【文档说明】陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高一上学期1月期末考试数学试卷 含答案.docx，共(20)页，1.087 MB，由小赞的店铺上传

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西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末高一数学注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色

签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。4.考试结束后，只将答题卡交回。一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合10Axx=−，12Bxx=−，则AB=（）A．()1,+B．)1,−+C．1,1−D．1,2−2．函数1()ln1fxxx=++的定义域是（）A．)1,−+B．()1,−+C．)

0,+D．()0,+3．为了得到函数sin(2)4yx=+的图象，可以将函数sin2yx=的图象（）A．向左平移4个单位长度B．向右平移4个单位长度C．向左平移8个单位长度D．向右平移8个单位长度4．已知0.50.2l

g12,log5,4abc−===，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cbaC．acbD．bac5．下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4上单调递增的是（）A．sin2yx=B．πsin4yx=−C．πcos4

yx=+D．tan2yx=6．已知函数22,01()1,0xxxfxxx+=−，若函数()()gxfxt=−有三个不同的零点()123123,,xxxxxx，则123111xxx−++的取值范围是（）A．()3,+B．()2,+?C．

)22,+D．()22,+7．已知函数()()πsinR,04fxxx=+的最小正周期为π，将()yfx=的图像向左平移()0个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）A．π2B．

3π8C．π4D．π88．已知22loglog1ab+=且21922mmab+−恒成立，则实数m的取值范围为（）A．(),13,−−B．(),31,−−C．1,3−D．3,1−二

、选择题：（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）．9．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割

”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足QMN=，MN=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，

则称(),MN为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割(),MN，下列选项中，可能成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素10．下列结论正确的是（）A．函数sinyx=是以π为最小

正周期，且在区间π,π2上单调递减的函数B．若x是斜三角形的一个内角，则不等式tan30x−的解集为π0,3C．函数3πtan24yx=−−的单调递减区间为()πππ5π,Z2828kkk

++D．函数1πππsin2,2344yxx=−−的值域为11,22−11．下列结论中正确的是（）A．若一元二次不等式220axbx++的解集是11,23−，则ab+的值是14−B．若集合*1Nlg2Axx=

∣，142xBx−=∣，则集合AB的子集个数为4C．函数()21fxxx=++的最小值为221−D．函数()21xfx=−与函数()1421xxfx+=−+是同一函数12．已知函数()22e,021,0xxfxxxx−=−−+，则下列结论正确的是

（）A．函数()yfxx=−有两个零点B．若函数()yfxt=−有四个零点，则1,2tC．若关于x的方程()fxt=有四个不等实根1234,,,xxxx，则12342xxxx+++=D．若关于x的方程()()230fxfx−+=有8个不等实根，则9

2,4三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()24222xaxxfxxx−+=，若对任意的)12,x+，都存在唯一的()2,2x−，满足()()21fxfx=，则实数a的取值范围是

______．14．已知方程250xxa−−=的解集为12,xx，且123xx−=，则=a______.15．定义：实数a，b，c，若满足2acb+=，则称a，b，c是等差的，若满足112abc+=，则称a，b，c是调和的．已知集合{2023,}Mxx

xZ=‖∣，集合P是集合M的三元子集，即{,,}PabcM=，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合P为“好集”，则集合P为“好集”的个数是__________．16．已知函数()2e1,0,0xxfxxaxx−=−，若()fx存在最小值，则实数a的取值范围是__

________．四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）已知实数x满足11223xx−−=，求1xx−−的值．（2）若3461xyz==，求证：1112xyz+=．18．已知4sin5=，π0,2，5cos13

=−，求()cos−的值．19．已知命题：“1,2x，不等式22230xmxm−−成立”是真命题．(1)求实数m取值的集合A；(2)设不等式()()320xaxa−−−的解集为B，若xA是xB的必要不充分条件，求实数a

的取值范围．20．我们知道如果点(),Pxy是角终边OP上任意一点()0OPr=，则根据三角比的定义：sinyr=，cosxr=，因此点P的坐标也可以表示为()cos,sinPrr．(1)将OP绕坐标原

