【文档说明】安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.320 MB，由小赞的店铺上传

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2023届“皖南八校”高三第二次大联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

；非选择题请用直径0.5毫米黑色黒水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.1.已知集合21,0,1,2,3,(2)1,ABxxx=−=−R∣„，则AB=（）A.1,2B.0,1,2,3C.1,2,3D.2若复数z满足iizz−=（i为虚数单位

），则z=（）A.12−B.12C.1i2−D.1i23.已知单位向量,ab满足3ab+=，则a在b上的投影向量为（）A.aB.12aC.12bD.b4.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，则双曲线E的离心率为（）

A.21+B.21−C.222+D.222−5.在三棱锥PABC−中，,12,16,102,45PAABPAABPCPBC⊥====，则三棱锥PABC−外接球的体积为（）A.40003B.400C.169

D.16936.已知圆C的方程为22680xyx+−+=，若直线2ykx=+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最小值是（）A.35−B.45−C.65−D.125−7.为落实疫情

防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二､周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立､随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不

同的工人被抽中，下列结论不正确的是（）A.该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为14B.()()36PP==C.该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为34D.()()45PP===8.已知()2cosfxxx=−−，若7881e

,ln,98afbfcf−===−，则,,abc大小关系为（）A.cbaB.acbC.bcaD.cab二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，41sin[

(21)]()21iixfxi=−=−的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的图象关于直线2x=对称B.函数()fx的图象关于点()0,0对称C.函数()fx为周期函数，且最小正周期为D.函数()fx的导函数()fx的

最大值为410.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点F到准线的距离为4，过F的直线与抛物线交于,AB两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）A.抛物线C的准线方程为2y=−B.当3AFFB=，

则直线AB的倾斜角为30C.若16AB=，则点M到x轴的距离为8D.418AFBF+…11.在底面边长为2､高为4的正四棱柱1111ABCDABCD−中，O为棱1AA上一点，且111,4AOAAPQ=､分别为线段1111BDAD､上的动点，

M为底面ABCD的中心，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（）A.CN与QM共面B.三棱锥ADMN−的体积为43C.PQQO+的最小值为322D.当11113DQDA=时，过,,AQM三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为()8

2103+12.已知()(),fxgx都是定义在R上的函数，对任意,xy满足()()()()()fxyfxgygxfy−=−，且()()210ff−=，则下列说法正确的有（）A.()01g=B.函数()21fx−的图象关于点1,02对称C.()()111gg+−

=D.若()312f=，则202313()2nfn==三､填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分.13.国庆节前夕，某市举办以“红心颂党恩､喜迎二十大”为主题的青少年学生演讲比赛，其中10人

比赛的成绩从低到高依次为：85,86,88,88,89,90,92,93,94,98（单位：分），则这10人成绩的第75百分位数是__________.14.在111xyx−+的展开式中，8xy的系数为__________.15.已知()26,0,,tan,cos3

263+=+=，则()cos2−=__________.16.已知0a，不等式1eln0axxax++…对任意的实数1x恒成立，则实数a的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.

解答应写出文字说明､证明过程或演算步棷.17.（10分）已知数列na的首项112a=，且满足()*123nnnaana+=+N.（1）求证：数列11na+为等比数列；（2）若12311

11121naaaa++++，求满足条件的最大整数n.18.（12分）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学202

1年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：大学A大学B大学C大学D大学当年毕业人数x（千人）3456自主创业人数y（千人）0.10.20.40.5（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程ˆˆˆyabx=+；（2）假设该市政府对选择自主创业的大

学生每人发放1万元的创业补贴.（i）若该市E大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；（ii）若A大学的毕业生中小明､小红选择自主创业的概率分别为1,2112ppp−，该市政府对小明､小红两人的自主创

业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p的取值范围.参考公式：回归方程ˆˆˆyabx=+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211ˆˆˆ,nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx====−−−=

==−−−.19.（12分）如图，将长方形11OAAO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，其中11,2OAOO==，劣弧11AB的长为,6AB为圆O的直径.（1）在弧AB上是否存在点C（1,CB在平面11OAAO的同侧），使1BCAB⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2

）求平面11AOB与平面11BOB夹角的余弦值.20.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，2,23ABBCCDAD====.（1）若DB平分ADC，证明：AC+=；（2）记ABD与BCD的面积分别为1S和2S，求2212SS+的最大值.21.（12分）已知椭圆2222:1(0)xy

Cabab+=经过点13,2，其右焦点为()3,0F.（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆C的右顶点为A，若点,PQ在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120，求APQ面积的最大值.22

