【文档说明】陕西省重点中学2023届高三上学期1月期末数学（文）试卷.doc，共(20)页，1.849 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年上学期1月期末高三文科数学一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合3AxNx=，则（）A．0AB．1A−C．0AD．1A−2．已知角的终边上有一点()

2,3，则sin2=（）A．225B．255C．235D．2653．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图是两个同心圆，且小圆的内接四边形是正方形，则该几何体的体积等于（）3cm．A．11283−B．112163−C．2883−D．2

8163−4．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排

六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（）A．48B．72C．54D．365．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3

a7＝9，则S7的值等于（）A．21B．1C．﹣42D．06．已知向量a与单位向量e所成的角为60，且满足对任意的tR，恒有ateae−−，则(12)(xaxex+−R)的最小值为（）A．13B．12C．32D．337．设x为任一实数，x表

示不超过x的最大整数，x表示不小于x的最小整数，例如1.11=，21.1−=−，0.91=，0.90−=，那么“ab=”是“ab”的（）A．充分条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．已知椭圆22221(0)xyCabab+=：的右焦点为(c

,0)F，上顶点为(0,)Ab，直线2axc=上存在一点P满足FPAPFAAP=−，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．1[,1)2B．2[,1)2C．51[,1)2−D．20,29．设数列nx的各项都为正数且11x=，ABC

内的点()nPnN均满足nPAB和nPAC的面积比为2:1，若()112102nnnnnPAxPBxPC++++=，则5x的值为（）A．15B．17C．29D．3110．已知等边三角形ABC的边长为23，点P是该三角形外接圆上的动点，则PAPBPBPC+的最小值为（）A

．23−B．2−C．0D．211．在某互联网大会上，为了提升安保级别，将甲、乙等5名特警分配到3个不同的路口执勤，每个人只能分配到1个路口，每个路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（

）A．180种B．150种C．96种D．114种12．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．()10yxxx=+B．222yxx−=+C．()230yxxx=++D．22111yxx=+++二、填空题：本题5小题，共20分。13．已知,Rab，复数iza=+且1i1

izb=−−(i为虚数单位)，则复数z的模为____．14．曲线在点(1,3)−处的切线倾斜角为_______________15．已知矩形ABCD中，26ABBC==，点M，N分别为线段,ABCD的中点，现将ADM△沿DM翻转，直到与

NDM首次重合，则此过程中，线段AC的中点的运动轨迹长度为____________．16．若a，b，c为ABC的三边，且a，c，b成等差数列，则cosC的最小值是___________.三、解答题：本题6小题，共70分。17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2b﹣a）co

sC＝ccosA．(1)求角C的大小；(2)若c＝3，求△ABC的周长取值范围．18．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了

活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表一x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如下图

所示的散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，yabx=+与xycd=（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人

次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2表2支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码

支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用.参考数据：y71iiixy=71iiix=0.54

1062.141.54253550.123.47其中lgiiy=，7117ii==参考公式：对于一组数据()11,u，()22,u，……(),nnu，其回归直线au=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221niiiniiunuunu==−=−

，ˆˆˆau=−.19．如图，在四棱锥PABMN−中，PNM△是边长为2的正三角形，ANNP⊥，ANBM∥，3AN=，1BM=，22AB=，C，D分别是线段AB，NP的中点．(1)求证：CD∥平面PBM；(2)求证：平面A

NMB⊥平面NMP；(3)求直线CD与平面ABP所成角的正弦值．20．已知抛物线2:2(0)Cxpyp=，点(4,1)A−，P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，||PAd+的最小值为5．(

1)求抛物线C的方程；(2)直线1ykx=+与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为1k，2k，3k，是否存在实数，使得12311kk

k+=，若存在，求出；若不存在，说明理由．21．已知函数()ln2fxxxx=−.（1）求函数()fx的最小值；（2）求函数()()gxfxxe=+−的单调区间；（3）若函数()()hxfxmx=−在)1,x+单调递增，求实数m的取值范围.22．已知在平

面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为33xtyt=−=(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos=.（1）求曲线1C的普通方程以及曲线2C

的直角坐标方程；（2）求曲线2C上的点到曲线1C距离的最大值.23．已知函数|2|fxxkxkR=−++（）（），|2|gxxmmZ=+（）（）.（1）若关于x的不等式1gx（）的整数解有且仅有一个值4−，当2

k=时，求不等式fxm（）的解集；（2）若223hxxx=−+（），若120xRx+，（，）∞，使得12fxhx（）（）成立，求实数k的取值范围.参考答案：1．C根据集合的概念判断．集合A是由小于3的自然数组成，0A，1A−，只有C正确，故选：C．2．D利用任意角的三角函数

的定义，求得sincos、的值利用正弦二倍角公式可得答案．由角的终边经过点()2,3，则()()22315sin523==+，()()22210cos523==+，所以151026sin22sincos2555

