【文档说明】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二上学期11月期中数学试卷+PDF版含答案.pdf，共(26)页，2.560 MB，由小赞的店铺上传

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滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高二期中考试数学试卷命题人：大连市第二十三中学凌云校对人：大连市第二十三中学李丽晶一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）1.椭圆2211625xy的焦点坐标是（）A.(0,3),(0,3)B.(3,0),(3,0)C.(0,5),(0,5)D.(4,0),(4,0)2.已知直线1:2

410lkxky与2:22230lkxy平行，则k的值是（）A.1B.2或5C.5D.1或23.过点0,0A、2,2B且圆心在直线24yx上的圆的标准方程为（）A.2224xyB.

2224xyC.22448xyD.22448xy4.已知点1,2A，1,0C，点A关于直线10xy的对称点为点B，在PBC中，||2||PCPB，则PBC面积的最大值为（）A．42B．32C．22D．25.记椭圆C：

22221(0)xyabab的左顶点为A，右焦点为F，过点A且倾斜角为30的直线l与椭圆C交于另一点B，若BFAF，则椭圆C的离心率为（）A．333B．332C．312D．316.下列

结论正确的是（）①过点2,3A且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为5xy；②圆224xy上有且仅有3个点到直线l：20xy的距离都等于1③直线24ykx与曲线214yx=+-有两个不同的交点，则实数k的取值范围是{#{QQABLYAUogggAB

BAAAgCEwEyCgKQkBGCCIoOQEAAoAABgANABAA=}#}④已知直线10kxyk和以3,1M，3,2N为端点的线段相交，则实数k的取值范围为1322k；7.已知三棱锥ABCP的棱PA、AB、AC两两垂直，2ACPA，4

AB，D为AB的中点，E在棱BC上，且//AC平面PDE，则下列说法错误的是（）。A、PDPCABPE212141B、PC与平面ABC所成的角为45C、三棱锥ABCP外接球的表面积为20D、点A到

平面PDE的距离为28.在对角线16AC的正方体1111ABCDABCD中，正方形11BCCB所在平面内的动点P到直线11DC、DC的距离之和为4，则1PCPC的取值范围是（）A．[2,1]B．[0,1]C

．[1,1]D．12,4二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知直线l：320xy，则下列选项中不正确的有（）A．直线l的倾斜角为5π6B．直线l的斜率为3C．直线l的一个法向量为1,3

uD．直线l的一个方向向量为3,3v10.已知圆221:1Cxy和圆222:40Cxyx的公共点为A，B，则（）A.12||2CCB.直线AB的方程是14xC.12ACACD.15||2AB{#{QQABLYAUo

gggABBAAAgCEwEyCgKQkBGCCIoOQEAAoAABgANABAA=}#}11.如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是（）A．平面平面B．线段PQ的最小值为C．当AQ=QC，4P

D=QC时，点D到直线PQ的距离为D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为12.已知C：222210xyabab的左，右焦点分别为1F，2F，长轴长为6，点6,1M在椭圆C外，点N在椭

圆C上，则下列说法中正确的有（）A．椭圆C的离心率的取值范围是6,13B．椭圆C上存在点Q使得120QFQFC．已知0,2E，当椭圆C的离心率为223时，NE的最大值为13D．1212NFNFNFNF的最小值为23三．填空题（共4小题，满分20

分，每小题5分）13.已知直线l过点−3,4且方向向量为1,−2，则l在x轴上的截距为______.14.设点P是圆221xy上任意一点，由点P向x轴作垂线0PP，垂足为0P,且0032MPPP，求点M的轨迹C的方程_______________.

