【文档说明】（全国1卷）2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学（一）含答案.doc，共(18)页，1017.771 KB，由小赞的店铺上传

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2021届高三第二次模拟考试卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交

。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，()20,Bxxxx=−Z，则AB=（）A．0,2,3,4B．0,2C．3,4D．0,1,22．复数4i1+3i的虚部为（）A．1B．1−C．i−D

．i3．已知2log7a=，3log8b=，0.20.3c=，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cbaC．bcaD．cab4．命题:{|19}pxxx，2360xax−+，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．37aB．13aC．12a

D．13a5．已知函数()π2sin4fxx=+π2图象的一个对称中心为()3,0，为了得到函数()π2cos4gxx=的图象，只需将函数()fx的图象（）A．向左平移1个单位长度B．向左平移π

4个单位长度C．向右平移1个单位长度D．向右平移π4个单位长度6．已知函数()22cossinxxxxfxee−−=+，则函数()fx的大致图象是（）A．B．C．D．7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记

载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于

十寸)，则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长8．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题

为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π3=），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（）A．55B

．50C．45D．409．已知抛物线()2:20Cxpyp=的焦点为圆()2212xy+−=的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A、B两点，则AB=（）A．12B．14C．16D．1810．已知向量ae，1=e，对任意tR恒有t−−aea

e，则（）A．⊥aeB．()⊥−aaeC．()⊥−eaeD．()()+⊥−aeae11．已知四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号ABCD，2AB=，若四棱锥PABCD−外接球的

体积为82π3，则该四棱锥的表面积为（）A．43B．63C．83D．10312．已知函数()()221ln202xaaxfxeexaxa−−=++−−，若()fx有2个零点，则a的取值范围是（）A．(

0,eB．()20,eC．(),e+D．)2,e+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．正实数x，y满足：21xy+=，则当21xy+取最小值时，x=________．14．已知圆222)1)5:((Cxy−+−=及点(0,2)A，

点P、Q分别是直线20xy++=和圆C上的动点，则||||PAPQ+的最小值为___________．15．设函数()212221xxfxx−−=++，若对xR，不等式()()24fmxfx+成立，则实数m的取值范围是_________．16．在ABC△中，a，b，c，分别为角A，B

，C的对边，且cos3sintancBbCaC−=．若ABC△的内切圆面积为4π，则ABC△面积S的最小值_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列na的前n项和为nS，若2nSnkn=−+(*kN)，

且nS的最大值为25．（1）求k的值及通项公式na；（2）求数列112nan−的前n项和nT．18．（12分）在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：年份20

1520162017201820192020年份代码x123456学生人数y(个)666770717274（1）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留

整数)．附：对于一组数据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy，其回归直线方程ˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆaybx=−；(参考数据：61628iiixyxy=−=)．19．（12分）

如图，在直三棱柱111ABCABC−中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：1AB∥平面1BCD；（2）若12AAAB=，求点1B到平面1BCD的距离．20．（12分）已知椭圆()2222

:10xyCabab+=的两焦点为()11,0F−，()21,0F，点P在椭圆C上，且12PFF△的面积最大值为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M为椭圆C的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l与椭圆C相交于,AB两点（,AB

均不是椭圆C的右顶点），且满足AMBM⊥，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数()1xfxeax=−−．（1）当1a=时，求()fx的极值；（2）若2()fxx在[0,)+上恒成立，求实数a

的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C的参数方程为sincos2xy==（

为参数），直线2C的极坐标方程为π6=−．（1）将1C的参数方程化为普通方程，2C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求与直线2C平行且与曲线1C相切的直线l的直角坐标方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|31|2|3|fxxx=−+−．（1）若关于x的方程|

31|2|3|xxa−+−=有两个不同的实数根，求a的取值范围；（2）如果不等式()fxbx的解集非空，求b的取值范围．文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由集合()()150,Axxxx=+−Z，得0,1,2,3,4A=，()20,{|0Bxxxxxx=−=Z或2,}xxZ，所以0,2,3,4AB=，故选A．2．【答案】A【

解析】()4i13i4i3i413i−==++，所以虚部为1，故选A．3．【答案】B【解析】因为2logyx=在()0,+上单调递增，因为478，所以2222log4log7log83==，所以23a，因