点O逆时针旋转π3至OP，求点P的坐标(),xy．（即分别把x、y用x、y表示出来）(2)将OP绕坐标原点O逆时针旋转角度至OP，求点P的坐标(),xy．（即分别把x、y用x、y、表示出来）．(3)把

函数()10yxx=的图象绕坐标原点逆时针旋转π4后，可以得到函数______的图象．（写出解析式和定义域）21．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的

关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式15yat=−（0a，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y（单位：毫克/升）与时

间t（单位：小时）满足关系式22,01,45,14.ttytt=−现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．(1)若1a=

，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．22．如果函数()fx满足在集合*N上的值域仍是集合*N，则把函数()fx称为H函数．例如：()fxx=

就是H函数．（1）下列函数：①2yx=，②21yx=−，③[]yx=中，哪些是H函数（只需写出判断结果）？（2）判断函数()[ln]1gxx=+是否为H函数，并证明你的结论．（3）证明：对于任意实数a，b，函数()xfxba=都不是H函数．（注：“[]x”表示不超过x的最大整数）参考答案

：1．B利用并集的定义，即可得答案；101Axxxx=−=，12Bxx=−，AB=1xx−，故选：B.本题考查并集的运算，属于基础题.2．D分母不等于零，对数的真数大于零联解即可.由题得100xx+∴0x所以函数的定义

域为：(0,)+故选：D3．C根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.因为sin(2)sin[2()]48yxx=+=+，所以由函数sin2yx=的图象向左平移8个单位长度可以得到函数sin(2)4yx=+的图象，故选：C4．C根据题意得到1a，0b，01c

，即可得到答案.1lg12lg01a==，即1a.0.20.2log5log10b==，即0b.00.544−，即01c.所以acb.故选：C5．B逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间π0,4上的单调性，可得出结论.对于A选项，函数sin2yx=

的最小正周期为2ππ2=，故A错误；对于B选项，函数πsin4yx=−的最小正周期为2π，当π0,4x时，ππ,044x−−，因为sinyx=在π,04−上单

调递增，所以πsin4yx=−在π0,4上单调递增，故B正确；对于C选项，函数πcos4yx=+的最小正周期为2π，当π0,4x时，πππ,442+x，因为cosyx=在ππ,42上单调递减，所以πcos4yx

=+在ππ,42上单调递减，故C错误；对于D选项，函数tan2yx=的最小正周期为π2，故D错误.故选：B.6．A分析分段函数的性质，画出()fx草图，易知()()gxfxt=−有三个不同

的零点()123123,,xxxxxx，有01t，进而可得1231112txxxt−++=+，即可求范围.由题设，当0x=时(0)0f=，当0x时22()1112fxxxxx==+，当且仅当1x=时等号成立，故()(0,1]fx，且(0,1)上递

增，(1,)+上递减，当0x时()fx单调递增，且()(0,)fx+，综上可得，如下函数图象：∴要使()()gxfxt=−有三个不同的零点()123123,,xxxxxx，则01t，由图知：0x有11tx−=

，当0x时令221xtx=+，则220txxt−+=，有232xxt+=，231xx=，∴1231112txxxt−++=+且01t，而2ytt=+在01t上递减，∴123111(3,)xxx−+++.故选：A关键点点睛：分析分段函数的性质并画出草图，将题设的零点问题转化

为()fx与yt=的交点问题，应用数形结合的思想，求出123111xxx−++关于t的解析式，由单调性求范围.7．D利用最小正周期公式求出，再利用平移变换得到平移后的函数结合正弦函数图像和性质求解即可.因为()fx最小正周期为π，所以2ππ=，解得2=，所以()πsin24fxx=+

；将()yfx=图像向左平移个单位长度得()πsin224fxx+=++，因为()fx+图像关于y轴对称，所以()ππ2πZ42kk+=+，解得()82kkZ=+，

则当0k=时，π8=，其他选项不满足题意，故选：D.8．C利用对数运算可得出2ab=且a、b均为正数，利用基本不等式求出192ab+的最小值，可得出关于实数m的不等式，解之即可.因为()222logloglog1abab+==，则2ab=且a、b均为正数，由基本不等式可得1992322abab+

=，当且仅当2192abab==时，即当136ab==时，等号成立，所以，192ab+的最小值为3，所以，223mm−，即2230mm−−，解得13m−≤≤.故选：C.9．ABD举

