【文档说明】高中数学课时作业（湘教版选修第二册）详解答案.docx，共(156)页，1.878 MB，由小赞的店铺上传

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课时作业(一)函数的平均变化率1．解析：由题意，v－＝s（2.1）－s（2）2.1－2＝7.2－70.1＝2.答案：B2．解析：函数f(x)＝－4.9x2在区间[1，2]上的平均变化率等于f（2）－f（1）2－1＝－4.9×22－（－4.9×12）2

－1＝－14.7.答案：C3．解析：两车在12时至12时30分的平均速度为0.5×60＋0.5×400.5＝100(km/h).答案：100km/h4．解析：从出生到第3个月婴儿体重的平均变化率为6.5－3.53＝1；第6个月到第12个月该

婴儿体重的平均变化率为11－8.612－6＝0.4.5．解析：由已知，得s（3）－s（2）3－2＝26，∴(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.答案：B6．解析：函数f(x)从x1到x2的平均变化

率为3，则割线AB的斜率即为3，倾斜角为60°.答案：B7．解析：由题意，得函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为f（a）－f（0）a－0＝a2＋2aa＝a＋2，函数g(x)在[2，3]上的平均变化率为

g（3）－g（2）3－2＝2×3－3－（2×2－3）1＝2.由题意知a＋2＝2×2，所以a＝2.答案：28．解析：设f(x)在区间[0，1]的平均变化率为m1，g(x)在区间[0，1]的平均变化率为m2，则m1＝f（1）－f（0）1－0＝f(1)－f(0)，m2

＝g（1）－g（0）1－0＝g(1)－g(0)，若f(1)－f(0)＝g(1)－g(0)，则m1＝m2，反之则不相等，所以平均变化率不一定不相等．9．解析：(1)物体在区间[0，π4]上的平均速度为v－1＝s（π4）－s（0）π4－0＝22－0π4－0＝22π，物体

在区间[π4，π2]上的平均速度为v－2＝s（π2）－s（π4）π2－π4＝1－22π4＝4－22π.(2)由(1)可知v－1－v－2＝42－4π>0，所以v－1>v－2.作函数s(t)＝sint在[0，π2]上的图象，如

图，可以发现，在s(t)＝sint的图象上，连接(0，0)，(π4，22)的直线的斜率大于连接(π4，22)，(π2，1)的直线的斜率．10．解析：设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变

化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．答案：B11．解析：(1)所求的平均变化率为34－351.2－1＝－

5(℃/min).它表示从t＝1到t＝1.2这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降5℃.(2)将t在[1，1.2]上的图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为－5，且直线通过点(1，35)，所以T与t的关系可近似地表示为T－35＝－5(t－1).令t＝1.1，由上式可

得T＝34.5，即t＝1.1时蜥蜴的体温可以估计为34.5℃.课时作业(二)瞬时变化率与导数1．解析：由导数的意义知s′(4)＝10表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s.答案：D2．解析：设y＝f(x)＝2x2，当d趋近于0时，f（1＋d）－f（1）d＝2（1＋d）2－2d＝4＋2d趋近于4，

所以在x＝1处的瞬时变化率为4.答案：B3．解析：因为s(3＋d)－s(3)＝[(3＋d)－1]2－(3－1)2＝4d＋d2，所以s（3＋d）－s（3）d＝4d＋d2d＝4＋d，当d趋近于0时，4＋d

趋近于4，所以质点M在t＝3s时的瞬时速度为4m/s.答案：44．解析：因为s(2＋d)－s(2)＝12g(2＋d)2－12g×22＝2gd＋12gd2，所以s（2＋d）－s（2）d＝2gd＋12gd2d＝2g＋12gd，当d趋

近于0时，2g＋12gd趋近于2g.又g＝10m/s2，所以物体在t＝2s时的瞬时速度为20m/s.5．解析：由题意，得9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速度，故C正确，A，B，D错误．答案：ABD6．解析：因为s(1＋d)－s(1)＝a(1＋d)2＋1－a－1＝2ad＋ad2

，所以s（1＋d）－s（1）d＝2ad＋ad2d＝2a＋ad，当d趋近于0时，2a＋ad趋近于2a，即2a＝6，所以a＝3.答案：D7．解析：因为s(t0＋d)－s(t0)＝7(t0＋d)2－13(t0＋d)＋8－7t20＋13t0－8＝1

4t0d－13d＋7d2，所以s（t0＋d）－s（t0）d＝14t0d－13d＋7d2d＝14t0－13＋7d，则当d趋近于0，14t0－13＋7d趋近于14t0－13，所以14t0－13＝1，所以t0＝1.答案：18．解析：因为f(

1＋d)－f(1)＝3(1＋d)－21＋d－1＝3d＋2d1＋d，所以f（1＋d）－f（1）d＝3＋21＋d，当d趋近于0时，3＋21＋d趋近于5，所以f′(1)＝5.9．解析：(1)物体在第1s内的平均速度为f（1）－f（0）1－0＝113(m/s).(2)f（1＋d）－f（

1）d＝23（1＋d）3＋（1＋d）2＋2（1＋d）－113d＝6＋3d＋23d2.当d趋于0时，f（1＋d）－f（1）d趋于6，所以物体在1s末的瞬时速度为6m/s.(3)f（x＋d）－f（x）d＝23（x＋d）3＋（x

＋d）2＋2（x＋d）－（23x3＋x2＋2x）d＝2x2＋2x＋2＋23d2＋2xd＋d.当d趋于0时，f（x＋d）－f（x）d趋于2x2＋2x＋2，令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍去)，即经过2s该物体的运动速度

达到14m/s.10．解析：当d→0时，f（x0－2d）－f（x0）d＝f（x0－2d）－f（x0）－2d·(－2)＝－2f′(x0)，所以－2f′(x0)＝2，所以f′(x0)＝－1.答案：B11．解析：当t＝2时，f（2＋d）－f（2）（2＋d）－2＝[（2＋d）2＋7（2＋

d）＋15]－（22＋7×2＋15）d＝d2＋11dd＝d＋11.当d无限趋近于0时，d＋11无限趋近于11.同理可得当t＝6时，d无限趋近于0时，f（6＋d）－f（6）d无限趋近于19.在2s与6s时，水管流量函数的瞬时变化率分别为11与19.它说明在2s附

近，水流大约以11m3/s的速度流出，在6s附近，水流大约以19m3/s的速度流出．课时作业(三)导数的几何意义1．解析：如图，作出函数图象上在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，导数即为切线的斜率，所以f′(1)>

f′(2)>f′(3)>0.答案：D2．解析：∵f(2)＝2×2＋5＝9，f′(2)＝2，∴f(2)＋f′(2)＝11.答案：B3．解析：由图象可知直线l过(5，6)，(0，2)，所以直线l的斜率为6－25－0＝45，所以f′(5)＝45.答案：454．解析：因为f（1＋d）－f（1）d＝

2（1＋d）2－（1＋d）－2＋1d＝3＋2d，所以当d→0时，3＋2d→3，即f′(1)＝3，所以切线l的方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.5．解析：直线x＋2y－3＝0的斜率为－12，则由函数y＝f(x)在x＝2处的切线与直线x＋2y－3＝0垂直可得：函数y

＝f(x)在x＝2处的切线斜率为2，即f′(2)＝2.答案：A6．解析：因为f（3＋d）－f（3）d＝93＋d－93d＝－99＋3d，所以当d→0时，－99＋3d→－1.∴f′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0，π)，∴所求倾斜角为3π4.答案：C7．解析：因为当d→

0时，（1＋d）2＋8－12－8d＝2＋d→2，所以曲线在P(1，9)处的切线斜率k＝2，∴切线方程为y－9＝2(x－1)，即2x－y＋7＝0，令x＝0，解得y＝7，∴切线与y轴交点坐标为(0，7).答案：(0，7)8．解析：因为当d

→0时，a（a＋d）2－a·a2d＝2a2＋ad→2a2.所以切线的斜率k＝2a2，∵切线与直线2x－y－1＝0平行，∴2a2＝2，∴a＝±1，a＝1时，y＝x2，切点是(1，1)，切线的斜率k＝2，故切线方程是y－1＝2(x－1)，即2x－y

－1＝0和直线2x－y－1＝0重合，故a＝－1.经检验，符合题意．9．解析：(1)因为f（1＋d）－f（1）d＝11＋d－1d＝－11＋d，所以当d→0时－11＋d→－1，所以f′(1)＝－1，即曲线在点P(1，1)处的切

线的斜率为k＝－1，所以所求切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)设切点坐标为A(x0，y0)，因为f（x0＋d）－f（x0）d＝1x0＋d－1x0d＝－1x20＋dx0，所以当d→0时，－1x20＋dx0→－1x20，则切线的斜率为k＝－1x20，所以切线的方

程为y－1x0＝－1x20(x－x0)，因为点Q(1，0)在切线上，可得－1x0＝－1x20(1－x0)，解得x0＝12，所以所求切线的方程为y－2＝－4(x－12)，即4x＋y－4＝0.10．解析：设切点为(x0，x3

0－x0)，因为当d→0时，（x0＋d）3－（x0＋d）－x30＋x0d＝3x20＋3dx0＋d2－1→3x20－1，所以切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，设x轴上一点A(t，0)，代入切线方程，得0－(x30－x

0)＝(3x20－1)(t－x0)，即2x30－3tx20＋t＝0，该方程有可能有一个，两个或三个零点，所以可作切线的条数为1，2或3条．答案：BCD11．解析：(1)设P(x0，－x30＋2x0＋2)，因为当d→0时，f（x0＋d）－f（x0）d＝－（x0＋d）3＋2（x0＋d）＋2＋x3

0－2x0－2d＝－3x20－3x0d－d2＋2→－3x20＋2，所以k＝f′(x0)＝－3x20＋2≤2，所以k的取值范围为(－∞，2].(2)由(1)知kmax＝2，此时x0＝0，即P(0，2)，所以此时曲线在点P处的切线方程为y＝2x＋2.课时作业(四)

几个基本函数的导数1．解析：因为f(x)＝t2，g(x)＝2cosx，则f′(x)＝0，g′(x)＝－2sinx.答案：A2．解析：由题意，函数f(x)＝x3－2xf′(1)，可得f′(x)＝3x2－2f′(1)，令x＝1，可得f′(1)＝3－2f′(1)

，解得f′(1)＝1，所以f′(x)＝3x2－2，所以f′(2)＝3×22－2＝10.答案：B3．解析：∵y′＝－9x2，∴y′|x＝3＝－1，∴曲线在点(3，3)处的切线斜率为－1，即tanα＝－1，其中α为倾斜角，因为α∈[0，π)，所以α＝3π4.答案：3π44

．解析：f′(x)＝(x)′＝12x－12＝12x，f′(1)＝12，所以曲线y＝x在(1，1)处的切线方程为y－1＝12(x－1)，化简为x－2y＋1＝0；同理f′(2)＝24，所以曲线y＝x在(2，2)的切线方程

为y－2＝24(x－2)，化简为x－22y＋2＝0.5．解析：设切点为(x0，lnx0)，对函数y＝lnx求导，则y′＝1x，所以切线斜率为k＝1x0，又因为直线y＝kx是y＝lnx的切线，所以lnx0＝1x0·x0＝1⇒x0＝e，所以k＝1e.答

案：C6．解析：若f(x)＝1x，则f′(x)＝－1x2，令－1x2＝12，无解，故排除A；若f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，令3x2＝12，得x＝±66，即曲线在点(66，636)与点(－66，－636)处的切线斜率为12，B正确；若f(x)＝x

2，则f′(x)＝2x，令2x＝12，得x＝14，故曲线在点(14，116)处的切线斜率为12，C正确；若f(x)＝－x2，则f′(x)＝－2x，令－2x＝12，得x＝－14，故曲线在点(－14，－116)处的切线斜率为12，D正确．答案：BCD7．解析：曲线f(

x)＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.设其与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切于点(x0，ax20－a)，则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax20－a＝x0＋1.解得x0＝－1，a＝－12，切点坐标为(－1，0).

答案：－12(－1，0)8．解析：因为y＝3x2，所以y′＝(3x2)′＝(x23)′＝23x－13，所以f′(8)＝23×8－13＝13，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为13.所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.9．解析：∵f(x)＝1

3x3－ax(a>0)，g(x)＝bx2＋2b－1，∴f′(x)＝x2－a，g′(x)＝2bx.∵曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，∴f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即13－a＝b＋2b－1，且1－a＝

2b，解得a＝13，b＝13，得切点坐标为(1，0).∴切线方程为y＝23(x－1)，即2x－3y－2＝0.10．解析：∵f1(x)＝sinx，∴f′1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝cosx，f3(x)＝f′2(x)＝(cosx)′

＝－sinx，f4(x)＝f′3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f5(x)＝f′4(x)＝(－cosx)′＝sinx，由此可知f2022(x)＝f2(x)＝cosx.答案：C11．解析：不存在，理由如下：设这两条曲线的一个公共点为

P(x0，y0).由于y＝sinx，y＝cosx，∴两条曲线在点P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，则cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·

cosx0＝1.也就是sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．课时作业(五)函数的和差积商求导法则1．解析：由题意可得f′(x)＝（2x＋cosx）x－（x2＋sinx）x2＝x2＋xcosx－sinxx2，故选B.答案：B2．解析：因

为f′(x)＝2ax＋cosx，所以f′(0)＝1.答案：C3．解析：对函数f(x)＝x3＋lnx求导，f′(x)＝3x2＋1x，所以f′(1)＝4，曲线f(x)＝x3＋lnx在点(1，1)处的切线斜率为4.答案：44．解析：(1)因为y＝3x2＋cosx，所以y′＝3(x2)′＋(cosx

)′＝6x－sinx，即y′＝6x－sinx.(2)因为y＝(x＋1)lnx，所以y′＝(x＋1)′lnx＋(x＋1)(lnx)′＝lnx＋(x＋1)·1x＝lnx＋1x＋1，即y′＝lnx＋1x＋1.5．解析：因为f(x)＝cos

xx，则f′(x)＝－xsinx－cosxx2，因此，f(π)＋f′π2＝－1π＋－π2π22＝－3π.答案：D6．解析：取x＝1，则有f(1)＋g(1)＝0，即g(1)＝－f(1)＝－1，又因为f(x)＋xg(x)＝x2－1，所以f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′

(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，所以f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2＋1＝3.答案：C7．解析：由题意得：点(1，－11)为切点，将其代入f(x)＝x3－3ax2＋3bx中，可得1－3a＋3b＝－11，又f′(x)＝3x2－6ax＋3b，则有f′(1)＝3－6a

＋3b＝－12，联立得1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1b＝－3.答案：1－38．解析：(1)∵f(x)＝2x＋cosx，f′(x)＝2－sinx.(2)∵f(π)＝2π－1，f′(π)＝2，∴f(x)在点x＝π处的切线l的方程为y－(

2π－1)＝2(x－π)，即2x－y－1＝0.9．解析：∵f′(x)＝aex＋(ax＋b)ex＝(ax＋a＋b)ex，∴f（0）＝b＝1，f′（0）＝a＋b＝2.∴a＝b＝1.∵g′(x)＝

－2x＋c，∴g（0）＝d＝1，g′（0）＝c＝2.∴c＝2，d＝1.10．解析：方法一设g(x)＝x(x－1)(x－2)，则f(x)＝(x－3)g(x)，所以f′(x)＝g(x)＋(x－3)g′(x)，所以f′(3)＝g(3)＝3×2×1＝6，又f(3)＝0，故所求切

线方程为y＝6(x－3)，即为6x－y－18＝0.方法二f(3)＝0，f(x)＝[x(x－3)][(x－1)(x－2)]＝(x2－3x)(x2－3x＋2)，则f′(x)＝(x2－3x)′(x2－3x＋2)＋(x2－3x)(x2－3x＋2)′＝(2

x－3)(x2－3x＋2)＋(2x－3)(x2－3x)＝(2x－3)(2x2－6x＋2)，所以f′(3)＝(2×3－3)(2×32－6×3＋2)＝6，故所求切线方程为y＝6(x－3)，即为6x－y－18＝0.答案：6x－y－18＝011．解析：(1)∵函数f(x)＝alnxx＋b

，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a（1－lnx）x2，∴f(x)在x＝1处切线的斜率为k＝f′(1)＝a＝2，由切线方程可知切点为(1，0)，而切点也在函数f(x)图象上，解得b＝0，∴f(x)的解析式为f(x)＝2lnxx.(2)由于直线2x－y－2＝0与直线2x－y＋

3＝0平行，直线2x－y－2＝0与函数f(x)＝2lnxx在(1，0)处相切，所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离最小，最小值为d＝55＝5，故函数f(x)图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小

值为5.课时作业(六)简单复合函数的求导1．解析：f′(x)＝ex－1，故f′(0)＝e－1＝1e，故切线斜率为1e.答案：C2．解析：对于A中，函数f(x)＝ln2，可得f′(x)＝0，则A错误；对于B中，函数f(x)＝cos2x，可得f′(x)＝－2sin2

x，则B正确；对于C中，函数f(x)＝x2x＋1，可得f′(x)＝x2＋2x（x＋1）2，则C正确；对于D中，函数f(x)＝(x2＋2x)lnx，可得f′(x)＝2(x＋1)lnx＋x＋2，则D错误．答案：BC3．解析：f′(x)＝2e2xcosx－e2xsinx＝e2x(2cosx－sinx).

