【文档说明】3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（原卷版）.docx，共(12)页，856.146 KB，由管理员店铺上传

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3.1.2椭圆的简单几何性质一、椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程)0(12222=+babyax)0(12222=+babxay范围axa−，byb−bxb−，aya−对称性关于yx，轴、原点对称轴长长轴长：a2；短轴长：b2长轴

长：a2；短轴长：b2顶点(),0a()0,b()0,a(),0b离心率)10(122−==eabace)10(122−==eabace离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁通径

通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长通径的大小：ab22二、点()00Pxy，与椭圆的位置关系焦点在x轴上焦点在y轴上点P在椭圆内)0(1220220+babyax)0(1220220+babx

ay点P在椭圆上)0(1220220=+babyax)0(1220220=+babxay点P在椭圆外)0(1220220+babyax)0(1220220+babxay三、直线与椭圆的位置关系1、直线ykxm=+与椭圆22221(0)xyabab+=的位置关系：联立2222

,1,ykxmxyab=++=消去y得一个关于x的一元二次方程．位置关系解的个数的取值相交两解>0相切一解=0相离无解<02、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11,Axy，()22,Bxy

；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系；（4）将所求问题或题中关系转化为关于12xx+，12xx的形式；（5）代入求解．四、直线与椭圆相交的弦长公式1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2、求弦长的方法（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方

程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：()()2221212121221=1+41+4+−=+−ABkxxxxyyyyk五、解决椭圆中点弦问

题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，

具体如下：直线l(不平行于y轴)过椭圆12222=+byax(0ba)上两点A、B，其中AB中点为)(00yxP，，则有22abkkOPAB−=。证明：设)(11yxA，、)(22yxB，，则有=+=+11222222221221byaxbyax，上式减下式得0222212

2221=−+−byyaxx，∴2222212221abxxyy−=−−，∴220021210021212121212122abxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy−=−−=−−=++−−，∴22abkkOPAB−=。特殊的：直线l(存在斜率)过椭圆12222=+bxay(0ba)

上两点A、B，线段AB中点为)(00yxP，，则有22bakkOPAB−=。题型一由椭圆方程研究其几何性质【例1】求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：（1）2299xy+=；（2）224216xy

+=．【变式1-1】已知椭圆E，焦点F到长轴的两个顶点的距离分别为1和9，则椭圆E的短轴长等于（）A．12B．10C．8D．6【变式1-2】已知椭圆22221(0)xyabab+=的短轴长为8，且一个焦点是圆22680xyx+−+=的圆心，则该椭圆的左顶点为（）A．(2,

0)−B．(3,0)−C．(4,0)−D．(5,0)−【变式1-3】若椭圆221259xy+=与椭圆()2219,0259xykkkk+=−−，则两椭圆必定（）．A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等题型二

由椭圆几何性质求标准方程【例2】焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（）A．22143xy+=B．2214xy+=C．2212xy+=D．2214yx+=【变式2-1】焦点在y轴上，长轴长为10，离心率为35的椭

圆的标准方程为（）A．22110064xy+=B．22110064yx+=C．2212516xy+=D．2251162xy+=【变式2-2】求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为23；（2）椭圆过点()3,0，离心率63

e=；（3）在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；（4）与椭圆229436xy+=有相同的焦点，且短轴长为2．【变式2-3】过点(2,1)，焦点在x轴上且与椭圆22143xy+=有相同的离心率的椭圆方程为（）A．2214163xy+=B．221129xy+

=C．2211612xy+=D．2211643xy+=题型三求椭圆离心率的值【例3】椭圆()221026xykkk+=的离心率为（）A．63B．22C．66D．12【变式3-1】已知椭圆()222210xyabab+=的左右焦点分别12,FF，左顶点为A，上顶点为

B，点P为椭圆上一点，且212PFFF⊥，若1//ABPF，则椭圆的离心率为（）A．55B．12C．33D．22【变式3-2】过椭圆的右焦点2F作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，1F为椭圆的左焦点，若1FAB为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A．33B．13C

．32D．12【变式3-3】已知12,FF分别为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点，过1F的直线与C交于,PQ两点，若12125PFPFFQ==，则C的离心率是（）A．35B．34C．54D．53题型四求椭圆离心率的范围【例4】已知椭圆()222210xyabab+=上

存在点P，使得213PFPF=，其中1F，2F分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．10,4B．1,14C．1,12D．1,12【变式4-

1】已知椭圆2222:1xyCab+=（0ab），椭圆的左、右焦点分别为1F，2F，P是椭圆C上的任意一点，且满足120PFPF，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．10,2B．20,2C．12,22D．2,12

【变式4-2】已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=与圆22224:5bCxy+=，若在椭圆1C上存在点P，使得由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是（）A．2100,5B．60,4C．210,15

D．6,14【变式4-3】设12,FF是椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共焦点，曲线12,CC在第一象限内交于点12,90MFM

F=，若椭圆的离心率16,13e，则双曲线的离心率2e的范围是（）A．(1,2B．(1,3C．)3,+D．)2,+题型五点与椭圆的位置关系判断【例5】已知点(3，2)在椭圆221(0,0)xymnmn+=上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是_____

