【文档说明】重庆市育才中学2020届高三下学期3月月考数学（文）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.708 MB，由小赞的店铺上传

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网考试题（文科数学）一、选择题1.若集合2|log1Mxx=，集合2|10Nxx=−，则MN=（）A.12xxB.|12xx−C.11xx−≤D.|01xx【答案】D【解析】由题意得(0,2),[1,

1],(0,1]MNMN==−=，选D.2.设31izi=+（i为虚数单位），则z=（）A.22B.2C.12D.2【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可．详解：∵复数()()()311,11112iiiiiziiii+−+==

==+−−+12.22iz−+==．．故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知向量()2,3AB=，()1,3BCt=−，//ABAC，则t=（）A.32B.92C.73D.113【答案

】B【解析】【分析】先求得AC,再由//ABAC求解即可.【详解】由题,()3,ACABBCt=+=,因为//ABAC,所以233t=,则92t=,故选:B【点睛】本题考查向量加法的坐标表示,考查已知向量平行求参数.4.设5log

6a=，0.3log2b=，2ce−=，则（）A.bacB.bcaC.acbD.abc【答案】C【解析】【分析】借助0,1,使,,abc与0,1比较大小,即可得到结果.【详解】由题,55log6

log51a==,0.30.3log2log10b==,2001cee−==,所以10acb,故选:C【点睛】本题考查指数、对数比较大小,考查指数函数、对数函数的单调性的应用.5.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.3B.32C.

0D.3−【答案】A【解析】【详解】试题分析：第一次循环：133,22aS==,第二次循环：23,32aS==，第三次循环：30,3aS==,第四次循环：433,22aS=−=,第五次循环：53,02aS=−=,第六次循环：60,0aS==,第七次循环：733,22aS==,第八次循

环：83,32aS==,第九次循环：90,3aS==此时98i=，结束循环，输出3S=，选A.考点：循环结构流程图6.设函数()sin24fxx=+，则下列结论错误的是（）A.()fx的一个周期为2B.()fx的图形关于直线8

x=对称C.()fx的一个零点为8x=−D.()fx在区间0,4上单调递减【答案】D【解析】逐一考查所给的选项：函数()fx的最小正周期为22T==，则函数的周期为：()*TkkN=，取

2k=可得函数的一个周期为2；函数图象的对称轴满足：()242xkkZ+=+，则：()28kxkZ=+，令0k=可得函数的一条对称轴为8x=；函数的零点满足：()24xkkZ+=，则：()28kxkZ=−，令0k=可得函数的一个零点为8x=−；若0,4x

，则32,444x+，则函数在0,4上不具有单调性；本题选择D选项.7.已知等差数列{}na的前n项为nS，2nanb=且1317bb+=，2468bb+=，则10S=()A.90B.100C.

110D.120【答案】A【解析】分析：{}nb是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.详解：设{}na公差为d，32413311241322226824222217adaaaddaaaabbbb+++++=====+++，∴2d=，3

111213222217aaaadbb++=+=+=，121a=，10a=，∴1011091091029022Sad=+==，故选A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如{}na是等差数列，则{}naa是等比数列

，如{}na是等比数列且均为正，则logana是等差数列.8.已知直线m，n与平面，，下列命题正确的是（）A.m，n且∥，则mnB.m⊥，n且⊥，则mn⊥C.m=，mn⊥且⊥，则n⊥D.m⊥，n⊥且⊥，则mn⊥【答案】D【解析】【分析】对于

立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可列举反例从而说明不正确即可.【详解】选项A，由面面平行的性质定理知，m与n可能相交，故A不对;选项B，m⊥，n且⊥，m与n可能平行，故B不对;选项C，由面面垂直的性质定理知，必须有m

n⊥，n时，n⊥，否则不成立，故C不对；选项D，由n⊥且⊥，得n或n，又因m⊥，则mn⊥.故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系和

平面与平面之间的位置关系,属于基础题.9.已知函数()2fxxlnx=−，则函数()yfx=的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果．【详解】由题意()()2lnfxxxfx−=−−=，所以函数()fx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D；

又()211ln110f=−=，所以排除B,C．故选A．【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一．10.中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一

个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了(

)A.24里B.18里C.12里D.6里【答案】B【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为na,其首项为1a,即此人第一天走的路程为1a,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则na是以1a为首项,12为公比的等比数列,又166

112378112aS−==−,解得1192a=,则4635511192319219218222aa−=−==,故选B.11.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为

