【文档说明】《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题09 二次函数中取值范围专题（一）（解析版）.docx，共(14)页，139.666 KB，由管理员店铺上传

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1专题09二次函数中的取值范围专题（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如果二次函数𝑦=𝑥2−6𝑥+8在x的一定取值范围内有最大值(或最小值)为3，满足条件的x的取值范围可以是()A.−1≤𝑥≤5B.1≤𝑥≤6C.−

2≤𝑥≤4D.−1≤𝑥≤1【答案】D【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：∵𝑦=𝑥2−6𝑥+8=(𝑥−

3)2−1，当𝑦=3时，得出𝑥=1或5，∴在自变量−1≤𝑥≤1的取值范围内，当𝑥=1时，有最小值3，2.已知函数𝑦=𝑥2+𝑥−1在𝑚≤𝑥≤1上的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是()A.𝑚≥−2B.0≤𝑚⩽12C.−2≤𝑚⩽−

12D.𝑚⩽−12【答案】C【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出𝑚≤−12；再求得当𝑥=1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．本题考查了二次函数在给定范围

内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【解答】解：∵函数𝑦=𝑥2+𝑥−1的对称轴为直线𝑥=−12，∴当𝑥=−12时，y有最小值，此时𝑦=14−12−1=−54，∵函数𝑦=𝑥2+𝑥−1在𝑚≤𝑥≤1上的最小值是−54，∴𝑚≤−12；

∵当𝑥=1时，𝑦=1+1−1=1，对称轴为直线𝑥=−12，2∴当𝑥=−12−[1−(−12)]=−2时，𝑦=1，∵函数𝑦=𝑥2+𝑥−1在𝑚≤𝑥≤1上的最大值是1，且𝑚≤−12；∴−2≤𝑚≤−12．3.已知二次函数

𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，截取该函数图象在0≤𝑥≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,𝑡)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的

图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是()A.−1≤𝑡≤0B.−1≤𝑡C.D.𝑡≤−1或𝑡≥0【答案】A【分析】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数

的最值等有关知识，找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵𝑦=−(𝑥−1)2+4，∴顶点坐标为(1,4)，当𝑥=0时，𝑦=3，∴𝐴(0,3)，当𝑥=4时，𝑦=−5，∴𝐶(4,−5)，∴当

𝑡=0时，3𝐷(4,5)，∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当𝑡=−1时，此时最小值为−1，最大值为4．综上所述：−1≤𝑡≤0，4.已知二次函数𝑦=𝑥2−𝑥+14𝑚−1的图象与x轴有交点，则

m的取值范围是()A.𝑚≤5B.𝑚≥2C.𝑚<5D.𝑚>2【答案】A【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．【解答】解：∵

二次函数𝑦=𝑥2−𝑥+14𝑚−1的图象与x轴有交点，∴△=(−1)2−4×1×(14𝑚−1)≥0，解得：𝑚≤5，5.下表列出了函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎、b、c是常数，且𝑎≠0)的x与y的部分对

应值，那么方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的一个根x的取值范围是()x6.176.186.196.20y−0.03−0.010.020.06A.6<𝑥<6.17B.6.17<𝑥<6.18C.6.18<𝑥<6.19D.6.19<𝑥<6.20

【答案】C【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．根4据二次函数的增减性，可得答案．【解答】解：由表格中的数据，得在6.17<𝑥<6.20范围内，y随x的增大而增大，当𝑥=6.18时，𝑦=−0.01，当𝑥=6.19时，𝑦=0.02，方程𝑎𝑥2

+𝑏𝑥+𝑐=0的一个根x的取值范围是6.18<𝑥<6.19，6.已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的部分对应值如下表：x−3−2−1012345y1250−3−4−30512当函数值𝑦<0时，x的取值范围是()A.𝑥<0或𝑥>2B.0<𝑥<2C.𝑥<−1或𝑥>3D.−

1<𝑥<3【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值的取值范围，同学们应熟练掌握．由表格给出的信息可看出，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的对称轴为直线𝑥=1，函数有最小值，抛物线开口向

上𝑎>0，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，根据二次函数的性质可得出𝑦<0时，x的取值范围．【解答】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线𝑥=1，𝑎>0，开口向上，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，则当函数值𝑦<0时

，x的取值范围是−1<𝑥<3．7.如图，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的最大值为3，一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑚=0有实数根，则m的取值范围是()5A.𝑚≥3B.𝑚≤3C.𝑚≥−3D.𝑚≤−3【答案】B【分析】本题主要考查二次函

数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑚=0有实数相当于𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．【解答】解：方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−�

�=0有实数根，相当于𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)平移m个单位与x轴有交点，又∵图象最高点𝑦=3，∴二次函数最多可以向下平移三个单位，∴𝑚≤3，二、填空题8.我们把函数在𝑚≤𝑥≤𝑛上的最大图值和最小值的差称为区间极差，比如一次函数𝑦=−𝑥+1在−2≤𝑥≤0上的最

大值为3，最小值为1，所以一次函数𝑦=−𝑥+1在−2≤𝑥≤0上的区间极差为3−1=2.若二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+3在−1≤𝑥≤𝑎上的区间极差为4，则a的取值范围是____________．【答案】1⩽𝑎⩽3

【分析】本题考查二次函数的综合问题和其最值问题以及一元二次方程的求解，通过二次函数在−1≤𝑥≤𝑎的区间，求解a的范围。【解答】解：𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，𝑦=−(𝑥−1)2+4，该二次函数的图像的对称轴为𝑥=1，当𝑥=

1，𝑦=4，即y最大值为4，∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3在−1≤𝑥≤𝑎上的区间极差为4，∴令𝑦=0，即−𝑥2+2𝑥+3=0，6(−𝑥+3)(𝑥+1)=0，解得𝑥=−1或𝑥=3，∵−1≤𝑥≤𝑎，∴1⩽𝑎⩽3．9.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P

为和谐点．例如点(1,1)，(0.5,0.5)，(−√2,−√2)，…，都是和谐点．若二次函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象上有且只有一个和谐点(32,32)，当0≤𝑥≤𝑚时，函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐−34(𝑎≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围_

_____【答案】2≤𝑚≤4【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．根据等值点的概念令𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐=𝑥，即𝑎𝑥2+3𝑥

+𝑐=0，由题意，△=32−4𝑎𝑐=0，即4𝑎𝑐=9，方程的根为−32𝑎=32，从而求得𝑎=−2，𝑐=−94，𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐−34=−2𝑥2+4𝑥−3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．【解答】解：令𝑎

𝑥2+4𝑥+𝑐=𝑥，即𝑎𝑥2+3𝑥+𝑐=0，由题意，△=32−4𝑎𝑐=0，即4𝑎𝑐=9，又方程的根为−32𝑎=32，解得𝑎=−1，𝑐=−94.故函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐−34=−𝑥2+4𝑥−3，该抛物线顶点为(1

,−1)，与y轴交点为(0,−3)，由对称性，该函数图象也经过点(2,−3).由于函数图象在对称轴𝑥=1左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤𝑥≤𝑚时，函数𝑦=−2𝑥

2+4𝑥−3的最小值为−3，最大值为1，∴2≤𝑚≤4，710.已知二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥+3，当0≤𝑥≤𝑚时，y的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是__________．【答案】1≤𝑚≤2【分析】本题考查二次

函数的性质与最值，根据二次函数的性质以及图象上点的特征得出m的取值范围是解题关键．化为顶点式，根据二次函数的性质可以得到𝑥=1时，y最小值为2，𝑥=0或2时，𝑦=3，据此可求出m的取值范围．【解答】解：∵化为顶点式为𝑦=(𝑥−1)2+2，开口

向上，对称轴𝑥=1，顶点(1,2)，依题意，当0≤𝑥≤𝑚时，y的最大值为3，最小值为2，根据二次函数性质和图象，𝑥=0时，𝑦=3，𝑥=2时，𝑦=3，有1≤𝑚≤2，故m的取值范围是1≤𝑚≤2．11.在平面直角坐标系xOy中，若点

P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．例如(1,1)，(―3,―3)，(√2,√2)，…，都是完美点.已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象上有且只有一个完美点(34,34)，且当𝑚≤𝑥≤3时，函数𝑦=

𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐−158(𝑎≠0)的最小值为−9，最大值为−1，则m的取值范围是___________________________________．【答案】−1≤𝑚≤1【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判

别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．根据等值点的概念令𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐=𝑥，即𝑎𝑥2+3𝑥+𝑐=0，由题意，𝛥=32−4𝑎𝑐=0，即4𝑎𝑐=9，方程的根为−32𝑎=34，从而求得𝑎=−2，𝑐=−98，𝑦=𝑎

𝑥2+4𝑥+𝑐−158=−2𝑥2+4𝑥−3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定m的取值范围．【解答】8解：令𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐=𝑥，即𝑎𝑥2+3𝑥+𝑐=0