__.【变式5-1】点P(4cosα，23sinα)(α∈R)与椭圆C：24x＋23y＝1的位置关系是（）A．点P在椭圆C上B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关C．点P在椭圆C内D．点P在椭圆C外【变式5-2】点(),1Aa在椭圆22142xy+=的外部，则a的取值范围是（）

A．()2,2−B．()(),22,−−+C．()2,2−D．()1,1−【变式5-3】已知椭圆2214xy+=经过点(),Pmn，则22mn+的取值范围是（）A．(0,1B．(0,4C．)4,+D．1,4题型六直线与椭圆的位置关系判断【例6】

设直线yxm=+，椭圆22916144xy+=．（1）直线与椭圆有一个公共点，则m满足的条件是______．（2）直线与椭圆有两个公共点，则m满足的条件是______．（3）直线与椭圆没有公共点，则m满足的条件是______．【变式6-1】直线l：()()211740+++−−=mxmy

m，椭圆C：2211812xy+=，直线与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定，与m的取值有关【变式6-2】（多选）已知椭圆()2222:10,0xyCabab+=的焦点分别为1F，2F，焦距为2c，过2F的直线与椭圆C交于A

，B两点.223AFBF=，1463ABBFc==，若1ABF的周长为20，则经过点5319(,)22的直线（）A．与椭圆C可能相交B．与椭圆C可能相切C．与椭圆C可能相离D．与椭圆C不可能相切【变式6-3】如果直线l：()3ykx=+与椭圆C：2221xya+

=（1a）总有公共点，求实数a的取值范围.题型七直线与椭圆相切应用【例7】经过点3(1,)2P且与椭圆2214xy+=相切的直线方程是()A．2340xy+−=B．2340xy−−=C．2320xy+−=D．2320

xy−+=【变式7-1】过圆222xyr+=上一定点(),ooPxy的圆的切线方程为20oxxyyr+=.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆221124xy+=上的点()3,1A−作椭圆的切线l.则过A点且与直线l垂直的直线方程为（）A．20?xy+−=B．30x

y−−=C．2330xy+−=D．3100xy−−=【变式7-2】椭圆22143xy+=上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A．5B．755C．955D．1355【变式7-3】直线l：34120xy+−=与椭圆221169xy+=相交于A、B两点，点

P是椭圆上的一点，若三角形PAB的面积为12，则满足条件的点P的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型八直线与椭圆相交弦长问题【例8】已知椭圆22:143xyC+=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F且斜率为1

的直线l交椭圆C于A、B两点，则AB等于（）A．247B．127C．1227D．837【变式8-1】斜率为1的直线l与椭圆2212xy+=相交于A，B两点，则||AB的最大值为（）A．2B．233C．263D．433【变式8-2】已知椭圆T：()222210xyabab+=的长轴长是短轴

长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若825AB=，则椭圆T的方程为______．【变式8-3】已知动点(),Mxy到定点()1,0F−的距离和(),Mxy到直线:2lx=−的距离的比是常数22.（1）求点M

的轨迹C.（2）点B为轨迹C与y轴正半轴交点，过点B的直线PB交轨迹C于PB、两点，且弦PB的长为465，求直线PB的方程.题型九椭圆的中点弦与点差法【例9】已知双曲线方程2213yx−=，则以()2,1A为中点的弦所在直线l的方程是（

）A．6110+−=xyB．6110−−=xyC．6110−−=xyD．6110++=xy【变式9-1】椭圆22:1Cmxny+=与直线13yx=−交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为23，则mn的值为（）A．22B．2327

C．922D．233【变式9-2】过椭圆C：()222210xyabab+=右焦点F的直线l：20xy−−=交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12−，则椭圆C的方程为（）A．22184+=xyB．22195xy+=C．22173+=x

yD．221106+=xy【变式9-3】已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为(4,1)，则C的离心率e=（）A．2B．103C．52D．3题型十椭圆中的定点定值与最值问题【例1

0】已知圆221:(1)9Fxy++=，圆222:(1)1Fxy−+=，动圆P与圆1F内切，与圆2F外切.O为坐标原点.（1）若求圆心P的轨迹C的方程.（2）若直线:2lykx=−与曲线C交于A、B两点，求OAB面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程.

【变式10-1】设点()1,0Fc−、()2,0Fc分别是椭圆()222:11xCyaa+=的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且12PFPF最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）设定点(),0Dm，已知过点2F且与坐标轴不垂直的直线l与椭

圆交于A、B两点，且ADBD=，求m的取值范围．【变式10-2】给定椭圆()2222:10xyCabab+=，称圆心在原点O、半径是22ab+的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为()2,0F，其短轴的一个端点到点F的距离为3．

（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BDx⊥轴，求ABAD的取值范围，【变式10-3】已知椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点为F，圆O：222xya+=，过F且垂直于x

轴的直线被椭圆C和圆O所截得的弦长分别为433和22.（1）求C的方程；（2）过圆O上一点P（不在坐标轴上）作C的两条切线1l，2l，记1l，2l的斜率分别为1k，2k，直线OP的斜率为3k，证明：()123kkk+为定值.【变式1

0-4】已知椭圆C：()222210xyabab+=的右顶点是M（2，0），离心率为12．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．