答案：e2x(2cosx－sinx)4．解析：令y＝lnu，u＝2x＋3，则y′＝(lnu)′·(2x＋3)′＝1u·2＝22x＋3.当x＝－12时，y′＝23－1＝1，即在点(－12，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为π4.5．解析：f′(x)＝1

2×12x＋1×2＝12x＋1，由f′(x0)＝1，得12x0＋1＝1，解得x0＝0.答案：B6．解析：f′(x)＝sin2x，f′(π4)＝sinπ2＝1，由题意得ab×1＝－1，解得ab＝－1.答案：C7．解析：因为y＝e12x，所以y′＝12e12x，因此其在

点(4，e2)处的切线斜率为k＝y′|x＝4＝12e2，所以，在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝12e2(x－4)＝12e2x－2e2，即y＝12e2x－e2令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2，因此该切线与坐标轴所围三角形的面积为S＝12×2×e2＝e

2.答案：e28．解析：(1)由题知1＋x1－x>0，所以(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1.所以函数y＝f(x)的定义域为(－1，1).(2)因为f′(x)＝（1－x）－（1＋x）·（－1）（1－x）21＋x1－x＝2（1－x）·（1＋x），所以f′(0)＝2（1－0）·（1＋0）

＝2，又因为f(0)＝ln1＋01－0＝ln1＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.9．解析：∵y＝esinx，y′＝esinxcosx，∴y′|x＝0＝1.∴曲线y＝esinx在点(0，1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又

直线l与x－y＋1＝0平行，故直线l可设为x－y＋m＝0.由|m－1|1＋（－1）2＝2，得m＝－1或3.∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.10．解析：f1(x)＝2cos2x－2sin2x，f2(x)＝－22sin2x－22cos2x，f3

(x)＝－23cos2x＋23sin2x，f4(x)＝24sin2x＋24cos2x，f5(x)＝25cos2x－25sin2x，…，以此类推，2022＝505×4＋2，所以f2022(x)＝22022(－sin2x－cos2x).答案：B11．解析：易得f′(x

)＝ex－ae－x，x∈R.∵f′(x)为奇函数，∴f′(x)＋f′(－x)＝0对任意x∈R恒成立，即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标为x0，由题可得ex0－e－x0＝32，令

ex0＝t(t>0)，则t－1t＝32，解得t＝2或t＝－12(舍去)，∴ex0＝2，∴x0＝ln2.课时作业(七)函数的单调性与导数1．解析：∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上是单调

递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.答案：C2．解析：由题图知当x∈(－2，1)时，f′(x)有正有负，故f(x)在(－2，1)上不单调，故A错误；当x∈(1，2)，x∈(4，5)时，f′(x)>0，所以在(1，2)，(4，

5)上，f(x)是单调递增，故B、C正确；当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是单调递减，故D错误．答案：BC3．解析：函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－2x＝2x2－2x<0，可得0<

x<1，因此，函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是(0，1).答案：(0，1)4．解析：(1)由f(x)＝3x3－x，可得f′(x)＝9x2－1，故由f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率k＝

f′(1)＝8，又f(1)＝2，所以所求切线方程为y－2＝8(x－1)，即8x－y－6＝0.(2)因为f′(x)＝9x2－1，令f′(x)＝9x2－1>0，则x<－13或x>13，令f′(x)＝9x2－1<0，则－13<x<13，故f(x)的单调增区

间为(－∞，－13)，(13，＋∞)；单调减区间为(－13，13).5．解析：f′(x)＝lnx－1（lnx）2＝0，x>0且x≠1，得x＝e，当x∈(0，1)∪(1，e)时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1)和(1，e)，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>

0，函数f(x)的单调递增区间是(e，＋∞).答案：BC6．解析：根据f′(x)>0时，y＝f(x)递增，f′(x)<0时，y＝f(x)递减可得，①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；而③中导函数为负的区

间内相应的函数不为递减，故错误，④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．答案：A7．解析：f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，因为f(x)的单调递减区间是[－32，1]，所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－32，x2＝1，即

f′－32＝0，f′（1）＝0，解得m＝－32.由f′(x)＝(x2＋12x－32)ex＝12(x－1)(2x＋3)ex，得f′(x)>0时，x<－32或x>1.答案：－32(－∞，－32)，(1，＋∞)8．解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a

≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤

0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．9．解析：(1)f′(x)＝1－ax2，由导数的几何意义得f′(2)＝3⇒1－a4＝3，于是a＝－8，由切点P(2，f(

2))在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9.(2)∵函数f(x)在(1，2)上为单调函数，①若f(x)在(1，2)上为单调递增函数，则f′(x)≥0.当x∈(1，2)恒成立，∴x2－a≥0，即a≤x2；当x∈(1，2)恒

成立，∴a≤1；②若f(x)在(1，2)上为单调递减函数，则f′(x)≤0.当x∈(1，2)恒成立，∴x2－a≤0，即a≥x2；当x∈(1，2)恒成立，a≥4.综上所述，a≤1或a≥4.10．解析：令F(x)＝f（x）x，则F′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，根据题意，

当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，即F′(x)>0，故F(x)在(0，＋∞)上单调递增，则F(π)>F(e)，即f（π）π>f（e）e.答案：A11．解析：(1)a＝1时，f(x)＝lnx＋x，则f′(x)＝1x＋1，f(1)＝1，f′(1)＝2，故切线方程为y－1

＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)的定义域为(0，＋∞)；f′(x)＝1＋axx，①当a≥0时，f′(x)＝1＋axx>0，则函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<0时，x∈(0，－1a)时，f′(x)>0，则函数f(

x)＝lnx＋ax(a∈R)在(0，－1a)上单调递增；x∈(－1a，＋∞)时，f′(x)<0，则函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)在(－1a，＋∞)上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，－1a)；单调递减区

间为(－1a，＋∞).课时作业(八)函数的极值与导数1．解析：A：因为函数y＝ex是实数集上的增函数，所以函数y＝ex没有极值；B：因为函数y＝lnx是正实数集上的增函数，所以函数y＝lnx没有极值；C：因为函数y＝2x在区间(0，＋∞)、(－∞，0)上是减函数，

所以函数y＝2x没有极值；D：因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以该函数在(1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1)上是减函数，因此x＝1是函数的极小值点，符合题意．答案：D2．解析：由题意函数f(x)＝x(x－1)2，可得f′(x)＝3

x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，当x∈(－∞，13)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(13，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝13时，函数取得极大值；当x＝1时，函数取得极小值．答

案：C3．解析：因为f(x)＝3x2＋lnx－2x，函数定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－2x＋1x＝6（x－16）2＋56x>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的极值点的个数是0.答案：04．解析：函数的导数为

f′(x)＝3x2＋2x－1.令f′(x)＝0，3x2＋2x－1＝0，解得x1＝13，x2＝－1.当－1<x<13时，可得f′(x)<0，即f(x)的单调递减区间为(－1，13)，x<－1或x>13，可得f′(x)>0，∴函数单调递增区间为(－∞，－1)，(13，

＋∞).∴f(x)的极大值点x＝－1，极小值点x＝13，∵f(－1)＝(－1)3＋(－1)2－(－1)－2＝－1，f13＝133＋132－13－2＝－5927，∴极大值是－1，极小值是

－5927.5．解析：根据图象可得：当－1<x<3时，f′(x)>0，故f(x)在(－1，3)上单调递增，故选项A正确；当3<x<5时，f′(x)<0，故f(x)在(3，5)上单调递减，故选项B正确．f(x)在x＝0的左右两边均有f′(x)>0，故函数y＝f(x)在x＝0处

无极值，故选项C错误．当3<x<5时，f′(x)<0，同时存在x∈(5，t)(t>5)时，使得f′(x)>0，故函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值，故选项D正确．答案：ABD6．解析：f′(x)＝x2＋2tx＋1，因为函数f(x)在R上不存在极值点，所以f′(x)在R上

没有变号零点，所以Δ＝4t2－4≤0，所以－1≤t≤1，所以实数t的取值范围是[－1，1].答案：D7．解析：当a<2时，f(x)在区间(－∞，a)，(2，＋∞)上f′(x)>0，f(x)递增，在区间(a，2)上f′(x)<0，f(x

)递减．f(x)的极大值点为a，极小值点为2.当a＝2时，f′(x)＝(x－2)2≥0，f(x)在R上递增，无极值．当a>2时，f(x)在区间(－∞，2)，(a，＋∞)上f′(x)>0，f(x)递增，在区间(2，a)上f′(x)<0，f(x)递减．f(x)的极大值点为2，

极小值点为a.答案：2(－∞，2)8．解析：(1)∵a＝0，∴f(x)＝x3－9x＋10，f′(x)＝3x2－9；则k＝f′(2)＝3，f(2)＝0，故所求切线方程为y＝3(x－2)，即y＝3x－6.(2)f′(x)＝3x2＋2ax－9，由题知f′(－1)＝0，解得a＝－3，则f(x)＝

x3－3x2－9x＋10，f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，因为当－1<x<3时f′(x)<0，当x>3或x<－1时f′(x)>0，所以当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝－17.9．解析：由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f

′(x)＝3x2－12x＋9，13f′(x)＋5x＋m＝13(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m.则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图

象与x轴有三个不同的交点．∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，∴令g′(x)＝0，得x＝23或x＝4.当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：x(－∞，23)23(23，4)4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋

g(x)↗极大值↘极小值↗则函数g(x)的极大值为g23＝6827－m，极小值为g(4)＝－16－m.由g(x)的图象与x轴有三个不同的交点，得g23＝6827－m>0，g（4）＝－16－m<0，解得－16<m<6827.∴实数m的取值范围为(－16，6827

).10．解析：由题意可知，f′(x)＝(x－a＋1)·ex，令f′(x)＝0，即(x－a＋1)·ex＝0，解得x＝a－1，当x>a－1时，f′(x)>0；当x<a－1时，f′(x)<0；所以函数f(x)在x＝a－1处取得极小值，

因为函数f(x)＝(x－a)·ex在(1，＋∞)上有极值，所以a－1>1，解得a>2.所以“a>1”是“函数f(x)＝(x－a)·ex在(1，＋∞)上有极值”的必要不充分条件．答案：B11．解析：(1)由题意得，f′(x)＝1x＋3x2－4，则f′(1)＝0，又f(1)＝

－7，故所求切线方程为y＝－7.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f′(x)＝1x＋3x2－4＝－（4x＋3）（x－1）x2，注意到4x＋3>0，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴函数f

(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，∴f(x)在x＝1时取得极大值f(1)＝－7.而f12＝－8－ln2，f(3)＝ln3－13，则f(3)－f12＝ln3＋ln2－5<0，即f(3)<f12.作出函数f(x)在[12，3]

上的大致图象，由题意只需y＝a与y＝f(x)有两个交点观察图象可知，实数a的取值范围为[－8－ln2，－7).课时作业(九)三次函数的性质：单调区间和极值1．解析：函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值

和最小值．答案：D2．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，所以f(x)在区间(－1，1)上f′(x)<0，f(x)递减，在(1，2)上f′(x)>0，f(x)递增．所以f(x)的最小值为f(1)＝1－3＝－2，f(－1)＝－1＋

3＝2，f(2)＝8－6＝2，所以f(x)的最大值为2.答案：A3．解析：因为f′(x)＝6x2－2ax－a，所以f′(1)＝6－3a＝0，得a＝2.因为f′(x)＝6x2－4x－2＝2(x－1)(3x＋1)，所

以f(x)在(－2，－13)，(1，2)上单调递增，在(－13，1)上单调递减．因为f(－2)＝－20，f(1)＝－2，所以f(x)在[－2，2]上的最小值为－20.答案：－204．解析：(1)f(x)＝ax

3＋bx，f′(x)＝3ax2＋b，∵函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极值2，∴f(1)＝a＋b＝2，f′(1)＝3a＋b＝0，解得a＝－1，b＝3，f(x)＝－x3＋3x，经验证在x＝1处取极值2，故a＝－1，b＝3.(2)由f′(x)＝－3(x＋1)(x－1)

，令f′(x)>0，解得－1<x<1，令f′(x)<0，解得x>1或x<－1，因此，f(x)在[－2，－1)递减，在(－1，12]递增，f(x)的最小值是f(－1)＝－2，而f(－2)＝2>f12＝118，故函数f(x)的最大值是2.5．解析：由题意，函数f(x)＝－x

3＋3x2＋9x＋a，x∈[－2，2]，可得f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＝0，即－3x2＋6x＋9＝0，解得x＝－1或3(舍去).当－2<x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－1<x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递

增，所以当x＝－1时取最小值，而f(2)＝22＋a>f(－2)＝2＋a，即最大值为22＋a＝20，所以a＝－2，所以此函数在区间[－2，2]上的最小值为f(－1)＝－5－2＝－7.答案：B6．解析：因为f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3

x2－3＝3(x2－1)＝3(x＋1)(x－1)，所以当x<－1或x>1时f′(x)>0，当－1<x<1时f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以f(x)在x＝－1处取得极大值

，在x＝1处取得极小值，因为在(－2，m)上有最大值，所以极大值点－1∈(－2，m)，又f(－1)＝2，当x3－3x＝2时，即(x＋1)2(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－1，所以－1<m≤2.答案：D7．解析：f′(x)＝3x2－3a

x＝3x(x－a)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝a，又a>1，x∈[－1，1]，当x∈[－1，0]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈(0，1]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝b＝1，因为f(－1)＝－32a，f(

1)＝2－32a，所以f(x)min＝f(－1)＝－32a，所以－32a＝－2，即a＝43，所以a－b＝43－1＝13，所以f(x)＝x3－2x2＋1.答案：13f(x)＝x3－2x2＋18．解析：∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋

6x－9，令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表．x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗28↘－4↗当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小

值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.9．解析：(1)由函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋32c，可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x

