【文档说明】2023年高考真题——数学（北京卷） Word版含解析.docx，共(25)页，1.637 MB，由小赞的店铺上传

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2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小

题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}MxxNxx=+=−∣∣，则MN=（）A.{21}xx−∣B.{21}xx−∣C.{2}xx−∣D.{1}xx

∣【答案】A【解析】【分析】先化简集合,MN，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}Mxxxx=+=−∣，{10}{|1}Nxxxx=−=∣，根据交集的运算可知，{|21}MNxx=−.故选：A2.在复平面内，复数z对应的点的坐

标是(1,3)−，则z的共轭复数z=（）A.13i+B.13i−C.13i−+D.13i−−【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】z在复平面对应的点是(1,3)−，根据复数的几何意义，13iz=−+，

由共轭复数的定义可知，13iz=−−.故选：D3.已知向量ab，满足(2,3),(2,1)abab+=−=−，则22||||ab−=（）A.2−B.1−C.0D.1【答案】B【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表

示求解作答.【详解】向量,ab满足(2,3),(2,1)abab+=−=−，所以22||||()()2(2)311ababab−=+−=−+=−.故选：B4.下列函数中，在区间(0,)+上单调递增的是（）A.()lnfxx=−B.1()2xfx=C.1()

fxx=−D.|1|()3xfx−=【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为lnyx=在()0,+上单调递增，yx=−在()0,+上单调递减，所以()lnfxx=−在()0,

+上单调递减，故A错误；对于B，因为2xy=在()0,+上单调递增，1yx=在()0,+上单调递减，所以()12xfx=在()0,+上单调递减，故B错误；对于C，因为1yx=在()0,+上单调递减，yx=−在()0,+上单调递减，所以()1fxx=−在()0,+上单

调递增，故C正确；对于D，因为1112213332f−===，()()112101331,233ff−−=====，显然()13xfx−=在()0,+上不单调，D错误.故选：C.5.512xx−的展开式中x的系数为（）．A.80−B.40−C.40D.80【答案

】D【解析】【分析】写出512xx−的展开式的通项即可【详解】512xx−的展开式的通项为()()55521551212rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−令521r−

=得2r=所以512xx−的展开式中x的系数为()252251280C−−=故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.6.已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，点M在C上．若M到直线3x=−的距离为5，则||MF=（）A.7B.6C.5D.4

【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线2:8Cyx=的焦点()2,0F，准线方程为2x=−，点M在C上，所以M到准线2x=−的距离为MF，又M到直线3x=−的距离为5，所以15MF+=，故4MF=.故选：D.7.在ABC中

，()(sinsin)(sinsin)acACbAB+−=−，则C=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sinsin)(sinsin)acACbAB+−=−，所以由正弦定理得()()()aca

cbab+−=−，即222acabb−=−，则222abcab+−=，故2221cos222abcabCabab+−===，又0πC，所以π3C=.故选：B.8.若0xy，则“0xy+=”是“2yxxy+=−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.

既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解法一：由2xyyx+=−化简得到0xy+=即可判断；解法二：证明充分性可由0xy+=得到xy=−，代入xyyx+化简即可，证明必要性可由2xyyx+=−去分母，再用完全平方

公式即可；解法三：证明充分性可由xyyx+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0xy+=代入即可，证明必要性可由xyyx+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0xy+=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy，且2xyyx+=−，所以222xyxy+=−，即2220xyx

y++=，即()20xy+=，所以0xy+=.所以“0xy+=”是“2xyyx+=−”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy，且0xy+=，所以xy=−，所以112xyyyyxyy−+=+=−−=−−，所以

充分性成立；必要性：因为0xy，且2xyyx+=−，所以222xyxy+=−，即2220xyxy++=，即()20xy+=，所以0xy+=.所以必要性成立.所以“0xy+=”是“2xyyx+=−”的充要条件.解法三

：充分性：因为0xy，且0xy+=，所以()2222222222xyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxy+−+++−−+=====−，所以充分性成立；必要性：因为0xy，且2xyyx+=−，所以()()22222222222x

yxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxy+−++++−+====−=−，所以()20xyxy+=，所以()20xy+=，所以0xy+=，所以必要性成立.所以“0xy+=”是“2xyyx+=−”的充要条件.故选：C9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元