为3logyx=在()0,+上单调递增，389，所以3331log3log8log92==，所以12b，因为0.3xy=在R上单调递减，0.20，所以0.2000.30.31=，即0

1c，所以cba，故选B．4．【答案】C【解析】命题:{|19}pxxx，使2360xax−+为真命题，即{|19}xxx，使2360xax−+成立，即36axx+能成立，设36()fxxx=+，则3636()212fxxxxx=+

=，当且仅当36xx=，即6x=时，取等号，即min()12fx=，12a，故a的取值范围是12a，故选C．5．【答案】A【解析】因为函数()fx图象的一个对称中心为()3,0，所以3ππ4k+=，kZ，所以3ππ

4k=−，kZ，又π2，所以π4=，所以()ππ2sin44fxx=+，因为()()πππππ2cos2sin2sin144244gxxxx==+=++，所以为了得到()π2cos4gxx=的图象，只需将函数()fx的图象向左平移1个单位长度，

故选A．6．【答案】B【解析】函数()22cossinxxxxfxee−−=+的定义域为R，且()()fxfx−=，所以函数()fx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项A，D；因为()1012f=，所以排除选项C，

故选B．7．【答案】C【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{}na，其中115a=寸，13135a=寸，公差为d寸，则1351512d=+，解得10d=（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}nb，首项11

35b=，末项1315b=，公差10d=−（单位都为寸），故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；春分的晷长为7b，7161356075bbd=+=−=，秋分的晷长为7a，716156075aad=+=+=，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；小雪的晷长为

11a，1111015100115aad=+=+=，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；立春的晷长，立秋的晷长分别为4b，4a，413153045aad=+=+=，41313530105bbd=+=−=，44ba，故立春的晷

长比立秋的晷长长，故D正确，故选C．8．【答案】C【解析】直角三角形的斜边长为2281517+=，设三角形内切圆的半径为r，面积为S，利用等面积法可知()118158151722Sr==++，解得3r

=，向该直角三角形内随机抛掷100颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x，则利用几何概型可知2π311008152x=，解得2π31004518152x==颗，所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45，故选C．

9．【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为()0,1，则12p=，即2p=，则抛物线方程为24xy=，直线AB的倾斜角为60°，则斜率为3，故直线AB的方程为31yx=+，联立直线与抛物线2431xyyx==+，可得24340xx−−=，设()11,

Axy，()22,Bxy，则1243xx+=，124xx=−，则()()213434416AB=+−−=，故选C．10．【答案】C【解析】对任意tR恒有t−−aeae，22t−−aeae，即2222222tt−+−+aa

eeaaee，即()22210tt−+−aeae对任意tR恒成立，则()()()222421410Δ=−−=−aeaeae，1=ae，故a和e不垂直，故A错误；ae，1=e，22()1

0−=−=−aaeaaea，故B错误；2()110−=−=−=eaeaee，()⊥−eae，故C正确；222()()10+−=−=−aeaeaea，故D错误，故选C．11．【答案】B【解

析】设四棱锥PABCD−外接球的球心为O，过O作底面ABCD的垂线，垂足为M，因为四边形ABCD是长方形，所以M为底面中心，即对角线ACBD、的交点，过O作三角形APD的垂线，垂足为N，所以N是正三角形APD外心，设外接球半径为r，外接球的体积为382π4π33r

=，所以2r=，即2OA=，过N作NEAD⊥，则E是AD的中点，连接EM，所以112EMAB==，EMAD⊥，因为平面APD⊥平面ABCD，平面APD平面ABCDAD=，所以NE⊥平面ABCD，所以//NEOM，所以E

M⊥平面APD，所以//EMON，所以四边形MENO是平行四边形，即OMNE=，设2ADx=，则2221AMAEEMx=+=+，11333323NEPEADx===，所以33OMNEx==，由勾股定理得222OAOMAM=+，即221213xx=++，解得32x=，所

以3AD=，2133sin6024PADSAD==△，因为////CDABOM，所以AB⊥平面APD，CD⊥平面APD，所以PAAB⊥，PDCD⊥，132PABPCDSSABAP===△△，因为227PBPCPAAB==+=，3BC=，作PHBC⊥于H，所以H

为BC的中点，所以221357242PHPBBC=−=−=，所以15324PBCSPHBC==△，23ABCDS=矩形，所以63PADPABPCDABCDSSSSS=+++=△△△表矩

