【文档说明】天津市经济技术开发区第一中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试卷 含解析.doc，共(17)页，1.271 MB，由小赞的店铺上传

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天津开发区第一中学2020-2021学年度第一学期二年级数学学科阶段检测12月一､选择题：(每小题4分，共48分)1.已知(2,0),M−(2,0),N||||3PMPN−=，则动点P的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线左边一支C.一条射线D.双曲线右边一支————D分析：根据双曲线的定义直接得

到结果.解答：3PMPNMN−=且PMPN动点P的轨迹为双曲线的右边一支故选：D点拨：本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误.2.抛物线24yx=的焦点坐标是（）A.()1,0B.()0,1C.1,016D.10,16———

—D分析：将抛物线化简成标准形式再分析即可.解答：24yx=即214xy=,故抛物线焦点在y轴上,11248pp==,焦点纵坐标为1216p=.故焦点坐标为10,16故选：D点拨：本题主要考

查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.3.已知等差数列na的前n项和为nS，若345216++=aaa，则7S的值为（）A.28B.42C.56D.14————A分析：根据等差数列下标和性质可得44a=，再利用等差数列

前n项和公式计算可得；解答：解：因为等差数列na的前n项和为nS，且345216++=aaa所以4416a=，即44a=所以()177477282aaSa+===故选：A4.记nS为等差数列{}na的前n项和，若4524aa

+=，648S=，则{}na的公差为（）A.1B.2C.4D.8————C分析：根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差．解答：设等差数列{}na的公差为d，则45111342724aaadadad

+=+++=+=，611656615482Sadad=+=+=，联立11272461548adad+=+=，解得4d=.故选：C.点拨：本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题．5.已知数列na的前n项和为nS，212nnnaaa+++=，

且113a=，211a=，则当nS取得最大值时，n=()A.5B.6C.7D.8————C分析：由题意，可得数列{}na为等差数列，求得数列{}na的通项公式为152nan=−，进而得到当17,nnN+时，0na，当8,n

nN+时，0na，即可得到答案.解答：由题意，数列{}na满足212nnnaaa+++=，即211nnnnaaaa+++−=−，所以数列{}na为等差数列，设等差数列{}na的公差为d，则222daa=−=−，所以数列{}na的通项公式为2(1)13(

1)(2)152naandnn=+−=+−−=−，令0na，即1520n−，解得152n，所以当17,nnN+时，0na，当8,nnN+时，0na，所以数列{}na中前7项的和7S最大，故选

C.点拨：本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.等差数列na的首项为1，公差不为0．若2a

、3a、6a成等比数列，则na的前6项的和为（）A.24−B.3−C.3D.8————A分析：根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d，由此求得na的前6项的和.解答：设等差数列na的公差为d，由2a、3a、6a成等比数列可得2326a

aa=，即2(12)(1)(15)ddd+=++，整理可得220dd+=，又公差不为0，则2d=−，故na前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422Sad−−=+=+−=−.故选：A7.已知双曲线2222

:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线方程为52yx=，且与椭圆221123xy+=有公共焦点.则C的方程为（）A.221810xy−=B.22145xy−=C.22154xy−=D.22143xy−=————B分析：根据已知可得52ba=，双曲线焦距26c

=，结合,,abc的关系，即可求出结论.解答：因为双曲线的一条渐近线方程为52yx=，则52ba=.①又因为椭圆221123xy+=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c=，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9.②由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为22145xy−=.故选：B

.点拨：本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.8.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx⊥轴，直线AB交y轴于点P．若2

APPB=，则椭圆的离心率是（）A.32B.22C.13D.12————D分析：解答：由于BF⊥x轴，故2,BBbxcya=−=，设()0,Pt，由2APPB=得()21,2,22batttacea−=−−=

=，选D.考点：椭圆的简单性质9.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为22，则mn的值是（）A.22B.233C.922D.2327————A分析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直线方程与椭

圆方程联立，消去y，得x的一元二次方程，由韦达定理得12xx+，从而可表示出MN的中点的坐标，由已知斜率可求得mn．解答：由2211mxnyyx+==−得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2nmn+，所以y1＋y2＝2

mmn+，所以线段MN的中点为P(,)nmmnmn++，.由题意知，kOP＝22，所以22mn=．故选：A.点拨：本题考查椭圆弦中点的性质．掌握此性质本题易解：椭圆22221xyab+=的弦AB的中点为M，则22ABOMbkka=−．10.已知等比数列{}na中的各

项均为正数，356aae=，则1210lnlnlnaaa+++的值为()A.30B.15C.5D.3————B分析：由等比数列的性质可得31102956aaaaaae====，再根据对数的运算，即可求解.解答：由题意，等比数列{}n

a中的各项均为正数，满足356aae=，由等比数列的性质可得31102956aaaaaae====所以35121012310lnlnlnlnln()15ln15aaaaaaaee+++====，故选B.点拨：本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟练应用

等比数列的性质，以及熟练应用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11.已知抛物线2:2Cyx=，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于,AB两点（,AB均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为（）A.2B.3C.32D.4————C分析：设