（）A.15256B.45256C.1564D.4564【答案】C【解析】【分析】由题画出图形可得1OO⊥截面,则130OBO=,利用1RtOBO求得1OO,再利用1RtOCO求得1CO,进而求解即可.【详解】由题画出图形,设球心为O,则OA为一条半径,B为OA中点,过点B的平面与OA所成角为

30°,截面的圆心为1O,截面与球一交点为C,则130OBO=,1OO⊥截面,则11OOBO⊥,11OOCO⊥,设OAOCr==,则12OBr=,11sin304OOOBr==,所以在1RtOOC中,22211

COCOOO=−,则1154COr=,所以所得截面的面积与球的表面积的比为2215415464rr=,故选:C【点睛】本题考查球中的截面问题,考查球的表面积问题,考查线面夹角的应用,考查空间想象能力.12.已知奇函数()fx是定义在R上的单调函数，若函数2()()(

2||)gxfxfax=+−恰有4个零点，则a的取值范围是（）A.(1)−，B.(1)+，C.(01]，D.(01)，【答案】D【解析】【分析】利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求

解即可．【详解】∵g（﹣x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）＝g（x），∴g（x）是偶函数，若g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，等价于当x＞0时，g（x）有两个不同的零点，∵f（x）是奇函数，∴由g（x）＝

f（x2）+f（a﹣2|x|）＝0，得f（x2）＝﹣f（a﹣2|x|）＝f（2|x|﹣a），∵f（x）是单调函数，∴x2＝2|x|﹣a，即﹣a＝x2﹣2|x|，当x＞0时，﹣a＝x2﹣2|x|=x2﹣2x有两个根即可，设h（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）

2﹣1，要使当x＞0时，﹣a＝x2﹣2|x|有两个根，则﹣1＜﹣a＜0，即0＜a＜1，即实数a的取值范围是（0，1），故选D【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题13.已知函数()lnfxxx=，则曲线()yfx=在点ex

=处切线的倾斜角的余弦值为__________．【答案】55【解析】因为()lnfxxx=，所以()ln1fxx=+，所以()2fe=，即tan2k==，且[0,)，则5cos5=，所以曲线()yfx=在

点xe=处的切线的倾斜角的余弦值为55.14.设()2()ln1fxxx=++，若()3fa=，则()fa−=______.【答案】3−【解析】∵()()2ln1fxxx=++为奇函数，()3fa=∴()

()3fafa−=−=−故答案为3−15.若椭圆2214xym+=上一点到两个焦点的距离之和为3m−，则此椭圆的离心率为__________．【答案】53【解析】当4m时，由椭圆定义知34m−=，解得7m=，不符合题意，当4m时，由椭圆定义知32mm

−=，解得9m=，所以94533cea−===，故填53.点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中22,ab的取值，从而确定c,计算椭圆的离心率.16.已知函数()2lnxfxxx=−，有下列四个命题：①函数()fx是奇函数；②函数()fx在()(),0

0,−+是单调函数；③当0x时，函数()0fx恒成立；④当0x时，函数()fx有一个零点，其中正确的是____________【答案】③④【解析】【分析】①根据()fx−与()fx的关系即可判断；②当0x时,()2lnxfxxx=−,

对()fx求导可得()3221ln21ln2xxxfxxxx−−+=−=,设()321lnhxxx=−+,显然()hx连续,利用零点存在性定理可得存在1301,12x,使得()00hx=,即可判断0x时()fx的单调性,进而判断②；由②可知当0x时

,()0fx为()fx的最小值,判断()00fx是否成立即可判断③；利用零点存在性定理即可判断④.【详解】由题,()fx的定义域为()(),00,−+,①()()22lnlnxxfxxxxx−=−−=+−,且()()220fxfxx+−=,所以()fx

不是奇函数,故①错误；②()()22ln,0ln,0xxxxfxxxxx−=−−,当0x时,()2lnxfxxx=−,则()3221ln21ln2xxxfxxxx−−+=−=,令()321lnhxxx=−+,则()110

h=,13111ln0232h=,所以存在1301,12x,使得()00hx=,所以当()00,xx时,()0fx¢<,()fx是单调减函数；当()0,xx+时,(

)0fx¢>,()fx是单调增函数,所以②错误；③由②可知,当0xx=时,()fx在()0,+?上有最小值,且3002ln10xx+−=,所以20000ln12xxxx=−,因为()2222000000000ln1123xfxxxxxxxx=−=−−=

−,由130112x,则30112x,即303332x,所以32000031130xxxx−−=,所以当0x时,()0fx恒成立,故③正确；④当0x时,()()2lnxfxxx−=−,且()110f−=,2110feee−=−

,所以()fx在11,e−−内有一个零点,故④正确.故答案为:③④【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理不等式恒成立问题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，ABCD是边长为2的菱形，60DAB