{#{QQABLYAUogggABBAAAgCEwEyCgKQkBGCCIoOQEAAoAABgANABAA=}#}15.如图所示，在平行六面体1111DCBAABCD中，AC与BD交于O点，1A在底面的射影为O点，1

AA与底面所成的角为60，1AB，43coscos11ABAADA，则对角线1AC的长为。16.已知圆C：22(1)(2)5xy，点2,3M，过点M且垂直于CM的直线交圆C于A，B两点，过

A，B两点分别作圆C的切线，两切线相交于点P，则过点P且平行于AB的直线方程为______．四．解答题（共6小题，满分70分）17.在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点1,2A和5,4,CAB所在直线的方程为30xy，（1）求对角线BD所在直线一般形

式方程；（2）求AD所在直线一般形式方程．18.圆心在直线20xy上的圆C，经过点2,1A，并且与直线10xy相切（1）求圆C的方程；（2）圆C被直线:2lykx分割成弧长的比值为12的两段弧，求直线l的

方程.19.已知四棱锥ABCDE，底面BCDE为平行四边形，2AB，2ACBC，3BE，5CE，7AE．（Ⅰ）若平面ABC平面ADEl，证明：//lBC；（Ⅱ）求二面角DAEC的余弦值．20

.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．21

如图，已知圆22430Mxyx：，点1Pt，为直线1lx：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．{#{QQABLYAUogggABBAAAgCEwEyCgKQkBGCCIoOQEAAoAABgANABAA=}#}(1)求直线AB的方程，并判

断直线AB是否过定点?若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求ST的最小值．22.如图，在三棱柱���������−���1��

�1���1中，底面是边长为2的等边三角形，������1=2,���,���分别是线段������,������1的中点，���1在平面���������内的射影为���.(1)求证：���1���⊥平面�

��������；(2)若点���为棱���1���1的中点，求点���到平面���������的距离；(3)若点���为线段���1���1上的动点（不包括端点），求锐二面角���−������−��

�的余弦值的取值范围.{#{QQABLYAUogggABBAAAgCEwEyCgKQkBGCCIoOQEAAoAABgANABAA=}#}滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高二期中考试数学试卷命题人：大连市第二十三中学凌云校对人：大连市第二十三中学

李丽晶一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.椭圆2211625xy的焦点坐标是（）A.(0,3),(0,3)B.(3,0),(3,0)C.(0,5),(0,5

)D.(4,0),(4,0)【答案】A详解】因为椭圆2211625xy，225a，216b，焦点在y轴，所以25163c，焦点坐标为(0,3),(0,3).2.已知直线1:2410lkxky与2:22230lk

xy平行，则k的值是（）A.1B.2或5C.5D.1或2【答案】B【详解】由平行条件可知，当20k时，241=2223kkk，解得5k；当2=0k时，解得=2k，此时12:

2+1=0,:23=0lyly，两条直线也平行；所以=2k或5k.3.过点0,0A、2,2B且圆心在直线24yx上的圆的标准方程为（）A.2224xyB.2224xyC.22448xyD.22448xy【答案】A【详解】设圆心为

,24Caa，由ACBC可得222224226aaaa，整理可得20a，解得2a，所以圆心2,0C，所求圆的半径为2AC，因此，所求圆的标准方程为2224xy.4.已知点1,2A，1,

0C，点A关于直线10xy的对称点为点B，在PBC中，||2||PCPB，则PBC面积的最大值为（）A．42B．32C．22D．2【答案】C【详解】设B的坐标为00,xy，则00000021,11012+1022yxxyxy，则

B的坐标为(1,0)，设(,)Pxy，22222(1)2(1)2PCPBxyxy22106xyx，22(3)8xy．所以max11222222222PBCSBC△.故选：C5.记

椭圆C：22221(0)xyabab的左顶点为A，右焦点为F，过点A且倾斜角为30的直线l与椭圆C交于另一点B，若BFAF，则椭圆C的离心率为（）A．333B．332C．312D．31【

答案】A详解】因为椭圆22221xyab的左顶点为A，右焦点为F，所以,0,,0AaFc，因为点B在x轴上方，又BFAF，所以将xc代入椭圆C可得2bya，即2,bBca，因为直线l的倾斜角为