A（212t，12t），B（222t，22t），由OA⊥OB，利用斜率计算公式可得kOA•kOB＝﹣1，得出t1t2＝﹣1．又kAB121tt=+，即可得出直线AB恒过定点，由此可得结论．解答：设A（212t，12t），B（222t，22t

）．由OA⊥OB，得1222122222tttt=−1，得出t1t2＝﹣1．又kAB1222121222122tttttt−==−+，得直线AB的方程：y﹣2t1121tt=+（x﹣2t12）．即x﹣

（12tt+）y﹣2＝0．令y＝0，解得x＝2．∴直线AB恒过定点D（2，0）．∴抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为FD=21322−=，故选C．点拨：本题考查了抛物线中直线过定点问题的求解与应用，涉及斜率计算

公式与直线方程的形式，属于中档题．12.已知椭圆()222210xyabab+=的左右焦点分别为1F、2F，过点2F的直线与椭圆交于,AB两点，若1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.22B.23−C.52−D.63−————D试题分析

：设1212,FFcAFm==，若1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴1ABAFm==，12BFm=．由椭圆的定义可知1FAB的周长为4a，∴422amm=+，2(22)ma=−．∴22(222)AFama=−=−．∵2222112AFAFF

F+=，∴222224(22)4(21)4aac−+−=，∴2962e=−，63e=−．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解

答中，若1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，得出1ABAFm==，12BFm=，再由椭圆的定义，得到1FAB的周长为4a，列出,ac的关系式，即可求解离心率.二､填空题：(每小题3分，共24分)13.方程22

121xymm−=−表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______.————103m分析：焦点在y轴上的椭圆的标准方程为22221yxab+=，其中0ab，由此可得120mm−，解之即得实数m的取值范围.解答：∵方程22121xymm−=−表示焦点在y轴上的椭圆

，∴该椭圆的标准方程为22112yxmm+=−，满足120mm−，解之得103m故答案为：103m点拨：本题已知椭圆是焦点在y轴的椭圆，求参数m的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题.14.数列na的前n项的和22=+nSn，则此数列的通项公式na

=______.————3,121,2nnann==−分析：根据11,1,2nnnSnaSSn−==−计算可得；解答：解：因为数列na的前n项的和22=+nSn，当1n=时，112123Sa==+=，当2n时，()21221221nnnaSn

Snn−==+−−−=−−所以3,121,2nnann==−故答案为：3,121,2nnann==−15.设等比数列na满足12–1aa+=，13––3aa=，则4a=___________．————-8分析：由条件结合等比数列的通项公

式可得1121113aaqaaq+=−−=−，从而得出答案.解答：因为na为等比数列，设公比为q．121313aaaa+=−−=−，即1121113aaqaaq+=−−=−①②，显然1q，10a，②①得13q−=，即2q=−，代入①式可得1

1a=，所以()3341128aaq==−=−．点拨：本题考查利用等差数列的通项公式求基本量和求数列中的项，属于基础题.16.已知双曲线C：22221xyab−=(0a，0b)的离心率为3，则点()3,0到双曲线C渐近线的距离为______.————6分析：由

双曲线的离心率求出222ba=，即可求出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算可得；解答：解：因为双曲线C：22221xyab−=(0a，0b)的离心率为3，即3==cea，所以223ca=，即2223ab

a+=，所以222ba=，所以双曲线的渐近线为2yx=则点()3,0到渐近线的距离()()2232621d==+−故答案为：617.已知数列nb的通项公式为132nnbn−=+，则其前n项和nT=______.————()31212nnn++−【分析】利用分组求和法求和即可

；解答：解：因为132nnbn−=+所以()0113123222nnTn−=++++++++()1123212nnn+−=+−()31212nnn+=+−故答案为：()31212nnn++−点拨：数列求和的方法

技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18.数列na

中，若11a=，11nnnaan+=+，则na=______.————1n分析：依题意可得数列nna为常数数列，即可得解；解答：解：因为11a=，11nnnaan+=+，所以()11nnnana++=，即数列nna为常数数列，1nna=，所以1nan=

故答案为：1n19.抛物线28yx=的焦点为F，点(5,4)A，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长的最小值为________．————12分析：求PAF周长的最小值，即求PAPF+的最小值，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，问题转化为求PAPD+的最小值，根据平面

几何知识,当,,DPA三点共线时PAPD+最小，由此即可求出PAPF+的最小值，从而可得结果.解答：抛物线28yx=的焦点为()2,0F，点()5,4A，求PAF周长的最小值，即求PAPF+的最小值，

设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知PFPD=，因此，PAPF+的最小值，即PAPD+的最小值，根据平面几何知识,可得当,,DPA三点共线时PAPD+最小，因此最小值为()2527Ax−−=+=，()()2252405AF=−+−=，PAF周长的最小值为7512+=，故答案为12

.点拨：本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点

的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.20.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线被圆22650xyx+−+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．————62圆的标准方程为22(3)4xy−+=，