===.故选：D．3．C由几何体的三视图可得，几何体是一圆台挖了一个内接正四棱柱，用圆台的体积减去正四棱柱的体积即可求得答案.圆台的体积为1V221(124)43=++283=，设正四棱柱的底面

边长为a，则22a=，得2a=，则正四棱柱的体积22248V==，故几何体的体积为12VV−=2883−.故选：C本题考查了三视图的理解和圆台、正四棱柱的体积公式，还考察了空间想象能力.4．B根据“礼”确定排在第一节，先排“

乐”、“书”、“数”三门课程，再由“射”和“御”插空排序，结合乘法原理即可求解.由题意，“礼”排在第一节，1种排法，“射”和“御”两门课程不相邻，可先排“乐”、“书”、“数”三门课程，有336A=种排法，再由“射”和“御”插空排序，有2412A=种排法，所

以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有161272=种不同的排法.故选：B.5．D利用等差数列{an}的通项公式求出d＝1，由此能求出S7．解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，∴2（﹣3+3d）+3（﹣3+6d）＝9，解得d＝1，∴S7＝7×（﹣3）+

762＝0．故选：D．6．C将ateae−−两边同时平方，将模的平方转化为向量的平方，通过不等式恒成立可求ar，再将(12)(xaxex+−R)平方，还是将模的平方转化为向量的平方，把ar代入，可将问题转化为关于x的二次函数最值问题.∵已知向量

a与单位向量e所成的角为60，∴cos602aaeae==，21e=，又∵对任意的tR，恒有ateae−−，∴22ateae−−即2222222ataeteaaee−+−+∴210tata−+−，对任意的tR恒成立，∴()2410

aa=−−即()220a=−∴2a=，且2(12)xaxe+−22222(12)(12)xaxxaexe=+−+−22222(12)cos60(12)xaxxaexe=+−+−221334214444xxx=−+=−+

，即23(12)4xaxe+−，3(12)2xaxe+−，∴(12)(xaxex+−R)的最小值为32，故选：C.本题考查数量积的定义运算和数量积的性质运算，关键要通过将模的平方转化为向量的平方，把不等式恒成立问题转化求二次函数的最值问题，考查运算求解能力和转化

与化归思想，是中档题.7．B直接利用充分条件和必要条件的定义判断.设abk==，由x和x的定义得：,akbk，所以akb，即ab，故充分；当2.2,2.1ab==时，2a=，3b=，ab，故不必要；故

选：B8．C取AP中点Q，可转化()0FPFAAP+=为20FQAP=，即||||FAFP=，可求得||FAa=，2||aFPcc−，求解即得.取AP中点Q，由FPAPFAAP=−得()0FPFAAP+=，故20FQAPFQAP=⊥，故三角形AFP为等腰三角形，即||||FA

FP=，且22||FAbca=+=，所以||FPa=，由于P在直线2axc=上，故2||aFPcc−即2222110aaaaceeccc−−+−，解得：512e−或512e−−，又01e故5112e−，故选：C9．D由()112102nnnnnPAxPBx

PC++++=得到()11212nnnnnPAxPCxPB+++=−，作出图像，利用三角形面积的关系，得到数列的递推式，然后构造等比数列，即可求出结果.由()112102nnnnnPAxPBxPC+++

+=得：()11212nnnnnPAxPCxPB+++=−，设(21)nnnPDxPC=+，延长nBP至1B，使1nnBPPB=，则nPAB与1nPAB面积相等，以线段nPA、nPD为邻边作平行四边形nPAED，如图，则()11212nnnnnnPA

xPCPExPB+++==−，所以112nnnPExPB+=，因此112nnPAEnPABSxS+=，又121nnnnPCPCAExPD==+，所以121nnnnPACPACPADPAEnSSSSx==+，则()112212nnPACnPA

BnSxSx+==+，所以121nnxx+=+，因此112(1)nnxx++=+，故数列1nx+是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以4512232x+==，即531x=.故选：D10．C建立平面直角坐标系，设点A、B、C、P的坐

标，求出PAPBPC、、的坐标，利用数量积的坐标表示和辅助角公式求得PAPBPAPC+为关于的三角函数，结合正弦函数的性质即可求解.以ABC外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边ABC的边长为23，则22sinBCrrA==，设(2,0)(1,3)(1,3)(2cos,

2sin)ABCP−−−，，，，则(22cos,2sin)(12cos,32sin)PAPB=−−=−−−，，(12cos,32sin)PC=−−−−，所以(22cos,2sin)(12cos,32sin)223sin2cosPAPB=−−−−−=−

−，(22cos,2sin)(12cos,32sin)22cos23sinPAPC=−−−−−−=−+，所以44cosPAPBPAPC+=−，因为1cos1−，所以44cos4−，所以PA