＝1和x＝2处取得极值，可得f′（1）＝3＋2a＋b＝0f′（2）＝12＋4a＋b＝0，解得a＝－92，b＝6.(2)由(1)知，函数f(x)＝x3－92x2＋6x＋32c，可得f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，当x∈[0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增

；当x∈[1，2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，3]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，又因为f(1)＝32c＋52，f(3)＝32c＋92，所以f(x)在[0，3]的最大值为f(3)＝32c＋92，所以32c＋92<c2，解得c<－32或c>3，即实数

c的取值范围是(－∞，－32)∪(3，＋∞).10．解析：令f(x)＝xlnx－x－a，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝lnx，令f′(x)＝0⇒x＝1.若0<x<1时，f′(x)<0，若x>1时，f′(x)>0.所

以可知函数f(x)在(0，1)递减，在(1，＋∞)递增，所以f(x)min＝f(1)＝－1－a.由对任意的实数x>0，xlnx－x－a≥0恒成立，所以f(x)min＝－1－a≥0⇒a≤－1.答案：A11．解析：(1)f′(

x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，其中x∈R，由f′(x)＝0得：x1＝－2，x2＝0，x3＝1，f′(x)的零点把函数f(x)的定义域划分为四个区间，f′(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如下表所示：x(－∞，－2)－2(－2

，0)0(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)↘4e3－43↗0↘－13↗由上表可知，当x＝－2和x＝1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(－2)＝4e3－43和f(1)＝－13；当x＝0时，f(x)

有极大值，并且极大值为f(0)＝0.(2)证明：f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)，设h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1，由h′(x)＝0得：x＝1.则当x<1时，h′(x)<0，即函数h(x)在(－∞，1

)上单调递减；则当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因此，当x＝1时，h(x)取最小值h(1)＝0即对任意实数x都有h(x)≥0，又x2≥0，所以f(x)－g(x)≥0，故对任意实数x，都有f(x

)≥g(x).课时作业(十)导数的应用举例1．解析：V′(x)＝x(60－x)＋12x2·(－1)＝－32x2＋60x＝－32(x2－40x)＝－32x(x－40)，(0<x<60)，当x∈(0，40)

时，V′(x)>0，V(x)单调递增，当x∈(40，60)时，V′(x)<0，V(x)单调递减，所以当x＝40时，V(x)取得最大值．答案：B2．解析：设利润为y，则y＝pq－C＝(75－16q2)q－(100＋3q)＝－16q3

＋72q－100，所以y′＝－12q2＋72.则当0<q<12时，y′>0；当q>12时，y′<0，故当利润最大时，q＝12.答案：B3．解析：设靠墙的边长为x，(0<x<40)，则矩形的面积为S(x)＝12x(40－x)，则S′(x)＝20－x，令S′(x)＝20－x＝0，得x＝20，

当x∈(0，20)时S′(x)>0，即S(x)在(0，20)上单调递增，当x∈(20，40)时S′(x)<0，即S(x)在(20，40)上单调递减，所以当x＝20时S(x)取得最大值，所以靠墙的一边长为20m时

，面积最大．答案：204．解析：当速度为xkm/h时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh，设耗油量为yL，依题意得y＝(1128000x3－380x＋8)·100x＝11280x2＋800x－154(0<x≤120)，则y′＝x640－800x2＝x3－800×640640x2(0<x≤120

).令y′＝0得x＝80，当x∈(0，80)时，y′<0，该函数递减；当x∈(80，120)时，y′>0，该函数递增；当x＝80时，y取得最小值．故汽车的速度为80km/h时，从甲地到乙地耗油量最少．5．解析：设底面矩形的长为x分米，则宽为4－x分米，高为2x分

米，该长方体石膏体积V＝f(x)＝x(4－x)×2x＝8x2－2x3(2<x<4).∴f′(x)＝16x－6x2＝2x(8－3x)，当2<x<83时，f′(x)>0；当83<x<4时，f′(x)<0.故Vmax＝f8

3＝51227(立方分米).答案：C6．解析：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得y＝1250×150＋825kx＋2500kx2(x>0，k>0)，则y′＝825k－5000kx3，令y′＝0，解得x＝25，当0<x<25时，y′<0；当x>2

5时，y′>0，故当x＝25时，y有最小值．因此，当较短池壁为25m时，泳池的总维修费用最低．答案：A7．解析：设弯成圆的一段铁丝长为xcm(0<x<100)，则另一端长为(100－x)cm.所以正方形的边长为100－x

4，圆的半径r＝x2π，记正方形与圆的面积之和为S，∴S＝πx2π2＋100－x42＝x24π＋10000－200x＋x216(0<x<100)，则S′＝x2π＋x－1008，令S′＝0，解得x＝100

π4＋π.当0<x<100π4＋π时，S′<0；当100π4＋π<x<100时，S′>0.∴当x＝100π4＋π时，即弯成圆的一段铁丝的长为100π4＋πcm时，正方形与圆的面积之和最小．答案：100π4＋π8．解析：(1)依题意，速度是x(海里/小时)，轮船每小时的燃料费0.6x2，总共行驶

500x(小时)，所以全程运输成本y＝500x(960＋0.6x2)＝480000x＋300x，由题意知，函数的定义域为(0，35]，即全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数为y＝480000x＋300x(0<x≤35).(2)由(1

)知，y′＝－480000x2＋300＝300（x＋40）（x－40）x2，当0<x≤35时，y′<0，即y＝480000x＋300x在(0，35]上单调递减，所以当x＝35时，y＝480000x＋300x取得最小值．故当轮船以35海里/小时的

速度行驶时，全程运输成本最小．9．解析：(1)依题意得，y＝2x(1－p)－px＝24x－2x215－x，1≤x≤9，x∈N*53x－x3180，10≤x≤20，x∈N*(2)当f(x)＝24x－2x215－x，1≤x≤9时，f′(

x)＝2－90（15－x）2，令f′(x)＝0解得：x＝15－35，∴当1≤x<15－35时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当15－35<x≤9时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；∴当x＝15－35时，f(x)取得极大值，也是最大值．又∵x∈N*，f(8)

＝647，f(9)＝9，∴f(x)最大值为647.当f(x)＝53x－x3180，10≤x≤20时，f′(x)＝100－x260≤0，∴f(x)单调递减，∴当x＝10时，f(x)取得最大值1009.∵1009>647，∴当该蔬菜中转厂的日进货量为10吨时，日利润最大，最大日利润是1009千

元．10．解析：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256(mx－1)＋mx(2＋x)x＝256mx＋mx＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－256mx2＋m2x

－12＝m2x2(x32－512)，令f′(x)＝0，得x32＝512，所以x＝64.当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0，64)上为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间

(64，640)上为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝mx－1＝64064－1＝9.课时作业(十一)建立空间直角坐标系1．解析：依题意，点A，B的竖坐标相同，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，所以点A，B

关于z轴对称．答案：C2．解析：在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面xOy对称，则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，所以点P(1，2，－3)关于坐标平面xOy的对称点为(1，2，3).答案：D3．解析：点P(1，1，1)关于xOy

平面的对称点P1的坐标为(1，1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，1).答案：(1，1，－1)(－1，－1，1)4．解析：因为点A(－4，2，3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关

于xOz平面的对称点A2的坐标为(4，2，－3)，点A2(4，2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，所以AA3中点M的坐标为(－4，0，0).5．解析：由于EB⊥xOy平面，B(2，2，0)，故设E(2，2，z).因为EB＝2EB1，

所以BE＝23BB1＝43，故E(2，2，43).答案：D6．解析：由图形及其已知可得：点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B对称的点为(8，5，－3)，点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0).因此ACD

正确．答案：ACD7．解析：由空间直角坐标系O­xyz中，点M(a2－4a，b＋3，2c＋1)关于y轴的对称点M′(4，－2，15)，可得a2－4a＝－4b＋3＝－22c＋1＝－15，解得a

＝2，b＝－5，c＝－8，所以a＋b＋c＝2－5－8＝－11.答案：－118．解析：A(0，0，0)，B1(1，0，1)，所以AB1的中点为(0＋12，0＋02，0＋12)，即(12，0，12).即正方形AA1B

1B的对角线交点的坐标为(12，0，12).9．解析：如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1.由|BM|＝2|MC1|，知|MM1|＝23|CC1|＝23，|M1C|＝13|BC|＝13.因为

M1M∥DD1，所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为23，所以M(13，1，23).由N1为DM1的中点，知N1(16，12，0).因为N1N与z轴平行，且|N1N|＝|MM1

|＋|DD1|2＝56，所以N(16，12，56).10．解析：△ABC的重心G在xOy平面上的射影G′是△PAB的重心，其坐标为(a3，b3，0)，而|G′G|＝13|PC|，所以重心G的竖坐标为c3，所以点G的坐标为(a3，b3，c3

)答案：(a3，b3，c3)11．解析：(1)答案不唯一，如P(0，0，3)，Q(4，0，3)，R(0，4，3)三点．(2)由于P，Q，R三点不共线，因而可以确定一个平面．又因为这三点在xOy平面的同侧

，且到xOy平面的距离相等，所以平面PQR平行于平面xOy，而且平面PQR内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足z＝3.课时作业(十二)空间两点间的距离1．解析：由题意得B(2，1，3)，∴|AB|＝（2－2）2＋（－1－

1）2＋（3－3）2＝2.答案：B2．解析：由中点坐标公式得，D(4，1，－2)，所以AD＝（4－2）2＋[1－（－1）]2＋（－2－4）2＝211.答案：B3．解析：因为在空间直角坐标系中，P(2，2，5)、Q(5，4，z)，所以P、Q两点之间的距离|PQ|＝（5－2）2＋（4－2）

2＋（z－5）2＝7，解得z1＝11，z2＝－1.答案：11或－14．解析：由于D为坐标原点，所以D(0，0，0).由|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3

).∵点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，∴N(2，1，0)，M(1，2，3)；由两点距离公式得|MD|＝（1－0）2＋（2－0）2＋（3－0）2＝14，|MN|＝（2－1）2＋（1－2）2＋（0－3）2＝11.5．解析：

根据题意得（3－a）2＋（0－1）2＋[1－（－1）]2＝6，∴(3－a)2＝1，∴a＝2或4.答案：A6．解析：∵点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，∴可设点B(m，1－m，0)，由空间两点之间的距离公式，得|AB|＝（－1－m）2

＋[－1－（1－m）]2＋（2－0）2＝2m2－2m＋9，令t＝2m2－2m＋9＝2(m－12)2＋172，当m＝12时，t的最小值为172，所以当m＝12时，|AB|的最小值为172＝342，即A，B两点的最短距离是342.答案：

B7．解析：设点C的坐标为(0，0，t)，由于|AC|＝|BC|，则32＋12＋（t－1）2＝22＋（－2）2＋（t－3）2，整理得2t－3＝0，解得t＝32，因此，点C的坐标为(0，0，32).答案：(0，0，32)8．

解析：(1)设M(x，y，z)是线段AB的中点，O是坐标原点，则OM→＝12(OA→＋OB→)＝12[(3，1，3)＋(1，5，0)]＝(2，3，32).∴线段AB的中点坐标是(2，3，32).∴|AB|＝（3－1）2＋（1－5）

2＋（3－0）2＝29.(2)点P(x，y，z)到A、B两点距离相等，则（x－3）2＋（y－1）2＋（z－3）2＝（x－1）2＋（y－5）2＋（z－0）2，化简，得4x－8y＋6z＋7＝0.即到A，B两点距离相等的点P

(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件是4x－8y＋6z＋7＝0.9．解析：由已知|AB|＝（4－1）2＋（2＋2）2＋（3－11）2＝89，|AC|＝（6－1）2＋（－1＋2）2＋（4－11）2＝75＝53，|BC|＝（6－4）2＋（－1－2）2＋（4－3）2＝14，因为|AC|

2＋|BC|2＝|AC|2，所以三角形ABC为直角三角形．10．解析：因为x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，|OA|＝（－2）2＋32＋（3）2＝4.所以|PA|min＝|OA|－|OP|＝4－1＝3，|PA|max＝

|OA|＋|OP|＝4＋1＝5.答案：3511．解析：∵如图，四边形ABCD，ABEF均为正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB，BC，BE两两垂直．过点M作MG

⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB.∵CM＝BN＝a，∴CH＝MH＝BG＝GN＝22a，∴以B为原点，分别以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz，则M(22a，0，1－22

a)，N(22a，22a，0).(1)|MN|＝（22a－22a）2＋（0－22a）2＋（1－22a－0）2＝a2－2a＋1＝（a－22）2＋12.(2)由(1)得，当a＝22时，|MN|最短，最短为22，这时M，N恰好为AC，BF的中点．课时作业(十

三)空间向量及其运算1．解析：根据向量的加法、减法法则得PA→＋AB→－CB→＝PB→－CB→＝PB→＋BC→＝PC→.答案：A2．解析：∵向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝

e1＋2e3，∴(6a)·12b＝3a·b＝3×(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.答案：B3．解析：空间向量a在向量e方向上的投影为|a|cos〈a，e〉＝4×cos2π3＝－2，所以投影的模为2.答案：24．解析：(1)在

单位正方体ABCD­A′B′C′D′中，由题意|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝c·b＝0，所以a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.(2)(a＋b)·(b＋c)＝a·b＋a·c＋b2＋b·c＝1.5．解析：由题意可知MN→＝MB→＋BN→＝MC→＋CB→＋23�

�A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝－12𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋AB→－AC→＋23(𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗－AB→)＝13AB→－AC→＋16𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．所以x＝13，y＝－1，z＝16，故x＋y＋z＝－12.答案：B6．解析：∵𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝AB→＋AD→＋𝐴A1⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗，∴𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2＝AB→2＋AD→2＋𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2＋2AB→·AD→＋2AB→·𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋2AD→·𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝1＋1＋1＋2×1×1×－12＋2×1×1×－12＋2×1×1×cos

∠DAA1＝2，∴cos∠DAA1＝12，∴∠DAA1＝60°.答案：C7．解析：因为(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，所以(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则|AB→|2＝|AC→|2，即|AB→|＝|

AC→|，所以△ABC的形状是等腰三角形．答案：等腰三角形8．解析：(1)根据题意，DE→＝DO→＋OA→＋AE→＝－12OC→＋OA→＋12AB→＝－12OC→＋OA→＋12(OB→－OA→)＝12(OA→＋OB→－OC

→)＝12(a＋b－c).(2)证明：根据题意，a，b，c相互之间的夹角为π3，且模均为1，由(1)得DE→·AB→＝12(a＋b－c)·(b－a)＝12(－a2＋b2－b·c＋a·c)＝12(－1＋1－1×1×12＋1×1×12)＝0，所以DE⊥AB.9．

证明：设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋23×12(BC→＋BD→)＝AB→＋13(BC→＋BD→)＝AB→＋13(AC→－AB→＋AD→－AB→)＝13(AC→＋AB→＋AD→)＝13(a＋b＋c)，所以BG→＝BA→＋AG→＝BA→＋34A

M→＝－a＋14(a＋b＋c)＝－34a＋14b＋14c，BN→＝BA→＋AN→＝BA→＋13(AC→＋AD→)＝－a＋13b＋13c＝34BG→，∴BN→∥BG→.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．10．解析：设正方

体内切球的球心为O，则|OM|＝|ON|＝2，OM→＝－ON→，∴PM→·PN→＝(OM→－OP→)·(ON→－OP→)＝|OP→|2－OP→·(OM→＋ON→)＋OM→·ON→＝|OP→|2－4，又点P在正方体表面上运动，∴当P为正方体顶点时，|