，由题意，𝛥=32−4𝑎𝑐=0，即4𝑎𝑐=9，又方程的根为−32𝑎=34，解得𝑎=−2，𝑐=−98.故函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐−158=−2𝑥2+4𝑥−3，该抛物线顶点为(1,−1)，与y轴交点为(0,−3)，由对称性，该函数图象也经过点(2,−3

).由于函数图象在对称轴𝑥=1左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当𝑚≤𝑥≤3时，函数𝑦=−2𝑥2+4𝑥−3的最小值为−9，最大值为−1，∴−1≤𝑚≤1，12.在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数𝑦=(𝑥

−1)2+1(𝑥≥0)的图象𝐶1和图象𝐶2组成中心对称图形，对称中心为点(0,2).已知不重合的两点A、B分别在图象𝐶1和𝐶2上，点A、B的横坐标分别为a、b，且𝑎+𝑏=0.当𝑏<𝑥≤𝑎时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，则a的取值

范围为______．【答案】1≤𝑎≤1+√2【分析】由题意可得抛物线𝐶2的解析式𝑦=−(𝑥+1)2+3，由当𝑏<𝑥≤𝑎时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，可得函数的最大值和最小值为两抛物线顶点坐标的纵坐标．则𝑎

≥1，𝑏<−1，再考虑𝑦=1和3时，x的取值，可求a，b的取值范围．本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的最值，关键是理解图象的点所表示的意义．解：∵函数𝑦=(𝑥−1)2+1(𝑥≥0)的图象𝐶1和图象𝐶2组成中心对称图形，对称中心

为点(0,2)．∴抛物线𝐶2的解析式𝑦=−(𝑥+1)2+3∵当𝑏<𝑥≤𝑎时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，∴当𝑏<𝑥≤𝑎时该函数的最大值和最小值分别为3和19∴𝑎≥1，𝑏<−1当𝑦=1时，1=−(𝑥+1)2+3，且𝑥<0∴𝑥=−√2−1，当

𝑦=3时，3=(𝑥−1)2+1且𝑥>0∴𝑥=√2+1∴−√2−1<𝑏<−11≤𝑎≤√2+1三、解答题13.如图所示，点A、点E的坐标分别为(0,3)与(1,2)，以点A为顶点的抛物线𝐶1为𝑦1=−𝑥2+𝑛；以E为顶点的抛物线𝐶2为𝑦2=𝑎𝑥2+𝑏𝑥

+𝑐，且抛物线𝐶2与y轴交于点𝑃(0,52)。(1)请分别求出抛物线𝐶1和𝐶2的解析式，并判断抛物线𝑎=12会经过点E吗？(2)若抛物线𝐶1和𝐶2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；(3)在(2)的x的取值范围内，设

新的函数𝑦3=𝑦1−𝑦2，求出函数𝑦3与x的函数关系式，并求当x为何值时，函数𝑦3有最值，请求出这个最值。【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函

数的增减性是解本题的关键．(1)待定系数法分别求解可得，再求出𝑥=1时，𝑦1的值即可判断抛物线𝐶1是否经过点E；(2)分别求出两函数y随x的增大而减小时x的范围可得答案；(3)将𝑦1、𝑦2代入𝑦3=𝑦1−𝑦2整理成一般式，再配方成顶点式可得答案．【解答】解：(1)

根据题意将点𝐴(0,3)代入𝑦1=−𝑥2+𝑛，得：𝑛=3，10∴𝑦1=−𝑥2+3；∵抛物线𝐶2的顶点坐标为(1,2)，∴设抛物线𝐶2的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2+2，将点𝑃(0,52)代入，得：𝑎+2=52，解得：𝑎=12，∴抛物线�

�2的解析式为𝑦2=12(𝑥−1)2+2=12𝑥2−𝑥+52，当𝑥=1时，𝑦1=−12+3=2，∴抛物线𝐶1经过点E；(2)在𝑦1=−𝑥2+3，当𝑥>0时，y随x的增大而减小，在𝑦2=12(𝑥−1)2+2中，当𝑥<1时，y随x的增大而减小，∴当0<�

�<1时，抛物线𝐶1和𝐶2中的y都随x的增大而减小；(3)𝑦3=𝑦1−𝑦2=−𝑥2+3−(12𝑥2−𝑥+52)=−32𝑥2+𝑥+12=−32(𝑥−13)2+23，∵0<𝑥<1，∴当𝑥=13时，函数𝑦3有最大值，最大值为23．

14.已知：二次函数𝑦=𝑥2−4𝑥+3𝑎+2(𝑎为常数)．(1)请你选择以下条件之一：①有最值−1；②图像与x轴交点的横坐标之积为3.求a值(2)若(1)中所确定的二次函数图像在𝑥≤3部分与一次函数𝑦=−𝑥+𝑏的图像有两个交点

