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课后定时检测案67圆锥曲线中的证明与探索性问题1．[2024·河南许昌模拟]双曲线C：x2a2－y23＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作与x轴垂直的直线交双曲线C于A，B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2＝2px(p>0)以双曲线C的右顶

点为焦点．(1)求抛物线E的方程；(2)如图，点P(－p2，t)(t≠0)为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．2．[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线C

1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为62，点A(6，4)在C上．(1)求双曲线C的方程；(2)设过点B(1，0)的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得PD→·PE→为常数？若存在，求

出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．3．[2022·新高考Ⅱ卷]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±3x.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)

，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．优生选做题4．[2024·山东

青岛模拟]已知椭圆E1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的内切圆的面积为5π6，其离心率e＝255；抛物线E2：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆E1的右焦

点重合．斜率为k的直线l过抛物线E2的焦点且与椭圆E1交于A，B两点，与抛物线E2交于C，D两点．(1)求椭圆E1及抛物线E2的方程；(2)是否存在常数λ，使得1|AB|＋λ|CD|为一个与k无关的常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．