特例根据定义分析判断，进而可得到结果．令{|10,}MxxxQ=，{|10,}NxxxQ=，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；令{|2,}MxxxQ=，{|2,}NxxxQ=

，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令{|10,}MxxxQ=，10,NxxxQ=，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.故选：ABD．

10．AC根据正弦函数的周期性和单调性可判断A正确；根据正切函数的单调性可判断B，C正确；根据正弦函数的性质可判断D错.A选项，函数sinyx=的图象是在sinyx=的图象基础上，将x轴下方的部分翻折到x轴上方，因此周期减半，即sinyx=的最小正周期为π；当π,π2x

时，sinsinyxx==，显然单调减；故A正确；B选项，因为x是斜三角形的一个内角，所以π02x或ππ2x；由tan30x−得tan3x，所以π03x或ππ2x；故B错；C选项，由π3πππ2π242kxk−+−+得ππ5ππ,Z

8282kkxk++，即函数3πtan24yx=−−的单调递减区间为()πππ5π,Z2828kkk++，故C正确；D选项，因为ππ,44x−，所以π5ππ2,366x−−，因此π1sin21,32x−−，所

以1π11sin2,2324x−−，故D错.故选：AC.11．AB对于A：12−和13为方程220axbx++=的两根且0a，即可得到方程组，解得即可判断A；根据对数函数、指数函数的性质求出集合A、B，从而求出集合AB，即可判断B；当1x−时()0f

x，即可判断C；求出两函数的定义域，化简函数解析式，即可判断D.解：对于A：因为一元二次不等式220axbx++的解集是11,23−，所以12−和13为方程220axbx++=的两根且0a，所以112311223baa−+=−−=，解得122ab=−

=−，所以14ab+=−，故A正确；对于B：**1NlgN101,2,32Axxxx===∣∣0，12234222|2xxBxxxx−−===∣∣，所以2,3AB=，即AB中含有2个元素，则AB的子集有224

=个，故B正确；对于C：()21fxxx=++，当1x−时10x+，()0fx，故C错误；对于D：()()2121,0421212112,0xxxxxxxfxx+−=−+=−=−=−，令()2210x−，解得xR，所以函数()1421

xxfx+=−+的定义域为R，函数()21xfx=−的定义域为R，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D错误；故选：AB12．CDA选项，画出()22e,021,0xxfxxxx−=−−+的图象，在同一坐标

系内作出yx=的图象，可看出两函数图象有3个交点，A错误；B选项，数形结合得到()1,2t，B错误；C选项，可看出四个实根有两个根关于=1x−对称，另外两个根关于2x=对称，从而得到12342xxxx+++=，C正确；D选项，令()fxt=，则230tt−+=要有2个不相等的实数根12,tt

，()12,1,2tt，得到两根之和，两根之积，化简得到221222239324ttttt==−=−−+，结合()21,2t，求出92,4，结合940=−，求出92,4.A选项，当2x时，()2exfx−

=单调递增，当02x时，()2exfx−=单调递减，画出()22e,021,0xxfxxxx−=−−+的图象，可以看出2exy−=关于2x=对称，当2x=时，2exy−=取得最小值为1，在同

一坐标系内作出yx=的图象，可看出两函数图象有3个交点，所以函数()yfxx=−有3个零点，A错误；数形结合可得：函数()yfxt=−有四个零点，则()1,2t，B错误；由上图可知：若关于x的方程()fxt=有四个不等实根1234,,,xxxx，不妨设1234

xxxx其中12,xx关于=1x−对称，34,xx关于2x=对称，则12342,4xxxx+=−+=，所以12342xxxx+++=，C正确；D选项，令()fxt=，则230tt−+=要有2个不相等的实数根12,tt，()12,1,2tt，且123tt+

=，12tt=，221222239324ttttt==−=−−+，因为()21,2t，所以223992,244t=−−+，由940=−，解得：94，综上：92,4，若关于x的方程()()230fxfx−+=有8个不等实根，

则92,4，D正确.13．04a由题意可得函数()fx在[2，＋∞）时的值域包含于函数()fx在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数()fx在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围