OP→|最大，且最大值为正方体体对角线的一半，|OP→|max＝12×3×42＝23，∴PM→·PN→的最大值为(23)2－4＝8.答案：C11．解析：∵∠ACD＝90°，四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAC＝90°，∴AC→·CD→＝0，BA

→·AC→＝0；∵AB与CD成60°角，∴〈BA→，CD→〉＝60°或120°；∴|BD→|2＝|BA→＋AC→＋CD→|2＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→，3＋2|BA→|·|CD→|c

os〈BA→，CD→〉＝3＋2cos〈BA→，CD→〉；当〈BA→，CD→〉＝60°时，|BD→|2＝4，解得|BD→|＝2；当〈BA→，CD→〉＝120°时，|BD→|2＝2，解得|BD→|＝2；∴BD的长为2或2.课时作业(十四)空间向量的分解与坐标表示1．解析：OA

→＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10).答案：A2．解析：对于选项A：三个非零向量能构成空间的一组基，则三个非零向量不共面，所以选项A正确；对于选项B：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一

组基，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一组基，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，所以选项B正确；对于选项C：∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，∴a，b，c共面，不能构成基，所以选项C错误；对于选项D：∵OA→、OB→、OC→共起点，若O、A、B、C四点不共面，则

必能作为空间的一组基，所以选项D正确．答案：ABD3．解析：因为{e1，e2，e3}是空间的一组基，所以e1，e2，e3不共面，所以λ＝μ＝ν＝0，即λ＋μ＋ν＝0.答案：04．解析：∵a＝i＋j－4

k，b＝i－2j＋2k，∴m＝a＋b＝2i－j－2k，∴向量m在j，k上的投影分别为－1，－2.5．解析：依题意OM→＝1kOA→＋2kOB→＋3kOC→，由四点共面，则系数和1k＋2k＋3k＝1，则k＝6.答案：D6．解

析：A：因为OM→＝13OA→＋14OB→＋15OC→，且13＋14＋15≠1，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量MA→，MB→，MC→能构成空间一组基；B：因为MA→＝MB→＋2MC→，利用平面向量基本定理知：向量MA→，MB→，MC→共面，不能构成空间一

组基；C：由OM→＝OA→＋2OB→＋3OC→，1＋2＋3≠1，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量MA→，MB→，MC→能构成空间一组基；D：由MA→＝3MB→－2MC→，根据平面向量的

基本定理知：向量MA→，MB→，MC→共面，不能构成空间的一组基．答案：AC7．解析：由题意，不妨设p＝x(a＋b)＋y(2a－b)＋zc，由空间向量分解的唯一性：p＝x(a＋b)＋y(2a－b)＋zc＝a＋2b＋3c，故x＋2y＝1，x－y＝2，z＝3，解得x＝53，

y＝－13，z＝3.则p＝53(a＋b)－13(2a－b)＋3c.答案：53(a＋b)－13(2a－b)＋3c8．解析：如图，以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系．所以P(0，0

，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，1).又因为E是AB的中点，所以E(1，1，0).AB→＝(0，2，0)－(2，0，0)＝(－2，2，0)，CE→＝(1，1，0)－(0，0，1)＝(1，1，－1).9．解析：(1)证

明：因为𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝AB→＋AD→＋𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝AB→＋AD→＋13𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋23𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(AB→＋13𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)＋(AD→＋23𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)＝(AB→＋BE→)＋(AD→

＋DF→)＝AE→＋AF→，所以𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AE→，AF→共面，又𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AE→，AF→过同一点A，所以A，E，C1，F四点共面．(2)EF→＝AF→－AE→＝AD→＋DF→－(AB→＋BE→)＝AD→＋23𝐷D1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗－AB→－13𝐵B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝－AB→＋AD→＋𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．10．解析：由条件知p＝2a＋b－c.设p在基{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝

(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a，b，c不共面，∴x＋y＝2，x－y＝1，z＝－1，∴x＝32，y＝12，z＝－1.即p在基{a＋b，a－b，c}下的坐标为(32，12，－1)，同理可求得p在基{

2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).答案：(32，12，－1)(1，1，1)11．解析：能作为空间的一组基底．假设OA→，OB→，OC→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使OA→＝xOB→＋yOC→成立，e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝

(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，又因为{e1，e2，e3}是空间的一组基，所以e1，e2，e3不共面．因此－3x＋y＝1x＋y＝22x－y＝－1，此方程组无解，即不存在实数x，y使OA→＝xOB→＋yOC→，所以OA→，OB→，OC→不共面．故{OA→

，OB→，OC→}能作为空间的一组基．设OD→＝pOA→＋qOB→＋zOC→，则有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋

2q－z)e3，因为{e1，e2，e3}为空间的一组基，所以p－3q＋z＝22p＋q＋z＝－1－p＋2q－z＝3，解得p＝17q＝－5z＝－30，故OD→＝17OA→－5OB→－30OC→.课时作业(十五)空间向量运算的坐标表示1．解析：由

于向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，所以2a＋b＝(4，－1，1).故|2a＋b|＝42＋（－1）2＋12＝18＝32.答案：D2．解析：因为a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，所以

a＋b＝(7，－5，0)，故A正确；a－b＝(－5，1，－4)，故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；|a|＝1＋4＋4＝3，故D不正确．答案：AC3．解析：设C点坐标为(x，y，z)，则AC→＝(x

＋1，y－2，z＋3)，CB→＝(2－x，－4－y，6－z)，由AC→＝2CB→，得：x＋1＝2（2－x）y－2＝2（－4－y）z＋3＝2（6－z），解得：x＝1y＝－2z＝3，故C点坐标为(1

，－2，3).答案：(1，－2，3)4．证明：∵在空间直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，54)，∴AB→＝(3，1，－4)，AC→＝(－2，－1，－74)，BC→＝(－5，－2，94)，∴AB→·AC→＝

－6－1＋7＝0，∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．5．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即2＋2m＋2＝0，解得m＝－2.答案：B6．解析：由a∥b，则a＝λb，即1＝2λ，m＝－2λ，则λ＝12，m＝－2×12＝－1，所以a＝(1，0，－1)，

则|a|＝12＋02＋（－1）2＝2.答案：B7．解析：由已知，得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(－25)＝3t－525.因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即3t－525<0，所以t<5215.若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λ

b(λ<0)，即(5，3，1)＝λ(－2，t，－25)，所以5＝－2λ，3＝λt，1＝－25λ，所以λ＝－52，t＝－65.故实数t的取值范围是(－∞，－65)∪(－65，5215).答案：(－∞，－65)∪(－65，5215)8．

解析：(1)由题，a＝(1，1，2)，b＝(－3，0，4)，故a·b＝1×(－3)＋1×0＋2×4＝5，|a|＝6，|b|＝5，所以cos〈a，b〉＝56×5＝66，故a与b夹角余弦值为66.(2)由

a与a－kb互相垂直知，a·(a－kb)＝a2－ka·b＝0，|a|2＝6，a·b＝5，即k＝a2a·b＝|a|2a·b＝65.9．解析：(1)由题设，AB→＝DC→，令D(x，y，z)，则(－2，－1，3)＝(1－x，－2－y，4－z)，∴1－x＝－2－2－y＝－1，4－z

＝3，可得x＝3y＝－1z＝1，故D(3，－1，1).(2)由(1)知，AD→＝(3，－2，－1)，AB→＝(－2，－1，3)，则cos∠DAB＝AB→·AD→|AB→||AD→|＝－12，又∠DAB∈(0，π)，则

sin∠DAB＝32，∴平行四边形ABCD的面积S＝2×12×|AB→|·|AD→|sin∠DAB＝73.10．解析：依题意，BA，BC，BB′两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，1，0)，B′(0，0，2)

，C′(2，0，2)，DC′→＝(2，－1，2)，BB′→＝(0，0，2)，设DE→＝λDC′→，λ∈[0，1]，则E(2λ，1－λ，2λ)，设F(0，0，z)，有EF→＝(2λ，1－λ，z－2λ)，线段EF长最短，必满足EF⊥BB′，则有EF→·BB′→＝0，解得z＝2λ，即

EF→＝(2λ，1－λ，0)，因此，|EF→|＝（2λ）2＋（1－λ）2＝5λ2－2λ＋1＝5（λ－15）2＋45≥255，当且仅当λ＝15时取“＝”，所以线段EF长的最小值为255.答案：B11．解析：(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3

，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，12，1)，从而AC→＝(3，1，0)，PB→＝(3，0，－2).设AC→与PB→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·PB→|AC→|·|PB→|＝327＝

3714.∴AC与PB所成角的余弦值为3714.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则NE→＝(－x，12，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，NE→·AP→＝0，NE→·AC→＝0，即（－

x，12，1－z）·（0，0，2）＝0，（－x，12，1－z）·（3，1，0）＝0，化简得z－1＝0，－3x＋12＝0，∴x＝36，z＝1，即N点的坐标为(36，0，1)时，NE⊥平面PAC.课时作业(十六)空间直线的方向向量和平面的法向量1．解析：∵A(0，1，2)，B(2

，5，8)在直线l上，∴直线l的一个方向向量AB→＝(2，4，6)，又∵(1，2，3)＝12(2，4，6)，∴(1，2，3)是直线l的一个方向向量．答案：D2．解析：显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z

)，则n·a＝0n·b＝0，∴2x＋3y＋z＝05x＋6y＋4z＝0，即x＝－2zy＝z，分别验证各选项可知，只有选项C符合．答案：C3．解析：AB→＝(－2，0，z－1)，因为n＝(1，0，－1)是平面α的法向量，所以AB→·n＝0，即－2－(z－1)＝

0，解得z＝－1.答案：－14．解析：(1)因为B(0，2，0)，C(2，3，1)，所以BC→＝(2，1，1)，所以直线BC的一个方向向量为BC→＝(2，1，1).(2)因为A(1，1，1)，B(0，2，0)，C(2，3，1)，所以AC→＝(1，2，0)，BC→＝(2，1，1

)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC→＝0，n·BC→＝0，即x＋2y＝02x＋y＋z＝0，令y＝－1，则x＝2，z＝－3，所以n＝(2，－1，－3)，所以平面ABC的一个法向量为n＝(2，－1，－3).5．解析：c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋

(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c为平面α的法向量，得c·a＝0c·b＝0，即3m＋n＋1＝0m＋5n－9＝0，解得m＝－1n＝2.答案：A6．解析：由题意，B(1，0

，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，∵𝐵D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，1，1)，∴向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确；设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，

z)，则，由𝐶B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，－1，1)，𝐶D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，0，0)得－y＋z＝0－x＋z＝0，令x＝1得n＝(1，1，1)，则C正确；设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则，由𝐶B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，－1，1)，CD→＝(

－1，0，0)得－b＋c＝0－a＝0，令b＝1得m＝(0，1，1)，则D不正确．答案：AC7．解析：由题意知：n＝λm(λ≠0)，∴a2＝2λa＝λb＝0，解得a＝0b＝0(

舍)或a＝2b＝0，∴a＋b＝2.答案：28．解析：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，

1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，因为E，F分别是DD1，DB的中点，所以E(0，0，12)，F(12，12，0)，因为G在棱CD上，CG＝14CD，H是C1G的中点，所以G(0，34，0)，H(0，78，12)，所以EF，FH所在直线的一

个方向向量分别为EF→＝(12，12，－12)，FH→＝(－12，38，12).9．解析：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD.又P

A∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.又底面四边形ABCD为矩形，∴矩形ABCD为正方形．建立如图所示的空间直角坐标系．A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，1)，D(0，2，0).BC→＝(0，2，0)，BP→

＝(－2，0，1)，设平面BPC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BC→＝0n·BP→＝0，即2y＝0－2x＋z＝0，取n＝(1，0，2).∴平面BPC的一个法向量为n＝(1，0，2).10．解析：设平面α内的一点为P(x

，y，z)(不与点A重合)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)，因为n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，所以AP→⊥n，所以AP→·n＝3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，即3x＋y＋2z＝9，对于A：3×1＋(－1)＋2×1＝4≠9，故选项A不正确；对于B：3×1＋3

＋2×32＝9，故选项B正确；对于C：3×1＋(－3)＋2×32＝3≠9，故选项C不正确；对于D：3×(－1)＋3＋2×(－32)＝－3≠9，故选项D不正确．答案：B11．解析：由题设，直线l1、l2的方向向量

分别为s1＝(1，－1，2)、s2＝(0，1，1)，而s1≠λs2(λ∈R)，所以直线l1，l2不平行，设与两直线l1，l2都平行的平面α的一个法向量m＝(x，y，z)，所以s1·m＝x－y＋2z＝0s2·m＝y＋z＝0，令z＝－1，则m＝(3，1，－1).故与两直线

l1，l2都平行的平面α的一个法向量的坐标(3，1，－1).课时作业(十七)向量与垂直1．解析：因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.答案：B2．解析：由平面α的法向量为a，平面β的法向量为b，∵α⊥β，

∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.答案：D3．解析：因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.答案：104.证明：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，O(1，1，0)，A1(2，

0，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，𝑂A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(1，－1，2)，DB→＝(2，2，0)，DM→＝(0，2，1).𝑂A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·DB→＝0，𝑂A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·D

M→＝0，∴DB⊥OA1，DM⊥A1O.由于DB∩DM＝D，所以A1O⊥平面MBD.5.解析：过点A的面对角线一共有三条，AC，AD1，AB1，连接AC，AD1，AB1，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则D1(0，0，1)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，其中𝐵D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，－1，1)，𝐴D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，0，1)，AC→＝(－1，1，0)，𝐴B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，1，1)，𝐵D1⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，－1，1)·(－1，0，1)＝2，𝐵D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AC→＝(－1，－1，1)·(－1，1，0)＝0，𝐵D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，－1，1)·(0，1，1)＝0，故B

D1与AC，AB1垂直，与AD1不垂直，故答案为2条．答案：C6．解析：由题意知AB→＝(－1，－1，－1)，AC→＝(2，0，1)，AP→＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有AB→·AP→＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①AC

→·AP→＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).答案：C7．解析：∵A(－3，－2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x

，0)，∴AB→＝(2，1，－2)，BC→＝(－4，x＋1，1)，AC→＝(－2，x＋2，－1)，分三种情况：①A为直角，AB→·AC→＝0，∴－4＋x＋2＋2＝0，∴x＝0；②B为直角，AB→·BC→＝0，∴－8＋x

＋1－2＝0，∴x＝9；③C为直角，AC→·BC→＝0，∴8＋(x＋1)(x＋2)－1＝0，x2＋3x＋9＝0，方程无解．综上，x的值为0或9.答案：0或98．证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA

＝AB＝BC＝1，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，D(0，233，0)，B(1，0，0).∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C(12，32，0)，E(14，34，12).∴AB→＝(1

，0，0)，AE→＝(14，34，12)，∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0n·AE→＝0，即x＝014x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0，2，－3).∵PD→＝(0，233，－1)，显然PD→＝33n

，∴PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.9.证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直.以点B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1

(0，2，1)，E(0，0，12)，则𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，0，1)，AC→＝(－2，2，0)，𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－2，2，1)，AE→＝(－2，0，12).设平面AA1C1C的一个法向量为

n1＝(x1，y1，z1).则n1·AA1＝0n1·AC→＝0，∴z1＝0－2x1＋2y1＝0，令x1＝1，得y1＝1，∴n1＝(1，1，0).设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2).则n2·AC1＝0n2·AE→＝0，∴

－2x2＋2y2＋z2＝0－2x2＋12z2＝0，令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1，∴n2＝(1，－1，4)，∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.10．解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0，0，3a)，D(2a2，

