【文档说明】湖南省衡阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题 含解析.docx，共(15)页，813.044 KB，由envi的店铺上传

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2021—2022学年度衡阳市高中一年级质量检测数学卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设8log42a=，则18a=（）A.2B.22

C.3D.8【答案】A【解析】【分析】利用对数的换底公式可求得a的值，再利用指数的运算性质可求得结果.【详解】因为32822log4log223aaa===，可得3a=，故()1133822a==.故选：A2.“a为奇数”是“函数()afxx=为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要

不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用奇函数定义证明出充分性，举出反例得到必要性不成立.【详解】当a为奇数时，定义域关于原点对称，()()()aaxxxffx=−−=−−=，故函数()afxx=为奇函数，而()13fxx=为奇函数，但13不是

奇数，综上：“a为奇数”是“函数()afxx=为奇函数”的充分不必要条件.故选：A3.若2121tan3=+，则cos2=（）A.19−B.13C.49D.179【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数的商数、平方关系，将

条件化为22cos3=，再根据二倍角余弦公式求目标式的.值.【详解】由题设，222221cos2cos1tancossin3===++，又21cos22cos13=−=.故选：B.4.已知集合26Axyxx==−−

，则A=Rð（）A.23xx−B.23xx−C.23xxxx−D.23xxxx−【答案】A【解析】【分析】先求解一元二次不等式，然后利用补集的概念即可求解.

【详解】由题意，2602xxx−−−或3x，所以集合2Axx=−或3x，所以A=Rð23xx−.故选：A5.若()0,1m，设3am=，3logbm=，3mc=，则（）A.acbB.bacC.bcaD.cab【答案】B【解析】【分析】利用指数、

对数、幂函数的性质判断大小关系即可.【详解】由题设，33310logmamcbm===，所以bac.故选：B6.已知函数()()2sinfxx=+的部分图象如图所示，将函数()fx的图象向右平移6个单位长度，

得到函数()gx的图象，则()g=（）A.2B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】由题待定系数得()2sin23fxx=+，进而根据图像平移变换得()2sin2gxx=，再计算函数值即可.【详解】解

：根据题意得313341234T=−=，所以T=，故2=，由3x=时，()0fx=得22,xkkZ+=+，解得2,3kkZ=+.所以()2sin222sin2,33fxxkxkZ=++=+，所以()2s

in22sin263gxxx=−+=，所以()22sin333gg===故选：B7.已知函数()lgfxx=，若()()fafb=且ab¹，则9ab+的最小值为（）A.2B.3C.6D.9【答案】C【解析】【分析】根

据对数函数的性质可得1ab=且,0ab，将目标式化为99abaa+=+，应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.【详解】由对数函数的性质，且()()fafb=且ab¹，可知：1ab=且,0ab，所以99926abaaaa+=+=，当且仅当13,3ab

==时等号成立.故选：C8.设函数()1e,11,1xxxfxxxx−+=+，则满足()()12xfxf−的x的取值范围是（）A.(,1−−B.()0,+C.()1,0−D.(),0−【答

案】D【解析】【分析】研究出分段函数的单调性，利用单调性解不等式.【详解】1x时，()1exfxx−=+单调递增，故()11maxe12fx−=+=，当1x时，由对勾函数得：()1fxxx=+在(

)1,+单调递增，且()()12fxf=，综上：()1e,11,1xxxfxxxx−+=+单调递增，因()()12xfxf−，所以12xx−，即210xx+−，设()21xhxx=+−

，可知()hx单调递增，且()00h=，故0x，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知角的终边

在直线3yx=上，则sin6−的值可能是（）A.32−B.12−C.12D.1【答案】BC【解析】【分析】根据直线方程判断所在象限且tan3=，并求出角的大小，根据目标式，讨论6k+的位置求函数值即可.【详解】由题设，tan3=且在第一或三象限，则3k

=+，Zk，又sinsin()66k−=+，Zk，为当6k+在第一象限时，1sin62−=；当6k+在第三象限时，1sin62−=−.故选：BC10.已知a、b、Rc，若

0ab，则（）A.acbcB.11abC.ccabD.()222abab++【答案】BD【解析】【分析】A、C特殊值法，令0c=即可排除；B由不等式性质判断；D应用基本不等式判断即可.【详解】A：当0c=时，acbc=，错误；

B：由0ab，则0ab，故110ab，正确；C：当0c=时，ccab=，错误；D：由222222()2()abababab+++=+，又0ab，则()222abab++，正确；故选：BD11.若函数()221fxxx=−，

则（）A.函数()fx为偶函数B.函数()fx在定义域上单调递增C.函数()fx的值域为RD.()1fxfx=−【答案】ACD【解析】【分析】由函数奇偶性的定义判断选项A，分别判断(),0x−与()0,x+时，函数2yx=与21yx=的单调性，从而

得函数()fx的单调性，分析x→−与0x−→对应的()fx取值范围，计算得1fx，并判断与()fx的关系.【详解】因为函数()fx定义域为()(),00,−+U，()()()()222211fxxxfxxx−=−−=−