=，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，24EBFD==.（1）求证：EFAC⊥；（2）求几何体EFABCD的体积.【答案】（1）详见解析；（2）43.【解析】【分析】（1）由FD⊥平面ABCD,EB⊥平面ABCD可得

//EBFD,则E,F,D,B四点共面,先证得AC⊥平面EFDB,再证明EFAC⊥即可；（2）由菱形的性质及60DAB=,可求得BD,AO,CO,由（1）可知四边形EFDB为直角梯形,再利用CEFDBAEFDBEFABCD

VVV−−=+几何体求解即可.【详解】（1）证明:如图,连接BD,交AC于O,FD⊥平面ABCD,EB⊥平面ABCD,//EBFD,E,F,D,B四点共面,AC平面ABCD,ACEB⊥,设DBACO=,四边形ABCD为菱形,ACDB⊥,D

BEBB=,AC⊥平面EFDB,EF平面EFDB,ACEF⊥（2）//EBFD,EBBD⊥,四边形EFDB为直角梯形,在菱形ABCD中,60DAB=,2AB=,2BD=,3AOCO==,∴梯形EFDB的面积(24)262S+==,AC⊥平

面EFDB,CEFDBAEFDBEFABCDVVV−−=+几何体11··4333SAOSCO=+=【点睛】本题考查线面垂直的性质的应用,考查线线垂直的证明,考查几何体的体积,考查运算能力.18.已知△ABC的内角A，B，C所

对边分别为a、b、c，且2acosC=2b-c．（1）求角A的大小；（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为13，求△ABC的面积．【答案】（1）A=π3；（2）63【解析】【分析】（1）先根据正弦定理化边为角，再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=12，即得结果，（2

）根据余弦定理求AD，再根据三角形面积公式得结果.【详解】（1）∵2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+12sinC=sinB，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．∴12sinC=cosAsinC，

∵sinC≠0，∴cosA=12，∴由A（0，π），可得角A=π3；（2）在△ABD中，AB=3，BD=13，cosA=12，由余弦定理可得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4（负值舍去），∵BD为AC边上的中线，∴D为AC的中点，∴AC=

2AD=8，∴S△ABC=12AB•AC•sinA=133822=63．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,ABCD

四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：学校ABCD抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.（1）若该区共20

00名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（2）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（3）在上表中从,BC两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好,BC两校各有1人没有参与“创城”活

动的概率是多少？【答案】（1）800；（2）1350；（3）13【解析】【分析】（1）根据总数、频数与频率关系求结果，（2）根据总数、频数与频率关系求概率，（3）利用枚举法确定总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详

解】（1）A学校高中生的总人数为1005010002000=人A学校参与“创城”活动的人数为40100080050=人（2）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M，则()261310050PM==（3）B校这5人分别记

为12345,,,,AAAAA，C校这1人记为1B，任取2人共15种情况，如下：121314111523242125343135414515,,,,,,,,,,,,,,AAAAAAABAAAAAAABAAAAABAAABAABA设事件N为抽取2人中,BC两校各

有1人参与”创城”活动，则()51153PC==【点睛】本题考查总数、频数与频率关系以及古典概型概率，考查分析求解能力，属基础题.20.已知椭圆E：22221(0)xyabab+=经过点()0,1A，右焦点到直线2axc=的距离为33．（1）求椭圆E的标准方程（2）过点A作两条

互相垂直的直线1l，2l分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点30,5P−．【答案】（1）2214xy+=（2）见证明【解析】【分析】(1)由题意列出关于,,abc的方程组，解得,ab

的值，即可得椭圆的标准方程.(2)设出直线12,ll的方程，代入椭圆方程，可求得点,MN的坐标，由MPNPkk=即可证得直线MN恒过定点P.【详解】（1）由题意知，233acc−=，1b=，222abc

=+，解得2a=，1b=，3c=．所以椭圆的标准方程为2214xy+=．（2）证明：显然直线12,ll的斜率存在．设直线1l的方程为1ykx=+，联立方程组221,1,4ykxxy=++=得22(41)80kxkx++

=，解得12841kxk=−+，20x=，所以2841Mkxk=−+，221441Mkyk−=+．由12,ll垂直，可得直线2l的方程为11yxk=−+.用1k−替换前式中的k，可得284Nkxk=+，2244Nkyk−=+.则222221438814155588541MPkkkkkkkkk−+−

+−+===−−+，222224388145558854NPkkkkkkkkk−+−−+===+，所以MPNPkk=，故直线MN恒过定点3(0,)5P−．【点睛】本题考查椭圆的综合问题.求椭圆方程的方法一般是解关于,ab的方程组，是简单题.要证明过两点的