圆心为(3,0)，半径为2r=，一条渐近线方程为0bxay−=，圆心到渐近线距离为223bdab=+，因为弦长为2，所以222223()21bab=−+，所以62cea==．三､解答题：21.已知抛物线C：y2

=4x，其焦点为F，直线过点P（﹣2，0）（1）若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）若直线l与抛物线交于不同的两点A、B，求|FA|+|FB|的取值范围．————（1）y=0或x2

y+2=0（2）(6,+∞)分析：（1）当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求得k值，则直线方程可求.（2

）联立联立()224ykxyx=+=，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，利用判别式大于0求得k的范围，再由抛物线的焦半径公式及根与系数的关系可得212244kxxk−+=．则|FA|+|

FB|的取值范围可求．解答：（1）如图，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），联立()224ykxyx=+=，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．由△=（4k2﹣

4）2﹣16k4=﹣32k2+16=0，解得k=22．∴直线方程为y=()222x+．综上，若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l的方程为：y=0或y=()222x+；（2）联立联立()224ykxyx=+=

，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．当k≠0时，由△=﹣32k2+16＞0，得﹣22＜k＜22．∴﹣22＜k＜0或0＜k＜22．212244kxxk−+=．|FA|=1112pxx+=+，|FB|=2212pxx+=+，则

|FA|+|FB|=21222444222kxxkk−++=+=−+，∵0212k＜＜，∴212k＞，则﹣2+24k＞6．∴|FA|+|FB|的取值范围是（6，+∞）．点拨：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．2

2.设数列na满足123(21)2naanan+++−=.（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan+的前n项和．————(1)221nan=−；(2)221nn+.分析：（1）

利用递推公式,作差后即可求得na的通项公式.（2）将na的通项公式代入,可得数列21nan+的表达式.利用裂项法即可求得前项和.解答：（1）数列na满足()123212=naanan+++−2n时,(

)()12132321naanan+++−−﹣＝∴()212nna−=∴221nan=−当1n=时,12a=,上式也成立∴221nan=−（2）21121(21)(21)2121nannnnn==−+−+−+∴数列21nan+的前n项和1111113352121n

n=−+−++−−+1212121nnn=−=++点拨：本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.23.已知正项等比数列{}na满足11a=，且1a，22a+，3a依次成等差数列.（Ⅰ）求{}na的通项

公式；（Ⅱ）设1(25)nnbna+=−，求数列{}nb的前n项和nT.————（Ⅰ）13−=nna（Ⅱ）1(3)39nnTn+=−+分析：（Ⅰ）由题意，设na的公比为q，根据题意，求得公比3q=，进而利用等比数列的通项公式，即可求解.（Ⅱ）由（1）得()253nnbn=−，利用乘

公比错位相减法，即可求解数列nb的前n项和.解答：（Ⅰ）设na的公比为q.因为1a，22a+，3a依次成等差数列，()21322aaa+=+,所以()2221qq+=+所以2124qq+=+.解得3q=（负值舍去）.所以1113nnnaaq−−

==.（Ⅱ）依题意，()()125253nnnbnan+=−=−.故123433131333nT=−−+++()253nn+−，2345333131333nT=−−+++()1253nn++−.故1234233232323nT−=−++

++()123253nnn++−−.故1234223232323nT−=++++()12325315nnn++−−−，即()()1313222531513nnnTn+−−=−−−−，整理得()1339nnTn+=−+.点拨：本题主要考

查等差、等比数列的通项公式、数列的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.24.

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为1F，2F，且12||2FF=，点3(1,)2在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过1F的直线l与椭圆C相交于,AB两点，且2AFB的面积为1227，求以2F

为圆心且与直线l相切的圆的方程.————(1)22143xy+=(2)(1)yx=?分析：（1）由122FF=可以求出1c=，将点31,2代入椭圆方程可以解出2a与2b的值，即可得出答案；（2）当直线l与x轴垂直时，可以求出,AB两点的坐标，即可求出

2AFB的面积，经计算不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式可以表示出AB，利用点到直线的距离公式可以表示出2F到直线l的距离，进而得到2AFB的面积表达式，求得k的值即可得到直线的方程．解答：（1）因为122FF=所以

1c=，又点31,2在该椭圆上，所以221914ab+=，又221ab=+，解得24a=，23b=，所以椭圆C的方程为22143xy+=.（2）①当直线l与x轴垂直时，可得331,122AB，，−−−，2AFB的面积为3，不符合题意．②当直线l与x轴不

垂直时，设直线l的方程为()1ykx=+，代入椭圆的方程得22223484120kxkxk+++−=，显然0成立，设()()1122,AxyBxy，，则2122834kxxk+=−+，212241234kxxk−=+，所以()(()22222121212122121()()1[)434

kABxxyykxxxxk+=−+−=++−=+，用点到直线距离公式可得2F到直线l的距离221kdk=+，所以2AFB的面积4221121222347kkSABdk+===+，化简得4217180kk

+−=解得1k=，因此直线的方程为10xy−+=或10xy++=.点拨：处理涉及直线和圆锥曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整体运算（把12xx+或12xx看作一个整体）．