形，故选B．12．【答案】C【解析】()0fx=可转化为2212ln2xaaxexaxe−−+−=−+．设()2xaaxgxee−−=+−，由基本不等式得2220xaaxxaaxeeee−−−−+−−=，当且仅当xa=时，()gx取到最小值0．设()()2

21ln02hxxaxa=−+，则()222aaxhxxxx−=−+=，当0xa时，()0hx，()hx单调递增；当xa时，()0hx，()hx单调递减，所以当xa=时，()hx取到最大

值221ln2aaa−+．若()fx有2个零点，则()gx与()hx有两个交点，此时221ln02aaa−+，解得ae，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】13【解析】0x，0y，21xy+=，()2121222225525249yxyxxyxyxyx

yxy+=++=+++=+=，当且仅当22yxxy=，即13xy==时，等号成立．故答案为13．14．【答案】25【解析】如图所示：设点A关于直线:20lxy++=的对称点为(),Axy，则2202221xyyx+++=−=，解得42xy=−=−

，则()4,2A−−，因为PAPA=，所以PAPQ+的最小值为()()224221525ACr−=−−+−−−=，故答案为25．15．【答案】4,4−【解析】函数()212221xxfxx−

−=++的定义域为R，()()()()221122222211xxxxfxfxxx−−−−−−−=+=+=++−，所以，函数()fx为偶函数，当0x时，()()2122312321121xxxfxxx−−+=+=+−++，由于函数1

22xy=为减函数，2231yx=+在)0,+上为减函数，所以，函数()212221xxfxx−−=++在)0,+上单调递减，由()()24fmxfx+可得()()24fmxfx+，可得24mxx+，所以，240xmx−+对任意

的xR恒成立，设0tx=，则240tmt−+对任意的0t恒成立，由于二次函数24ytmt=−+的对称轴为直线02mt=，2160Δm=−，解得44m−，因此，实数m的取值范围是4,4−，故答案为4,4−．16．【答案

】123【解析】因为cos3sintancBbCaC−=，所以()3sinsincoscossinBCBCA−=，即()3cossinBCA−+=，所以3cossinAA=，即tan3A=，π3A=，由题意知ABC△内切圆的半径为2

，如图，内切圆的圆心为I，,MN为切点，则4AI=，23AMAN==，从而43abc=+−，由余弦定理得()22243bcbcbc+−=+−，整理得()34883163bcbcbc+=+，解得48bc或163bc（舍去），从而113sin48123222SbcA==，即ABC△面积

S的最小值为123，故答案为123．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）10k=，211nan=−+(*nN)；（2）434993nnnT+=−．【解析】（1）由题可

得2224nkkSn=−−+，*kZ，所以当k为偶数时，()2max2254nkkSS===，解得10k=；当k为奇数时，()21max21254nkkSS+−===，此时k无整数解，综上

可得：10k=，210nSnn=−+．①1n=时，119aS==．②当2n时，()()()()221101101211nnnnnnnnaSS−=−+−−−+−=−+=−，当1n=时也成立．综上可得211nan=−+，所以10k=，211nan=−

+(*nN)．（2）112224nannnnn−−==，1212444nnnT=+++①231112144444nnnnnT+−=++++②两式相减得21311144444nnnnT+=+++−，1111131144144334414nn

nnnnnT++−=−=−−−，则14199434nnnnT−=−−，则434993nnnT+=−．18．【答案】（1）1.664.4yx=+；（2）75．【解析】（1）由题意，1234563.56x+++++==，666770717274706y+++++==，

()()()()7222222212.51.50.50.51.52.517.5iixx=−=−+−+−+++=，()171277281.617.5iiiiixxxyxyb==−−===，701.63.564.4aybx=−=−=$$，∴y关于x的线性回归方程为1

.664.4yx=+．（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x=，此时1.6764.475.6y=+=，保留整数为75人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75人．19．【答案】（1）证明见解

析；（2）41717．【解析】（1）设11BCBCE=，连接DE，由直棱柱的性质可知四边形11BCCB是矩形，则E为1BC的中点，因为D是AC的中点，所以1//DEAB，因为1AB平面1BCD，DE平面1BCD，所以1//AB平面1BCD．（2）连接1AC，由（1）知1//AB平面1BCD，所

