【文档说明】安徽省示范中学培优联盟2019-2020学年高一上学期冬季联赛数学试题【精准解析】.doc，共(19)页，1.426 MB，由小赞的店铺上传

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安徽省示范高中培优联盟2019年冬季联赛（高一）数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若全集UR，集合1,2,3,4,

5A，3BxRx，图中阴影部分所表示的集合为()A.1B.1,2C.1,2,3D.0,1,2【答案】B【解析】【分析】图中阴影部分表示的意思为：UABð，根据集合运算关系即可得解.【详解】根据图中阴影

部分表示的意思为：UABð，U,3Bð，所以U1,2ABð.故选：B【点睛】此题考查韦恩图表示的集合关系辨析，并求出图中表示的集合，属于简单题目，关键在于准确识别图中表达的意思.2.下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是()A.yxxB.xyeC.1y

xD.23yx【答案】A【解析】【分析】A符合题意，B不关于原点对称，C不是增函数，D不关于原点对称.【详解】yxx，记,fxxxfxxxfx，是奇函数，可化为22,0,0xxxxy

，当0x，20yx且是增函数，当0x，20yx且是增函数，所以函数在定义域内单调递增，所以A正确；xye是非奇非偶函数，不关于原点对称，所以B不正确；1yx不是增函数，所以C不正确；23yx是偶函数不是奇函数，不关于原点对称，所以D不正确；故选：A【点睛】此题

考查函数奇偶性和单调性的判断，熟记常见基本初等函数的性质对解题能起到事半功倍的作用.3.已知定义域为R的奇函数()fx满足(3)()0fxfx，且当3,02x时，2()log(27)fxx，则(2020)f（）A.2

B.2log3C.3D.2log5【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数奇偶性求得()fx的周期为3，再利用函数的周期性求得(2020)f的值．【详解】解：已知定义域为R的奇函数()fx满足(3)()0fxfx，()()(3)fxfxfx，

()fx的周期为3.3,02x时，2()log(27)fxx，22(2020)(36731)(1)(1log(27)lo)5gffff,故选D．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基

础题．4.函数costanyxx（302x且2x）的图像是下列图像中的（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，3sin,0

,22costansin,.2xxxyxxxx或.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数

的基本关系式，属于基础题.5.函数f（x）=1232,(2){log(1),(2)xexxx，则不等式f（x）＞2的解集为（）A.(2,4)B.（4，-2）∪（1，2）C.（1，2）∪（10，+∞）D.（10，+∞）【答案】C【解析】当时，

有，又因为，所以为增函数，则有，故有；当时，有，因为是增函数，所以有，解得，故有．综上．故选C6.已知函数()cos()(0fxAxA，0，||)2的图象如图所示，若函数()()1hxfx的两个不同零点分别为1x，2x，则1

2||xx的最小值为（）A.23B.2C.43D.【答案】A【解析】【分析】根据图象求三角函数解析式，再根据余弦函数性质得零点，最后求12||xx的最小值.【详解】由图象可知，2A，214362T，2T

，1，()2cos()fxx，()2cos()266f，且1||2，6，()2cos()6fxx，令()()12cos()106hxfxx，可得1cos()62x，解可得，2

263xk，或4263xkkZ，，526xk，或322xkkZ，，则12||xx的最小值为352263，故选A．【点睛】本题考查三角函数解析式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.7.已知函数24lg

sinfxxx，则fx的定义域是()A.22,B.0,2C.0,1D.0,【答案】B【解析】【分析】解不等式组240sin0xx即可得定义域.【详解】已知函数24lgsinfxxx，要使fx

有意义，则240sin0xx，2222,xkxkkZ，解得02x.所以函数定义域为0,2.故选：B【点睛】此题考查求具体函数的定义域，其本质在于准确求解不等式组，涉及二次不等式和三角不等式，需要熟练掌握三角函数的图象和性质.8.已知单调函数()fx的定

义域为(0,)，对于定义域内任意x，2()log3ffxx，则函数()()9gxfxx的零点所在的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】D【解析】【分析】根据单调性的性质和零点存在定理，可以求解出函数()()

9gxfxx的零点所在的区间，选出正确答案.【详解】因为函数()fx是定义域为(0,)上的单调函数，2()log3ffxx，所以2()logfxx为一定值，设为t，即22()log()logf

xxtfxxt，而()3ft，解得2t，因此2()log2fxx，所以2()log7gxxx，22(1)60,(2)40,(3)log340,(4)10,(5)log520ggggg

，故函数()()9gxfxx的零点所在的区间为(4,5)，本题选D.【点睛】本题考查了单调函数的性质，考查了零点存在定理，考查了换元法，对数式正负性的判断是解题的关键.9.已知函数20

1941,01log,1xxxfxxx，若a，b，c互不相等，且fafbfc，则abc的取值范围是（）A.1,2020B.1,2019C.2,2020D.2,2019【答案

】C【解析】【分析】画出函数图像，根据对称得到1ab，再得到12019c，最后得到答案.【详解】201941,01log,1xxxfxxx画出函数图像：fafbfc，设abc则1ab411,01xxx2019log120

