【文档说明】上海市静安区2021届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题 含答案.docx，共(8)页，308.372 KB，由小赞的店铺上传

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静安区2020学年第二学期教学质量检测高三数学试卷2021.04一.填空题（本大题共8题，每题6分，共48分）1．82)1(xx+的展开式中4x项的系数是．2．设变量x，y满足约束条件.,2,10yxyx则yxz+=的最大值为．3.已知奇函数)(xfy=

的周期为2，且当)1,0(x时，xxf2log)(=．则)5.7(f的值为．4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为．5．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数iimnnm++为虚数的概率为．6．某茶农打

算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为米．7．如图，在直角梯形ABCD中，BCAD//，90=ADC，2=AD，1=BC

，P为梯形的腰DC上的动点，则|3|PBPA+的最小值为．8．已知桶0A中盛有2升水，桶0B中盛有1升水．现将桶0A中的水的43和桶0B中的水的41倒入桶1A中，再将桶0A与桶0B中剩余的水倒入桶1B中；然后将桶1A中

的水的43和桶1B中的水的41倒入桶2A中，再将桶1A与桶1B中剩余的水倒入桶2B中；若如此继续操作下去，则桶nA()nN中的水比桶nB()nN中的水多升．11211222正视图俯视图侧视图第4题图二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）9．函数

)0(2=xxy的反函数为（）．A．)0(=xxy;B．)0(−=xxy;C．)0(=xxy;D．)0(−=xxy．10．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．年薪（万元）13595807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为（）．A．24.5（万

元）;B．25.5（万元）;C．26.5（万元）;D．27.5（万元）．11．在1,2,3,4,5,6,7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不

等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．A．204;B．260;C．384;D．480．三、解答题（本大题共有5题，共84分）12．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题满分8分）已知正方形ABED的边长为2，O为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，

使得点E移至点C，满足ACAB=．（1）求四面体ABCD的体积V;（2）请计算：①直线BC与AD所成角的大小;②直线BC与平面ACD所成的角的大小．第12题图ABEDCO13．（本题满分14分；第1小题7分，第2小题7分）设xaxxf−=2)((常数

aR)，且已知3=x是方程012)(=+−xxf的根．（1）求函数)(xfy=的值域;（2）设常数Rk，解关于x的不等式：.)1()()2(kxkxfx−+−14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）已知椭圆1222=+yx的左焦点为

F，O为坐标原点．（1）求过点F、O，并且与抛物线xy82=的准线相切的圆的方程;（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．15．（本题满分18分，第1小题6

分，第2小题6分，第3小题6分）将正奇数1,3,5,7,按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设),(Njiaij是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数．（1）设

1nnab=()nN，求数列nb的通项公式;（2）若2021=mna，求m、n的值;（3）若记这个数阵中第n行各数的和为nS，数列nS的前n项和为nT，求极限nnnST1lim−→的值．16．（本题满分22分，第1小题7分

，第2小题7分，第3小题8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点),(yxP绕坐标原点O旋转角至点)','('yxP．（1）试证明点的旋转坐标公式：+=−=.cossin',sincos'yxyyxx（2）设()2,0，点)1,0(−P绕坐标原

点O旋转角至点1P，点1P再绕坐标原点O旋转角至点2P，且直线21PP的斜率1−=k，求角的值;（3）试证明方程632=+xyx的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标．xyO第16题图第1行1第2行35第3行791113第15题

图静安区2020学年第二学期教学质量检测高三数学试卷答案与评分参考标准一.1．70；2．3；3．1；4．)23(+；5.65；6．5；7．5；8.n21．二、9．B；10．B；11．C．12．解：（1）由已知，有1==COAO，2=

=ACAB，222ACCOAO=+AOCO⊥①（2分）又由已知，有BDCO⊥②由①②可得CO是三棱锥ABDC−的高，（2分）所以，().311221312==V（2分）（2）分别以OA、OB、OC为坐标轴建立空间直角坐标系xyzO−．（1分）则有，)0,0,1(A，)0,1,0(B

，)1,0,0(C,)0,1,0(−D，（1分）()1,1,0−=BC，()0,1,1−−=AD，()1,0,1−=AC①设BC与AD所成角的大小为，则21||||||cos==ADBCADBC．故，BC与AD所成角的大小为60．（3分）②设()zy

xn,,=为平面ACD的一个法向量，BC与n所在的直线所成的角为,则==.0,0nACnAD即=+−=−−.0,0zxyx令1=x，得()1,1,1−=n..36322||||||cos=