2a2，3a)，C(0，2a，0).设点E的坐标为(2a，0，z)，则CE→＝(2a，－2a，z)，𝐵1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(2a，0，z－3a)，𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(2a2，2a2，0)，故CE→·𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝0.故要使CE⊥平面B1DE，则需CE→⊥𝐵

1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即CE→·𝐵1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝0，故2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.答案：a或2a11.解析：(1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直．如图以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0，0，0)，

A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，a2，0)，P(0，0，a)，F(a2，a2，a2)，EF→＝(－a2，0，a2)，DC→＝(0，a，0)，因为EF→·DC→＝0，所以EF→⊥DC→，从而得EF⊥CD.(2)存在．理由如下：假设存在满足条件的点

G，设G(x，0，z)，则FG→＝(x－a2，－a2，z－a2)，若使GF⊥平面PCB，则由FG→·CB→＝(x－a2，－a2，z－a2)·(a，0，0)＝a(x－a2)＝0，得x＝a2；由FG→·CP→＝(x－a2，－a2，z－a2)·(0，－a，a)＝a22＋a·(z－a2)

＝0，得z＝0，所以G点坐标为(a2，0，0)，故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．课时作业(十八)向量与平行1．解析：对于平面α的一个法向量为v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，－2)，因为v1＝－12v2，所以v1、v2平行．又α，β表示不同的平面，所以平面

α与平面β平行．答案：A2．解析：已知l⊄α，l∥α，则a·n＝0.A选项中，a·n＝1×1＋0×3＋1×5＝6≠0，A选项不满足条件；B选项中，a·n＝1×0＋0×()－2＋1×0＝0，B选项满足条件；C选项中，a·n＝0×(－1)＋

2×0＋1×1＝1≠0，C选项不满足条件；D选项中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋1×3＝0，D选项满足条件．答案：BD3．解析：∵α∥β，∴3λλ＋1＝63＝λ＋62λ，解得λ＝2.答案：24．证明：因为PA⊥平面ABCD，AD

⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.又AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，4，0).因为点M为PC的中点，所以M(

1，2，1)，故DM→＝(1，0，1).又AP→＝(0，0，2)，AB→＝(2，0，0)，所以DM→＝12AP→＋12AB→.所以DM→，AP→，AB→为共面向量．又DM⊄平面PAB，所以DM∥平面PAB.5．解析：因为l∥α，则a·n＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3.答案：B6．解析：如图

建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(0，0，2)，C(2，2，2)，M(2，0，1)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，G(0，0，1)，H(2，1，2)，D(0，2，2)，则DE→＝(1，－2，－2)，DF→＝

(2，－1，－2)，DG→＝(0，－2，－1)，DH→＝(2，－1，0)，AC→＝(2，2，0)，AM→＝(2，0，－1)，设平面ACM的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC→＝2x＋2y＝0n·AM→＝2x－z＝0，令x＝1，

则y＝－1，z＝2，所以n＝(1，－1，2)，因为n·DE→＝1×1＋(－2)×(－1)＋2×(－2)＝－1，n·DF→＝1×2＋(－1)×(－1)＋2×(－2)＝－1，n·DG→＝0×1＋(－2)×

(－1)＋2×(－1)＝0，n·DH→＝1×2＋(－1)×(－1)＋2×0＝3，所以n⊥DG→，又DG⊄平面ACM，所以DG∥平面ACM，故C正确，A、B、D错误．答案：C7.解析：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，且棱长为a，故以C1为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则C1(0

，0，0)，C(0，0，a)，A1(a，a，0)，A(a，a，a)，B(a，0，a)，由题可知CN→＝23CA→＝23(a，a，0)＝23a，23a，0，设点N坐标为(x1，y1，z1)，则(x1，y1，z1－a)＝

23a，23a，0，故可得x1＝23a，y1＝23a，z1＝a，即N23a，23a，a；BM→＝23𝐵A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝23(0，a，－a)＝0，23a，－23a，设点M坐标为(x2，y2，z2)，则(x2－a，y2，z2－a)＝0，23a，－2

3a，故可得x2＝a，y2＝23a，z＝13a，即Ma，23a，13a；故MN所在的方向向量为MN→＝－13a，0，23a，又平面BB1C1C的一个法向量n＝(0，1，0)，故MN→·n＝0，故直线MN∥平面BB1C1C.答案：平行8．证明：因为AB＝4，

BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，则△BCF为正三角形．因为底面ABCD为等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.取AF的中点M，连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD.以D为坐标原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则F

(3，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(32，－12，0)，E1(3，－1，1)，所以𝐶C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，0，2)，𝐸E1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝32，－12，1，CF→＝()3，－1，0.设平面FCC1的法向量为n＝(x，y，

z)，则n·CF→＝3x－y＝0n·CC1＝2z＝0，令x＝1，可得平面FCC1的一个法向量为n＝(1，3，0)，则n·𝐸E1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝1×32＋3×－12＋0×1＝0，所以n⊥𝐸E1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．又直线EE1⊄平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.9.

证明：以D为坐标原点，DA→，DC→，𝐷D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0

)，P(1，2，1).因为DA→＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于MP→＝(0，2，0)，MN→＝(0，1，－1)，则MP→·DA→＝0MN→·DA→＝0，即DA→＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D

.10．解析：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体的棱长为1，则O(12，12，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，P(0，0，12)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1).则OP→＝(－12，－12，12)

，𝐵D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，－1，1)，∴OP→＝12𝐵D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OP→∥𝐵D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴OP∥BD1，设Q(0，1，z)，则BQ→＝(－1，0，z)，由于OP∥BD1，故要使

平面D1BQ∥平面PAO，只需AP→∥BQ→，又AP→＝(－1，0，12)，故z＝12，则Q(0，1，12)，由CQ→＝(0，0，12)，𝐶C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，0，1)及CQ→＝λCC1，得λ＝12.答案：平行1211

.解析：由已知得以AB，AD，AP两两垂直，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．∵PA＝AB＝BC＝12AD＝1，∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0),设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)，PD→＝(0，2，

－1)，∵E是棱PD上的点，∴PE→∥PD→，∴y2＝z－1－1，即y＝2－2z①∵AD→＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，CE→＝(－1，y－1，z)，∴由CE∥平面PAB，可得CE→⊥AD→，∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，

∴y＝1，代入①式得z＝12.∴E是PD的中点，此时，由于CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.故存在满足题意的点E，使得CE∥平面PAB，且点E为棱PD的中点．课时作业(十九)向量与夹角1．解析：线面角的范围是0，π2.∵〈a，n〉＝2π3，∴l与法

向量所在直线所成角为π3，∴l与α所成的角为π6.答案：C2．解析：以D为原点，DA→，DC→，𝐷D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，A(2，0，0)，E(1，1，2)，D1(0，0，2)，B(2

，2，0)，所以AE→＝(－1，1，2)，D1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(2，2，－2)，AE→·D1B|AE→|·|D1B|＝－46×12＝23，所以异面直线AE与BD1所成角的余弦值为23.答

案：B3．解析：cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝（3，0，－1）·（－32，1，12）3＋1·34＋1＋14＝－32－1222＝－22，设二面角大小为α(0≤α≤π)，因为二面角α

­l­β为锐角，故cosα＝－cos〈n1，n2〉＝22，解得α＝π4，故二面角α­l­β的大小为π4.答案：－22π44．解析：如图建立空间直角坐标系，则B′(1，0，2)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，D(0

，2，0)，B′C→＝(0，2，－2)，B′B→＝(0，0，－2)，BD→＝(－1，2，0)，设平面B′BDD′的法向量为m＝(x，y，z)，则m·B′B→＝－2z＝0m·BD→＝－x＋2y＝0，解得z＝0，令y＝1得x＝2，则m＝(2，1，0)，设

直线B′C与平面B′BDD′夹角为θ∈0，π2，则sinθ＝|cos〈B′C→，m〉|＝|（0，2，－2）·（2，1，0）|4＋4×4＋1＝1010.故直线B′C与平面B′BDD′所成角的正弦值为1010.5．解析：因为点A

(1，1，－1)关于x轴的对称点为B(1，－1，1)，所以OA→＝(1，1，－1)，OB→＝(1，－1，1).设平面OAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·OA→＝0，n·OB→＝0，得x＋y－z＝0，x－y＋z＝0，所以x＝0，令y＝1，得z＝1，所以n＝

(0，1，1).又z轴的一个方向向量为a＝(0，0，1)，设z轴与平面OAB所成的线面角为θ，则sinθ＝|a·n||a|·|n|＝12＝22，所以所求的线面角为π4.答案：B6．解析：如图，正方体内三棱锥A­BCD即为满足题意的鳖臑A­BCD，以B为原点，建立如图所示的空间

直角坐标系，设正方体棱长为1，则B(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，M(12，12，12)，则BM→＝(12，12，12)，CD→＝(1，0，0)，cos〈BM→，CD→〉＝BM→·CD→|BM

→|·|CD→|＝1234＝33，则异面直线BM与CD夹角的余弦值33.答案：A7．解析：取BD的中点O，连接AO、OC，依题意可得OA、OC、OB两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，令AB＝2，则A(0，0，3)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，所以BA→

＝(－1，0，3)，BC→＝(－1，3，0)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BA→＝－x＋3z＝0n·BC→＝－x＋3y＝0，令x＝3，则y＝z＝1，所以n＝(3，1，1)，显

然平面BCD的法向量可以为m＝(0，0，1)，设二面角A­BC­D为θ，则cosθ＝|m·n||m|·|n|＝11×（3）2＋12＋12＝55，故二面角A­BC­D的余弦值为55.答案：558．解析：以

A为原点，分别以AB→，AD→，AP→的方向为x，y，z轴的正方向，如图所示，建立空间直角坐标系A­xyz.设AB＝2，则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，P(0，0，2).因为F是棱PC的中点，所以F(1，1，1)，所以AE→＝(1，0，0)，AF→＝(

1，1，1)，CD→＝(－2，2，0)，CF→＝(－1，－1，1).设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)则n·AE→＝x1＝0，n·AF→＝x1＋y1＋z1＝0，令y1＝1，得n＝(0，1，－1).设平面CDF的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则

m·CD→＝－2x2＋2y2＝0，m·CF→＝－x2－y2＋z2＝0，令x2＝1，得m＝(1，1，2).设平面AEF与平面CDF所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||

n|＝16×2＝36.9．解析：∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥CD，∵PB⊥CD，BD∩PB＝D，BD、PB⊂平面PBD，∴CD⊥平面PBD，而PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD，又PD⊥DB，CD∩DB＝D，CD、DB

⊂平面BCD，∴PD⊥平面BCD.所以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，P(0，0，2)，∴PA→＝(2，0，－2)，PB→＝(0，2，－2)，PC→＝(－2，0，－2)，设平面PBC的法向

量为n＝(x，y，z)，则n·PB→＝2y－2z＝0n·PC→＝－2x－2z＝0，令z＝1，则n＝(－1，1，1)，设PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PA→，n〉|＝PA→·

n|PA→|·|n|＝－2－22×3＝63，故PA与平面PBC所成角的正弦值为63.10．解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，O(1，1，0

)，D1(0，0，1),设P(a，2－a，1)(0≤a≤2)，则OP→＝(a－1，1－a，1)，𝐴D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－2，0，1)，AC→＝(－2，2，0)，设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AD1＝－2x＋z＝0n

·AC→＝－2x＋2y＝0，令x＝1，得n＝(1，1，2)，所以sinθ＝n·OP→|n|·|OP→|＝a－1＋1－a＋26·（a－1）2＋（1－a）2＋12＝26×12（a－1

）2＋1，由于0≤a≤2，∴2（a－1）2＋1∈[1，3]，∴12（a－1）2＋1∈33，1，∴sinθ＝26×1（a－1）2＋2∈23，63，∴sin2θ∈29，23，∴1－si

n2θ∈13，79，由于θ∈0，π2，所以cosθ＝1－sin2θ∈33，73.答案：D11．解析：(1)证明：由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，又在正方形ABCD中，BC⊥AB，且PA∩AB＝A，则BC

⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，有BC⊥AE.由PA＝AB，E为PB中点，可得AE⊥PB，又PB∩BC＝B，则AE⊥平面PBC，AE⊂平面AEF，从而平面AEF⊥平面PBC.(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设

AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，E12，0，12.由(1)可知AE→＝n1＝(12，0，12)为平面PBC的法向量．由BE＝2BF，可知EF∥PC，设BF→＝λB

C→，BE→＝λBP→，则BF→＝λ(0，1，0)，BE→＝λ(－1，0，1)，可得AF→＝AB→＋BF→＝(1，λ，0)，AE→＝AB→＋BE→＝(1－λ，0，λ).设平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)，由n2·AF→＝0n2·AE→＝0，即x＋λy＝

0（1－λ）x＋λz＝0，取y＝1，则x＝－λ，z＝1－λ，即n2＝(－λ，1，1－λ).从而，由|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|＝|1－2λ|2·2λ2－2λ＋2＝714，解得λ＝13或λ＝23，即

F为BC三等分点处．课时作业(二十)点到直线的距离与点到平面的距离1．解析：∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，AB→＝(1，0，0)，BC→＝(－1，2，－2)，∴点A到直线BC的距离为d＝|AB→|·1－（cos〈AB→，BC→〉）2＝1×1

－（－11×3）2＝223.答案：A2．解析：因为n＝(－2，－2，1)，AP→＝(－1，－2，z)，且d＝|AP→·n||n|＝|2＋4＋z|4＋4＋1＝|6＋z|3＝103，所以z＝4或－16.答案：AC3．解析：以D1为坐标原点

，以{D1A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，D1C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，D1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}为单位正交基，建立如图所示的空间直角坐标系D1­xyz，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C1(0，1，0)，∴AB→＝(0

，1，0)，𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，1，－1).取a＝AB→＝(0，1，0)，u＝＝(－33，33，－33)，则a2＝1，a·u＝33，则点B到直线AC1的距离为a2－（a·u）2＝1－13＝63.答案：A4．解析：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)，M(0，2，2)，AP→＝(0，0，4)，AC→＝(2，4，0)，CM→＝(－2，－2，2)，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，由AP→·n＝

0AC→·n＝0，得4z＝02x＋4y＝0，所以z＝0，取x＝2，得y＝－1，所以n＝(2，－1，0)是平面PAC的一个法向量．所以点M到平面PAC的距离为|CM→·n||n|＝|－4＋2＋0|22＋（－1）2＋0＝255.5．解析：如图，分别以AB，AD，AE所在

直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AB→，AD→，AE→可作为x，y，z轴方向上的单位向量，因为AP→＝34AB→＋12AD→＋23AE→，所以AP→＝(34，12，23)，AB→＝(1，0，0)，AP→·AB→|AB→|＝34，所以P点到AB的距离d＝|AP→|2－

AP→·AB→|AB→|2＝181144－916＝56.答案：C6．解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则E(1，0，12)，G(1，λ，1)，F(1，1，12)，D1(0，0，1)，∴EF→＝(0，1，0)，

𝐸D1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－1，0，12)，EG→＝(0，λ，12)，设平面D1EF的法向量n＝(x，y，z)，则n·EF→＝y＝0n·ED1＝－x＋12z＝0，令x＝1，得z＝2，∴n＝(1，0，2)，∴点

G到平面D1EF的距离为d＝|EG→·n||n|＝15＝55.答案：D7．解析：建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz，则A(32，12，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则C1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(32，12，－1)，

C1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，1，0)，C1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，1，－1)，设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，则有解得n＝(33，1，1)，则所求距离为＝113＋1＋1＝217.答案：2

