【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：1.4.1空间图形基本关系的认识与公理1～3【高考】.docx，共(13)页，509.713 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

§4空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识与公理1～3填一填1.空间中点、线、面的位置关系(1)点与直线的位置关系①点B在直线l上：B∈l；②点B在直线l外：B∉l.(2)点与平面的位置关系①点A在平面α内：A∈α；②点B在平面α外：B∉

α.2．空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α用来确定一个平面公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα用来

证明直线在平面内公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l用来证明空间的点共线和线共点3.公理1的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．推论3：两条平行直线确

定一个平面(图③)．判一判1.两两相交的三条直线确定一个平面．(×)2．经过一条直线和一个点确定一个平面．(×)3．如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点．(×)4．四边形一定是平面图形．(×)5．两条相交直线确定一个平面．(√)6．若直线l上有无数个点在

平面α外，则直线l∥α.(×)7．若两个平面平行，则在两个平面内的直线一定没有公共点．(√)8．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面．(√)想一想1.三种语言的转换方法？提示：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，

首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．(3)转化时要注意符号的使用，“∈”或“∉”反映的是点与线，点与面的关系，而“”

或“⃘”反映的是直线与平面的关系．2．证明点、线共面的方法有哪些？提示：方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．3

．证明三点共线的方法是什么？提示：(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．4．证明三线共

点的步骤是什么？提示：(1)首先说明两条直线共面且交于一点．(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．思考感悟：练一练1.“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα答案：C2．若

平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在______________．答案：α与β的交线上3．如果aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()A．lαB．l∉αC．l∩α＝AD．l∩α＝B答案：A4．根据下图，填入相应

的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案：∈∉⃘AC5．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：(1)点C与平面β：_____

___；(2)点A与平面α：________；(3)直线AB与平面α：________；(4)直线CD与平面α：________；(5)平面α与平面β：________.答案：(1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4

)CDα(5)α∩β＝BD知识点一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化1.文字语言叙述：“平面内有一条直线，则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是()A．a∈α，Aa⇒AαB．aα，A∈a⇒A∈αC．a∈α，A∈a

⇒AαD．a∈α，A∈a⇒A∈α解析：直线在平面内用“”，点在直线上和点在平面内用“∈”，故选B.答案：B2．给出下列说法：(设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示点)①若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则lα②若A∈α，A∈β，B∈

α，B∈β，则α∩β＝AB③若l⃘α，A∈l，则A∉α，则正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：③中点A可以是直线与平面的交点，所以错误．①，②正确．故选B.答案：B知识点二点线共面问题3.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上

分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．点M一定在直线AC上B．点M一定在直线BD上C．点M可能在AC上，也可能在BD上D．点M不在AC上，也不在BD上解析：M∈EF，EF平面ABC，故M∈平面ABC，又M∈GH，GH

平面ACD，故M∈平面ACD，又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，故选A.答案：A4．已知一条直线与另三条互相平行的直线都相交，求证：这四条直线共面．证明：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．证明：方法一如图

，∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线lα，∴a，b，l共面．即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则bα.同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内．∴a，b，c，l共面．方法二∵a∥b，∴a，b确定一

个平面α，又∵A∈a，B∈b，∴ABα，即lα.∵c∥b，∴c，b确定一个平面β，而B∈b，C∈c，∴BCβ，即lβ.∴b，lα，b，lβ，而b∩l＝B，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面.知识点三多线共点和多点共线问题5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点

M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明：因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF.又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD平面AB

CD，AB平面ABCD，所以M，N∈平面ABCD，所以MN平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．6．

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．证明：连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF綊12A1B.又因为A1B綊D1C，所以EF綊12D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可

设D1F∩CE＝P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以据公理3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点.综合知识平面及其基本性质7.完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语

言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①aα，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝

c，aα，bβ，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①②8．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P.