30，所以23baca，又222bac，化简2223aacac，所以2131ee解得333e.故选：A.6.下列结论正确的是（）①过点2,3A且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为5xy；②圆224xy上有且仅有3个点到直线l

：20xy的距离都等于1；③；C.直线24ykx与曲线214yx=+-有两个不同的交点，则实数k的取值范围是④已知直线10kxyk和以3,1M，3,2N为端点的线段相交，则实数k的取值范围为1322k；A．①③B．②③C．②④D．③④

【答案】B【解析】对①，当截距为零时，易得直线l为32yx，①错；对②，圆224xy的圆心为0,0，半径2r，则圆心到l的距离为0021211r，故圆224xy上有且仅有3个点到直线l：20xy的距离都等于1，②

对；对③，对于选项C：由题知直线24ykx过定点2,4P，曲线214yx=+-表示以0,1为圆心，2为半径的圆在直线1y及上方的半圆，如图，直线PB为过点2,4P，与半圆相切的切线，切点为B，所以，要使直线24y

kx与曲线214yx=+-有两个不同的交点，则PBPAkkk，所以，当直线24ykx与半圆相切时，有23221kk，解得512k，即512PBk因34PAk，所以实数k的取值范围

是对④，直线1011kxykykx，过定点1,1H，则123111,132132HNHMkk，直线10kxyk和以3,1M，3,2N为端点的线段相交

，则32k或12k，④错；故选：B7.已知三棱锥ABCP的棱PA、AB、AC两两垂直，2ACPA，4AB，D为AB的中点，E在棱BC上，且//AC平面PDE，则下列说法错误的是（）。A、PDPCABPE2

12141B、PC与平面ABC所成的角为45C、三棱锥ABCP外接球的表面积为20D、点A到平面PDE的距离为2【答案】C为【解析】∵//AC平面PDE，AC平面ABC，平面ABC平面DEPDE，∴DEAC//，∵D为AB的中点，∴E为BC的中

点，则PDPCABPCABPDPCPBPE212141)21(21)(21，A选项对，∵PA、AB、AC两两垂直，AACAB，AB、AC平面ABC，∴PA平面ABC，得PC与平面ABC所成的角为PCA，又2ACPA，∴45PCA，B选项对，由题意

可知三棱锥ABCP可补形得到一个以PA、AB、AC为相邻三条棱的长方体，∵2ACPA，4AB，∴三棱锥ABCP外接球的半径62422222r，∴三棱锥ABCP外接球的表面积为2442r，C选项错，∵PA、AB、A

C两两垂直，AABPA，PA、AB平面PAB，∴AC平面PAB，又DEAC//，∴DE平面PAB，DE平面PDE，∴平面PDE平面PAB，∵平面PDE平面ADPAB，∴点A到平面PDE的距离即点A到PD的距离，在PADRt中，2PA、2AD，∴2

2PD，则PD边上的高为22222，即点A到平面PDE的距离为2，D选项对，故选C。8.在对角线16AC的正方体1111ABCDABCD中，正方形11BCCB所在平面内的动点P到直线11DC、DC的距

离之和为4，则1PCPC的取值范围是（）A．[2,1]B．[0,1]C．[1,1]D．12,4【答案】A设,Pxy，因为点P到直线11DC、DC的距离之和为4，所以点P到点1C和点C的距离之和为4，

由椭圆的定义可知：点P的轨迹是椭圆的一部分，以1CC所在的直线为x轴，线段1CC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为正方体的体对角线16AC，所以正方体的棱长为23，则3,0C，13,0C，所以3c，2a

，1b，可得点P的轨迹为椭圆2214xy，所以13,PCxy，3,PCxy，则2221333PCPCxxyxy222313244xxx

，因为22x，所以204x，所以232214x，由此可得121PCPC，故选：A.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知直线l：320xy，则下列选项中不正确的有（）A

．直线l的倾斜角为5π6B．直线l的斜率为3C．直线l的一个法向量为1,3uD．直线l的一个方向向量为3,3v【答案】ABC【详解】将直线l的方程320xy化为斜截式得32yx，即直线l的斜率3k，对于A，由直线l的斜率3k知，直线l的倾斜角为2π