178.解析：因为DG⊥平面ABCD，DA⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DG⊥DA，且DG⊥DC，因为AD⊥DC，如图所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，G(0，0，2)，E(2，0，2)，F(0，1，2)，B(1，2，0)

，所以CE→＝(2，－2，2)，EF→＝(－2，1，0)，所以点F到直线EC的距离为（EF→）2－（CE→·EF→|CE→|）2＝4＋1－（－4－2＋04＋4＋4）2＝2.9．解析：过A作AP⊥CD交CD于点P.如图示，分

别以AB→，AP→，AO→为x、y、z轴正方向建立坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，22，0)，D(－22，22，0)，O(0，0，2)，OP→＝(0，22，－2)，OD→＝(－22，22，－2)，OB→＝(1，0，－2)设平面OCD的法向

量为n＝(x，y，z)，则n·OP→＝22y－2z＝0n·OD→＝－22x＋22y－2z＝0.不妨取z＝2，解得n＝(0，4，2).设点B到平面OCD的距离为d，则d＝|OB→·n||n|＝|0＋0－2

2|0＋42＋2＝23.所以点B到平面OCD的距离为23.10．解析：(1)证明：设BC中点为E，连接AE，易知ADCE为正方形，且AC＝2，AE＝1，AB＝2，所以BC2＝AB2＋AC2，所以AB⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以PA⊥AC，

又PA，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A，所以AC⊥平面PAB.(2)因为PA⊥底面ABCD，在正方形ADCE中AE⊥AD，所以AE，AD，PA两两互相垂直．如图建立空间直角坐标系A­xyz，设PA＝a(a>0)，则C(1，1，0)，D(0，1，0)，B(1，－1

，0)，P(0，0，a)，所以PD→＝(0，1，－a)，DC→＝(1，0，0)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PD→＝0n·DC→＝0即y－az＝0，x＝0.所以n＝(0，a，1)

，由(1)知，平面PAB的法向量为AC→＝(1，1，0)，因为平面PAB与平面PCD的夹角为π3，所以cosπ3＝|cos〈AC→，n〉|＝|AC→·n||AC→||n|＝|（1，1，0）·（0，1，－a）|2·02＋12＋（－a）2

＝12，解得a＝1，设点B到平面PCD的距离为d.BC→＝(0，2，0)，n＝(0，1，1)，则d＝|BC→·n||n|＝|（0，2，0）·（0，1，1）|2＝2.课时作业(二十一)两平行线间的距离与两平行平面间的距离1．解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M(2，0

，4)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，∴EF→＝(2，2，0)，MN→＝(2，2，0)，AM→＝(－2，0，4)，BF→＝(－2，0，4)，∴EF→＝MN→，AM→＝BF→，∴EF∥MN，AM∥BF，∴平面AMN

∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，则n·MN→＝0，n·AM→＝0，即2x＋2y＝0，－2x＋4z＝0，令z＝1，得x＝2，y＝－2，则n＝(2，－2，1).

∵AB→＝(0，4，0)，∴AB→在n上的投影长为|AB→·n||n|＝84＋4＋1＝83，∴平面AMN与平面EFBD间的距离为83.2．解析：(1)证明：连接BD，交AC于点O，则平面PBD∩平面ACQ＝OQ，又因为PB∥平面ACQ，PB⊂平面PBD，则PB∥OQ，由于底面ABC

D为正方形，所以点O为BD的中点，因此可得Q为PD中点．(2)由(1)知Q是PD的中点．由于PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，故AB，AD，AP两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，A(0，0，0)，C(2，

2，0)，Q(0，1，1)，D(0，2，0)，∴AQ＝(0，1，1)，AC＝(2，2，0).设平面ACQ的法向量为n＝(x，y，z)，所以n·AQ→＝y＋z＝0n·AC→＝2x＋2y＝0，故可设n＝(－1，1，－1)，由于PB∥

平面ACQ，则PB到平面ACQ的距离，即B到平面ACQ的距离．BC→＝AD→＝(0，2，0)，B到平面ACQ的距离为BC→·n|n|＝23＝233.即直线PB到平面ACQ的距离为233.课时作业(

二十二)条件概率1．解析：由题意可知P(A)＝P（AB）P（B|A）＝1512＝25.答案：A2．解析：选填题及格记为事件A，P(A)＝45，两部分都及格记为事件B，P(B)＝310，由于AB＝B，所以P(AB)＝P(B).

则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率P(B|A)＝P（AB）P（A）＝31045＝38.答案：C3．解析：一个家庭中有两个小孩有{男孩，男孩}，{男孩，女孩}，{女孩，男孩}，{女孩，女孩}四种情况，A＝“其中有一个是男孩

”，B＝“其中有一个是女孩”，则A＝{(男孩，男孩)，(男孩，女孩)，(女孩，男孩)}，B＝{(男孩，女孩)，(女孩，男孩)，(女孩，女孩)}，AB＝{(男孩，女孩)，(女孩，男孩)}，所以P(A)＝34，P

(AB)＝24，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝2434＝23.答案：234．解析：设这种动物活到20岁的事件为A，活到25岁的事件为B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，由于AB＝B，所以P(AB)＝P(B)，所以活到20岁的

这种动物活到25岁的概率为：P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.40.8＝0.5.5．解析：记“一名学生语文及格”为事件A，“该学生数学不及格”为事件B，则P(A)＝1－10%＝0.9，P(AB)＝30%－5%＝0.25，所以所求概率为P(B|A)

＝P（AB）P（A）＝0.250.9＝518.答案：A6．解析：设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，则P(A)＝C24C35＝35，P(AB)＝C13C35＝310，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝12.答案：A7．解析：由题意，可知P(

B|A)＝n（AB）n（A）＝C24C23＋C24＝23.答案：238．解析：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共表团员”．(1)由题意，P(A)＝1040＝14.(2)在事件B发生的条件下(即以所选到的学

生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此P(A|B)＝415.9．解析：(1)抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为6×2＝12，∴P(A)＝1236＝13，由于3＋6＝

6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8，6＋6>8，所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，∴P(B)＝1036＝518，事件AB同时发生的概率为，P(AB)＝636＝16，

由条件概率公式，得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝12；(2)由(1)得P(A|B)＝P（AB）P（B）＝35.10．解析：用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，B表示“乙被安排到了冰壶”，在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下，事件B发生，相当于以A为样本空间，

考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)＝A22＝2，事件A发生的样本点数n(A)＝C23A22＋A33＝12，所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为P(B|A)＝n（AB）n（A）＝212＝16.答案：

A11．解析：(1)设黑球的个数为n(0<n<10，n∈N)，由已知可得1－C2nC210＝1315，可得C2n＝n（n－1）2＝6，因为0<n<10且n∈N，因此，n＝4，所以，袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4.(2)记事件A：第一次取出黑球，事件B：第二次取出白球，则P(

AB)＝4×610×9＝415，P(A)＝410＝25，所以，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝415×52＝23.课时作业(二十三)事件的独立性1．解析：根据题意可得该学生三项均合格的概率为34×12×15＝340.答案：D2．解析：由题意，从

一副52张的扑克牌中随机抽取一张，设事件A为“抽到黑色牌”，事件B为“抽到黑桃牌”，事件C为“抽到K”，可得P(A)＝12，P(B)＝14，所以P(A)P(B)＝12×14＝18，又由P(AB)＝1352＝14，则P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不是

独立事件；又由P(C)＝113，所以P(A)P(C)＝12×113＝126，又由P(AC)＝252＝126，所以P(A)P(C)＝P(AC)，所以事件A与事件C是独立事件．答案：C3．解析：由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜有三个环节都必

须合格，∴成功生产出质量合格的发热膜概率P＝23×23×23＝827.答案：8274．解析：(1)记事件A为：男运动员获得冠军；事件B为：女运动员获得冠军．则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.5＝0.3.(2)至少有一人得冠军的概率P＝1－(A－

B－)＝1－P(A－)P(B－)＝1－0.4×0.5＝0.8.5．解析：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为P＝1－(1－12)×(1－13)×(1－14)＝34.答案：D6．解析：用A，B，C分别表示事件“甲成功”

“乙成功”“丙成功”，则：A．根据概率公式有：P(AB)＝P(A)P(B)＝16，B．由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P(A－·B－)＝23，C．两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P(C)＝25，D．所求概率为P

＝(1－P1)P(C)＋(1－P(C))P1＝715.答案：ACD7．解析：因甲、乙、丙三人独立破译的事件分别记为A，B，C，则P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝14，依题意，三人都成功破译的事件M＝ABC，则P(M)＝P(A)·P(B)·P(C)＝12·13·

14＝124；密码被两人成功破译的事件N＝ABD－＋AB－D＋A－BD，于是得：P(N)＝P(ABD－)＋P(AB－D)＋P(A－BD)＝12·13·34＋12·23·14＋12·13·14＝14.答案

：124148．解析：(1)设“第一、二、三台机床不需要照顾”分别为事件A1，A2，A3，由题意A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.8，P(A3)＝0.8设“三台机床都不需要照顾”为事件B，则

P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)×P(A2)×P(A3)＝0.9×0.8×0.8＝0.576.(2)设“恰有两台机床需要照顾”为事件C，所以P(C)＝P(A－1A－2A3＋A1A－2A－3＋A

－1A2A－3)＝P(A－1A－2A3)＋P(A1A－2A－3)＋P(A－1A2A－3)＝0.1×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.2＋0.1×0.8×0.2＝0.068.9．解析：李明能通过面试的样本空间中样本点：A＝{A1A2A3A－4，A1A2A－3A4，A1

A－2A3A4，A－1A2A3A4，A1A2A3A4}，李明通过面试的概率P(A)＝P(A1A2A3A－4)＋P(A1A2A－3A4)＋P(A1A－2A3A4)＋P(A－1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)，又这4道题目能否答对是独立的，且李明答对第1题、第2题、第3题、第4题

的概率分别为12，13，14，15，∴P(A1A2A3A－4)＝4120＝130，P(A1A2A－3A4)＝3120＝140，P(A1A－2A3A4)＝2120＝160，P(A－1A2A3A4)＝1120，P(A1A2A3A4)＝1120，

即P(A)＝11120.10．解析：设Ai表示第i次通过第一类检验，Bi表示第i次通过第二类检验(i＝1，2)，由题意得P(A1B1＋A－1A2B1＋A1B－1B2＋A－1A2B－1B2)＝56，即34p＋14×34p＋34×(1－p)p＋14×34×(1－p)p＝56，解

得p＝23或p＝43(舍).答案：C11．解析：(1)第六局乙方得分，所以第七局乙方先掷壶，甲方后掷壶，则第七局甲方得分概率为23；第七局甲方得分，则第八局甲先掷壶，乙后掷壶，第八局甲方得分的概率为25，所以第七局、第八局均为甲方得分的概率为23×25＝4

15.(2)前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，所以后面四局甲全胜或者甲胜三局．后面四局甲全胜，且第七局乙先掷壶，则概率为23×25×25×25＝16375；后面四局甲胜三局，且第七局乙先掷壶，分为第七局乙得分或者第八局乙得分或第九局乙得分或第十局乙得分，所以概率为13×23×25×25＋2

3×35×23×25＋23×25×35×23＋23×25×25×35＝3521125.则当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率为16375＋3521125＝1645.课时作业(二十四)乘法公式1．解析：设事件A表示“第1次抽到数学题”，

事件B表示“第2次抽到数学题”，则P(AB)＝P(A)P(B|A)＝35×24＝310.答案：3102．解析：设Ai＝“第i次取到红球”，i＝1，2，3.第3次才取到红球为A－1A－2A3，则P(A－1A－2A3)＝P(A－1)P(A－2|A－1)P(A3|A－1A－2)＝813×712×5

11＝70429.即第3次才取到红球的概率为70429.3．解析：设Ai表示第i次没有拨对电话号码，i＝1，2，3.则第一次拨打时，总共有10种可能，拨不对号码的情况有9种，因此P(A1)＝910.如果第一次拨不对，那么第二次会从第一次尝试的数以外的数中

随机选取一个进行尝试，总共有9种可能，拨不对电话号码的情况有8种，因此P(A2|A1)＝89.类似地，如果前两次拨不对，那么第3次会从前两次尝试的数以外的数中随机选取一个进行尝试，总共有8种可能，拨不对号码的情

况有7种，因此P(A3|A1A2)＝78.从而三次都拨不对电话号码的概率为P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)＝910×89×78＝710.课时作业(二十五)全概率公式1．解析：从某地市场

上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，记事件C：从该地市场上买到一个合格灯泡，则P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.8，所以，P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B

)P(C|B)＝0.6×0.9＋0.4×0.8＝0.86.答案：D2．解析：记事件A为：该考生答对题目；事件B1为：该考生知道正确答案；事件B2为：该考生不知道正确答案；则P(A)＝P(A|B1)·P(B1)

＋P(A|B2)·P(B2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.答案：A3．解析：设A，B分别表示随机选1人为男性和女性，用事件C表示此人是色盲，则A，B互斥，故P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝12×6%＋12×0.4%＝0.032.答

案：0.0324．解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式，

得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7，因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.5．解析：设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4

表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.

32，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1－0.32＝0.68.答案：C6．解析：以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P(A1)

＝510，P(A2)＝310，P(A3)＝210，P(B|A1)＝110，P(B|A2)＝115，P(B|A3)＝120；则由全概率公式，所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝510×110＋310×115＋210×120＝0.08

.答案：A7．解析：P(B|A2)表示在小王送给小李一张“冰墩墩”邮票的情况下小李取到一张“冰墩墩”的概率，则P(B|A2)＝24＝12；由题可知，P(A1)＝37，P(A2)＝27，P(A3)＝27，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B

|A3)＝37×14＋27×24＋27×14＝328＋428＋228＝928.答案：129288．解析：设“选中甲”为事件A，“选中乙”为事件B，“通过测试”为事件C，根据题意得，P(A)＝P(B)＝12，P(C|A)＝35，P(C|B)＝45，则P(C)＝P

(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝12×35＋12×45＝710，所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为710.9．解析：设事件A表示“学生能通过选拔”，事件B1，B2，B3分别表示学生获得奥数金牌，银牌，铜牌，事件B

4表示“学生没有获得奖牌”．显然，B1，B2，B3，B4两两互斥且B1∪B2∪B3∪B4＝Ω.由题意可知P(B1)＝420，P(B2)＝820，P(B3)＝720，P(B4)＝120，P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0

.7，P(A|B3)＝0.5，P(A|B4)＝0.2.由全概率公式得，P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＋P(A|B4)P(B4)＝0.9×420＋0.7×820＋0.5×720＋0.2×120

＝0.645.10．解析：用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为第k箱，k＝1，2，3分别表示英语书，数学书，语文书．由全概率公式，得P(A)＝k＝13P(Bk)P(A|Bk)＝12×C24C29＋15×C25C29＋310×C

25C29＝836＝29.答案：C11．解析：记事件B为顾客买下该箱玻璃杯，事件Ai为取出的一箱中有i只残次品，i＝0，1，2，则P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(B|A1)＝C419C420＝

45，P(B|A2)＝C418C420＝1219，由全概率公式可得P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.8×1＋0.1×45＋0.1×1219≈0.943，所以顾客买下该箱玻璃杯的概率约为0.943.课时作业(

二十六)贝叶斯公式1．解析：设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则B1，B2是Ω的一个划分．P(A|B1)＝0.8，P(B1)＝58，P(A|B2)＝0.3，P(B2)＝38，根据全概率公式得P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＝P

