【文档说明】河北省部分高中2024届高三下学期三模试题 数学 含解析.docx，共(9)页，525.432 KB，由管理员店铺上传

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高三数学考试考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后

，将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。1.集合21|−=xxA，mxxB−=2|，若Bx的充分条件是Ax

，则实数m的取值范围是（）A.)2,1(−B.)2[+，C.]2,2(−D.)2(+，2.复数3)1(ii−的虚部是（）A.8−B.i8−C.8D.i83.如图在ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若→→→+=ACyABxBF，则yx+3=

（）A．1−B．34−C．12−D．14−4.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种5.把函数)32cos()(+=xxf的图象向右平移)20(个单位长度，再把横坐标压缩到原来的21倍，纵坐标不变，得到图象关于原点对称的函数)(xg，则（）A．()sin2gxx=B．)0,8(为()gx的一个对称中心C．()

1g=D．π8x=为()gx的一条对称轴6.已知函数)(xf的定义域为R，且0)()()()(=−−++yfxfyxfyxf，1)1(=−f，则（）A.0)0(=fB.)(xf为奇函数C.1)8(−=fD.)(xf的周期为37.已知曲线yxyxC||1:22−

=+，则22yx+的最大值为（）A．2B．3C．21+D．31+8.已知双曲线134:22=−yxC，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A.7212rB.7540r

C.76rD.1r二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.直三棱柱111ABCABC-中，点D是1BB的中点，14,AAAB==2,AC=60BAC=

，点P为侧面11AACC（含边界）上一点，//BP平面1ADC，则下列结论正确的是（）A．1BCAC⊥B．直线1CD与直线1AC所成角的余弦值是255C．点1A到平面1ACD的距离是3D．线段BP长的最

小值是85510.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若ABC满足BCAC=，顶点)0,1(A，)2,1(−B)，且其“

欧拉线”与圆222)3(:ryxM=+−相切，则下列结论正确的是（）A.圆M上的点到原点的最大距离为23+B.圆M上存在三个点到直线01=−−yx的距离为2C.若点),(yx在圆M上，则1+xy的最小值是2−D.若圆M与圆2)(22=−+ayx有公共点，则]3,3

[−a11.已知)(lnln)(Rkkxxexxxexf−++=有三个不相等的零点321,,xxx且321xxx，则下列命题正确的是（）A.存在实数k，使得11=xB.ex3C.)23,1(kD.)1ln)(1ln()1ln(3322211exx

exxexx+++为定值三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.ABC中，81cos=A，2,4==ACAB.则角A角分线AD的长为____.13.某校高二学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布)10,110(

2N，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩11090为事件A，记该同学的成绩10080为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率)|(ABP=______.(结果用分数表示)附参考数据：68.0)(+−XP；95.0)22(+−XP

；99.0)33(+−XP.14.数列na中，11=a，22=a．设0=x是函数2)()(121−−+=+−xaaeaxfnnxn（2n且*nN）的极值点．若x表示不超过x的最大整数，则()()()()()()202412112

220242024202420242024121121121aaaaaaaaa+++=++++++．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了检查工厂生产的某产品的

质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.(1)求a的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；(2)若按照分层的方法从质量指标值在)110,130的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件，求至少有一件的指标值在)

120130,的概率；(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为X，求X的分布列与数学期望.16.已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点21,FF在x轴上，离心率为2

1，点P在C上，且21FPF的周长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点)0,4(M的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求ABE的面积的最大值．17.已知函数axaexfx−−=)(．（1）讨论)(xf

的单调性；（2）若0)(xf恒成立，求a的取值集合；（3）若存在20221−xx，且0)cos1()()cos1()(222111=−+=−+xxxfxxxf，求a的取值范围．18.在四棱

锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，5QDQA==，QC=3.（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；（2）若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的

体积为43，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.19.已知数列kkknkka11)1(,,)1(,,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1:−−−−−−−−−−，即当)(2)1(2)1(*Nkkkn

kk+−时，kakn1)1(−−=，记)(*21NnaaaSnn+++=（1）求2024S的值.（2）求当)(2)2)(1(2)1(*Nkkknkk+++，试用kn,的代数式表示)(*N

nSn（3）对于*Nt，定义集合}1,|{*tnNnaSnPnnt=且的整数倍，是，求集合2024P中的元素个数.数学答案一．单项选择题1.B2.A3.A4.C5.D6.C7.A8.A二．多项选择题9.ACD10.BD11.BCD三.填空题12.213.2

79514.1011四.解答题15.解：（1）因为()0.0050.040.030.005101a++++=，所以0.02a=，..........................2分产品质量指标超过130的频率为()0.020.005100.25+=，所以这批产品的优质率为25%......

...........................................................................................3分（2）因为质量指标在[110,120)和[120,130)的频率分别为0.4和0.3.所以质量指标在[1

10,130)产品中抽取7件，则质量指标在[110,120)有0.4740.40.3=+件，质量指标在[120,130)有0.3730.40.3=+件...........................