直线恒过第三点，相当于证明三点共线，可由用任意两点求得的斜率相等来证.21.已知函数()2xxxefx=+−，()2gxxaxb=++，,abR.（1）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若()()fxgx

恒成立，求+ab的最大值.【答案】（1）1y=；（2）1e−.【解析】【分析】（1）先对()fx求导,再求得()0f,即为切线斜率,进而可求得切线方程；（2）设()()()()1xhxfxgxeaxb=−=

−+−,求导可得()()1xhxea=−+,通过讨论a的范围,问题转化为()()()11ln1baaa+−++恒成立,得到()()()211ln11abaaa++−++−,令()2ln1Gxxxx=−−,0x,根据函数的单调性

求出+ab的最大值即可.【详解】解:（1）因为()e21xfxx=+−,所以()00f=,又()01f=,所以该切线方程为1y=（2）设()()()()1xhxfxgxeaxb=−=−+−,则()0hx恒成立,易得()()1xhxea=−+,（i）当10a+时,()0h

x,此时()hx在R上单调递增,①若10a+=,则当0b时满足()0hx恒成立,此时1ab+−；②若10a+,取00x且011bxa−+，此时()()()000111101xbhxeaxbaba−=−+−

−+−=+,所以()0hx不恒成立,不满足条件.（ii）当10a+时,令()0hx=,得()ln1xa=+,当()0hx时,()ln1xa+；当()0hx时,()ln1xa+.所以()hx在()(),ln1a−+上单调递减,在()()ln

1,a++上单调递增.要使()()10xhxeaxb=−+−恒成立,必须有当()ln1xa=+时,()()()()()ln111ln10haaaab+=+−++−恒成立,所以()()()11ln1baaa+−++,故()()()211ln

11abaaa++−++−,令()2ln1Gxxxx=−−,0x,则()1lnGxx=−,令()0Gx=,得xe=,当()0Gx时,得0xe；当()0Gx时,得xe,所以()Gx在()0,e上单调递增,在(),e+上单调递减,所以当xe=时,

()Gx的值最大,()max1Gxe=−,1abe+−从而,当1ae=−,0b=时,+ab的值最大为1e−,综上,+ab的最大值为1e−【点睛】本题考查求在某点处的切线方程,考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查分类讨论思想

,考查运算能力.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22.已知直线l的极坐标方程是πsin()03−=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴，建立

平面直角坐标系,曲线C的参数方程是2cos22sinxy==+,（为参数）.（1）求直线l被曲线C截得的弦长；（2）从极点作曲线C的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）23；（2）2sin(0)=.【解析】

【分析】（1）求得直线l和曲线C的直角坐标方程，利用弦长222rd=−求得弦长.（2）根据曲线C的参数方程，求得中点的参数方程，消去参数后求得中点轨迹的直角坐标方程，并转化为极坐标方程.【详解】（1）由题意可知,直线l的直角坐标系方程是3yx=,曲线C的普通方程是22(2)4xy+−=,则圆

心C到直线l的距离2131d==+,故所求的弦长是222123−=（2）从极点作曲线C的弦,弦的中点的轨迹'C的参数方程为cos1sinxy==+,（为参数）,且3π3π[0,)(,2π)22,其普通方程为22(1)1(0)xyy+−=,极坐标方程为22sin0

−=,化简得2sin(0)=.【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的相互转化，考查直线和圆相交所得弦长计算，考查中点的轨迹方程的求法，属于中档题.23.已知函数()12fxxx=−++，记()fx的最小值为m.（Ⅰ）解不等式()5fx；（Ⅱ）若正实数

a，b满足115ab+=，求证：22232mab+.【答案】（Ⅰ）{|32}−xx（Ⅱ）见证明【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【详解】（

Ⅰ）①当1x时，()(1)(2)215fxxxx=−++=+，即2x，∴12x；②当21x−时，()(1)(2)35fxxx=−++=，∴21x−；③当2x−时，()(1)(2)2

15fxxxx=−−+=−−，即3x−，∴32x−−.综上所述，原不等式的解集为{|32}−xx.（Ⅱ）∵()12(1)(2)3fxxxxx=−++−−+=，当且仅当21x−时，等号成立.∴()fx的最小值3m=.∴22222311[()()][()()]23ab++2

2131()523ab+=，即22236ab+，当且仅当213132ab=即32ab=时，等号成立.又115ab+=，∴53a=，52b=时，等号成立.∴22232mab+.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，

意在考查学生的转化能力和计算求解能力.