，求b的取值范围．(直接写出答案)【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的知识以及待定系数法求解析式的知识．(1)用待定系数法求出a的值；(2)分2种情况讨论，得出相应的b值，即可得出b的取值范围．【解答】解：(1)选①；∵𝑥=−−42×1=2∴顶点坐标为(2,

−1)把(2,−1)代入𝑦=𝑥2−4𝑥+3𝑎+2得：4−8+3𝑎+2=−111得：3𝑎=1得：𝑎=13；(2)函数解析式为𝑦=𝑥2−4𝑥+3，如图：当𝑥=3时，𝑦=0，把(3,

0)代入𝑦=−𝑥+𝑏，则𝑏=3，联立方程组：{𝑦=𝑥2−4𝑥+3𝑦=−𝑥+𝑏𝑥2−3𝑥+3−𝑏=0当𝛥=9−4(3−𝑏)=0时，二次函数图像在𝑥≤3部分与一次函数𝑦=−𝑥+𝑏的图像有一个交点，则𝑏=34则34<𝑏≤3时，二次函

数图像在𝑥≤3部分与一次函数𝑦=−𝑥+𝑏的图像有两个交点．15.已知抛物线𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑚．(1)当𝑎=2，𝑚=−5时，求抛物线的最值；(2)当𝑎=2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长

度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由；(3)当𝑚=0时，平行于y轴的直线l分别与直线𝑦=𝑥−(𝑎−1)和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围．【分析】(1)把𝑎=2，𝑚=−5代入抛物线解

析式即可求抛物线的最值；(2)把𝑎=2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，△>0，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；(3)根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．

本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象与几何变换、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点等知识．【解答】解：(1)当𝑎=2，𝑚=−5时，𝑦=𝑥2−4𝑥−512=(𝑥−2)2−9所以抛物线的

最小值为−9．(2)当𝑎=2时，𝑦=𝑥2−4𝑥+𝑚=(𝑥−2)2+𝑚−4因为该抛物线与坐标轴有两个交点，所以△>0，即16−4𝑚>0，解得𝑚<4，𝑚−4>−9，解得𝑚>−5∴−5<𝑚<4∵把它沿y轴向上平

移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴𝑦=𝑥2−4𝑥+𝑚+𝑘此时△<0，即16−4(𝑚+𝑘)<0解得𝑚+𝑘>4∴0<𝑘<9．(3)当𝑚=0时，𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥抛物线开口向上，与x轴交点坐标为(0,0)(2𝑎,0)，𝑎≠0．直线l分别与直线𝑦=

𝑥−(𝑎−1)和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当𝑎>0时，如图1所示，此时，当𝑥=0时，0−𝑎+1<0，解得𝑎>1；②当𝑎<0时，如图2所示，13此时，当𝑥=2𝑎时，2𝑎

−𝑎+1<0，解得𝑎<−1．综上：𝑎>1或𝑎<−1．16.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，如图一是函数𝑦=𝑥2−1的图象，通过图象可以探究它的对称性，增减性，最值等情况．下面对函数𝑦=|𝑥2−1|展开探索

．经历分析解析式、列表、描点、连线等过程得到函数𝑦=|𝑥2−1|的图象如图二所示：x…−3−52−2−32−1−120121322523…y…82143a0341b05432148…(1)表格中𝑎=______

，𝑏=______；(2)观察发现：函数𝑦=|𝑥2−1|的图象是轴对称图形，写出该函数图象的对称轴；(3)拓展应用：①如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是______；②已知方程|𝑥2−1|=𝑘

(𝑘是一个常数)有两个解，则k的取值范围是______．【答案】5434𝑥>1或−1<𝑥<0𝑘>1或𝑘=0【分析】(1)根据函数的对称性即可求解；(2)观察函数图象即可求解；14(3)观察函数图象即可求解．本题考查函

数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：(1)根据函数的对称性得，𝑎=54，𝑏=34，故答案为：54，34；(2)从图象看，函数的对称轴为𝑥=0，故答案为：𝑥=0；

(3)①从图象看，如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是：𝑥>1或−1<𝑥<0，故答案为：𝑥>1或−1<𝑥<0；②设：𝑦=𝑘，方程|𝑥2−1|=𝑘(𝑘是一个常数)有两个解，可以看成𝑦=|𝑥2−1|

和𝑦=𝑘有两个交点，从图象看，此时则k的取值范围是𝑘>1或𝑘=0，故答案为：𝑘>1或𝑘=0．