3，故选项A不正确；对于B，直线l的斜率3k，故选项B不正确；直线l的一个方向向量01,1,3vk对于C，0113320uv，因此u与0v不垂直，故选项C不正确；对于D，03,33vv

，∴0vv∥，故选项D正确.选项中，不正确的有A，B，C三项.故答案为：ABC.10.已知圆221:1Cxy和圆222:40Cxyx的公共点为A，B，则（）A.12||2CCB.直线AB的方程是14xC.12ACACD.15||2AB【答案】AB

D【详解】圆1C的圆心是0,0，半径11r，圆222:24Cxy，圆心2,0，22r，122CC，故A正确；两圆相减就是直线AB的方程，两圆相减得1414xx，故B正确；11AC，22AC，122CC，2221212

ACACCC，所以12ACAC不正确，故C不正确；圆心0,0到直线14x的距离14d，22115221162ABrd，故D正确.故选：ABD11.如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之

间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是（）A．平面平面B．线段PQ的最小值为C．当AQ=QC，4PD=QC时，点D到直线PQ的距离为D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为【解答过程】取的中点，连接，∵在菱形中，，，

∴，又，∴，所以，又易知，因为，，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；以为原点，分别为轴建立坐标系，则，当，时，，，，，所以点D到直线PQ的距离为，故C错误；设，设，可得，，当时，，故B正确；当P，Q分别为线段BD，C

A的中点时，，，，，设PQ与AD所成的角为，则，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；故选：ABD12.已知C：222210xyabab的左，右焦点分别为1F，2F，长轴长为6，点6,1M在椭圆C外，点N在椭圆C上，则下列说

法中正确的有（）A．椭圆C的离心率的取值范围是6,13B．椭圆C上存在点Q使得120QFQFC．已知0,2E，当椭圆C的离心率为223时，NE的最大值为13D．1212NFNFNFNF的最小值为23【答案】ABD【详解】对于A

，由题意可知26a，所以3a，所以椭圆方程为22219xyb，因为6,1M在椭圆C外，所以26119b解得23b，因为22222321193cbeaa，所以613e，故A正确；对于B，当点Q位于上下顶点时

，12FQF最大，此时1212,2QFQFaFFc，222222212122122212244221cos1022293QFQFFFacbaFQFbQFQFaa，所以12FQF为钝角，所以椭圆C上存在点Q使得120QFQF，故B正

确；对于C，由离心率22,2233cceca，所以1b，所以椭圆方程为2219xy，设点(3cos,sin)N,则22229cos(sin2)8cos4sin58sin4sin13NE，当1sin4时NE有最大值为362,此时3151(

,)44N,故C错误；对于D，1226NFNFa，1212121122161111NFNFNFNFNFNFNFNFNFNF21211211122211122226631

61NFNFNFNFNFNFNFNFNFNFNFNF，当且仅当123NFNF，即点N位于上下顶点时，1212NFNFNFNF有最小值23，故D正确；故选:ABD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5

分）13.已知直线l过点(−3,4)且方向向量为(1,−2)，则l在x轴上的截距为______.【答案】-1【详解】因为直线l的方向向量为(1,−2)，所以直线斜率k=−2，又直线l过点(−3,4)，所以直线方程为y−4=−

2(x+3)，即2x+y+2=0，令y=0，得x=−1，所以l在x轴上的截距为-1.14.设点P是圆221xy上任意一点，由点P向x轴作垂线0PP，垂足为0P,且0032MPPP，求点M的轨迹C的方程_______________.【答案】22

134yx设(,),(,)MxyPmn，则由点P向x轴作垂线0PP，垂足为0P,且0032MPPP，故0(,0)Pm，3(,)(0,)2mxyn2,3mxny又点Р在圆221xy上22413xy15.如图所示，在平行六面体11