19xx即12019c2,2020abc故答案选C【点睛】本题考查了函数交点的取值范围问题，画出图像是解题的关键，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.10.函数32cos23yx

的单调递减区间是（）A.2,()63kkkZB.,()36kkkZC.42,2()33kkkZD.2,2()36kkkZ【答案】B【解析】【分析】函数32cos23y

x的单调递减区间，即函数2cos23yx的单调递增区间利用复合函数的性质，可得所求的区间为222,3kxkkZ剟，化简即可得答案【详解】函数32cos23yx的单调递减区间，即函数2cos23

yx的单调递增区间.令222,3kxkkZ剟，解得,36kxkkZ剟，所以原函数的单调减区间为,,36kkkZ.结合所给的选项，可知选B.

【点睛】本题考查复合函数求单调性问题，属于基础题11.函数log6afxax在0,2上为减函数，则a的取值范围是（）A.()0,1B.1,3C.1,3D.3,【答案】B【解析

】试题分析：若函数在上为减函数,则，计算得出，所以B选项是正确的.考点：函数的单调性，对数函数的定义域.【方法点睛】本题考查了复合函数单调性相关知识，同时也考查了对数函数定义域的要求，而同学们在做题时常常丢掉定义域的限制条件，

属于易错题型.考虑复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会单减，作为对数的底，所以有，所以内层函数单减，所以外层函数必须单增，故，还需保证真数在定义域上恒大与，只需保证正数部分最小值大于即可.12.函数fx的定义域为D，若满足：(1)fx在D内

是单调函数；(2)存在,22mnD，使得fx在,22mn上的值域为,mn，那么就称函数fx为“梦想函数”.若函数logxafxat0,1aa是“梦想函数”，则t的取值

范围是()A.1,04B.1,04C.1,02D.1,02【答案】A【解析】【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为22loglogmanaatmatn

，等价转化为20xxaat有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.【详解】因为函数log0,1xafxataa是“梦想函数”，所以fx在,22mn上的值域为,mn，且函数

是单调递增的.所以22loglogmanaatmatn，即22mmnnataata∴20xxaat有2个不等的正实数根，令2xwa即20wwt有两个不等正

根，∴140t且两根之积等于0t，解得104t.故选：A.【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.第

Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.函数f(x)＝11x在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.【答案】6

【解析】试题分析：由题意，1a，则1111,,2,4,6113ababab；1a时，1113a，不成立．考点：函数的最值及其几何意义．14.函数sin12xfxx，则122019

fffL______________.【答案】1009【解析】【分析】根据sin2xy的周期性，分析41424344fkfkfkfk411143112kk，结合规律求解.【详解】1111f，2201f，

3311f，4401f，根据sin2xy的周期性可知：41424344411143112fkfkfkfkkk所以

12201912201920202020ffffffffLL505211009【点睛】此题考查根据函数的周期规律求值，虽然函数不是周期函数但可以根据函数关系找出函数值变化的周

期规律，根据规律求值，减少计算量.15.函数()fx满足(4)()()fxfxxR，且在区间(2,2]上，cos,02,2()1,20,2xxfxxx则((15))ff的值为____．【答案】22

【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()fxfx得函数fx的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22fff因此1π2((15))()cos.242fff

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())ffa的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求

出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16.已知：3sincos2，则2sincos的取值范围是__________．【答案】5[2,]2【解析】【分

析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得3cossin2，所以332sincos2sinsinsin22，又因为1cos11sin1，所以3

1sin121sin1，解得1sin12，所以352sin22，故填52,2.【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤）17.已知集合UR，集合230Axxx，函数22lgxayax的定义域为集合B.(1)若12a，求集合UABð；(2)若AB，求实数a的取值范围.【答案】(1)934xx；(2)1]1,2，.【解析】【分析】（

1）根据不等式求出集合A，求出函数的定义域B，即可求解补集和交集；（2）根据集合的包含关系比较端点的大小列不等式求解即可.【详解】(1)集合|23Axx，因为12a.所以函数2924lglg12

xxayaxx，由94012xx，可得集合1924Bxx.1|2UBxxð或94x，故934UABxxð.(2)因为AB，由23Axx，而集合B应满足

220xaax，因为22172024aaa，故22Bxaxa，依题意：2223aa，即1a或12a，所以实数a的取值范围是1]1,2，.【点睛】此题考查集合的基本运算，根据集合的包含关系求解参数的取值范围，在第二问需

要考虑解集端点的大小关系.18.已知：2()sinsinfxxxa（1）当()0fx有实数解时，求：实数a的取值范围；（2）若xR恒有171()4fx成立，求：实数a的取值范围．【答案】【解析】【详解】(

1)因为()0fx,即2211sinsinsin24axxx,a的最大值等于2111224,a的最小值等于14,所以,1,24a.(2)22111

()sinsinsin()2,244fxxxaxafxaa,又,,.所以,实数a的取值范围是.19.已知02，函数()sin4fxx，且()2fxfx.（1）求fx的最

