【文档说明】天津市经济技术开发区第二中学2021届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(17)页，1.295 MB，由小赞的店铺上传

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开发区第二中学2020-2021学年度第一学期高三年级数学学科期中考试试卷一.选择题（每题5分，共45分）1.sin570=()A.12−B.12C.32−D.32【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式可得sin570sin30=−，从

而得到结果.【详解】()()1sin570sin360210sin210sin18030sin302=+==+=−=−本题正确选项：A【点睛】本题考查利用诱导公式求解三角函数值的问题，属于基础题.2.曲线y=21xx−在点（1，1）处的切线方程为()A.x-y-

2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=0【答案】B【解析】【详解】求导得斜率-1，代点检验即可选B.21120(21)ykxyx−==−+−=−，选B.3.函数3()1216fxxx=−−

的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解.【详解】由题得2()3123(2)(2)fxxxx=−=+−，令()0fx得2x或2x−，令()0fx得22x−，所以函数的单调递

增区间为(,2),(2,)−−+，减区间为(2,2)−.所以函数的极大值为(2)0f−=，极小值为(2)32f=−，当x→−时，0,y当x→+时，0,y所以函数的零点个数为2.故选：C【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象

法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令()=0fx重新构造函数()()gxhx=，画出两个函数的图象得解）”4.已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=A.–4B.–2C.4D.2【答案】D【解析】试题分析

：()()()2312322fxxxx==+−−，令()0fx=得2x=−或2x=，易得()fx在()2,2−上单调递减，在()2,+上单调递增，故()fx的极小值点为2，即2a=，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值

点0x是方程'()0fx=的解，但0x是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x附近，如果0xx时，'()0fx，0xx时'()0fx，则0x是极小值点，如果0xx时，'()0fx，0xx时，'()0fx，则0x是极大值点.5.设函数

()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数(1)()yxfx=−的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)fB.函数()fx有极大值(2)f−和极小值(1)fC.函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f−D.函数()fx有极大值(2

)f−和极小值(2)f【答案】D【解析】【详解】()()2,10,10xxxfx−−−则()0fx函数()fx增；()()21,10,10xxxfx−−−则()0fx函数()fx减；()()12,10

,10xxxfx−−则()0fx函数()fx减；()()2,10,10xxxfx−−则()0fx函数()fx增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减6.对于函数

sin(2)6yx=−，下列说法正确的是（）A.函数图象关于点(,0)3对称B.函数图象关于直线56x=对称C.将它的图象向左平移6个单位，得到sin2yx=的图象D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的1

2倍，得到sin()6yx=−的图象【答案】B【解析】【详解】【分析】2362−=，所以点,03不是对称中心，对称中心需要满足整体角等于k,kZ,A错．532662−=，所以直线56x=是对称轴，对称轴

需要满足整体角等于2k+，kZ，B对．将函数向左平移6个单位，得到2sin(2()),2sin(2)666yxyx=+−=+的图像，C错．将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin(4)6yx=−的图像，D错，选B.【点睛】（1）对于sin()yAx=+和cos()

yAx=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin)yAx=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2xkkZ+=+解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由()xkkZ+=，解得()kxkZ−=，即其对称中心为(),0kkZ

−．（2）三角函数图像平移：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A(

横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各

点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．7.已知1cos33+=−,则sin6−的值为()A.13B.13−C.233D.233−【答案】A【解析】【分析】本题首

先可以观察3+与6−之间的关系，然后通过三角函数的诱导公式以及1cos33+=−即可得出sin6−的值．【详解】因为362+−−=，所以1coscossin

32663+=+−=−−=−，所以1sin63−=，故选A．【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的诱导公式，能否找出题目所给的角之间的联系是解决本

题的关键，考查推理能力，是简单题．8.若10xkex−−恒成立，则实数k的取值范围是（）A.(,1−B.(0,1C.()0,+D.)1,+【答案】D【解析】【分析】由参变量分离法得出1xxke+恒成立，构造函数()1xxg

xe+=，利用导数求出函数()ygx=的最大值，进而可求得实数k的取值范围.【详解】由题意得1xxke+恒成立，设()1xxgxe+=，令()0xxgxe=−=，则0x=，当0x时，()0gx