素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10mABBCAD===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱

长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m【答案】C【解析】【分析】先根据线面角的定义求得5tantan14EMOEGO==，从而依次求EO，EG，EB，EF，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E做EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别做EGB

C⊥，EMAB⊥，垂足分别为G，M，连接,OGOM，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO和EGO，所以5tantan14EMOEGO==.因为EO⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以EOBC⊥，因为EGBC⊥，,EOEG平面E

OG，EOEGE=，所以BC⊥平面EOG，因为OG平面EOG，所以BCOG⊥，.同理：OMBM⊥，又BMBG⊥，故四边形OMBG是矩形，所以由10BC=得5OM=，所以14EO=，所以5OG=，所以在直角三角形EOG中，()222253149EGEOOG=+=+=在直角三角形EBG中，5BG

OM==，()22223958EBEGBG=+=+=，又因为55255515EFAB=−−=−−=，所有棱长之和为2252101548117m+++=.故选：C10.已知数列na满足()31166(1,2,3,

)4nnaan+=−+=，则（）A.当13a=时，na为递减数列，且存在常数0M≤，使得naM恒成立B.当15a=时，na为递增数列，且存在常数6M，使得naM恒成立C.当17a=时，na为递减数列，且

存在常数6M，使得naM恒成立D.当19a=时，na为递增数列，且存在常数0M，使得naM恒成立【答案】B【解析】【分析】利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.【详解】因为()311664nnaa+=−+，故()311646nnaa+=−−，对于A

，若13a=，可用数学归纳法证明：63na−−即3na，证明：当1n=时，1363a−=−−，此时不等关系3na成立；设当nk=时，63ka−−成立，则()3162514764,4kkaa+−−−−=，故136ka+−−成立，由数学归纳法

可得3na成立.而()()()()231116666441nnnnnnaaaaaa+=−−−=−−−−，()20144651149na−−=−，60na−，故10nnaa+−，故1nnaa+，故na为减数列，注意1063ka+−−故()

()()()23111666649644nnnnnaaaaa+−=−=−−−，结合160na+−，所以()16694nnaa+−−，故119634nna+−−，故119634nna+−−，若存在常数0M≤，使得naM恒成立，则1

9634nM−−，故16934nM−−，故9461log3Mn−+，故naM恒成立仅对部分n成立，故A不成立.对于B，若15,a=可用数学归纳法证明：106na−−即56na，证

明：当1n=时，10611a−−−=，此时不等关系56na成立；设当nk=时，56ka成立，则()31164416,0kkaa+−−=−，故1106ka+−−成立即由数学归纳法可得15

6ka+成立.而()()()()231116666441nnnnnnaaaaaa+=−−−=−−−−，()201416na−−，60na−，故10nnaa+−，故1nnaa+，故na为增数列，若6M=，则6na恒成立，故B正确.对于C，当17a=时，可用数学归纳法

证明：061na−即67na，证明：当1n=时，1061a−，此时不等关系成立；设当nk=时，67ka成立，则()31160,4164kkaa+−=−，故1061ka+−成立即167

ka+由数学归纳法可得67na成立.而()()21166014nnnnaaaa+=−−−−，故1nnaa+，故na为减数列，又()()()2111666644nnnnaaaa+−=−

−−，结合160na+−可得：()111664nnaa+−−，所以1164nna++，若1164nna++，若存在常数6M，使得naM恒成立，则164nM−恒成立，故()14log6

nM−，n的个数有限，矛盾，故C错误.对于D，当19a=时，可用数学归纳法证明：63na−即9na，证明：当1n=时，1633a−=，此时不等关系成立；设当nk=时，9ka成立，则()3162764143kkaa+−=−，故19ka+成立由数学

归纳法可得9na成立.而()()21166014nnnnaaaa+=−−−−，故1nnaa+，故na为增数列，又()()()2119666446nnnnaaaa+−=−−−，结合60na−可得：()11116396449nnnaa−−+−−=