............................................................................................5分所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在[120,130)的概率为

11234237CC217CC155P=+==.....................................................................................................

........................7分（3）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为14.所以4件产品中优质产品的件数1~4,4XB..........

.....................................9分则4.413()C44kkkPXk−==，0,1,2,3,4k=，所以04041381(0)C44256===PX，13141310827(1)C4425664PX

====，2224135427(2)C44256128PX====，33413123(3)C4425664PX====，44411(4)C4256PX===，........................

...........................................................................11分所以X的分布列为X01234P8125627642712836412561()

414EX==.................................................................................................................13分16.解：（1）设椭圆方程为�

�2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，因为𝑒=𝑐𝑎=12，|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|+|𝐹1𝐹2|=2𝑎+2𝑐=6，𝑎2−𝑏2=𝑐2，解得𝑎=2，𝑏=√3，所以椭圆方程为𝑥24+𝑦23

=1...............................................4分（2）由题意直线𝑙的斜率存在且不为0，设直线𝑙的方程为𝑥=𝑚𝑦+4，(𝑚≠0)，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(

𝑥2,𝑦2)，𝐷(𝑥2,−𝑦2)，与椭圆方程联立{𝑥=𝑚𝑦+4𝑥24+𝑦23=1，消去𝑥得(3𝑚2+4)𝑦2+24𝑚𝑦+36=0，所以𝛥=(24𝑚)2−4×36×(3𝑚2+4)=144(𝑚2

−4)>0，即𝑚2>4，由根与系数的关系得{𝑦1+𝑦2=−24𝑚4+3𝑚2𝑦1𝑦2=364+3𝑚2,...................................................................................

6分因为直线𝐴𝐷的方程为𝑦−𝑦1=𝑦1+𝑦2𝑥1−𝑥2(𝑥−𝑥1)，令𝑦=0，得𝑥=𝑥1𝑦2+𝑥2𝑦1𝑦1+𝑦2=(𝑚𝑦1+4)𝑦2+𝑦1(𝑚𝑦2+4)𝑦1+𝑦2=2𝑚𝑦1𝑦2+4(𝑦1+𝑦2)𝑦1+𝑦2=1，

即𝐸(1,0)，...10分又𝑆△𝐴𝐵𝐸=|𝑆△𝐴𝑀𝐸−𝑆△𝐵𝑀𝐸|=12·|𝑀𝐸|·|𝑦1−𝑦2|=32√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2=18×√𝑚2−43𝑚2+4=1

8×√𝑚2−43(𝑚2−4)+16=18×13√𝑚2−4+16√𝑚2−4⩽3√34，当且仅当3√𝑚2−4=16√𝑚2−4，即𝑚2=283时取等号，所以△𝐴𝐵𝐸的面积存在最大值，最大值是3√34．.................

.......................................15分17.解：(1)𝑓′(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−1，当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)<0，所以𝑓(𝑥)在𝑅上单调递减；当𝑎>0时，令𝑓′(𝑥)<0，解得𝑥<−ln𝑎，𝑓(𝑥)在(−∞,−ln𝑎)上单

调递减，令𝑓′(𝑥)>0，解得𝑥>−ln𝑎，𝑓(𝑥)在(−ln𝑎,+∞)上单调递增．..................4分(2)因为𝑓(𝑥)≥0恒成立，而𝑓(0)=0，所以𝑎>0．由(1)可知：𝑓(

𝑥)min=𝑓(−ln𝑎)=1+ln𝑎−𝑎，令函数ℎ(𝑎)=1+ln𝑎−𝑎，ℎ′(𝑎)=1𝑎−1=1−𝑎𝑎，易知ℎ(𝑎)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且ℎ(1)=0，要使得𝑓(𝑥)≥0恒成立

，则𝑎=1，即𝑎的取值集合为{1}．....................7分(3)由𝑓(𝑥1)+𝑥1(1−cos𝑥1)=𝑓(𝑥2)+𝑥2(1−cos𝑥2)=0，可得：𝑎𝑒𝑥1−𝑥1cos𝑥1−𝑎=𝑎𝑒𝑥2−𝑥2cos𝑥2−𝑎=0．设函数𝑔(𝑥)

=𝑎𝑒𝑥−𝑥cos𝑥−𝑎，𝑥∈(−𝜋2,𝜋2)，即𝑔(𝑥)在(−𝜋2,0)和(0,𝜋2)上存在零点．.....................................8分记𝑔″(�

�)是𝑔′(𝑥)的导数，𝑔′′′(𝑥)是𝑔″(𝑥)的导数，𝑔(4)(𝑥)是𝑔的导数．𝑔′(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−cos𝑥+𝑥sin𝑥，𝑔″(𝑥)=𝑎𝑒𝑥+2sin𝑥+

𝑥cos𝑥，在(0,𝜋2)上，若𝑎≤0，则𝑔(𝑥)<0；若𝑎≥1，则𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)>𝑔(0)=0，矛盾．因此，𝑎∈(0,1)为必要条件，下证充分性：.........