=−，所以函数()fx为偶函数，A正确；当(),0x−时，2yx=单调递减，21yx=单调递增，所以函数()221fxxx=−单调递减，当()0,x+时，2yx=单调递增，21yx=单调递减，所以函数()221fxxx=−单调递增，B错误；当x→

−时，221,0→+→xx，所以221−→+xx，当0x−→时，2210,→→+xx，所以221−→−xx，所以函数()fx的值域为R，C正确；()2222111−=−=−=−

xxfxxfxx，D正确.故选：ACD12.若函数()cos24cos2fxxaxa=−−的最小值为52−，则a的值可为（）A.1−B.74−C.12D.13【答案】BC【解析】【分析】应用二倍角余弦公式可得22()2(cos)221fxxaaa=−−−−，结合余

弦函数、二次函数的性质及已知最小值，讨论a与区间[1,1]−的位置关系，求a的值.【详解】由题设，222()2cos4cos212(cos)221fxxaxaxaaa=−−−=−−−−，令cos[1,1]tx=−，则22()()2()22

1fxgttaaa==−−−−，其开口向上且对称轴为ta=，当1a−时，min5()(1)212fxga=−=+=−，则74a=−；当11a−时，2min5()()2212fxgaaa==−−−=−，则12a=或32a=−(舍)；当1a时，min5()(1)162

fxga==−=−，则712a=不合前提；综上，74a=−或12a=.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数tanyx=的最小正周期是_____.【答案】1【解析】分析】本题可根据三角函数周期计算公式得出结果.【详解】函数tany

x=的最小正周期1T==，故答案为：1.14.若方程3lgxx=−的解在区间(),1kk+上，则整数k=______．【答案】2【解析】【分析】令lg3yxx=+−判断单调性，应用零点存在定理判断零点所在区间，结合题设即可求k值.【详解】令lg3yxx=+−，显然y在(0,)+上递

增，又2|lg210xy==−，3|lg30xy==，所以函数y的零点在(2,3)内，故2k=.故答案为：2.15.50,6x，使得关于x不等式()6sin2cosRaxxa−成立，则a的最小值是______．【答案】2−【解析】【分析】将不等式右边应用辅助角公式得

22sin()6yx=−，由正弦函数的性质求50,6上的值域，再由不等式能成立求a的最小值.【详解】令6sin2cos22(sincoscossin)22sin()666yxxxxx=−=

−=−，所以50,6x时，2[,]663x−−，故[2,22]y−，又50,6x使()Raya成立，故2a−.所以a的最小值是2−.【的故答案为：2−16.函数()()21xxa

fxaaa=+，若()01fx=，则0x=______，122021202220222022fff+++=______．【答案】①.12##0.5②.2021【解析】【分析】由题设可得0021xxaaa=+即可求0x，根据已知解析式求(1)fx−的解析

式，进而可得()(1)2fxfx+−=，即可求目标式的值.【详解】由题设，0002()1xxafxaa==+，又1a，则0xaa=，可得012x=，而11222(1)xxxxaaafxaaaaaaa−−−===+++，所以22()(1)2xxxaafxfxaaaa+−=+=++，故122021

1202110111010[]202220222022202220222022ffffff+++=++=12020()20212f+=.故答案为：12，2021.【点睛】关键点点

睛：求各函数值之和时，首先需要证明()(1)2fxfx+−=，再结合目标式的特征求和即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合24Axx=−，21

Bxmxm=−．（1）当xZ时，求A的非空真子集的个数；（2）若ABA=，求实数m的取值范围．【答案】（1）126（2）1,2−【解析】【分析】（1）利用xZ，求出2,1,0,1,2

,3,4A=−−，共有7个元素，进而求出非空真子集的个数；（2）根据并集结果得到BA，先得到B，进而列出不等式组，求出实数m的取值范围.【小问1详解】因为24Axx=−，xZ，所以

2,1,0,1,2,3,4A=−−，A中共有7个元素，则A的非空真子集的个数为722126−=；【小问2详解】因为ABA=，所以BA，因为22131024mmm−+=−+，故B，则2412mm−−，解得：12m−，从而实数m的取值范围为1,2−

.18.已知函数()()131xfxmmR=+−．（1）判断函数()fx在()0,+上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在常数m，使得()fx为奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()fx在()0,+上递减，证明见解析；（2）

存在12m=使得()fx为奇函数.【解析】【分析】（1）根据解析式及指数函数的性质判断单调性，再应用单调性的定义证明即可.（2）假设存在m使()fx为奇函数，利用奇函数的性质求m，即可知存在性．【小问1详解】()fx在()0,+上递减，证明如下：在()0,+内任取1x，2x，使12xx，则

()()()()21121212113331313131xxxxxxfxfxmm−−=+−+=−−−−．由于120xx，知：12133xx，则21330xx−，2310x−，1310x−，所

以()()120fxfx−，即()()12fxfx，故()fx()0,+上递减.【小问2详解】函数()fx的定义域为()(),00,−+U，若存在常数m使()fx为奇函数，所以由()()fxfx−

=−，可得113131xxmm−+=−−−−，解得12m=，因此存在12m=，使得()fx为奇函数．19.如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的矩形区域，即如图小矩形ABCD，且其面积为224m．（注：靠墙的部分不用彩带）（1）要使围成四个矩形的彩带总