所以AB，CD可确定一个平面，设为β.因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.所以ACβ，BDβ，平面α，β相交．因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．

所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．基础达标一、选择题1．下列图形中不一定是平面图形的是()A．三角形B．平行四边形C．梯形D．四边相等的四边形解析：利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形不一定是平面图形，故选D.答案：

D2.长方体的12条棱所能确定的平面个数为()A．8B．10C．12D．14解析：在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面，共12个面．答案：C3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分

解析：如图所示，三个平面α，β，γ两两相交，交线分别是a，b，c且a∥b∥c，观察图形，得α，β，γ把空间分成7部分．故选C.答案：C4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()解析：在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR

，所以P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，所以四点不共面，故选D.答

案：D5．三条直线两两相交，经过这3条直线的平面有()A．0个B．1个C．0或1个D．3个解析：①当3条直线有三个交点时，共面；②当3条直线有两个交点或一个交点时，可共面，或不在同一平面内，即没有平面经过这3条直线．综上可知选C.答案：C6．若点M在直线a上，a在平面α内，则

M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，aαC．Ma，aαD．Ma，a∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．答案：B7．下列推断中，错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．

A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⃘α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合解析：直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以C错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故答案是C.答案：C二、填空题8．把

下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．(1)A∉α，aα________；(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________；(3)a⃘α，a∩α＝A________；(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.解析：考查识图能力及“图

形语言与符号语言”相互转化能力，要注意点线面的表示．习惯上常用大写字母表示点，小写字母表示线，希腊字母表示平面．答案：(1)C(2)D(3)A(4)B9．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P

为空间中一点．若α∩β＝l，mα，nβ，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为mα，nβ，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.答案：P∈l10．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同

一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①

错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．答案：011．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定________个平面．解析：如图，四条线段用实

线表示，可补为一个三棱锥，其可确定4个平面．答案：412．下列命题：①若直线a与平面α有公共点，则称aα；②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；③三条平行直线共面；④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．其中正确的命题是________．(填

写所有正确命题的序号)解析：①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；②正确．由公理3知该命题正确；③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；④如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．答案：②三、解答题13.如图，在三棱柱ABC－A1

B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．证明：如图，连接PQ.由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得PQ∥B1C1，且PQ＝13B1C1.又BC綊B1C1，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈

BP，R∈CQ.又BP平面AA1B1B，CQ平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，即R∈AA1，∴直线AA1，BP，CQ相交于一点．14.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，

AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGC＝DHHC＝12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与HF交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明：(1)连接EF，GH，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD.∵BGGC＝DHHC＝12，

∴GH∥BD，∴EF∥GH，故E，F，G，H四点共面．(2)∵EG与HF交于点P，∴点P在平面ABC内，且点P在平面DAC内．又平面ABC∩平面DAC＝AC，∴点P在直线AC上，∴P，A，C三点共线.能力提升15.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是B1C1，C1D1的

中点，且AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.(1)求证：D，B，E，F四点共面；(2)求四边形BDFE的面积．解析：(1)证明：如图，连接B1D1，交A1C1于点M.∵BB1∥DD1，且BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1

D1.又E，F分别是B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1，∴EF∥BD，∴D，B，F，E四点共面．(2)连接PQ，由分析知四边形BDFE是等腰梯形，PQ为高．设正方体的棱长为a，则BD＝B1D1＝2a，EF＝12B

1D1＝22a，BE＝DF＝52a，∴PQ＝52a2－24a2＝324a，∴四边形BDFE的面积S＝12(BD＋EF)·PQ＝122a＋22a·324a＝98a2.16.如图，已知正方体AB

CD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM＝AN＝1.(1)证明：M，N，C，D1四点共面；(2)平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．解析：(1)证明：连接A1B，在四边形A1BCD1中，A1D1∥BC且A1

D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C，在△ABA1中，AM＝AN＝1，AA1＝AB＝3，所以AMAA1＝ANAB，所以MN∥A1B，所以MN∥D1C，所以M，N，C，D1四点共面．(

2)记平面MNCD1将正方体分成两部分的下面部分体积为V1，上面部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均为三棱锥，所以V1＝VD1－AMN＋VD1－ADN＋VD1－C

DN＝13S△AMN·D1A1＋13S△ADN·D1D＋13S△CDN·D1D＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132.从而V2＝VABCD－A1B1C1D1－VAMN－DD1C＝27－132＝412

，所以V1V2＝1341，所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为1341.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com