，所以114963nna−++，若存在常数0M，使得naM恒成立，则19643nM−+，故19643nM−+，故946log13Mn−+

，这与n的个数有限矛盾，故D错误.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，

共25分．11.已知函数2()4logxfxx=+，则12f=____________．【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，把12x=代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数2()4logx

fxx=+，所以12211()4log21122f=+=−=.故答案为：112.已知双曲线C的焦点为(2,0)−和(2,0)，离心率为2，则C的方程为____________．【答案】22122xy−=【解析】【分

析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为,ab，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距2c=，由双曲线C的离心率为2，得2ca=，解得2a=，则222bca=−=，所以双

曲线C的方程为22122xy−=.故答案为：22122xy−=13.已知命题:p若,为第一象限角，且，则tantan．能说明p为假命题的一组,的值为=__________，=_________．【答案】①.9π4②.π3【解析】【分析】根据正切函数单调性以及任意

角的定义分析求解.【详解】因为()tanfxx=在π0,2上单调递增，若00π02，则00tantan，取1020122π,2π,,kkkk=+=+Z，则()()100200tantan2πtan,tantan2πtank

k=+==+=，即tantan，令12kk，则()()()()102012002π2π2πkkkk−=+−+=−+−，因为()1200π2π2π,02kk−−−，则()()12003π2π02kk−=−+−，即12kk，

则.不妨取1200ππ1,0,,43kk====，即9ππ,43==满足题意.故答案为：9ππ;43.14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列na，该数列的前3

项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192aaa===，则7a=___________；数列na所有项的和为____________．【答案】①.48②.384【解析】【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解,dq，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求73,

aa，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【详解】方法一：设前3项的公差为d，后7项公比为0q，则4951921612aqa===，且0q，可得2q=，则53212aadq=+=，即123d+=，可得1d=，

空1：可得43733,48aaaq===，空2：()127693121233232338412aaa−=+++++=+=−+++L方法二：空1：因为,37nan为等比数列，则527291219

248aaa===，且0na，所以748a=；又因为2537aaa=，则25373aaa==；空2：设后7项公比为0q，则2534aqa==，解得2q=，可得()133933456712893319226,3812112aaaaqaaaa

aaaaaqa+−−==++++++===−−++，所以12396381384aaaa+++=+−=L.故答案为：48；384.15.设0a，函数222,,(),,1,.xxafxaxaxaxxa+−=−−−−，给出下列四个结论：①()fx在

区间(1,)a−+上单调递减；②当1a时，()fx存在最大值；③设()()()()()()111222,,,MxfxxaNxfxxa，则||1MN；④设()()()()()()333444,,,PxfxxaQxfxxa−−．若||PQ存在最小值，则

a的取值范围是10,2．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③【解析】【分析】先分析()fx的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a=，结合图像即可判断；对于②，分段讨

论()fx的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN的范围；对于④，取45a=，结合图像可知此时PQ存在最小值，从而得以判断.【详解】依题意，0a，当xa−时，()2fxx=+，易知其图像为一条端点取不到值的单调

递增的射线；当axa−时，()22fxax=−，易知其图像是，圆心为()0,0，半径为a的圆在x轴上方的图像（即半圆）；当xa时，()1fxx=−−，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a=，则()fx的图像如下，显然，当(1,)xa−+，即1,2x

−+时，()fx在1,02−上单调递增，故①错误；对于②，当1a时，当xa−时，()221fxxa=+−+；当axa−时，()22fxax=−显然取得最大值a；当xa时，()11

2fxxa=−−−−−，综上：()fx取得最大值a，故②正确；对于③，结合图像，易知在1xa=，2xa且接近于xa=处，()()()()()()111222,,,MxfxxaNxfxxa的距离最小，当1xa=时，()10yfx==，当2xa且接近于xa=处，()221y

fxa=−−，此时，1211MNyya−+，故③正确；对于④，取45a=，则()fx的图像如下，因为()()()()()()333444,,,PxfxxaQxfxxa−−，结合图像可知，要使PQ取得最小

值，则点P在()425fxxx=+−上，点Q在()216442555fxxx=−−，同时PQ的最小值为点O到()425fxxx=+−的距离减去半圆的半径a，此时，因为()425fxyx

x==+−的斜率为1，则1OPk=−，故直线OP的方程为yx=−，联立2yxyx=−=+，解得11xy=−=，则()1,1P−，显然()1,1P−在()425fxxx=+−上，满足P