．解：设函数()24,2xgxxx+=的值域为A，函数()2,2xahxx−=的值域为B，因为对任意的)12,x+，都存在唯一的()2,2x−，满足()()21fxfx=，则AB，且B

中若有元素与A中元素对应，则只有一个.当)12,x+时，()244xgxxxx+==+，因为4424xxxx+=，当且仅当4xx=，即2x=时，等号成立，所以)4,A=+，当()2,2x−时，()2,2xahxx−=①当2a时，()2,2axhxx−=，此时(

)22,aB−=+，224a−，解得24a，②当2a时，()2,2,2axxaxahxax−−=，此时()hx在(),a−上是减函数，取值范围是()1,+，()hx在),2a

上是增函数，取值范围是)21,2a−，224a−，解得02a，综合得04a.故答案为：04a关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与

化归的思想.14．-4根据韦达定理列出等式即可，注意考虑有解的条件.方程250xxa−−=的解集为12,xx，所以12125,xxxxa+==−，且2540a=+，解得254a−()()22121212124xxxxxxxx−=−=+−=254a+=3，解得4a=−，故答

案为：-415．1010由好集的定义得2acb+=且112abc+=，化简可解得2ab=−或ab=，由P是集合M的三元子集可排除ab=，结合M的元素特征可得42023b，bZ，0b，即可求得好集的个数.由好集的定义得2acb+=且112abc+

=，则有1122abba+=−，化简得()()20abab−+=，故2ab=−或ab=，由{,,}PabcM=得ab¹，故2ab=−，4cb=，∴{2,,4}PbbbM=−，且0b.∵42bbb−，∴42023b且bZ，得33505,50544b轾?犏犏臌，故集合P为“好集”

的个数为25051010?.故答案为：101016．)2,+分类讨论0,0xx两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求得a的取值范围.因为()2e1,0,0xxfxxaxx−=−有最小值，当0x时，()e1xfx=−在(

,0)−上单调递增，且1()0fx−，即()fx在(,0)−上没有最小值.当0x时，2()fxxax=−，则()fx在(0,)+上必有最小值，函数2()fxxax=−开口向上，对称轴是2ax=，当02a时，函数()()min001fxf==−，故(0)f不是

函数()fx的最小值，不满足题意，当02a时，222min()()2424aaaafxf==−=−，要使()2af是函数的最小值，则()12af−，即214a−−，解得2a或2a−，所以2a.

综上，a的取值范围是)2,+故答案为：)2,+17．（1）313；（2）证明见解析.（1）利用指数幂的运算求出1122xx−+的值，再利用平方差公式可求得1xx−−的值；（2）利用指数与对数的换算可得出3logxm=，4logym=，6logzm=，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得

结论成立.（1）解：11223xx−−=，21112229xxxx−−−=+−=，211122213xxxx−−+=++=，又0x，112213xx−+=，所以11111222

2313xxxxxx−−−−=−+=；（2）证明：设346xyzm===，则1m且3logxm=，4logym=，6logzm=，1log3mx=，1log4my=，1log6mz=，11log3log2log62mmmxy+=+

=，1112xyz+=.18．6365−或3365首先根据同角三角函数的基本关系求出cos、sin，再根据两角差的余弦公式计算可得.解：4sin5=，π0,2，23cos1si

n5=−=，又5cos13=−，212sin1cos13=−=，当12sin13=时，()3541233coscoscossinsin51351365−=+=−+=；当12sin13=−时，()3541263coscoscossins

in51351365−=+=−+−=−.19．(1)()2,2,3−−+(2)4a−或29a（1）不等式小于零等价于函数值为负值.(2)xA是xB的必要不充分条件，找到BA的包含关系，32aa+，32aa=+，32aa

+情况讨论；（1）令()2223fxxmxm=−−，命题：“1,2x，不等式22230xmxm−−成立”是真命题，则()()221123024430fmmfmm=−−=−−，解得2m−或23m，即()2,2,3A=−

−+（2）因为不等式()()320xaxa−−−的解集为B，且xA是xB的必要不充分条件，则B是A的真子集；①当32aa+，即1a时，解集()2,3Baa=+，223a+或32a−，此时1a；②当32aa=+，即1a=时，解集B=，满足题设