.......................10分在(0,𝜋2)上，𝑔′′(𝑥)>0，𝑔′(0)=𝑎−1<0，𝑔′(𝜋2)=𝑎𝑒𝜋2+𝜋2>0，即𝑔′(𝑥)先负后正，因此𝑔(𝑥)先减后增，由𝑔(0)=0，𝑔(𝜋2)=𝑎(𝑒𝜋2−1

)>0，可知：𝑔(𝑥)在区间(0,𝜋2)上有唯一零点．......12分在(−𝜋2,0)上，𝑔，𝑔(4)(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−4sin𝑥−𝑥cos𝑥>0．由，𝑔′′′(0)=𝑎+3>0，可知𝑔′′′(𝑥)先负后正，因此𝑔先减后增，𝑔″(−𝜋2)=𝑎𝑒−𝜋

2−2<0，𝑔″(0)=𝑎>0，可知𝑔″(𝑥)先负后正，𝑔′(𝑥)先减后增．由𝑔′(−𝜋2)=𝑎𝑒−𝜋2+𝜋2>0，𝑔′(0)=𝑎−1<0，可知𝑔′(𝑥)先正后负，因此𝑔(𝑥)先增后减，由

𝑔(−𝜋2)=𝑎(𝑒−𝜋2−1)<0，𝑔(0)=0，可知𝑔(𝑥)在区间(−𝜋2,0)上有唯一零点，符合题意．.......................14分所以𝑎的取值范围为(0,1)．................................

.............15分18.解：（1）取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QAQD=，OAOD=，则QOAD⊥，...........................................

......................2分而2AD=，5QA=，故512QO=−=.在正方形ABCD中，因为2AD=，故1DO=，故5CO=，因为3QC=，故222QCQOOC=+，故QOC为直角三角形且QOOC⊥，.........

...4分因为OCADO=，且,OCAD平面ABCD，故QO⊥平面ABCD，因为QO平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.................6分（2）在平面ABCD内，过O作OTCD∥，交BC于T，因为CD

AD⊥，则OTAD⊥.结合（1）中的QO⊥平面ABCD，且,OTAD平面ABCD，则,OQADOQOT⊥⊥，故直线,,OQOTOD两两互相垂直，故以O为坐标原点，,,OTODOQ所在直线分别为,,xyz轴建如图所示的空间直角坐标系则(0,1,0)D，(0,0,2)

Q，(2,1,0)B−，(2,1,0)C，故()2,1,2BQ=−，()2,2,0BD=−uuur，()2,0,0CD=−...........................................................9分因为14433PABCDP

Vh−==，所以1Ph=，又因为点P为四棱锥QABCD−的侧面QCD内的一点（包含边界），所以点P的轨迹是QCD的中位线EF，...............................................................12分设()01EPEF=，则

(),0,02EPCD==−，31,,12BPBEEP=+=−−，设BP与平面ABCD所成角为，则()21sin1314phBP==++，0,1，..................

........................................15分当1=时，sin取得最小值22929，所以BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值为22929...................

....................17分19.解：（1）依题意：)()1()1(,,)1(*21112)1(2)1(NkkkkSSkkkkkkkk−=−−=−−−−−+个由20242)1(+kk得8264632024,63

=−k..............................................2分分所以4......................................................

....................15045122)163(6351263321512)6263)(6362()45)(54()23)(32(18646362543212222222024=−+=−++++=−−+++−++−++=−+−−+−+−=

S（2）①当k为奇数时，1+k为偶数，分7.......................................................................);........1(]2)2([)1](2)1([2)1()1](2)

1([)21()1](2)1([)1()2(4321)1)(2)1((2222222)1(+−+=++−−+=++−−+++=++−−+−−−++−+−=++−−=+knkkkkknkkkkknkkkknkkkkkknSSkkn②当k为偶

数时，1+k为奇数，分10.......................................................................)];.......1([]2)2([)1](2)1

([2)1()1](2)1([321+−−+=++−++−=++−+−−−−−=knkkkkknkkkkknkSn综上，),1(]2)2([)1(1+−+−=+knkkSkn)(2)2)(1(2)1(**NnNkkknkk+

++；........................................................................12分（3）由（2）知，当2)1(2)1(+−kknk

k时，knkkSkn−+−−=]2)1)(1([)1(，kakn1)1(−−=，kkkkk=−−+2)1(2)1(，因为nS是na的整数倍，所以]2)1)(1([nkk−+−为整数，所以k为奇数，由20242)1(+kk得63k

，...............................15分所以满足条件的n的个数为102432263163531=+=++++，所以集合2024P中元素的个数为1024...........................................17分