Q取得最小值，即45a=也满足PQ存在最小值，故a的取值范围不仅仅是10,2，故④错误.故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得()fx的图像，特别是当axa−时，()22fxax=−的图像为半圆，解决

命题④时，可取特殊值进行排除即可.三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，13PAABBCPC====，．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角APCB−−的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解

析】【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PABC⊥，再利用勾股定理证得BCPB⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面PBC的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐

标表示即可得解.【小问1详解】因为PA⊥平面,ABCBC平面ABC，所以PABC⊥，同理PAAB⊥，所以PAB为直角三角形，又因为222PBPAAB=+=，1,3BCPC==，所以222PBBCPC+=，则PBC为直角三角形，故BCPB⊥，又因为BCPA⊥，PAPBP=，所以

BC⊥平面PAB.【小问2详解】由（1）BC⊥平面PAB，又AB平面PAB，则BCAB⊥，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)APCB，所以(0,0,1),(1,1,0),(0

,1,0),(1,1,1)APACBCPC====−，设平面PAC的法向量为()111,,mxyz=，则00mAPmAC==，即1110,0,zxy=+=令11x=，则11y=−，所以(1,1,0

)m=−，设平面PBC的法向量为()222,,xnyz=，则00nBCnPC==，即222200yxyz=+−=，令21x=，则21z=，所以(1,0,1)n=，所以11cos,222mnmnmn===，又因为二面角AP

CB−−为锐二面角，所以二面角APCB−−的大小为π3.17.设函数π()sincoscossin0,||2fxxx=+．（1）若3(0)2f=−，求的值．（2）已知()fx在区间π2π,3

3−上单调递增，2π13f=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()fx存在，求,的值．条件①：π23f=；条件②：π13f−=−；条件③：()fx在区间ππ,23−−上单调递减．注：

如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3=−.（2）条件①不能使函数()fx存在；条件②或条件③可解得1=，π6=−.【解析】【

分析】（1）把0x=代入()fx的解析式求出sin，再由π||2即可求出的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()fx的解析式化简，根据()fx在π2π,33−上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出的值；把的值代入()fx的解析式，由π13f−=−

和π||2即可求出的值；若选条件③：由()fx的单调性可知()fx在π3x=−处取得最小值1−，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【小问1详解】因为π()sincoscossin,0,||2fxxx=+所以()()3(0)sin0coscos0si

nsin2f=+==−，因为π||2，所以π3=−.【小问2详解】因为π()sincoscossin,0,||2fxxx=+，所以()π()sin,0,||2fxx=+，所以()fx的最大值为1，最小值为1−.若选条件

①：因为()()sinfxx=+的最大值为1，最小值为1−，所以π23f=无解，故条件①不能使函数()fx存在；若选条件②：因为()fx在π2π,33−上单调递增，且2π13f=，π13f−=−所以

2πππ233T=−−=,所以2πT=,2π1T==,所以()()sinfxx=+，又因为π13f−=−，所以πsin13−+=−，所以ππ2π,Z32kk−+=−

+，所以π2π,Z6kk=−+，因为||2，所以π6=−.所以1=，π6=−；若选条件③：因为()fx在π2π,33−上单调递增，在ππ,23−−上单调递减，所以()fx在π3x=−处取得最小值1−，即π13

f−=−.以下与条件②相同．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“

-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（1）试估计

该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个

最大．（结论不要求证明）【答案】（1）0.4（2）0.168（3）不变【解析】【分析】（1）计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算；（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；（3）通过统计表格中前一

次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【小问1详解】根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：160.440=【小问2详解】在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也

就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是22142C0.4C0.350.250.168=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不

变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.19.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的离心率为53，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，||4AC=．（1）求E的方程；（2）设P为第一象限内E上的动点，直线PD

与直线BC交于点M，直线PA与直线2y=−交于点N．求证：//MNCD．【答案】（1）22194xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意得到53ca=，24b=，再结合222acb−=，解之即可；（2）依题意求得直线BC、PD与PA的方程，从而求得点,MN的坐标，进而求得

MNk，再根据题意求得CDk，得到MNCDkk=，由此得解.【小问1详解】依题意，得53cea==，则53ca=，又,AC分别为椭圆上下顶点，4AC=，所以24b=，即2b=，所以2224acb−==，即22254499aaa