(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.8×58＋0.3×38＝4980，所以P(B1|A)＝P（AB1）P（A）＝P（A|B1）P（B1）P（A）＝0.8×584980＝4049.答案：B2．解析：设事件A表示“被诊断为肺结核”，事件C表示“患有肺

结核”．由题意得，P(C)＝0.001，P(C－)＝0.999，P(A|C)＝0.95，P(A|C－)＝0.002.由贝叶斯公式得，P(C|A)＝P（C）P（A|C）P（C）P（A|C）＋P（C－）P（A|C－）＝4751474.3．解析：设B＝“任取一个零

件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由全概率公式，得P(B)＝P(A

1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率

”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．P(A3|B)＝P（A3B）P（B）＝P（A3）P（B|A3）P（B）＝0.45×0.050.0525＝37.答案：0.0525374．解析：设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出的球来自丙盒}，B＝{摸得白球

}，则P(A1)＝12，P(A2)＝13，P(A3)＝16，P(B|A1)＝13，P(B|A2)＝35，P(B|A3)＝45.于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P(A2|B)＝P（A2）P（B|A2）P（A1）P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2）＋P（A3）

P（B|A3）＝13×3512×13＋13×35＋16×45＝25.课时作业(二十七)离散型随机变量及其分布1．解析：因为随机变量为一个变量，而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，所以不能作为随机变量．答案：A

2．解析：由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，所以ξ＝3可以分成两种情况，即3＋0＋0或1＋1＋1，即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．答案：D3．解析：依题意，a2＋a4＋a8＝7a8＝

1，解得a＝87，所以a的值为87.答案：874．解析：若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9、10环，其概率为P＝P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.35＋0.20＝0.55，故他射击一次为优秀的概率是0.5

5.5．解析：由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].答案：C6．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.由分布列的性质得

a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－13＝23.故B、D正确；因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道a＋c＝23，故无法求出a与c的值，故A、C错误．答案：BD7．解析：由题意得115＋215＋…＋k15

＝1，得1＋2＋3＋…＋k＝15，解得k＝5，因为P(X＝k)＝k15(k＝1，2，3，…，k∈N*)，所以P12<X<52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝115＋215＝15.答案：5158．解析：随机变量ξ的可能取值为3，4，5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为

3，则其他两只球的编号只能是1，2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1，2，3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取

出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此ξ的分布列为ξ345P110310359.解析：(1)当甲命中环数高于乙命中环数时，只有

一种情况：甲击中10环，且乙击中9环，这时概率为P－＝25×56＝13；所以甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率P＝1－P－＝23；(2)甲、乙命中的环数之和X的可能取值为17，18，19，20，P(X＝17)＝15×56＝16，P(X＝18)＝15×16＋25×56＝1130，P(X

＝19)＝25×56＋25×16＝25，P(X＝20)＝25×16＝115，所以随机变量X的分布列为X17181920P16113025115(3)甲、乙命中的环数之和低于52环时，甲、乙每轮命中环数之和都是17，其概

率为P1＝(16)3＝1216，所以甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率为P＝1－P1＝1－1216＝215216.10．解析：依题意，随机变量X满足2≤X≤4的事件是X＝2、X＝3、X＝4的3个互斥事件的和，而P

(X＝2)＝C22＋4C1262，P(X＝3)＝C22＋3C1262，P(X＝4)＝C22＋2C1262，所以P(2≤X≤4)＝C22＋4C1262＋C22＋3C1262＋C22＋2C1262＝9＋7＋536＝712.答案：B11．解析：(1)记“第一次检测出的是次品且第

二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200，300，400，则P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝

300)＝1－110－310＝35.故X的分布列为X200300400P11031035课时作业(二十八)两点分布与二项分布1．解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，且P(X＝1)＝3P(X＝0)，代入P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，

得P(X＝1)＋13P(X＝1)＝1，所以P(X＝1)＝34.答案：D2．解析：因为某产品正品率为78，次品率为18，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，所以“ξ＝3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，所以P(ξ＝3)＝182×78.答案：C3．解析：因X～B

5，12，则P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝C45(12)4·12＋C55(12)5＝316.答案：3164．解析：(1)一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，所以其概率p＝1－C22(12)2＝34.(2)每坑要补种的概

率p1＝14，所以4个坑中恰有2个坑需要补种的概率p2＝C24(14)2(34)2＝27128.5．解析：由题意知：C34p3(1－p)＝3281，依次代入选项，可得p＝23.答案：D6．解析：从入口放进一个白球，则落在第③个格子的情况是下落过程中的7次碰撞

中，5次向左，2次向右，而向左或向右的概率均为12，则向右的次数服从二项分布，∴小球落在第③个格子的概率P＝C27(12)2(12)5＝21128.答案：BC7．解析：由题意可得1－(12)n>910，可得2n>10，∵n∈N*，则n≥4.答案：48．解析：设甲答

对的题目数量为随机变量X，则X～B(3，35)，得分为随机变量Y，P(X＝0)＝(25)3＝8125，P(X＝1)＝C13×(35)×(25)2＝36125，P(X＝2)＝C23×(35)2×(25)1＝54125，P(X＝3)＝

(35)3＝27125，所以Y的分布列为Y－1501530P81253612554125271259.解析：(1)由题意得X～B(3，12)，则P(X＝0)＝C03·(12)0·(12)3＝18，P(X＝1)＝C

13·12·(12)2＝38，P(X＝2)＝C23·(12)2·12＝38，P(X＝3)＝C33·(12)3·(12)0＝18，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0123P18383818(2)当m＝6时，4m＝24.设该型6架无人机获得6

分的架数为x，则获得2分的架数为(6－x)，由题意可得6x＋2(6－x)＝4x＋12≥24，解得x≥3，x∈N，则x的取值有3、4、5、6，记“某架无人机获得6分”为事件A，则P(A)＝C03·(12)0·

(12)3＋C13·12(12)2＝12，记“6架无人机参与试飞试验，该型无人机通过安全认证”为事件B，则P(B)＝C36(12)3(12)3＋C46(12)4(12)2＋C56(12)5·12＋C66(12)6＝2132.10

．解析：依题意，甲乙组队获得“神投小组”的概率p＝p21p22，而p1＋p2＝1，则有p1p2≤(p1＋p22)2＝14，当且仅当p1＝p2＝12时取“＝”，因此，pmax＝116，因甲乙在一轮游戏中有获得“神投小组”和没有获得“神投小组”两个结

果，则甲乙在n轮游戏中获得“神投小组”次数ξ满足ξ～B(n，p)，(np)max＝n16，甲乙两名队员想结束训练，他们必获得2次“神投小组”称号，即n16＝2，解得n＝32，所以甲乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行32轮游戏才行．答

案：3211．解析：(1)由题知：丙队通过初赛和复赛的概率p0＝p(43－p)＝－p2＋43p＝－(p－23)2＋49，又因为，所以13≤p≤34.所以，当p＝23时，丙队进入决赛的概率最大为49.(2)由(1)知：甲、

乙、丙三队进入决赛的概率均为23×23＝49，因为进入决赛的队伍数X～B(3，49)，所以P(X＝0)＝C03×(1－49)3＝125729；P(X＝1)＝C13×49×(1－49)2＝300729＝100243

；P(X＝2)＝C23×(49)2×(1－49)＝240729＝80243；P(X＝3)＝C33×(49)3＝64729.所以，随机变量X的分布列为X0123P1257291002438024364729课时作业(二十九)超几何分布1．解析：所求事件的概率为P＝C24C

2100＝1825.答案：C2．解析：从50件产品中，任取2件有C250种方法，至少取到1件次品有C13C147＋C23C047种方法，所以至少取到1件次品的概率为p＝C13C147＋C23C047C250.答案：D3．解析：X＝1是指选取的人中年龄低于30

岁的有1人，所以P(X＝1)＝C15C115C220＝1538.答案：15384．解析：X的可能取值为0，1，2，当X＝0时，表示没有抽到女生；当X＝1时，表示抽到1名女生；当X＝2时，表示抽到2名女生，∴P(X＝0)＝C25C27＝1021，P(X＝1

)＝C15C12C27＝1021，P(X＝2)＝C22C27＝121.所以X的分布列为X012P102110211215.解析：∵盒中有10个螺丝钉，∴从盒中随机地抽取4个的总数为C410＝210，∵其中有3个是坏的，∴恰有1个坏的，恰有2个好的，4个全是好的，至多2个坏的取法数

分别为：C13C37＝105，C23C27＝63，C47＝35，C47＋C13C37＋C23C27＝203，∴恰有1个坏的概率分别为105210＝12，恰有2个好的概率为63210＝310，4个全是好的概率为35210＝16，至多2个坏的概率为203210＝2930.答案：C6．解析：从1

0个球中任取3个球，可视为不放回取球3次，每次取到白球的概率不同，各次试验结果不独立，取出的白球个数X不服从二项分布，A不正确；从10个球中任取3个球，取出的黑球个数Y的分布列P(Y＝k)＝Ck6C3－k4C310，k∈N，k≤3，取出的黑球个数Y服从

超几何分布，B正确；从10个球中任取3个球，取出2个白球的概率P1＝C24C16C310＝6×6120＝310，C正确；依题意，取出3球总得分最大是6分，即取出3个黑球的事件，其概率为P2＝C36C310＝20120＝16，D不正确．答案：BC7．解析：由题

意可知，X服从超几何分布，且CX5C6－X7C612＝C25C37C612，所以CX5C6－X7C612＝C35C37C612＝C25C47C612，所以X＝2或3.答案：2或38．解析：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表

队)的概率为C33C34C36C36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23

C46＝35，P(X＝3)＝C13C33C46＝15.所以X的分布列为X123P1535159.解析：(1)设A＝“该顾客获得现金100元或50元”，X为顾客抽一次奖所获奖金，则P(X＝100)＝C11C12C14C14＝18，P(X＝

50)＝C11C12＋C13C12C14C14＝12，所以P(A)＝P(X＝100)＋P(X＝50)＝18＋12＝58.所以该顾客获得现金100元或50元的概率为58.(2)设B＝“该顾客在两次抽奖中一

共获得现金100元”，由(1)知P(X＝100)＝C11C12C14C14＝18，P(X＝50)＝C11C12＋C13C12C14C14＝12，P(X＝0)＝38，所以P(B)＝2×18×38＋12×12＝1132.所以该顾客在2次抽奖中一共获得现金100元的概率为1132.10．解

析：(1)居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为P＝1－15＋10100＝34，随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数为Z，则Z～B(3，34)，P(A)＝P(Z≥1)＝1－P(Z＝0)＝1－C03(14)3＝6364；(2)在[0，2)、[2，

4)、[4，6)中分别抽取1，2，5人，X服从超几何分布，N＝8，M＝2，n＝3，P(X＝k)＝Ck2C3－k6C38，k＝0，1，2.X的分布列为X012P5141528328课时作业(三十)离散型随机变量的数学期望1．解析：由分布列性质，1

2＋13＋a＝1，则a＝16，所以E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53.答案：B2．解析：∵随机变量X服从二项分布B(8，12)，∴E(X)＝8×12＝4，E(3X－1)＝3E(X)－1＝3×4－1＝11.答案：A3．解析：

E()X＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.答案：0.74．解析：由题设，Y的可能取值－4，－2，0，2，4，P(Y＝－4)＝0.2×0.2＝0.04，P(Y＝－2)＝0.2×0.5＋0.5×0.2＝0.2，P(Y＝0

)＝0.2×0.3＋0.3×0.2＋0.5×0.5＝0.37，P(Y＝2)＝0.5×0.3＋0.3×0.5＝0.3，P(Y＝4)＝0.3×0.3＝0.09.Y的概率分布为Y－4－2024P0.040.20.370.30.09所以E(Y)＝－4×0.04＋(

－2)×0.2＋0×0.37＋2×0.3＋4×0.09＝0.4.5．解析：依题意可得X的可能值为200，180，160.P(X＝200)＝0.4，P(X＝180)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，X的分布列为X200180160P0.40.30.3所以E(X)＝200×0.4＋(

180＋160)×0.3＝182.答案：B6．解析：由题意7人中既会划左浆又会划右浆的有2人，所以选4人参加比赛共有C22C25＋C12C12C23＋C12C22C13＋C22C23＝31(种)选法，当X＝0时，有C22C23＝3(种)，P(X＝0)＝331，当X

＝1时，有C12C12C23＋C22C12C13＝18(种)，P(X＝1)＝1831；当X＝2时，有C22C23＋C12C13＋C22C22＝10(种)，P(X＝2)＝1031，E(X)＝1831＋1031×2＝3831.答案：D7．解析：依

题意，设白球个数为x，至少得到一个白球的概率是79，则不含白球的概率为29，可得C210－xC210＝29，即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5.依题意，随机变量ξ～H(10，5，3)，所以E(ξ)＝3×510＝32.答案：5328．解析

：(1)由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝C23C26＝15，P(ξ＝1)＝C13C13C26＝35，P(ξ＝2)＝C23C26＝15，故ξ的分布列为ξ012P153515(2)E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，E(2ξ

＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×1＋1＝3.9．解析：(1)设该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史为事件A，则P(A)＝C1100C1300＝13，所以该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史的概率

为13.(2)由题意得：全校高三学生选历史的概率为13，则X～B(3，13)，则P(X＝0)＝C03(13)0(23)3＝827，P(X＝1)＝C13(13)1(23)2＝49，P(X＝2)＝C23(13)2·23＝29，P(X＝3)＝C33(13)3＝127，所以X的分布列为X0

123P8274929127数学期望为E(X)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1(或E(X)＝3×13＝1).10．解析：由题意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，所以E(X)＝p＋2p(1－p)

＋3(1－p)2>1.75，解得p>52或p<12，由p∈(0，1)，所以p∈(0，12).答案：0<p<1211．解析：：选策略Ⅰ，则小明得分为X的分布为X025P12p1－p12p得分的期望为E(X)＝2(1－p)＋5

×12p＝2＋12p>2.选策略Ⅱ，则小明得分为Y的分布为Y05Pp1－p得分的期望为E(Y)＝5(1－p)＝5－5p.选策略Ⅲ，得分为Z，则E(Z)＝2，当2＋12p－(5－5p)＝112p－3>0⇒1>p>611，此时E(X)>E(Y)，E(X)>E(

Z)，故此时选择策略Ⅰ，当0<p<611时，E(X)<E(Y)，E(Y)最大，此时选择策略Ⅱ，当p＝611时，策略Ⅰ，Ⅱ概率一样，都可以．课时作业(三十一)离散型随机变量的方差1．解析：由题意：E(X)＝0×13＋1×13＋2

×13＝1，所以D(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×13＋(2－1)2×13＝23.答案：C2．解析：E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝(－1.1)2×0.2＋(－0.1)2×0.5＋0.