.（12分）已知函数()3e1xfxx=−+，其中e2.71828=是自然对数的底数.（1）设曲线()yfx=与x轴正半轴相交于点()0,0Px，曲线在点P处的切线为l，求证：曲线()yfx=上的点都不在直线l的上方

；（2）若关于x的方程()fxm=（m为正实数）有两个不等实根()1212,xxxx，求证：21324xxm−−.2023届“皖南八校”高三第二次大联考･数学参考答案､解析及评分细则1.C因为1,0,1,2,3,13,ABxxx=−=R

∣剟，则1,2,3AB=.故选C.2.D设izab=+，则()()22i1i(1),iiii.iizababzabbazz−=+−=+−=−=+−=，22(1)iabba+−=+，解得0,1,2ab==

即1i2z=.故选D.3.C因为,ab是单位向量，所以1,1ab==，故2222||1,||1aabb====，由3ab+=得，2||3ab+=，即2()3ab+=，解得12ab=.设a与b的夹角为，则a在b上的投影向量为1cos2babbabbbb=

=.故选C.4.A如图，正方形的顶点,AB为双曲线的焦点，顶点,CD在双曲线上，则(),0Ac−，(),0Bc，故2,bCca.由正方形ABCD得ABBC=，所以22bca=，则2222acbca==−即2220caca−−=，两边同除2a得2210ee−−=，解得2

1e=+或21e=−+（舍）.故选A.5.A因为,12,16PAABPAAB⊥==，所以20PB=，在PBC中，由正弦定理得sinsinPCPBPBCPCB=，即10220sin22PCB=，所以sin1PCB=，取PB的中点O，可知O为三棱锥PABC−外接球的球心，外接球的半径1

102RPB==，所以三棱锥PABC−外接球的体积为34400033VR==，故选A.6.D圆C的方程为22680xyx+−+=，整理得：22(3)1,xy−+=圆心为()3,0C，半径1r=，又直线2ykx=+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，点C

到直线2ykx=+的距离小于或等于223022,2,51201kkkk−+++剟，化简得，解得120,5kk−剟的最小值是125−.故选D.7.B依题意每次抽取工人甲被抽到的概率2536C1C2P==，所以工人甲一周内被选中两次的概率为211

24=，故A正确；依题意的可能取值为3456､､､，则()()33366333336666CCC1113,6CC20CC20PP======，所以()()36PP===，故B错误；对于C，工人

甲一周内至少被选中一次的概率为2131124−−=，故C正确；()()32131263363333336666CCCCCC994,5CC20CC20PP======，所以()()45P

P===，故D正确.故选B.8.B因为()()()()222cos,,()coscosfxxxxfxxxxxfx=−−−=−−−−=−−=R，所以()fx为R上的偶函数.当0x…时，()()2sin,2cos0f

xxxfxx=−+=−+，所以()fx在)0,+上单调递减，所以()()00fxf=„，所以()fx在)0,+上单调递减，又因为()fx为R上的偶函数.所以()fx在(),0−上

单调递增.因为788911e,lnln,9888afbffcff−====−=，由e1xx+…，得7871e188−−+=，所以781e8ff−

，由ln1xx−„，得991ln1888−=，所以91ln88ff，从而有acb.故选B.9.ABD函数41sin[(21)]sin3sin5sin7()sin21357iixxxxfxxi=−==+++−，对于A，可以验证()()fxfx

+=−，故A正确；对于B，同样可以验证()()fxfx=−−，故B正确；对于C，由诱导公式易知()()()fxfxfx+=−，故C错误；对于D，易知()coscos3cos5cos74fxxxxx=+++„，故D正确.故选ABD.10.AD对于A，易知4p=，从而准线方

程为2y=−，故A正确；对于B，如图分别过,AB两点作准线2y=−的垂线，垂足分别为11,AB，过A点作1BB的垂线，垂足为点H.由于3AFFB=，不妨设AFt=，则3BFt=，由抛物线的定义易知：1AAt=，13,2BBtBHt==，在直角ABH中，30BAH=，此时AB的倾斜角为3

0，根据抛物线的对称性可知，AB的倾斜角为30或150，所以B错误；对于C，点1212,22xxyyM++，由抛物线的定义知，122216AFBFyy+=+++=，有1212yy+=，所以M到x轴距离1262yy+=，C错误；对于D，由抛物线定义知11212AFBFp+==，所

以()4114242518BFAFAFBFAFBFAFBFAFBF+=++=++…，当且仅当4BFAFAFBF=，即2BFAF=时取得等号，所以D正确.故选AD.11.ACD对于A，如图1，在ACQ中，因为,MN为,ACAQ的中点，所以MNCQ∥，所以CN