−==，则29a=，所以椭圆E的方程为22194xy+=.【小问2详解】因为椭圆E的方程为22194xy+=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0ACBD−−，因为P为第一象限E上的动点，设()(),03,02Pmnmn，则22194mn+=，易得0223

03BCk+==−−−，则直线BC的方程为223yx=−−，033PDnnkmm−==−−，则直线PD的方程为()33nyxm=−−，联立()22333yxnyxm=−−=−−，解得()332632612326nmxnmnynm−+=+

−−=+−，即()332612,326326nmnMnmnm−+−+−+−，而220PAnnkmm−−==−，则直线PA的方程为22nyxm−=+，令=2y−，则222nxm−−=+，解得42mxn−=−，即4,22mNn−−−，

又22194mn+=，则22994nm=−，2287218mn=−，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnnmnnmknmnmnmnmmnmn−+−+−−+−==−+−+−++−−−+−−22222264824648249

8612369612367218nmnmnmnmnmmnmnmnnm−+−+−+−+==++−−−++−−()()22222324126482429612363332412nmnmnmnmnmnmnmnm−+−+−+−+===−+−+−+−+，又022303CDk+==−，即MNCDkk=

，显然，MN与CD不重合，所以//MNCD.20.设函数3()eaxbfxxx+=−，曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为1yx=−+．（1）求,ab的值；（2）设函数()()gxfx=，求()gx的单调区间；（3）求()fx的极值点个数．【答案】（

1）1,1ab=−=（2）答案见解析（3）3个【解析】【分析】（1）先对()fx求导，利用导数的几何意义得到(1)0f=，(1)1f=−，从而得到关于,ab的方程组，解之即可；（2）由（1）得()gx的解析式，从而求得()gx，利用

数轴穿根法求得()0gx与()0gx的解，由此求得()gx的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(),0−，()10,x，()12,xx与()2,x+上()fx的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得()fx的极值点

个数.【小问1详解】因为3R()e,axbfxxxx+=−，所以()()2313eaxbfxaxx++=−，因为()fx在(1,(1))f处的切线方程为1yx=−+，所以(1)110f=−+=，(1)1f=−

，则()311e013e1ababa++−=−+=−，解得11ab=−=，所以1,1ab=−=.【小问2详解】由（1）得()()()()231R13exgfxxxxx−+−==−，则()()1266exxgxxx−++−=−，令2660xx−+=，解得33x=，不妨设13

3x=−，233x=+，则120xx，易知1e0x−+恒成立，所以令()0gx，解得10xx或2xx；令()0gx，解得0x或12xxx；所以()gx在()10,x，()2,x

+上单调递减，在(),0−，()12,xx上单调递增，即()gx的单调递减区间为()0,33−和()33,++，单调递增区间为(),0−和()33,33−+.【小问3详解】由（1）得()31R()exfxxxx−+=−，()()23113exfxxx

−+−=−，由（2）知()fx在()10,x，()2,x+上单调递减，在(),0−，()12,xx上单调递增，当0x时，()24011ef−=−，()010f=，即()()010ff−所以()fx在(),

0−上存在唯一零点，不妨设为3x，则310x−，此时，当3xx时，()0fx，则()fx单调递减；当30xx时，()0fx¢>，则()fx单调递增；所以()fx在(),0−上有一个极小值点；当()10,xx时，()fx在()10,x上单调递减，则()()()1331120fx

ff=−=−，故()()100ffx，所以()fx在()10,x上存在唯一零点，不妨设为4x，则410xx，此时，当40xx时，()0fx¢>，则()fx单调递增；当41xxx时，()0fx，则()fx单调递减；所以()fx在()10,x上有一个极大值点；当()1

2,xxx时，()fx在()12,xx上单调递增，则()()()233310fxff=+=，故()()120fxfx，所以()fx在()12,xx上存在唯一零点，不妨设为5x，则152xxx，此时，当15xxx时，

()0fx，则()fx单调递减；当52xxx时，()0fx，则()fx单调递增；所以()fx在()12,xx上有一个极小值点；当2333xx=+时，()232330xxxx−=−，所以()()231013exfxxx−+=−−，则()fx单调递增，

所以()fx在()2,x+上无极值点；综上：()fx在(),0−和()12,xx上各有一个极小值点，在()10,x上有一个极大值点，共有3个极值点.【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断()1fx与()2fx的正负情况，充分利用()fx的单调性，寻找特殊点判断即可得解.21.