长不超过52m，求BC的取值范围；（2）当围成四个矩形的彩带总长最小时，求AB和BC的值，并求彩带总长的最小值．【答案】（1）4,9；（2）4；6；最小值为48【解析】【分析】（1）设AB长为xm，BC长为ym，列关于,xy的等式2424==xyxy，表示出彩带总长，

计算对应的14464452+=+=xyyy时对应的y值，从而得y的范围，即BC的范围；（2）利用基本不等式求解彩带总长的最小值，计算出此时的,xy值，即得AB和BC的值.【小问1详解】设AB长为xm，BC长为ym，由题意得2424==xyxy，则四个矩形的彩带总长为144144644

2448+=+=xyyyyy，当且仅当6y=时，取等号，又14464452+=+=xyyy，可解在得4y=或9y=，所以得y的范围为4,9，即BC的取值范围为4,9【小问2详解】四个矩形的彩带总长为144144644

2448+=+=xyyyyy，当且仅当6y=时，取等号，此时4,6xy==，则AB的长为4，BC的长为6，彩带总长的最小值为48.20.已知函数()sinsin63fxxx=−+．（1）求函数()fx的单调递减区间；（2）求使()34fx成立的x的取值集合．【答案

】（1）()511,Z1212kkk++；（2）4,Z23xkxkk++.【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简可得()1sin223fxx=−，解不等式()3

222Z232kxkk+−+可得函数()fx的单调递减区间；（2）由()34fx可得出()27222Z333kxkk+−+，解之即可得解.【小问1详解】解：()sinsinsins

in63662fxxxxx=−+=−−+1sincossin26623xxx=−−=−，由()32

22Z232kxkk+−+，解得()511Z1212kxkk++，所以，函数()fx的单调递减区间为()511,Z1212kkk++.【小问2详解】解：由()34fx可得3sin232x−，可得()2

7222Z333kxkk+−+，解得()4Z23kxkk++，所以，使()34fx成立的x的取值集合为4,Z23xkxkk++.21.如图所示，已知直线12//ll，1DEl⊥，并交1l于E点，交2l于

D点，A是DE上一定点，B是直线2l上一动点，作ACAB⊥，且使AC与直线1l交于点C，设ABD=．（1）若:1:3AEAD=，试比较△AEC与△ABD面积的大小；（2）若1AE=，2AD=，求△ABC与△ABD面积之和的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）23.【解析】【分析】（1

）由题设易得Rt△AECRt△ABD且相似比为3tan3AEDB=，讨论tan判断△AEC与△ABD面积的大小关系；（2）由图知ABDABCECBDAECSSSS+=−，结合（1）求相关线段的长度，进而得到面积

关于tan的表达式，应用基本不等式求最值，注意等号成立条件.【小问1详解】由12//ll，1DEl⊥，则2DEl⊥，又ACAB⊥，所以Rt△AEC、Rt△ABD中90EACDAB+=，即EACABD=，ACEDAB=，所以Rt△AECR

t△ABD，相似比为333tan3tanADAEADDB==，当tan3，即32时，△AEC面积比△ABD大；当tan3=，即3=时，△AEC、△ABD面积相等；当tan3，即03时，△AE

C面积比△ABD小；【小问2详解】由题设，ABDABCECBDAECSSSS+=−，由（1）知：tantanECAE==，2tantanADBD==，所以113()tan22tanECBDAECSSECBDDEAEEC−=+−=+，又tan0，故32tan23ta

nECBDAECSS−=，当且仅当tan3=时等号成立，所以△ABC与△ABD面积之和的最小值为23.22.已知函数()()2lg101xfxkx=+−是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数()()lg103xgxaa=+，若函数()fx与()gx

的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）1k=（2）)21,3+【解析】【分析】(1)根据()fx为偶函数，有()()fxfx−=可求出k的值.(2)函数()fx与()gx的图象有且只

有一个公共点,即()210110310xxxa++=有且只有一个解，且0a，然后换元()100xtt=转化为方程()21310atat−+−=在()0,+有且只有一个实根，根据二次方程根的分布求解.【小问1详解】解：因为()fx为偶函数.所以()()

fxfx−=，即()()22lg101lg101xxkxkx−++=+−.所以2221012lglg102101xxxkxx−+===+，解得1k=.所以1k=【小问2详解】解：由已知，方程()()22101lg103lg101lg10xxxxaax++=+−=有且

只有一个解.所以()210110310xxxa++=有且只有一个解，且0a.整理得()211031010xxaa−+−=.令100xt=，则方程()21310atat−+−=在()0,+有且只有一

个实根.当1a=时，33t=，满足题意.当1a时，设方程对应的二次函数为()()2131utatat=−+−.抛物线开口向上，对称轴()3021ata−=−，且()010u=−，此时方程必有一个正实数根，满足.当10a

时，抛物线开口向下，对称轴()3021ata−=−，且()010u=−，故234(1)0aa=+−=，解得23a=或2a=−.综上，实数a的取值范围是)21,3+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com