11DCBAABCD中，AC与BD交于O点，1A在底面的射影为O点，1AA与底面所成的角为60，1AB，43coscos11ABAADA，则对角线1AC的长为。【答案】3【解析】由题意知OA1

底面ABCD，且60cos1AOA，23coscoscos11AOAABABAO，∴30cosDAOBAO，在平行六面体1111DCBAABCD中，四边形ABCD是平行四边形，且AC与BD交于O点，则O为BD中点，且BDAO，则60BD

ADBA，1DABA，3AC，31AA，∴32||||111211211111CAAACAAACAAAAC。16.已知圆C：22(1)(2)5xy，点2,3M，过点M且垂直于CM的直线交圆C于A，B

两点，过A，B两点分别作圆C的切线，两切线相交于点P，则过点P且平行于AB的直线方程为______．【答案】80xy【详解】根据题意，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，则圆心C（1，2），半径为5，则

CM的斜率k=3221=1，则AB的斜率k=﹣1，则AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0，设要求直线，过点P且平行于AB的直线为l，其方程为x+y﹣m=0，Rt△CAM中，CA=5，CM=22(21)(32)=2

，又由Rt△CAM～Rt△CPA，则有CACP=CMCA，则有CP=2CACM=522，直线l：x+y﹣m=0在点C的上方，且C到直线l的距离为CP=522，则有CP=1211m=522，解可得：m=8或m=﹣2，又由直线

l在C的上方，则m=8；故直线l的方程为x+y﹣8=0；故答案为x+y﹣8=0．四．解答题（共6小题，满分70分）17.在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点1,2A和5,4,CAB所在直线的方程为30xy

，（1）求对角线BD所在直线一般形式方程；（2）求AD所在直线一般形式方程．【小问1详解】如图所示，菱形ABCD顶点1,2A和5,4C，的所以AC的中点2,3M，-------------1分直线AC的斜率为421,5

(1)3ACkBD的斜率为3BDk，-------------3分所以直线BD的方程为：332yx，即390xy；-----------------------5分【小问2详解】

由直线AB的方程和直线BD的方程联立，得30390xyxy，解得3292xy，即点39,22B；----------7分设点,Dab，则39222,322ab，解得53,22ab，所以点53,22D

；------------8分又1,2A，则AD的直线方程为21352122yx，化为一般形式是7130xy．------------10分18.圆心在直线20xy上的圆C，经过点

2,1A，并且与直线10xy相切（1）求圆C的方程；（2）圆C被直线:2lykx分割成弧长的比值为12的两段弧，求直线l的方程..【小问1详解】设圆C的标准方程为2220xaybrr，由题意得22220(2)(1)12ababrabr

，解得122abr，所以圆C的方程为22122xy+；------------6分【小问2详解】设直线l与圆C交于B､D两点，过点C作CHBD，垂足为H，因为圆C被直线:2lyk

x分割成弧长的比值为12的两段弧，所以120BCD，则30BDCCBD，即圆心C到直线l的距离为1222CHdr，且1,2C，-----------8分因为直线l的方程为

20kxyk，所以222221kkk，化简解得1k或7k，故所求直线l的方程为2yx或714yx.-------------------12分19.已知四棱锥ABCDE，底面BCDE为平行四边形，2AB，2

ACBC，3BE，5CE，7AE．（Ⅰ）若平面ABC平面ADEl，证明：//lBC；（Ⅱ）求二面角DAEC的余弦值．（Ⅰ）证明：因为底面BCDE为平行四边形，所以//DEBC．又DE平面ABC，BC平面ABC，所以//DE平面ABC．又因为平面ABC平面ADEl

，根据线面平行的性质定理，//lDE，所以//lBC．----------------4分（Ⅱ）由题意得222ABACBC，222AEABBE，222CEBEBC，所以ACBC，ABBE，BCBE．又ABBCB，所以BE平面ABC

．因为//DCBE，所以DC平面ABC．又ACBC，所以AC，BC，DC两两垂直．--------------6分以C为坐标原点，AC，BC，DC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点0,0,0C，