PBPAPC+的最小值0.故选：C.11．D先考虑甲乙不在同一个路口的情况，再考虑甲乙再同一路口的情况，进而根据分配法求得答案.先不考虑条件“甲和乙不能安排在同一个路口”，则有两种情况：①三个路口人数分别为3，1，1时，安排方法共有3353CA60=（种）；②三个路口

人数分别为2，2，1时，安排方法共有32353322CCA90A=（种）．若将甲、乙安排在同一路口，可以把甲、乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到3个不同的路口，安排方法共有2343CA36=（种）．故甲和乙不安排在同一个路口的安排方法共有609036114+−=（种）．故选：D．12

．DA.利用基本不等式判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用二次函数的性质判断；D.利用基本不等式判断.A.当0x时，()()1122=−−+−−=−−−yxxxx，当且仅当1xx−=−，即=1x−时，等号成立；当0x时，1122y

xxxx=+=，当且仅当1xx=，即1x=时，等号成立；故错误；B.()2222111yxxx=−+=−+，故错误；C.()()()2223023123=++=++=++yxxxxxx，故错误；D.222

211121211yxxxx=+++=++，当且仅当22111xx+=+，即0x=时，等号成立，故正确故选：D13．10将iza=+代入1i1izb=−−中化简，再根据复数相等的条件可求出,ab，从而可求出复数z，进而可求得复数z的模因为iza=+，所以i1i1i1izab

+==−−−，所以()()()()i1i1i11iabbb+=−−=−−+，所以111abb=−=−−，解得32ab==−，所以3iz=+所以10z=，故答案为：1014．34∵，∴234yx=−，∴曲线在点(1,3)−处的切线斜率为341k=−=−，设切线的倾斜角为，则tan1

=−，又[0,]，∴34=15．32π4##324先分析出点A的轨迹是一个半圆，再结合三角形中位线定理可得AC中点的轨迹也是一个半圆，即可得出结果由已知得:四边形AMDN是正方形，ADM△沿DM翻转的过程中，点A的轨迹为以O为圆心，OA为半径的半圆，其半径为

322，这个半圆与DM垂直设线段AC的中点E，线段NC的中点F，线段EF的中点为O，在以OA为半径的半圆上取一点1A，连接1AC，并取1AC的中点1E，连接1EE，1EF，由三角形中位线定理可得：11//EEAA，11//E

FAN，190AAN=，190EEF=，则点1E的轨迹为以O为圆心，OF为半径的半圆，其半径为324，线段AC的中点的运动轨迹长度为132322π=π244．故答案为：32π416．12将等差中项代入余弦定理，利用不等式放缩可得cosC的最小值．2abc+=，()2

222222231312124242cos22222abababababababcCabababab++−+−−+−====则cosC的最小值是12故答案为：1217．(1)π3C=(2)（6，9]（1）由于（2b﹣a）cosC＝ccosA，由正弦定理得（2sin

B﹣sinA）cosC＝sinCcosA，即2sinBcosC＝sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC＝sin（A+C），可得：2sinBcosC＝sinB，因为sinB≠0，所以1cos2C=，因为0C，所以π3C=．（2）因为π3C=，3c=由正弦定理可

得323sinsin32abAB===，于是，()23sinsin3abcAB++=++＝2π23sinsin33AA+−+＝π6sin36A++，因为△ABC中，π3C=，所以2π0,3A，ππ5π,666A+

，所以π1sin,162A+，可得：(6,9abc++，所以△ABC周长的取值范围为：（6，9]．18．(1)xycd=适宜(2)23.4734ˆ107y==；3470；(3)1.66元（1）根据散点图判断，xycd=适宜作为扫

码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；（2）∵xycd=，两边同时取常用对数得：()1111xgygcdgcgdx==+；设lgyv=，∴11vgcgdx=+∵4x=，1.54v=，721140iix==，∴71

72221750.12741.547lg0.2514074287iiiiixvxdxx==−−====−−，把样本中心点(4,1.54)代入11vgcgdx=+，得：lg0.54c=，∴ˆ0.540.25vx=+，∴lg0.54

0.25yx=+，∴y关于x的回归方程式：()0.540250.540.250.25ˆ1010103.4710xxxy+===；把8x=带入上式，23.4734ˆ107y==；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.