，此时函数()ygx=单调递增；当0x时，()0gx，此时函数()ygx=单调递减.所以，()()max01gxg==，故1k³.因此，实数k的取值范围是)1,+.故选：D.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可

，属于中等题.9.已知450540，则1111++cos22222的值是（）A.-sin2B.cos2C.sin2D.-cos2【答案】A【解析】【分析】运用二倍角的余弦公式22cos22cos1,cos212sin=−=−，结合450540，化简即

可.【详解】211111111++cos2++(2cos1)22222222=−221111+coscossinsin222222==−==−，故本题选A.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式，考查了角的正弦值、余弦值的正负性的判断.二.填空题：（每题5分，共30

分）10.已知角的终边经过点(,3)Px（0x）且10cos10x=，则x=___________.【答案】1−【解析】【分析】由余弦函数的定义可得210cos109xxx==+，解出即可.【详解】由余弦函数的定义可得210cos109xxx=

=+，解得0x=（舍去），或1x=（舍去），或1x=−，1x=−.故答案为：1−.11.已知2sincos0−=，则2sin2sincos−=___________.【答案】35-【解析】【分析】根据2sincos0

−=，可得tan的值，而2222sin2sincossin2sincos1sincos−−=+，再将222sin2sincossincos−+分子分母同除以2cos化成关

于tan的分式即可解.【详解】由2sincos0−=，得1tan2=，则有222222sin2sincossin2sincostan2tan1sincostan1−−−==++221123225112−==−+

；故答案为：35-.【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：22sincos1+=，sintancos=，tancot1=.12.已知函数()()sin(0,0,)2fxAxA=+的部分图象如图所示：则函数()fx

的解析式为______．【答案】()2sin84fxx=+【解析】【分析】由函数图象的最值和周期可得A和，然后将点()2,2代入解析式，利用的范围即可得到值，从而得到函数解析式．【详解】由图象得到()fx的最大值为2，周

期为16，且过点()2,2所以2A=，又216T==，所以8=，将点()2,2代入()fx，2．得到4=，所以()2sin84fxx=+故答案为()2sin84fxx

=+：．【点睛】本题考查由()sinyAx=+的部分图象确定其解析式，注意函数周期的求法，考查计算能力，属于常考题型．13.已知函数32()245fxaxxx=+−+，当23x=时，函数()fx有极值，则函数()fx在3,1

−上的最大值为_________.【答案】13【解析】【分析】由题可得()fx在23x=的导数值等于0，可求得1a=，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.【详解】()2344fxaxx=+−，当23x=时，函数()fx有极值，2440333fa=−

=，解得1a=，()()()2344322fxxxxx=+−=−+，当()3,2x−−时，()0fx，()fx单调递增，当22,3x−时，()0fx，()fx单调递减，当2,13x时，()0fx，()fx单调递增，

()fx在2x=−处取得极大值()213f−=，且()38f−=，()14f=，()fx在3,1−上的最大值为13.故答案为：13.【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：（1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性；

（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.14.31cos10sin170−=________.【答案】4−【解析】【分析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果．【详解】由题意得31313sin10cos102sin(1030)1cos10sin170cos10sin10sin10cos10si

n202−−−=−==4sin(20)4sin20−==−．故答案为4−．【点睛】解答此类问题时，要根据所给式子的特点进行合理的变形，运用相应的公式进行求解，逐步化为同角的形式，然后通过约分等手段达到求解的目

的，解题的关键是进行角的变换和三角关系式结构的变换．15.已知函数()3xx1fx=x2x+e-e−，其中e是自然数对数的底数，若()()2fa-1+f2a0，则实数a的取值范围是_________．【答案

】1[1,]2−【解析】因为31()2e()exxfxxxfx−=−++−=−，所以函数()fx是奇函数，因为22()32ee322ee0xxxxf'xxx−−=−++−+，所以数()fx在R上单调递增，又2(1)(2)0fafa−+，即2(2)(