与QM共面，所以A正确；对于B，由ADMNNADMVV−−=，因为N到平面ABCD的距离为定值2，且ADM的面积为1，所以三棱锥ADMN−的体积为23，所以B错误；对于C，如图2，展开平面11AADD

，使点11AADD共面，过O作11OPBD⊥，交11BD与点P，交11AD与点Q，则此时PQQO+最小，易求PQQO+的最小值为322，则C正确；对于D，如图3，取11113DHDC=，连接HC，则11HQAC∥，又

11ACAC∥所以HQAC∥，所以,,,,AMCHQ共面，即过,,AQM三点的正四棱柱的截面为ACHQ，由224410433AQCH==+=，则ACHQ是等腰梯形，且1112233QHAC==，所以平

面截正四棱柱所得截面的周长为()82103+，所以D正确.故选ACD.12.ABD对于A，令0xy==，代入已知等式得()()()()()000000ffggf=−=，得()00f=，再令0y=，x=1，代入已知等式得()()()

()()11010ffggf=−，可得()()()()110100fggf−=−=，结合()10f得()()100,01gg−==，故A正确；对于B，再令0x=，代入已知等式得()()()()()00fyfgygfy−=−，将()

()00,01fg==代入上式，得()(),fyfy−=−函数()fx为奇函数，函数()21fx−关于点1,02对称，故B正确.对于C，再令1,1xy==−代入已知等式，得()()()()()()()()()()()21111

11,2111ffggfffffgg=−−−−=−=−+，又()()()()()()()221,1111fffffgg=−−=−−=−+，即()()()()()()11110,10,1110fggfgg−++=−++=得()()1

11gg+−=−，故C错误；对于D，再分别令1y=−和1y=代入已知等式，得以下两个等式()()()()()()()()()()111,111fxfxggxffxfxggxf+=−−−−=−，两式相加易得()()()11fxfxfx++−=−，所以有()()()21fxfxfx++=−+，从而有

()()()12,fxfxfx−=+为周期函数，且周期为()()()()()2023133333,1,2,2,300,()2222nffffffn==−==−===.故D正确.故选ABD.13.931075%7.5=，所以从小到

大选取第8个数作为第75百分位数，即93.14.495−由二项式展开式的定义易知8xy的系数为()81113CC495−=−.15.33因为()cos2cos2sin236236−=+−+−=+−+

sin2coscos2sin3636=++−++2222sincos2tan22333sin22sinco

s3333sincostan1333++++=++===+++++

，22222222cossin1tan1333cos2cossin;3333cossintan1333+−+−++=+−+===

+++++因为()6cos,0,63+=，所以0,62+，所以3sin63+=，故()226133cos233333−=

−=16.e−由题意得1eln0axxax++…化简得1ln111elnelnaaxxaaaaaxxxxxx−==…易知函数exyx=是单调递增的函数，所以1lnaxx…对1x恒成立，此时maxlnxax−…，令()lnxfxx=−，

则()21ln(ln)xfxx−=，当()0,ex时，()()0,fxfx单调递增，当()e,x+时，()()0,fxfx单调递减，当ex=时，()max()eefxf==−，即a的最小值为e−.17.（1）证明：由

123nnnaaa+=+，可得123132nnnnaaaa++==+，11311331nnnaaa++=+=+，又11130a+=，故数列11na+是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）解：由（

1）可知111333nnna−+==，故131nna=−.()123123313111133313131311322nnnnnnaaaa+−++++=−+−+−++−=−=−−−.令()()1*33,22nfnnn+=−−N()()()2113333113

102222nnnfnfnnn++++−=−−+−−−=−易知()fn随n的增大而增大.(4)116121,(5)358121ff==，故满足()121fn的最大整数n为4.18.解：（

1）由题意得34560.10.20.40.54.5,0.344xy++++++====.4442142211146.144.50.3ˆ6.1,86,0.1486814iiiiiiiiiixyxyxyxbxx====−−=====−−.所以ˆˆ0.30.144.