8，1.6，1.4；(2)0.1PZ==；1(1.8)0.30.152PZ===；1(1.6)0.60.30.73PZ==+=；1(1.4)0.30.056PZ===.分布列为：Z21.81.61.4P0.10.150.70.05所以，一名乘客一次乘

车的平均费用为：20.11.80.151.60.71.40.051.66+++=（元）本题主要考查了非线性回归与线性回归方程的转化，散点图，分布列及期望，属于中档题.19．(1)证明见解析(2)证明见解

析(3)3620（1）如图，取MN中点Q，连CQ，DQ，∵DQ为中位线，∴DQMP∥，又DQ平面BMP，MP平面BMP，∴DQ∥平面BMP，同理，在梯形ABMN中，CQMB∥，又CQ平面BMP，MB平面BMP，∴CQ∥平面BMP，且DQ平面CDQ，CQ平面CDQ

，DQCQQ=，∴平面CDQ∥平面BMP，又CD平面CDQ，所以CD∥平面BMP．（2）如上图，在四边形ABMN中，过B作BEMN∥交AN于E，在AEB△中，得2AE=，2BE=，22AB=，则222ABAEBE=+，得AEBE⊥，∵BEMN∥，∴ANNM⊥，又由已知条件AN

NP⊥，NMNPN=，,NMNP平面NMP，故AN⊥平面NMP，又AN平面ANMB，∴平面ANMB⊥平面NMP．（3）∵PMN为等腰三角形，∴DMNP⊥，又因为AN⊥平面MNP，以D为原点建立空间直角坐标系，如图：可得()0,0,0D，()1,0,0P，()1,0,0N−，(

)0,3,0M，()1,0,3A−，()0,3,1B，13,,222C−，设平面ABP的法向量为(),,nxyz=，()1,3,2AB=−，()2,0,3AP=−，根据00==nABnAP，得320230+−=−=xyzxz，解得33,,23n=

，13,,222DC=−，设直线CD与平面ABP所成角为，则sincos,31436222023053CDnCDnCDn==−++==，故直线CD与平面ABP所成角的正弦值36sin20=．20．(1)28xy

=(2)存在；2=（1）设抛物线C的焦点为0,2pF，根据抛物线的定义得dPF=，224152pPAdPAPFAF+=+=+−−=，由于0p，解得4p=，则拋物线C的方程为28xy=（2）设()()1122,,,MxyNxy，将1ykx=+代

入抛物线C的方程，整理得2880,xkx−−=所以12128,8xxkxx+==−1111144112xxkykx−−==++，同理222412xkkx−=+，则()()()212121222121212

12322416441132161044,22224842kxxkxxxxkkkkxkxkxxkxxkk+−+−−−−−−+=+===−==−++++++,所以2=，21．（1）e−；（2）单调递减区间为()

0,1，单调递增区间为()1,+；（3）1m−.（1）函数()fx的定义域为()0,+，()ln1fxx=−，由'()0fx=得xe=，所以当()0,xe时，'()0fx，()fx单调递减，当(),xe+

时，'()0fx，()fx单调递增，所以函数()fx的最小值为()fee=−；（2）()lngxxxxex=−−，()lngxx=，由'()0gx=得1x=，所以当()0,1x时，'()0gx

，()gx单调递减，当()1,x+时，'()0gx，()gx单调递增，所以()gx的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+；（3）()ln1hxxm=−−，因为函数()()hxfxmx=−在

)1,x+单调递增，所以()ln10hxxm=−−在)1,x+恒成立，即ln1mx−，因为)1,x+，所以min(ln1)ln111x−=−=−，所以1m−；解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数的单调区间、极值（最值）的方法，并灵活应用

，在已知单调区间求参数时，可转化为恒成立问题，若()mtx，需要min()mtx，若()mtx，需max()mtx，考查计算化简的能力，属中档题.22．（1）曲线1C：3330xy+−=；曲线2C：22(1)1xy−+=；

（2）31+（1）由题知，消去参数t，得到曲线1C的普通方程3330xy+−=；由22cos2cos==，由222xy=+，cosx=，将极坐标方程化为直角方程2220xxy−+=，即曲线2C的直角坐标方程为22(1)1xy−+=.（

2）圆心(1,0)到直线3330xy+−=的距离为3033331d+−==+，则曲线2C上的点到曲线1C距离的最大值为131d+=+.23．（1）[-4，4]（2）40−−+（，，）∞∞（1）由题意，不等式1gx（），即21x

m+，所以1122mmx−−−+，又由1154322mm−−−+−−-，解得79m，因为mZ，所以8m=，当2k=时，2,2224222,2xxfxxxxxx−−=−++=−（），，不等式8fx（）等价于228xx−−

，或2248x−，或228xx，即42x−−，或22x−，或24x，综上可得44x−，故不等式8fx（）的解集为[-4，4].（2）因为|2|2|2|fxxkxxkxk=−++−−+=+（）（）（），由222312

hxxxx=−+=−+（）（），0x+（，），可得12minhxh==（）（），又由120xRx+，（，）∞，使得12fxhx（）（）成立，则22k+，解得4k-或0k，故实数k的取值范围为(,4][0,)−−+.获得更多资源请扫码加

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