【文档说明】广东省广州市番禺区广东第二师范学院番禺附中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(19)页，3.043 MB，由小赞的店铺上传

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二师附中2019-2020学年第一学期高二级期末测试数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.椭圆22143xy的离心率为（）A.14B.12C.34D.32【答案】B【解析】【分析】由

椭圆方程得到,ab的值，然后由222abc求得c的值，进而求得离心率.【详解】根据椭圆标准方程，得2,3ab，故221cab，所以椭圆的离心率为12ca.故选B.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的标准方程写出,ab，根据椭圆的几何性质求离心率，属于基础题

.2.在等差数列{}na中，若2466aaa，则35aa（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质得到42a，35aa42a得到答案.【详解】据已知得：246436aaaa，所以42

a，35aa424a故选B【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．3.已知:2px，:1qx，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将命题,pq转化为集合{|2}Axx和{|1}Bxx,再根

据集合A与B之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得.【详解】设命题p:2x对应的集合为{|2}Axx,命题q:1x对应的集合为{|1}Bxx,因为AB,所以命题p是命题q的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合之间

的关系,属基础题.4.已知向量(1,1,0)a，(1,0,2)b，且kab与2ab互相垂直，则k的值是（）A.-1B.43C.53D.75【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直数量积为0的性质求解．【详解】∵向量a（1，1，0），b（﹣

1，0，2），∴kab（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2ab（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，2），∵kab和2ab互相垂直，∴（kab）•（2ab）＝31240kk解得k75．故选D．【点睛】本题考

查向量垂直时实数的值的求法，解题时要认真审题，是基础题．5.已知双曲线22214yxb的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是A.12yxB.22yxC.2yxD.2yx【答案】D【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，然后利用点

到直线距离公式，得到关于b的方程，结合24cb，解方程求出b，最后确定双曲线的渐近线方程，选出正确答案.【详解】根据双曲线的对称性，可设双曲线22214yxb的一个焦点坐标为(0,)c，一条渐近线方程为：20xby，由题意可知：214bcb而24cb，所以

1b，因此双曲线方程为：2yx，故本题选D.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了数学运算能力.6.若等差数列na的首项为1，公差为1，等比数列nb的首项

为-1，公比为-2，则数列nnab的前8项和为（）A.-49B.-219C.121D.291【答案】C【解析】【分析】先记等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前n项和为nT，根据等差数列与等比数列

的求和公式，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列na的首项为1，公差为1，等比数列nb的首项为-1，公比为-2，记等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前n项和为nT，则数列nn

ab的前8项和为88811(2)8(81)811121212ST.故选C【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记分组求和的方法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.7.如图所示，在长方体1111ABC

DABCD中，M为11AC与11BD的交点．若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（）A.1122abcB.1122abcC.1122abcD.1122abc【答案】A【解析】【分析】连接AC,BD交于点N,

11122BMBDNMADABAA,代入整理即可【详解】由题,连接AC,BD交于点N,则11111122222BMBDNMADABAAbacabc故选A【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属

于基础题8.如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为线段11AC的中点，则异面直线DE与1BC所成角的大小为（）A.150B.30°C.120D.60【答案】B【解析】【分析】作出异面直线所成的角，解直角三角形求得异面直线所成角的大小.【详解】设O是AC与B

D的交点，根据正方体的性质可知1//,DEOBOC平面11BDDB，则1OCOB，所以1CBO是异面直线DE与1BC所成的角.设正方体的边长为1，则1222OCAC，12BC，所以在1RtBOC中111sin2OCCBOBC，所以130CBO.故选：B【

点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，属于基础题.9.若等差数列na的前n项和nS有最大值，且11101aa，那么nS取正值时项数n的最大值为（）A.15B.17C.19D.21【答案】C【解析】【分析】由题意知，nS有最大值，得0d，利用11101aa，可得111

00aa，且11100aa，再利用求和公式与数列的单调性即可判断出结论．【详解】解：由题意值，nS有最大值，所以0d，因为11101aa，可得11100aa，且11100aa，所以20120101110()

10()0Saaaa，则1910190Sa，又121011120aaaaaL，所以109210SSSSL，10111920210SSSSSL，又191231910119()0SSaaaaaL，所以19S为最小正值．故选C．【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知命题:p“0,1,xxae”，命题:q“2000,40xRxxa”.若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是()A.4,B.1,4C.,4eD.