小正周期；（2）若fx在,tt上单调递增，求t的最大值.【答案】（1）2；（2）4.【解析】【分析】（1）由题意可得fx的图象关于直线4x对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周期．（2）根据fx在[-t，t]上单调递增，可得42t

，且42t，由此解得t的最大值．【详解】（1）因为2fxfx，所以fx的图象关于直线4x对称，所以442kkZ，解得14kkZ，又因为02，所以1，则

fx的最小正周期22T.（2）因为sin4fxx，所以fx的单调递增区间为32,244kkkZ.因为fx在,tt上单调递增，所以434tttt

„…，解得04t.故t的最大值为4.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．20.已知函数2log10afxxxa且1a）.(1)判断函数fx在0，上的单调性，并证明你的结论；(2)当1a时，若

不等式210fxfmx对于0,x恒成立，求m的最大值.【答案】(1)当1a时，fx在()0,+?上是减函数，当01a时，fx在()0,+?上是增函数，证明见解析；(2)1,.【

解析】【分析】（1）对函数进行变形221log1log1aafxxxxx2log1axx，分类讨论即可得到单调性；（2）结合（1）的结论，根据单调性转化为21xmx对于0,x恒成立，即可求解.【详解】(1)2221log1lo

glog11aaafxxxxxxx当1a时，fx在()0,+?上是减函数，当01a时，fx在()0,+?上是增函数.证明如下：22log1log1aafxxxxx任取120xx，则22122211l

og1log1aafxfxxxxx因为210xx，所以2221xx，222111xx，所以22221111xxxx，所以当1a时，222211log1log1aaxxxx，120fxfx，所以

12fxfx，故函数fx在()0,+?上是减函数.所以当01a时，222211log1log1aaxxxx，所以120fxfx，所以12fxfx，故函数fx在()0,+?上是增函数.(2)易知fx是奇函数

，210fxfmx，即21fxfmx.当1a时，由(1)知，fx在()0,+?上是减函数，从而在,上是减函数，故21xmx对0x恒成立，即211mx对0

x恒成立.因为211yx在()0,+?上是减函数，所以211yx的值域为()1,+?.所以1m，故m的取值范围是1,.【点睛】此题考查利用定义证明函数的单调性，利用单调性解决不等关系，根据

不等关系求参数范围，涉及等价转化的思想.21.某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适

的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）问

：（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收入最多？【答案】（1）*2*10005750610,{30130057501038,xxxNyxxxxN（2）当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为

8330元．【解析】【详解】试题分析：（1）根据x的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．解：（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，∴x＞5.75，∴票价最低为6元，票价不超

过10元时：y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），票价高于10元时：y=x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750=﹣30x2+1300x﹣5750，∵2100030(10)030130057500xxx，解得：5＜x＜3813，∴y=﹣30

x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；（2）对于y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），x=10时：y最大为4250元，对于y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；当x=﹣2ba≈21.6时，y最大，∴票价定为22元时

：净收人最多为8830元．考点：函数解析式的求解及常用方法．22.若函数yfx对定义域内的每一个值1x，在其定义域内都存在唯一的2x，使121fxfx成立，则该函数为“依附函数”.(1)判断函数singxx是否为“依附函数”，并说明理由；(2

)若函数12xfx在定义域,0mnm上“依附函数”，求mn的取值范围；(3)已知函数243hxxaa在定义域4,43上为“依附函数”.若存在实数4,43x

，使得对任意的tR，不等式24hxtstx都成立，求实数s的最大值.【答案】(1)不是，理由见解析；(2)0,1；(3)4112.【解析】【分析】（1）举出反例：取16x，但是不存在

22sin2gxx，即可判定；（2）根据依附函数的关系，结合12xfx在,mn递增，故1fmfn，即11221mn，2mn，2mnmm即可求得取值范围；（3）根据依附函数的关系结合单调性分析可得133a，将问题转化为存在4,43x

，使得对任意的tR，有不等式221343xtstx都成立，即关于t的不等式2226133039txtxsx恒成立，即可求解.【详解】(1)对于函数()singxx的定义域R内存在16x，则22sin2gxx，无解.故

singxx不是“依附函数”；(2)因为12xfx在,mn递增，故1fmfn，即11221mn，2mn，由0nm，故20nmm，得01m，从而2mnmm在0,1m上单调递增，故0

,1mn，(3)①若443a，故2fxxa在4,43上最小值为0，此时不存在2x，舍去；②若4a故2fxxa在4,43上单调递减，从而4413ff

，解得1a（舍）或133a.从而，存在4,43x，使得对任意的tR，有不等式221343xtstx都成立，即2226133039txtxsx恒成立，由22261334039xxsx

，得2532926433sxx，由4,43x，可得265324339sxx，又53239yxx在4,43x单调递减，故当43x时，max532145393xx

，从而26145433s，解得4112s，综上，故实数s的最大值为4112.【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于读懂题意，根据依附函数的定义分别判别求值，本题对转化与化归思想考查较多，将问题进行等价转化求解，最后一问的不等式一定

弄清“主元”避免混淆.