50.33aybx=−=−=−故得y关于x的线性回归方程为ˆ0.140.33yx=−.（2）（i）将7x=代入ˆ0.140.33yx=−，得ˆ0.1470.330.65y=−=，所以估计该市政府需要给E大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为0.6510001650(=万元）

.（ii）设小明､小红两人中选择自主创业的人数为X，则X的所有可能值为0,1,2.()()()20122242PXpppp==−−=−+，()()()()2112122451PXpppppp==−−+−=−+−，(

)()22212PXpppp==−=−.()()()()222024245112231EXppppppp=−++−+−+−=−.114311.4,1,225ppp−剟，故p的取值范围为14,25.19.解：（1）存在，当1BC为圆柱1OO的母线，1BCAB⊥.连接1,

,BCACBC，因为1BC为圆柱1OO的母线，所以1BC⊥平面ABC，又因为BC平面ABC，所以1BCBC⊥.因为AB为圆O的直径，所以BCAC⊥.11,,BCACBCBCACBCC⊥⊥=，所以BC⊥平面1ABC，因为1AB平面1ABC，所以1BCAB⊥.（2）以O为原点，1,

OAOO分别为,yz轴，垂直于,yz轴直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示.()()()110,1,2,0,0,2,0,1,0AOB−，因为11AB的长为6，所以()1111113,,,2,0,1,2622AOBBOB==−−，1113,,022OB

=设平面11OBB的法向量(),,mxyz=，20,130,22yzxy−−=+=令3x=−，解得33,2yz==−，所以33,3,2m=−−.因为x轴垂直平面11AOB，所以设平面11AOB的法向量()1,0,0n=.所以3251cos,173934mn

−==−++.所以平面11AOB与平面11BOB夹角的余弦值为25117.20.（1）证明：DB平分,ADCADBCDB=，则coscosADBCDB=，由余弦定理得22222222ADBDAB

CDBDBCADBDCDBD+−+−=，即2212444443BDBDBDBD+−+−=，解得()2431BD=+；()22212443131cos2283ADABBDAADAB+−++−−===，()2224443113cos282CDBCBDCCD

BC+−++−−===，coscosAC=−，又()()0,,0,,ACAC+=.（2）解：2222cosBDABADABADA=+−222cosBCCDBCCDC=+−，1683cos88cosAC−=−，整理可得cos3cos1CA=−；222222221211

sinsin12sin4sin1212cos44cos1622SSADABABCCDCACAC+=+=+=−+−=−2222312cos4(3cos1)24cos83cos1224cos146AAAAA−−=−++=−−+，()0,,A

当3cos6A=时，2212SS+取得最大值，最大值为14.21.解：（1）依题可得222223,311,4,cababc=+==+解得2,1,3,abc===所以椭圆C的方程为2214xy+=.（2）易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，

故可设()()1122:,,,,PQykxmPxyQxy=+，由221,4xyykxm+==+可得，()222148440kxmkxm+++−=，所以()222121222844,,Δ164

101414mkmxxxxkmkk−−+===+−++，即2241km+，而120APAQkk=，即121212220yyxx=−−，化简可得()()()()12122022kxmkxmxx++=−−，()()22

1212121220202024kxxkmxxmxxxx+++=−++，222222224484482020202414141414mmkmmkkkmmkkkk−−−−++=−+++++化简得2260kmkm+−=，

所以2mk=−或3mk=，所以直线():2PQykx=−或()3ykx=+，因为直线PQ不经过点A，所以直线PQ经过定点()3,0−.所以直线PQ的方程为()3ykx=+，易知0k，设定点()1212153,0,22APQABPABQBSSSAByykxx−=−=−=−()

21212542kxxxx=+−22225844421414kmmkkk−−=−++()()22222216411015521414kmkkkkk+−−==++，因为Δ0，且3mk=，所以2150k−，所以2

105k，设29411,5tk=+，所以2225514951745922993APQttStt−+−==−−+„，当且仅当97t=，即2114k=时取等号，即APQ面积的最大值为53.22.证明：（1）由题意可得：00003e10,e

31xxxx−+==+，()()00003e,3e33123xxfxfxxx=−=−=−−=−，可得曲线在点P处的切线为()()00:23lyxxx=−−.令()()()()()000233e1,0xgxxxxxgx=−−−−+=，()()00000233e

13e,3e10xxxgxxxgxx=−−+=−−+=−+−=，可得函数()gx在()0,x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，()()00,gxgx=…曲线()yfx=上的点都不在直线l的上方.（2）由（1）可得()3e0xfx=

−=，解得()ln3,ln33ln3313ln32,03ln32xfm==−+=−−，曲线在点P处的切线为()()00:23lyxxx=−−，00e31xx=+，由零点的存在性定理知()01,2x，同理可得曲线()yfx=在点()0,0处的切线为

2yx=，ym=与()()002,23yxyxxx==−−的交点的横坐标分别为34,xx则3400,223mmxxxx==+−，214300232mmxxxxxx−−=+−−.下面证明：00322324mmmxx+−−−.()()()()0000000

0321238222423423432xxmmmxxmxxxx−+−−−−=−−=−−−−，()0001,2,20,321xxx−−，且01283430xmm−++，0020423mmxx

−−−−0210332,223244mmmxxxmx+−−−−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com