1)fafa−，所以221aa−，即2210aa+−，解得112a−，故实数a的取值范围为1[1,]2−．点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())fgxfhx

的形式，然后根据函数()fx的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()gx与()hx的取值应在函数()fx的定义域内．三.解答题（共75分）16.已知43sin7=，13cos()14−=，且02．（1）求tan

2的值；（2）求的值．【答案】（1）83;47−（2）.3=【解析】【详解】（1）由43sin7=，02，得22431cos1sin1()77=−=−=，∴sin437tan43cos71===，∴222tan243

83tan2;1tan471(43)===−−−（2）由02，得02−−，又∵13cos()14−=，∴221333sin()1cos()1()1414−=−−−=−−=−，由()=−+得coscos[()]=−+

cos()cossin()sin=−−−=131334311471472+=，∴由02得.3=考点：同角三角函数关系17.已知函数()()xfxxke=−.（1）求()fx的极值；（2）求()fx在区间0,1上的最小值.【答案】（1）极小值1(1)kfke

−−=−，无极大值；（2）见详解.【解析】【分析】（1）对函数求导，由导数的方法，研究函数单调性，进而可得出极值；（2）分别讨论10k−，011k−，11k−≥三种情况，由导数的方法研究函数在给定区间的单调性，即可求出最值.【详解】（1）由()()xfxxke=−可得()(

1)xfxxke=−+，令()0fx=，得1=−xk，则，随x变化，()fx与()fx的情况如下：x(),1k−−1k−()1,k−+()fx−0+()fx1ke−−所以()fx的单调递减区间是(),1k−−；单调递增区间是

()1,k−+；所以()fx有极小值1(1)kfke−−=−，无极大值；（2）当10k−，即1k时，()(10)xfxxke=−+在0,1x上恒成立，则函数()fx在0,1上单调递增；所以()fx在区间0,1上的最小值为(0)fk=

−；当011k−，即12k时；由（1）知()fx在[0,1]k−上单调递减，在(1,1]k−上单调递增，所以()fx在区间0,1上的最小值为1(1)kfke−−=−；当11k−≥，即2k时，函数()fx在0,1上单调递减，所以()fx在区间0,1上的最小值为(1)(1)fke

=−.综上，当1k时，()fx在区间0,1上的最小值为(0)fk=−；当12k时，()fx在区间0,1上的最小值为1(1)kfke−−=−；当2k时，()fx在区间0,1上的最小值为(1)(1)fke=−.【点睛】方法点睛：求函数()fx在区间

,ab上的最值的方法：（1）若函数在区间,ab上单调递增或递减，则()fa与()fb一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间,ab内有极值，则要先求出函数在,ab上的极值，再与()fa，()fb比较，最大的为最大值，最小的

为最小值；（3）函数()fx在区间(),ab上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.18.已知函数()()4cossin04fxxx=+的最小正

周期为.（1）求的值；（2）讨论()fx在区间0,2上的单调性.【答案】（1）1=；（2）()fx在区间0,8上单调递增，在区间,82上单调递减.【解析】试题

分析：（1）根据两角和的正弦公式把sin4x+展开，在利用二倍角公式即可把()fx化成()2sin224fxx==++，由最小正周期为及周期公式即可求得的值；（2）由0,2求得52244x+，根据正弦函数的图象找出单调区间，

解出相应x的范围即得()fx在区间0,2上的单调性.试题解析：（1）()4cossin4cossincoscossin444fxxxxxx=+=+()()222cossincos22cossincosxxxxxx

=+=+=2sin22cos22xx++2sin224x=++，()fx的最小正周期为，且0，从而2,12==.（2）由（1）知，()fx2sin224x++，若0,2x则52,444x+当2,0442

8xx+时，()fx递增，当52,24482xx+时，()fx递减，所以()fx在区间0,8上单调递增，在区间,82上单调递减.考点：三角恒等变换及三角函数的性质.【方法点晴】本题

