EF∥AB，∠B＝30°，∴∠CFE＝∠B＝30°，∴EF＝2CE＝AD，取EF中点G，连接CG、DG，∴CE＝C

G，∴CD﹣CE的最小值为C，D，G三点共线时，此时D为AB的中点，EF为中位线，∴CD﹣CE＝13×2√3×12×12=13√36，故答案为13√36．18．（2021春•吉州区期末）已知在直角三角形中，若一条直角边是斜边

的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°．若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，则△ABC顶角的度数为30°或150°或90°．【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30

°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD＝30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．【解析】①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，∴∠ACD＝30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°；如图2，延长BC，过A作A

D⊥BC于D，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°﹣30°＝150°；②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12

×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018秋•杭

州期中）已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DE＝AE，根据题意证明即可；（2）根据直角三角形的性

质求出AB，根据等腰三角形的性质得到DE⊥AB，根据三角形面积公式计算．【解答】（1）证明：∵DG⊥CE，CG＝EG，∴DE＝DC，∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝90°，又AE＝BE，∴DE＝AE，∴AE＝CD；（2）解：∵AE＝CD＝2，AB＝

2DE，∴AB＝4，∵AD＝BD，AE＝BE，∴DE⊥AB，∴△ABD的面积=12×AB×DE＝4．20．（2018秋•綦江区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BA

D的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，再求出∠DAE＝∠EAB＝30°，然后根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝3

0°，从而得到∠DAE＝∠F，再根据等角对等边求出AD＝DF，然后求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝×120°＝60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DA

E＝∠EAB=12∠BAD=12×60°＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AD=12AB=12×7＝3.5，∴DF＝3.5．21．（2021春•郓城县期末）如图，DE是△ABC的

边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．（1）求∠C的度数；（2）若DE＝1，求EC的长．【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的

定义推角相等，最后得出角的度数；（2）利用角平分线的性质求线段长．【解析】（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，∴AE＝BE．∴∠B＝∠BAE＝30°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝30°，∴∠ACB＝90°．（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴EC

＝ED＝1．22．（2021春•亳州期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．（1）求证：EF＝CF；（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E两点间的距离．【分析】（1）利用直角三角形斜边

上的中线的性质可得EF=12AD，CF=12AD，进而求解EF＝CF；（2）连接CE，易求EF＝AF＝CF＝3，结合等腰三角形的性质可求解∠EFC＝90°，利用勾股定可求解CE的长．【解答】（1）证明

：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是斜边AD的中点，∴EF=12AD，CF=12AD，∴EF＝CF；（2）解：连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF=12AD＝3，∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝

2×45°＝90°，∴CE=√𝐸𝐹2+𝐶𝐹2=√32+32=3√2．即C，E两点间的距离是3√2．23．（2021春•成都期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．（

1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠ACD＝∠EDC，即可求得∠BCD＝∠EDC，进而可求解；（2）由直角三角形的性质可求解∠AEF

＝60°，由平行线的性质可求解∠AED的度数，进而可求解．【解析】（1）DE∥BC，理由如下：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EC＝ED，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠EDC，∴DE∥BC；（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，∴∠AEF＝6

0°，∵∠ACB＝80°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝80°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．24．（2021春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分

别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【分析】用含t

的代数式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；（2）分两种情况进行讨论：当∠BOP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得

结论．【解析】在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴𝑡=43．当𝑡=43时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，

①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴𝑡=85．即当𝑡=85或t＝1时，△PBQ为直角三角形．