2,0,0A，0,2,0B，0,0,3D，0,2,3E，所以2,0,3AD，2,2,3AEuuur，2,0,0CA．设平面ADE的法向量为111,,uxyzr，则11111230,2230,ADuxzAEuxyz

令13x，则12z，10y，则一个法向量3,0,2ur．----------7分设平面AEC的法向量为222,,vxyz，则12222230,20,AEvxyzCAvx

令22z，则23y，20x，则一个法向量0,3,2vr，------------8分则22cos,555uvuvuvrrrrrr．-------------10分

由图易得二面角DAEC为锐二面角，所以二面角DAEC的余弦值为25．---------------12分20.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，

0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=故所求的椭圆标准方程为；------------4分（2）设M（x0，y0）（x0≠±2），则①又由P（t，0），H（2，0）

．则，由MP⊥MH可得，即（t﹣x0，﹣y0）•（2﹣x0，﹣y0）=------8分由①②消去y0，整理得②∵x0≠2，∴---------------10分∵﹣2＜x0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1故实数t的取值范围为（﹣2，﹣1）．--------12分21如图，已知圆2243

0Mxyx：，点1Pt，为直线1lx：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．(1)求直线AB的方程，并判断直线AB是否过定点?若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求ST

的最小值．【解析】（1）29PMt，1AM，2222||||8PAPMAMt，故以P为圆心，PA为半径的圆P的方程为222(1)()8xytt，显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，则直线AB的方程为22222(1)(2)()81xxyty

t，即350xty，经判断直线AB过定点，即5350300xxyy，，，所以直线AB过定点503，；--------4分（2）因为直线AB过定点503，，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，设A

B的中点为F点，直线AB过的定点为H点，易知HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，又503H，，20M，，故该圆圆点11,06，半径111266，且不经过2,0M.点F的轨迹

方程为22111()2636xyx；----------8分（没抠点扣1分）（3）设切线方程为1ytkx，即0kxykt，故20M，到直线0kxykt的距离2311ktdk，即228610kktt

，设PA，PB的斜率分别为1k，2k，则1234tkk，21218tkk，----------10分把0x代入0kxykt，得ykt，则222212121212918()41624tttSTktktkkkkkk，

故当0t时，ST取得最小值为22．-------------12分22.如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，底面是边长为2的等边三角形，𝐶𝐶1=2,𝐷,𝐸分别是线段𝐴𝐶,𝐶𝐶1的

中点，𝐶1在平面𝐴𝐵𝐶内的射影为𝐷.(1)求证：𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐸；(2)若点𝐹为棱𝐵1𝐶1的中点，求点𝐹到平面𝐵𝐷𝐸的距离；(3)若点𝐹为线段𝐵1𝐶1上的动点（不包括端点），求锐二面角𝐹−𝐵𝐷−𝐸的余弦值的取值范围.【解答过程】（1）法

一：连结𝐴𝐶1，因为△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐷为𝐴𝐶中点，∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，又𝐶1𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐷⊂平面𝐴𝐵𝐶，∴𝐶1𝐷⊥𝐵𝐷∵𝐴𝐶∩𝐶1𝐷=𝐷,𝐴𝐶,𝐶1𝐷⊂平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶∴𝐵�

�⊥平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，又𝐴1𝐶⊂平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶,∴𝐵𝐷⊥𝐴1𝐶，由题设知四边形𝐴𝐴1𝐶1𝐶为菱形，∴𝐴1𝐶⊥𝐴𝐶1，∵𝐷,𝐸分别为𝐴𝐶,𝐶𝐶1中点，∴𝐷𝐸∥

𝐴𝐶1,∴𝐴1𝐶⊥𝐷𝐸，又𝐵𝐷∩𝐷𝐸=𝐷，𝐵𝐷∩𝐷𝐸=𝐷,𝐵𝐷,𝐷𝐸⊂平面𝐵𝐷𝐸,∴𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐸.-------4分法二：由𝐶1𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐷，A