条件；③当32aa+，即1a时，解集()3,2Baa=+22a+−或233a，此时4a−或219a综上①②③可得4a−或29a20．(1)1322xxy=−，3122yxy=+(2)cossinxx

y=−；cossinyyx=+(3)()22yxx=+R（1）结合三角恒等变换求得正确答案.（2）结合三角恒等变换求得正确答案.（3）由（2）的结论，利用赋值法求得正确答案.（1）OPOPr==.π1313coscossin32222xrrrxxy=+=

−=−；同理，π31sin322yrxy=+=+．（2）()coscoscossinsinxrrr=+=−，故cossinxxy=−；同理，()sincossi

nyryx=+=+．（3）在（2）中令π4=得ππcossin44xxy=−，可得()11122xxyxx=−=−．同理，112yxx=+，两式平方相减得222yx−=，由

于0y，所以，函数为()22yxx=+R．21．(1)当2t=时血液中药物的浓度最高，最大值为6(2)504a（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；（2）讨论01t和14t两种情况，

（1）当1a=时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为1225,01,410,14.tttyyyttt−++=+=−+①当01t时，225(1)66yttt=−++=−−+．

②当14t时，因为44tt+（当且仅当2t=时，等号成立），所以max1046y=−=．故当2t=时血液中药物的浓度最高，最大值为6．（2）由题意得25,01,410,14.atttyattt−++=

−+①当01t时，2125421attattatt−++++，设1ut=，则()22211auuu+=+−，()1,u+，则()()2113,u+−+，故3a；②当14t时

，44410466atatatttt−++−，由14t，得246att−+，令1vt=，则223946444avvv−+=−−+，1,14v，则239

594,4444v−−+，故54a．综上，504a．22．（1）只有[]yx=是H函数；（2）函数()[ln]1gxx=+是H函数；证明见解析；（3）证明见解析．（1）根据H函数

的定义可判断只有[]yx=是H函数．（2）任意*xN，*[]1lnxN+．设[]1lnxk+=，*kN，由[]1lnxk+=，可得11kkexe−剟．一定存在*xN，满足1kkexe−„，由此能证明函数()[]1gxlnx=+是H函数．（3）当0b„时，有f

（2）2[]0ba=„，函数()[]xfxba=都不是H函数；当0b时，若0a„，有f（1）[]0ba=„，函数()[]xfxba=都不是H函数．若01a„，由指数函数性质得xbaba„，函数()[]xfxba=都不是H

函数．若1a，令12mmbaba+−，则一定存在正整数k，使得12kkbaba+−，推导出函数()[]xfxba=都不是H函数．由此得到对于任意实数a，b，函数()[]xfxba=都不是H函数．（1）解：只有[]yx=是H函数（2）解：函数()

[ln]1gxx=+是H函数．证明如下：显然，*xN，*()[ln]1gxx=+N．不妨设[ln]1xk+=，*kN，由[ln]1xk+=，可得1lnkxk−„，即111eeekkkx−−剟?，因为*k

N，恒有11eee(e1)1kkk−−−=−成立，所以一定存在*xN，满足1eekkx−„，所以设*kN，总存在*xN，满足[ln]1xk+=，所以函数()[ln]1gxx=+是H函数．（3）证明：当0b„时，有2(2)0fba=

„，所以函数()xfxba=都不是H函数．当0b时，①若0a„，有(1)[]0fba=„，所以函数()xfxba=都不是H函数．②若01a„，得xbaba„，所以*xN，都有()[]xfxbaba=

„，所以函数()xfxba=都不是H函数．③若1a，令12mmbaba+−，则2log(1)amba−，所以一定存在正整数k，使得12kkbaba+−，所以1n，*2nN，使得11

2kkbannba+，所以12()(1)fknnfk+„．又因为当xk时，xkbaba，所以()()fxfk„；当1xk+时，1xkbaba+，所以()(1)fxfk+…，所以*xN，都有*1()|nfxxN，所以函数()xf

xba=都不是H函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数()xfxba=都不是H函数．本题考查H函数的判断与证明，考查函数性质、新定义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．获得更多资源请扫码

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