以点1B到平面1BCD的距离等于点A到平面1BCD的距离，因为底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，所以BDAC⊥，因为2AB=，所以1AD=，则3BD=，从而ABD△的面积为131322=，故三棱锥1CABD−的

体积为13234323=，由直棱柱的性质可知平面ABC⊥平面11ACCA，则BD⊥平面11ACCA，因为1CD平面11ACCA，所以1BDCD⊥，又221117CDCCCD=+=，所以1BCD△的面积为151317

22=，设点A到平面1BCD的距离为h，则15123323h=，解得41717h=，故点1B到平面1BCD的距离为41717．20．【答案】（1）22143xy+=；（2）证明见解析，定点坐标为2,07．【解析】（1）由椭圆的对称性可知：当点P落在椭圆的短轴的两个端点时，12P

FF△的面积最大，此时1232b=，解得3b=，由222abc=+，得2314a=+=，椭圆C的标准方程为22143xy+=．（2）设()11,Axy，()22,Bxy，直线l的方程为ykxm=+，

联立22143ykxmxy=++=，得()()222348430kxmkxm+++−=，则()()222264163430Δmkkm=−+−，即22340km+−，122834mkxxk+=−+，()21224334mx

xk−=+．()()()()22221212121223434mkyykxmkxmkxxmkxxmk−=++=+++=+．椭圆的右顶点为()2,0M，AMBM⊥，0MAMB=，()()1212220xxyy−−+=，即()121212240yyxxxx+

−++=，()()22222234431640343434mkmmkkkk−−+++=+++，整理可得2271640mkmk++=，解得12mk=−，227km=−，（1m，2m均满足22340km+−）．当2mk=−时，l的方程为()2ykx=−，

直线l过右顶点()2,0，与已知矛盾；当227km=−时，l的方程为27ykx=−，过定点2,07，直线l过定点，定点坐标为2,07．21．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）

(,2]e−−．【解析】（1）当1a=时，()1xfxex=−−，所以()1xfxe=−．当0x时，()0fx；当0x时，()0fx，所以()fx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，所以当0x

=时，函数()fx有极小值(0)0f=，无极大值．（2）因为2()fxx在[0,)+上恒成立，所以210xexax−−−在[0,)+上恒成立．当0x=时，00恒成立，此时aR；当0x时，1()xeaxxx−+在(0,)+上恒成立．令1()()xegxxxx=−+，则2

222(1)1(1)((1))()()xxexxxexgxxxx−−−−+=−=．由（1）知0x时，()0fx，即(1)0xex−+．当01x时，()0gx；当1x时，()0gx，所以()gx在(0,1)上单调递

减，在(1,)+上单调递增，所以当1x=时，min()2gxe=−，所以2ae−，综上可知，实数a的取值范围是(,2]e−−．22．【答案】（1）2112:yxC=−，()2:330,0Cxyx+=；（2）325324yx=−+．【解析】（

1）因为曲线1C的参数方程为sincos2xy==（为参数），所以2sin12sinxy==−，消去，得212yx=−．因为直线2C的极坐标方程为π6=−，所以πsin3tantan6cos3

=−==−，即33yx=−，所以()330,0xyx+=．（2）设切线方程为33yxb=-+，由23312yxbyx=−+=−，得232103xxb−+−=，所以()238103Δb=−−−=，解得2524b=，所以切线方程是32

5324yx=−+．23．【答案】（1）16|3aa；（2）5bb−∣或83b．【解析】（1）57,31()31235,33157,3xxfxxxxxxx−=−+−=+−+，当3x时，函数()

fx单调递增，并且()8fx；当133x时，函数()fx单调递增，并且16()3fx；当13x时，函数()fx单调递减，并且16()3fx，综上：当13x时，函数()fx单调递增，当13x时，函数()fx单调递减，且16()3fx．作出()fx的图象如图所示：要使

关于x的方程|31|2|3|xxa−+−=有两个不同的根，则a的取值范围16|3aa．（2）因为(3)8f=，记点(3,8)M，坐标原点为(0,0)O，则直线OM的斜率为83k=．当直线ybx=与57yx=−+平行时，无交点，所以当5b

−或83b时，该直线与函数()|31|2|3|fxxx=−+−的图象相交．因为不等式()fxbx的解集非空，所以b的取值范围是5bb−或83b．