,1【答案】C【解析】【分析】由题可知“pq”是真命题，则分别需要使两个命题为真，解出对应的a，再求交集即可【详解】对于命题:p0,1,xxae，xye在0,1x为增函数，则1aee对于命题:q2000,40xRxxa，即0

，解得4a，e,4a答案选C.11.在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：22221(0,0)xyabab的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为A.13B.3C.233D.23【答

案】A【解析】由题意易知：322ccP，，代入双曲线方程得：22223144ccab∴42840ee，∴2423e，即e13，又e1∴e13故选A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就

是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.如图，正方体1111ABCDABCD

的棱长为2，动点E、F在棱11AB上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若1EF，1AEx，DQy，DPz（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）．A.与x，y，z都有关B.与x有关，与y，z无关C.与y有关，与x，z无关D.与z有关，与x

，y无关【答案】D【解析】如图：EF在棱11AB上，Q在棱CD上，11ABCD∥，所以QEF△的高为定值，又EF为定值1，所以QEF△的面积为定值，四面体PEFQ的体积与点P到平面EFQ的距离有关，即与D

P的大小有关，故选D．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若

以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13.命题p：0x，xx，则p为______.【答案】00x，00xx【解析】【分析】根据全称命题

的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定.【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，注意到要否定结论，故p为：00x，00xx.故答案为：00x，00xx.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题.14.抛物线24yx的焦点

坐标是___________．【答案】10,16【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由24yx得214xy，所以抛物线的焦点在y轴上，且112,4216p

p，所以抛物线的焦点坐标为10,16.故答案为：10,16【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.15.设点A的坐标为1,15，点P在抛物线28yx上移动，P到直线2x的距离为d，则dPA的最小值为__________.【

答案】4【解析】【分析】根据抛物线的定义可知，当,,APF三点共线时，dPA取得最小值，由此求得这个最小值.【详解】抛物线的焦点为2,0，根据抛物线的定义可知，PFd，所以当,,APF三点共线时，dPA取得最小值，最

小值为1154AF.故答案为：4【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则

报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．【答案】5【解析】解：设第n个数为na，则有11nnnaaa．由递推公式可得，当报到第4k（125,kkN

）个数的时候，恰好是3的倍数，当k取4,9,14,19,24时，甲同学拍手一次，共5次．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.已知双曲线1C的离心率等于52，且与

椭圆2C：22194xy有公共焦点，（1）求双曲线1C的方程；（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆2C的焦距，求该抛物线方程.【答案】（1）2214xy（2）245yx或245xy【解析】【分析】（1）由椭圆2C的方程可得c的值及焦点的位置，结合离心率的值可

得a的值，最后得b，进而可得双曲线1C的方程；（2）由椭圆2C的焦距可得p的值，进而可得抛物线的方程.【详解】解：（1）由椭圆2C：22194xy得945c，焦点在x轴上，52ca，∴2a，1b所以双曲线方程为2214xy.（2）∵椭圆2C：22194xy的焦距为225c

，∴25p，抛物线方程为245yx，245xy【点睛】本题主要考查了由,,abc求双曲线的方程以及抛物线方程的求法，属于基础题.18.已知等差数列na满足：37a，5a与7a的等差中项为13.na的前n项和为nS.（1）求na以及nS；（2）若211nnbnNa

，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan，22nSnn（2）41nnTn【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,ad的形式列方程组，解方程组求得1,ad，由此求得na和

nS.（2）利用裂项求和法求得nT.【详解】（1）设等差数列na的公比为d，由31576127221026aadaaaad得132ad，∴1121naandn，21122nnnSnad

nn.（2）由题意可得2111111222nnnnbaaann11114141nnnn，∴123nnTbbbb1111111111114242343441nn

1114141nnn.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的知识，考查裂项求和法，属于中档题.19.已知数列{}na的

前n项和为nS，点(,)nnaS在直线22yx上，*nN(1)求{}na的通项公式；(2)若2(1)lognnnbnaa，求数列{}nb的前n项和nT．【答案】（1）2nna（2）1(1)22nnTn【解析】【分析】⑴由点在直线上

代入得到nnaS、的关系，然后求出通项公式⑵由（1）得2nnbn，运用错位相减法求出前n项和nT【详解】(1)点,nnaS在直线22yx上，*nN，22nnSa.当1n时，1122,aa则12a，当2n时，S22nna,1122nnSa

两式相减，得122nnnaaa,所以12nnaa.所以na是以首项为2，公比为2等比数列，所以2nna.(2)221log1log22nnnnnnbnaanan,123112223212

2nnnTnn,23412122232122nnnTnn,两式相减得:123122222nnnTn,所以1122nnTn.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用