==nBCnBC故，BC与平面ACD所成的角为）（或36arcsin36arccos2−.（3分）注：用几何的方法同样给分。13．解：（1）将3=x代入方程012)(=+−xxf，解得2=a，故xxxf−=2)(2．（2分）令xt−=2，则4422−+=−ttxx(

),80,−−+．（4分）故，xxxf−=2)(2的值域为(),80,−−+．（1分）ABEDCOzxy（2）kxkxfx−+−)1()()2((2x)，0)1(2++−kxkx(2x)，即，0))(1(−−kxx(2x)．（3分）

1）当)1,(−k时，不等式的解集为()1,k；（1分）2）当1=k时，不等式的解集为；（1分）3）当]2,1(k时，不等式的解集为()k,1．（1分）4）当),2(+k时，不等式的解集为()()k,22,1．（1分）14．解：抛物线x

y82=的准线为2−=x．（1分）圆过点F、O，圆心M在直线21−=x上．设−tM,21，则圆的半径为.23)2(21=−−−=r（2分）由rOM=，得.232122=+−t解得.2=t（2分）于是，所求

圆的方程为().4922122=++yx（1分）（2）设直线AB的方程为)0)(1(+=kxky，代入1222=+yx，整理得.0224)212222=−+++kxkxk（（2分）因为直线AB过椭圆的左焦点F

，所以方程有两个不相等的实根．记),(11yxA，),(22yxB，AB中点),(00yxN，则1242221+=+kkxx，200222,2112kkxykk==++．（1分）直线AB的垂直平分线NG的方程为).(100xxkyy−−=−（2分）令0=y，则.2

41211212122222222200++−=+−=+++−=+=kkkkkkkkyxxG（2分）因为0k，所以.021−Gx故，点G的横坐标的取值范围.0,21−（2分）15．解：（1）由已知，这个数阵

的第n行有12−n个数，所以，前1−n行一共有1222211221−=++++−−nn个数=nb1221)12(21−=+−−−nn()nN（6分）（用数学归纳法证明同样给分）（2）令202112−n，满

足不等式的最大整数为10．（3分）2021)1(21210=−+−n解得.500=n（3分）所以，.500,10==nm（3）由题意，nnnnnnnS24322)12(22)12(1111−=−+−=−−−−，（2分）212531nn=−++++，

122221122−=++++−−nn，()21112−=−−nnT，（2分）nnnST1lim−→()nnnn24312lim121−−=−−→.31243124lim11=−+−=−−→nnnnn（2分

）16．解：（1）设将x轴正半轴绕坐标原点O旋转角至点OP，rOP=，（1分）则，由任意角的三角比定义，有==sin,cosryrx和+=+=).sin('),cos('ryrx（2分）所以，+=−=.sincoscossin',sinsincoscos'

rryrrx（2分）将==sin,cosryrx代入，得+=−=.cossin',sincos'yxyyxx（2分）（2）方法1：设点1P，2P的坐标分别为),(11yx，),(22yx，由点的旋转坐标公式，有−==

cos,sin11yx与−==.2cos,2sin22yx（2分）由直线21PP的斜率1−=k，得1sin2sincos2cos−=−+−，cossin2cos2sin−=−)4s

in()42sin(−=−（2分）)4(242−+=−k，或ππ22ππ,44k−+−=+kZk2=或,232+=kZk，（2分）)2,0(，2=、67

、611．（1分）方法2：由三角比的定义，可得点设点1P的坐标分别为))2sin(),2(cos(−−，即)cos,(sin−；同理可得2P的坐标为)2cos,2(sin−，以下与解法1相同．（3）设),(yxP为方程132=+

xyx的曲线上任意一点，将点),(yxP绕坐标原点O旋转角至点)','('yxP．则，+=−=.cossin',sincos'yxyyxx可解得+−=+=.cos'sin',sin'cos'yxyyxx①（1分）注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不

影响证明结论．将①代入方程，得6cos'sin')sin'cos'(3)sin'cos'(2=+−+++）（yxyxyx，整理，得6'')2cos32(sin')cossin3(sin')cossin3(cos2222=++++−y

xyx．令02cos32sin=+，可解得032sin=+）（，6−=是该方程的解，（2分）所以，将方程132=+xyx的曲线按顺时针旋转6，所得曲线'C的方程为：112'4'22=−yx．故，曲线'C是以)0,4('1−F和)0

,4('2F为焦点的双曲线．（2分）又因为双曲线'C是由曲线C绕坐标原点O旋转而得到的，所以曲线C也是双曲线．（1分）将点)0,4('2F按逆时针旋转6，得到点)2,32(2F，所以，双曲线C的焦点坐标为)2,32(1−−F与)2,32(2F．（2分）