C⊂平面𝐴𝐵𝐶，∴𝐶1𝐷⊥𝐵𝐷，𝐶1𝐷⊥AC，又△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐷为𝐴𝐶中点，∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，则以𝐷为坐标原点，𝐷𝐵,𝐷𝐴,𝐷𝐶1所在直线为𝑥,𝑦,𝑧轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则𝐷(0,0,0

),𝐵(3,0,0),𝐶(0,−1,0),𝐶1(0,0,3),𝐸0,−12,32,𝐵1(3,13),𝐴1(0,2,3),∴𝐷𝐵=(3,0,0),𝐷𝐸=0,−12,32,𝐴1𝐶=(0,−3,−3)∵𝐷𝐵·𝐴1𝐶=0,𝐷𝐸·𝐴1𝐶=0∴𝐵𝐷⊥

𝐴1𝐶,𝐷𝐸⊥𝐴1𝐶又𝐵𝐷∩𝐷𝐸=𝐷，𝐵𝐷∩𝐷𝐸=𝐷,𝐵𝐷,𝐷𝐸⊂平面𝐵𝐷𝐸,∴𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐸.法三：（同法二建系）设平面𝐵𝐷𝐸的一个法向量为𝑚=(𝑥,𝑦,𝑧)

∵𝐷𝐵⋅𝑚=0𝐷𝐸⋅𝑚=0，即3𝑥=0−12𝑦+32𝑧=0不妨取𝑧=1，则𝑦=3，则𝑚=(0,3,1)所以平面𝐵𝐷𝐸的一个法向量为𝑚=(0,3,1)∵𝐴1𝐶=(0,−3,−3)，∴𝐴1𝐶=−3𝑚，∴𝐴1𝐶//

𝑚，∴𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐸（2）由（1）坐标法得𝐹32,12,3，平面𝐵𝐷𝐸的一个法向量为𝑚=(0,3,1)（或𝑚=𝐶𝐴1=(0,3,3)）----------6分∵𝐷𝐹=32,12

,3∴点到F到平面𝐵𝐷𝐸的距离=|𝑚⋅𝐷𝐹||𝑚|=32+32=334--------8分（3）𝐶1𝐵1=(3,1,0),𝐶𝐴1=(0,3,3)设𝐹(𝑥,𝑦,𝑧),𝐶1𝐹=𝜆𝐶1𝐵1(0

<𝜆<1)，则𝑥,𝑦,𝑧−3=(3𝜆,𝜆,0)，∴𝑥=3𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=3,∴𝐹(3𝜆,𝜆,3),∴𝐷𝐹=(3𝜆,𝜆,3)；由（1）知：𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐸,∴平面𝐵𝐷

𝐸的一个法向量𝑚=𝐶𝐴1=(0,3,3)（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面𝐹𝐵𝐷的法向量𝑛=(𝑎,𝑏,𝑐)，则𝐷𝐵⋅𝑛=3𝑎=0𝐷𝐹⋅𝑛=3𝜆𝑎+𝜆𝑏+3𝑐=0，令𝑏=3

，则𝑎=0,𝑐=−𝜆,∴𝑛=(0,3,−𝜆)；∴|cos⟨𝑚,𝑛⟩|=|𝑚⋅𝑛||𝑚|⋅|𝑛|=|33−3𝜆|23×3+𝜆2=|3−𝜆|23+𝜆2=12(3−𝜆)23+𝜆2，--------10分令3−𝜆=𝑡∈(2,3)，则

𝜆=3−𝑡∴|cos⟨𝑚,𝑛⟩|=12𝑡212−6𝑡+𝑡2=12112𝑡2−6𝑡+1；∵1𝑡∈13,12,∴12𝑡2−6𝑡+1∈13,1,∴|cos⟨𝑚,𝑛⟩|∈12,32，即锐二面

角𝐹−𝐵𝐷−𝐸的余弦值的取值范围为12,32.--------12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com