，错位相减求和的运用，解题的关键是理解各个概念以及掌握求和的基本步骤．20.如图，直三棱柱111ABCABC中，D，E分别是AB，1BB的中点，122AAACCBAB.（1）证明：1//BC平面1ACD；（2）求直线1

AE与平面1ACD所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）63【解析】【分析】（1）利用中位线，结合线面平行的判定定理，证得1//BC平面1ACD.（2）建立空间直角坐标系，利用直线1AE的方向向量和平面1ACD的法向量，计算出线面角的正弦值，进而求

得其余弦值.【详解】（1）连结1AC，交1AC于点O，连结DO，则O为1AC的中点，因为D为AB的中点，所以1//ODBC，又因为OD平面1ACD，1BC平面1ACD，所以1//BC平面1ACD；（2）由122AAACCBAB可设：2ABa

，则12AAACCBa，所以ACBC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、1CC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则0,0,0C、12,0,2Aaa、22,,022aaD、20,2,2aEa

，12,0,2CAaa，22,,022aaCD，122,2,2aaaAE，设平面1ACD的法向量为,,nxyz，则0nCD且10nCA，可解得yxz，令1x，得平面1ACD的一

个法向量为1,1,1nr，设直线1AE与平面1ACD所成角为，则133sincos,333AEn，所以6cos3，所以直线1AE与平面1ACD所成角的余弦值为63．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法计算线面角的余弦值，

考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.如图，在直角梯形ABED中，//,ABEDABEB,点C是AB中点，且,24ABCDABCD,现将三角形ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面

PBC所成的角为45.(1)求证:平面PBC平面DEBC;(2)求二面角DPEB的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）77.【解析】【分析】（1）可证CD平面PBC，从而可证平面PBC平面DEBC.（2）以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线y轴OP所在的直线为

z轴建立空间直角坐标系,求出平面PDE和平面PEB的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】(1)证明:在平面ABED中，,ABCDBCCDPC为AC沿CD折起得到，PCCDPCBCCCD，平面PBC，又CD平面,DEBC平面PBC平面DEBC(2)解:在平面ABED中，//AB

CDABBECDEB，，由(1)知CD平面PBCEB，平面PBC，而PB平面PBC，故EBPB.由PE与平面PBC所成的角为45，得45EPB，PBE为等腰直角三角形，PBEB,//ABDE，又//CDEB，得2BECD,2P

B，故PBC为等边三角形，取BC的中点O,连结PO,,POBCPO平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线y轴OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则0,1,02,1,0BE，，2,1,00,0,3()DP，从而

0,2,02,0,01(23),,DEBEPE，，，设平面PDE的一个法向量为,,mxyz,平面PEB的一个法向量为,,nabc,则由00mDEmPE得20230yxyz

，令2z得3,0,2m，由00nBEnPE得20230aabc，令1c得0,3,1n，所以27cos772mnmnmn，

，设二面角DPEB的大小为，则为钝角且77cos，即二面角DPEB的余弦值为77【点睛】面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中

的角的计算.22.已知椭圆C的两焦点为11,0F，21,0F，且过点31,2P，直线l交曲线C于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若l不过点O且不平行于坐

标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若直线l过点0,2Q，求OAB面积的最大值，以及取最大值时直线l的方程．【答案】（1）22143xy（2）见解析（3）最大值3.522yx【解析】【

分析】（1）根据焦点求得c，结合P点坐标列方程组，解方程组求得,ab，进而求得椭圆的标准方程.（2）设出直线l的方程，联立直线l的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此计算出34OMkk为定值.（3）设出直线l的方程，联立直线l的方程和椭圆方程，写出韦达定理，根据弦长公式和点到直线的距离公式，

求得OAB面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式求得面积的最大值，以及此时直线l的方程.【详解】（1）由题意知有1c，且222232baabc，解得3,2ba，∴22143xy.（2）证明：设直线l的方程为0,0ykxbkb，设11,Axy，

22,Bxy，00,Mxy，则由22143ykxbxy可得223412xkxb，即2223484120kxkbxb，∴122834kbxxk，∴12024

234xxkbxk，20022433434kbbykxbbkk，0034OMykxk，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积4334OMkkkk为定值.（3）点11,Axy，22,Bxy

，由222143ykxxy可得22341640kxkx，，解得214k，1221634kxxk，122434xxk，∴21212121242AOBSxxxxxx22222216164143343434kk

kkk.设241kt，0,t，2143431648AOBtSttt，16816tt，当4t时，AOBS取得最大值3.此时2414k，即52k，所以

直线方程是522yx.【点睛】本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．