已知数列,nnab的项数均为m(2)m，且,{1,2,,},nnabm,nnab的前n项和分别为,nnAB，并规定000AB==．对于0,1,2,,km，定义max,{0,1,2

,,}kikriBAim=∣，其中，maxM表示数集M中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3aaabbb======，求0123,,,rrrr的值；（2）若11ab，且112,1,2,

,1,jjjrrrjm+−+=−，求nr；（3）证明：存在,,,0,1,2,,pqstm，满足,,pqst使得tpsqABAB+=+．【答案】（1）00r=，11r=，22r=，33r=（2）,nrnn=N（3）证明见详解【解析】

【分析】（1）先求01230123,,,,,,,AAAABBBB，根据题意分析求解；（2）根据题意题意分析可得11iirr+−，利用反证可得11iirr+−=，在结合等差数列运算求解；（3）讨论,mmAB的大小，根据题意结合反证法分析证明.【小

问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,3,6AAAABBBB========，当0k=时，则0000,,1,2,3iBABAi===，故00r=；当1k=时，则01111,,,2,3iB

ABABAi=，故11r=；当2k=时，则232,0,1,2,,iBAiBA=故22r=；当3k=时，则3,0,1,2,3iBAi=，故33r=；综上所述：00r=，11r=，22r=，33r=.【小问2详解】由题意可知：nrm，且nrN，因为1

,1nnab，则111,1nnAaBb==，当且仅当1n=时，等号成立，所以010,1rr==，又因为112iiirrr−++，则11iiiirrrr+−−−，即112101mmmmrrrrrr−−−−−

−=，可得11iirr+−，反证：假设满足11nnrr+−的最小正整数为11jm−，当ij时，则12iirr+−；当1ij−时，则11iirr+−=，则()()()112100mmmmmrrrr

rrrr−−−=−+−++−+()22mjjmj−+=−，又因为11jm−，则()2211mrmjmmmm−−−=+，假设不成立，故11nnrr+−=，即数列nr是以首项为1，公差为1的等差数

列，所以01,nrnnn=+=N.【小问3详解】（ⅰ）若mmAB，构建,1nnnrSABnm=−，由题意可得：0nS，且nS为整数，反证，假设存在正整数K，使得KSm，则1,0KKKrKrABmAB+−−，可得()()

111KKKKKrrrKrKrbBBABABm+++=−=−−−，这与11,2,,Krbm+相矛盾，故对任意1,nmnN，均有1nSm−.①若存在正整数N，使得0NNNrSAB=−=，即

NNrAB=，可取0,,NrpqNsr====，使得psqrBBAA+=+；②若不存在正整数N，使得0NS=，因为1,2,1nSmm−，且1nm，所以必存在1XYm，使得XYSS=，即XYXrYrABAB−=−，可得YXXrYrABAB+=+，可取,,,YX

pXsrqYrr====，使得psqrBBAA+=+；（ⅱ）若mmAB，构建,1nnrnSBAnm=−，由题意可得：0nS，且nS为整数，反证，假设存在正整数K，使得KSm−，则1,0KKrKrKBAmBA+−−

−，可得()()111KKKKKrrrrKrKbBBBABAm+++=−=−−−，这与11,2,,Krbm+相矛盾，故对任意1,nmnN，均有1nSm−.①若存在正整数N，使得0NNrNSBA=−=，即NNrAB=，可取0,,NrpqNsr====，使得psqr

BBAA+=+；②若不存在正整数N，使得0NS=，因为1,2,,1nSm−−−，且1nm，所以必存在1XYm，使得XYSS=，即XYrXrYBABA−=−，可得YXXrYrABAB+=+，可取,,,YXpXsrqYrr====，使得ps

qrBBAA+=+；综上所述：存在0,0pqmrsm使得psqrBBAA+=+．【点睛】方法点睛：对于一些直接说明比较困难的问题，可以尝试利用反证法分析证明.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号

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