主要考查了三角恒等变换及三角函数的性质，属于基础题.本题解答的关键是通过两角和的正弦公式、二倍角公式等把函数()fx化成“一角一名一次式”形式的正弦型函数，利用给出的最小正周期求得；对于给定区间上的单调区间可换元转化为正弦曲线由其图象求出，也可以求出其在R上的单调区间，通过

给k取值，求出与给出的区间0,2的交集来求解.19.已知函数1()lnfxaxx=−，aR．（1）若曲线()yfx=在点处的切线与直线20xy+=垂直，求a的值；（2）求函数()fx的单调区间；（3）当1a=，且

2x时，证明：(1)25fxx−−．【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析【解析】【详解】（1）函数()fx的定义域为0xx，21()afxxx=+．又曲线()yfx=在点处的切线与直线20xy+=垂

直，所以(1)12fa=+=，即1a=．（2）由于21()axfxx=+．当0a时，对于，有()0fx在定义域上恒成立，即()fx在上是增函数．当0a时，由()0fx=，得．当时，()0fx，()fx单调递增；、

当时，()0fx，()fx单调递减．(3)当1a=时，1(1)ln(1)1fxxx−=−−−，．、令1()ln(1)251gxxxx=−−−+−．2211(21)(2)()21(1)(1)xxgxxxx−−

=+−=−−−−．当2x时，()0gx，()gx在单调递减．又(2)0=g，所以()gx在恒为负．所以当时，()0gx．即1ln(1)2501xxx−−−+−．故当1a=，且2x时，(1)25fxx−−成立．20.设函数()(1)ln(1)fxxxx=−++（1）求函数(

)fx的极值；（2）若方程()fxt=在1,12−有两个实数解，求t的取值范围；（3）证明：当0mn时，(1)(1)nmmn++.【答案】（1）0；（2）11[ln2,0)22−+；（3）证明见详解.【解析】【分析】（1）首先明确定义域，再求导()l

n(1)fxx=−+，所以()fx在()1,0−上单调递增，在()0,+上单调递减，即可得解；（2）实际研究直线xt=与函数()yfx=图像交点有两个的情况，由（1）知()fx在1[,0]2−上单调递增，在[0

,1]上单调递减，且1(1)()2ff−，所以当11[,ln2,0)22t−+时，方程()fxt=有两解．（3）首先将两变量分离，这要用到取对数，即ln(1)ln(1),nmmn++因此只需证ln(1)ln(1)mnmn++，即证ln(1)(),(0)xgxxx+=为单调

减函数，可利用导数2ln(1)1()xxxgxx−++=，再结合（1）的结论可证.【详解】（1）由()(1)ln(1)fxxxx=−++，定义域为()1,−+，()ln(1)fxx=−+，()ln(1)00fxxx=−+==，当10x−

时，()()0,fxfx单调递增，当0x时，()()0,fxfx单调递减，所以0x=为函数的极大值点，则函数()fx的极值为(0)0(01)ln(01)0f=−++=.（2）由（1）知，()fx在1[,0]2−上单调递增，在(0,1上单调递减，又111(0)0,(1)1l

n4,()ln2222fff==−−=−+，∴135(1)()ln20222ff−−=−．∴当11[ln2,0)22t−+时，方程()fxt=有两解．（3）∵0mn.∴要证：(1)(1)nmmn++只需证ln(1)ln(1)nmmn++

，只需证：ln(1)ln(1)mnmn++．设ln(1)(),(0)xgxxx+=，则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xxxxxxgxxxx−+−+++=+=．由（1）知()(1)ln(1)fxxxx=−++在(0,)+单调递减，又()00f=，∴(1)ln(1)0xx

x−++，即()gx是减函数，而mn．∴()()gmgn，故原不等式成立．【点睛】关键点睛：要证：(1)(1)nmmn++只需证ln(1)ln(1)nmmn++，只需证：ln(1)ln(1)mnmn++，构造函数ln(1)(),(0)xgxxx+=是

解决本题的关键.