92×0.3＝0.49，D(X2)＝(－1.1)2×0.3＋(－0.1)2×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好．答案：A3．解析：因为随机变量X服从二项分布B(4，12)，所以D(X)＝np(1－p)＝4×12×(1－12)＝

1，所以D(3X＋1)＝32×D(X)＝9.答案：94．解析：(1)∵在某公司的一次投标工作中，中标可以获利10万元，没有中标损失成本费0.05万元．如果中标的概率是0.4，公司的平均盈利为10×0.4＋(－0.05)×0.6＝3.97(万元)，所以公司盈利的方差：D(X

)＝(10－3.97)2×0.4＋(－0.05－3.97)2×0.6＝24.2406；(2)公司盈利的标准差为D（X）＝24.2406≈4.923.5．解析：设Y＝2X－1，依题意得D(X)＝1，则D(Y)＝22D(X)＝4，即另一组数据2x1－1，2

x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1，2x6－1的方差是4.答案：D6．解析：由题，得E(ξ)＝3p，易知，当p在(0，12)内增大时E(ξ)一直增大，D(ξ)＝(3p－0)2×(1－2p)＋(3p－1)2

×p＋(3p－2)2×p＝－9p2＋5p＝－9(p－518)2＋2536，为关于p的二次函数，对称轴为p＝518，开口向下，所以当p在(0，12)内增大时，D(ξ)先增大后减少．答案：BC7．解析：由题意得x＋y＝132x＋3y＋83

＝72，解得x＝y＝16，所以D(ξ)＝16×(72－2)2＋16×(72－3)2＋23×(72－4)2＝712，所以D(η)＝4D(ξ)＝4×712＝73.答案：16738．解析：(1)由题意，ξ可取0，1，2.P(

ξ＝0)＝13×13＝19；P(ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718；P(ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为：ξ012P1971812(2)由(1)有E(ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D(ξ)＝

(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324，所以D（ξ）＝14918.9．解析：由题意知：李明回答问题正确个数X所有可能的取值为1，2，∴P(X＝1)＝C13C24＝36＝12，P(X＝2)＝C23C24＝36＝12，∴E(X)

＝1×12＋2×12＝32，D(X)＝(1－32)2×12＋(2－32)2×12＝14；∵王华回答问题正确的个数Y～B(2，34)，∴E(Y)＝2×34＝32，D(Y)＝2×34×(1－34)＝38；∵E(X

)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，∴派李明代表该班参加竞赛更好．10．解析：设“？”处的数据为x，则“！”处数据为1－2x，则0≤x≤12，故E(ξ)＝0×x＋1×(1－2x)＋2x＝1，∵E(ξ)＝

1，∴D(ξ)＝x×(0－1)2＋(1－2x)(1－1)2＋x(2－1)2＝2x≤1，P(ξ＝0)＝x≤12.答案：C11．解析：(1)依题意得：Y11020P0.60.4Y241624P0.10.50.4E(Y1)＝10×0.6＋20×0

.4＝14，E(Y2)＝4×0.1＋16×0.5＋24×0.4＝18，D(Y1)＝(10－14)2×0.6＋(20－14)2×0.4＝24，D(Y2)＝(4－18)2×0.1＋(16－18)2×0.5＋(

24－18)2×0.4＝36.(2)设投资A项目所获利润为Z1＝x200Y1，投资B项目所获利润为Z2＝200－x200Y2.f(x)＝D(Z1)＋D(Z2)＝D(x200Y1)＋D(200－x200Y2)＝(x200)2D(

Y1)＋(200－x200)2D(Y2)＝31002(5x2－1200x＋120000)，故当x＝120时，f(x)取得最小值．课时作业(三十二)正态分布1．解析：因为f(x)＝，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.答案：B2．解析：由于随机变量X服从正态分布N

(0，σ2)，故P(－2<X<2)＝1－2P(X>2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C3．解析：P(－0.5<ξ<0.5)≥0.6827＝P(－3n<ξ<3n)，∴0.5≥3n，∴n≥6，至少要实验6

次．答案：64．解析：全市30000名高中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(172，σ2)，且P(172≤X≤180)＝0.4，则P(X>180)＝1－0.4×22＝0.1，所以该市身高高于180cm的高中男生人数大约为30000×0.1＝3000.5．解析：由题意知：μ＝σ＝2，所以P

(x>0)＝P(x>μ－σ)＝1＋P（μ－σ≤x≤μ＋σ）2＝0.84135.答案：B6．解析：数学考试成绩X服从正态分布N(100，225)，故X的期望为μ＝100，方差为σ2＝225，标准差为σ＝15，故A项正确，B项错误；对于选项C，因为X的期望为μ＝100，标准差为σ＝15，

则P(X>100)＝12，则成绩超过100分的约有1200×12＝600人，故C项错误；对于选项D，P(X≤115)＝P(X<100)＋12P(100－15<X≤100＋15)＝0.5＋12×0.6827＝0.84135，P(X≤130)＝P(X<100)＋1

2P(100－2×15<X≤100＋2×15)＝0.5＋12×0.9545＝0.97725，P(115<X≤130)＝P(X≤130)－P(X≤115)＝0.97725－0.84135＝0.1359，故D项正确．答案：AD7．解析：设每日所售的票数为ξ万张，若需要售出

无座票，则ξ>2.3，故P(ξ>2.3)＝114，若有座车票每日剩余量不超过0.6万张，则ξ≥2.3－0.6＝1.7，因为ξ～N(2，σ2)，由正态密度曲线的对称性可得P(ξ≥1.7)＝1－P(ξ>2.3)＝1

314.答案：13148．解析：由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9973，则这10片质量全都在(μ－3σ，μ＋3σ)之内(即没有废品)的概率为0.997310≈0.9733，则这10片中至少有1片是废品的概率为1－0.973

3＝0.0267.9．解析：(1)由频率分布直方图可得t－＝32.5×0.015＋37.5×0.18＋42.5×0.27＋47.5×0.3＋52.5×0.2＋57.5×0.035≈45.5(min).(2)由

题知X～N(45.5，36)，∴P(X<39.5)＝P(X<μ－σ)＝12[1－P(μ－σ<X≤μ－σ)]＝0.15865，所以1000×0.15865≈159，故所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目为159.10．解析：因为μ＝65，σ＝2.2，所以P(μ－σ<X≤

μ＋σ)＝P(62.8<X≤67.2)＝6＋19＋31＋16＋4100＝0.76>0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(60.6<X≤69.4)＝100－（2＋1＋1＋1＋2＋2＋1）100＝0.9<0.9545，P(μ－3σ<X

≤μ＋3σ)＝P(58.4<X≤71.6)＝100－（2＋2＋1）100＝0.95<0.9973.因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．课时作业(三十三)成对数据的统计相关性1．解析：因为|r|越接近于1，两个变量的线性相关程度越高，所以线性相关程度最高

的是乙，故选B.答案：B2．解析：物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此，两个变量有相关关系．答案：有3．解析：散点图如图所示由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有

线性相关关系．4．解析：从散点图分析可知，只有D点偏离直线较远，去掉D点后，x与y的线性相关程度变强，相关系数r变大，决定系数R2变大．故选C.答案：C5．解析：由散点图可知，线性相关系数r1的图象表示y与x成

负相关，故－1<r1<0，故A正确；线性相关系数r2的图象表示y与x正相关，故1>r2>0，故B错误；∵线性相关系数r2的点较线性相关系数r1的点密集，故|r2|>|r1|，故r1＋r2>0，故C正确，D错误．

故选AC.答案：AC6．解析：根据题意：x＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y＝2.90＋3.30＋3.60＋4.40＋4.80＋5.20＋5.907＝4.30，(xi－x)2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋

(7－4)2＝28，所以r＝i＝1n（xi－x）（yi－y）i＝1n（xi－x）2i＝1n（yi－y）2＝14.0028×7.08＝14.00198.24≈14.0014.10≈0.99，因为y与x的相关系数近似为0.99，非常接近1，所以y与x的线性相关程度非常强．7．解析：由左

图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B、C、D正确，A错误．答案：BCD课时作业(三十四)回归直线方程1．解析：令f(x)＝3－5x，则f(

x＋1)－f(x)＝－5(x＋1)－(－5x)＝－5x－5＋5x＝－5，则变量x增加一个单位，y大约减少5个单位，故选B.答案：B2．解析：由题意可得a－b＝25＝2b＋a，解得a＝3b＝1，∴回归直线方程

为y^＝x＋3.故选C.答案：C3．解析：因为回归直线方程y^＝2x＋a^的样本中心为(3.5，11)，所以11＝2×3.5＋a^，解得a^＝4，即回归直线方程为y^＝2x＋4，当x＝6时，y^＝2×6＋4＝1

6.答案：164．解析：由表中数据得：i＝14xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，＝32＋42＋52＋62＝86，x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∴b^＝66.5－

4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，∴a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35，∴y^＝0.7x＋0.35.5．解析：因为x＝169＋172＋166＋177＋1615＝169，y＝75＋80＋70＋85＋655

＝75，又回归直线方程为y^＝1.3x＋m，所以y＝1.3x＋m，即75＝1.3×169＋m，所以m＝－144.7，故选D.答案：D6．解析：由已知x＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y＝100＋110＋110＋115＋1155＝110，所以回归直线一定过点(3

，110)，故选项A正确；由表格可得回归直线方程中的考试次数x与考试成绩y是正相关，故选项B正确；易知表中所表示的点(x，y)不一定都在回归直线上，故选项C错误；由题意得s2y＝15[(100－110)2＋(110－110)2＋(

110－110)2＋(115－110)2＋(115－110)2]＝30，故选项D正确，故选ABD.答案：ABD7．解析：x＝5＋10＋15＋20＋255＝15，y＝26＋20＋16＋14＋145＝18，代入回归直线方程y^＝

b^x＋27得18＝15b^＋27，解得b^＝－0.6，则回归直线方程为y^＝－0.6x＋27.所以，相应于点(10，20)的随机误差为20－(－0.6×10＋27)＝－1.答案：－18．解析：x＝12＋17＋21＋284＝19.5，y＝5.4

＋y2＋9.3＋13.54＝28.2＋y24，＝12×5.4＋17y2＋21×9.3＋28×13.5＝638.1＋17y2，＝122＋172＋212＋282＝1658，代入b^＝i＝14xiyi－4x·yi＝14

x2i－4x2＝638.1＋17y2－19.5（28.2＋y2）1658－4×19.52＝0.5，得y2＝7.88，y＝9.02，所以a^＝y－b^x＝9.02－0.5×19.5＝－0.73.9．解析：(1)由题意得，r＝∑10i＝1（xi－x）（yi－y）∑10i＝1

（xi－x）2∑10i＝1（yi－y）2＝0.6741.989×0.244＝0.6740.485316≈0.9675，所以y与x具有很强的线性相关关系；(2)b^＝∑10i＝1（xi－x）（yi－y）∑10i＝1（xi－x）2＝0.6741.989≈0.34，又x＝11

0i＝110xi＝49.61，y＝110i＝110yi＝16.86，所以a^＝16.86－0.6741.989×49.61≈0.05，所以y关于x的回归直线方程为y^＝0.34x＋0.05.10．解析：(1

)由表可知：1号同学的标准体重为165－105＝60；2号同学的标准体重为171－105＝66；3号同学的标准体重为160－105＝55；4号同学的标准体重为173－105＝68；5号同学的标准体重为178－105＝73

；故3号、4号同学体重超标．所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个，恰有1人体重超标包含基本事件为(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，5)，(4，5)

共6个，恰有1人体重超标记为A，则P(A)＝0.6.(2)因为x＝165＋171＋160＋173＋178＋1676＝169，y＝60＋63＋62＋70＋71＋586＝64，回归直线方程必过样本中心(169，64)，得

64＝0.65×169＋a^，即a^＝－45.85，所以回归直线方程为y^＝0.65x－45.85，随机误差分析：e^3＝62－0.65×160＋45.85＝3.85，e^4＝70－0.65×173＋45.85＝3.4，e^5＝71－0.65×178＋45.85＝1.15，e^6＝5

8－0.65×167＋45.85＝－4.7，故3号，4号和6号同学需要重新采集数据．课时作业(三十五)一元线性回归模型的应用1．解析：因为身高与年龄的回归模型为y^＝7.19x＋73.93，可以预报孩子10岁时的身高是y^＝7.19×10＋73.93＝145.83(cm)，所以预测这个

孩子10岁身高在145.83cm左右，故选D.答案：D2．解析：因为x＝38＋48＋58＋68＋78＋886＝63，y＝16.8＋18.8＋20.8＋22.8＋24＋25.86＝21.5，所以有21.5＝0.2×63＋a^

⇒a^＝8.9，当x＝150时，y^＝0.2×150＋8.9＝38.9，故选C.答案：C3．解析：(1)因为x＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y＝2.7＋3.5＋4.1＋4.7＋55＝4，＝8.1＋14＋20.5＋28.2＋35＝105.8，＝9＋16＋25

＋36＋49＝135.所以b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2＝105.8－5×5×4135－5×25＝5.810＝0.58，所以a^＝y－b^x＝4－0.58×5＝1.1，所以y关于x的线性回归方程为y^＝0.58x＋1.1.(2)当x＝10时，y^＝6.9，所以当产量提升

到10吨时，预测生产能耗为6.9吨标准煤．4．解析：因为回归直线的斜率为2.5，所以y与x具有正相关关系，A正确；回归直线经过样本中心点，故过点(x，y)，B正确；冬季昼夜温差增加1℃，则发芽数量的增加量即为回归直线方程的斜率，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5，C正确；

回归直线方程只可预测，不是确定的值，故D错误．故选ABC.答案：ABC5．解析：由表中的数据，得x＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y＝62＋68＋75＋81＋895＝75，将x，y代入y^＝b^x＋54.9，得b^＝0.67，选项A，B均正确，10，20，30，40，50

的中位数是30，选项C正确；当x＝60时，y^＝0.67×60＋54.9＝95.1，所以加工时间约是95.1min，而非一定是95.1min，选项D错误，故选ABC.答案：ABC6．解析：由题，x＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5,y＝14(197＋193＋201＋209)

＝200，又由线性回归方程经过样本中心点可得200＝4.4×2.5＋a^，解得a^＝189.故线性回归方程是y^＝4.4x＋189，故第五代杂交水稻每穗的总粒数约为y^＝4.4×5＋189＝211.答案：2117．解析：(1)由表格数据知：x＝1＋2

＋3＋4＋55＝3，y＝2＋4＋4＋7＋85＝5，＝2＋8＋12＋28＋40＝90，＝1＋4＋9＋16＋25＝55，∴b^＝90－5×3×555－5×9＝1.5，∴a^＝5－1.5×3＝0.5，∴y关于x的线性回归方程为y^＝1.5x＋0.5.(2)

2023年对应的x＝7，则y^＝1.5×7＋0.5＝11，即该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数约为11人．8．解析：(1)图象y＝m＋nlnx适合作为该市人才引进就业人数y关于年份代码x的回归方程类型．(2)n^＝i＝110（wi－w）（yi－y）i

＝110（wi－w）2＝18.414.84≈3.80，m^＝y－n^w≈9.02－3.80×1.51＝3.28,∴y^＝3.80lnx＋3.28.(3)将x＝12代入得y^＝3.80×2.48＋3.28＝12.704.课时作业(三十六)独立性检验(1)1．解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22

＝52＋22＝74.故选C.答案：C2．解析：根据χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝1.255，故选A.答案：A3．解析：因为χ2＝72×（28×20－16×8）244×28×36×36≈8.416>6.6

35，所以认为大学生性别与购买食品时是否看营养说明之间有关．答案：有4．解析：由χ2A＝100×（21×31－19×29）240×60×50×50≈0.167，χ2B＝100×（25×35－15×25）240×60×50×50≈4.167，χ2C＝100×（2

3×33－17×27）240×60×50×50＝1.5，∴χ2B>χ2C>χ2A，故在这三个地区中，B地区的中学生戴眼镜与性别关联性最强，A地区的中学生戴眼镜与性别关联性最弱．故选B.答案：B5．解析：对于A，χ2≈12.981>

6.635，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，故A错误，C正确；对于B，m＋18＝72，m＝54，故B错误；对于D，n＝78－36＝42，正确，故选CD.答案：CD6．解析：(1)由题意表示政策有效的有

80人，无效的有20人，其中表示政策有效的男士为50人，女士有30人．由此可填写出2×2列联表如下：政策有效政策无效总计女士50555男士301545总计8020100(2)假设H0：政策是否有效与性别没有关系，

计算χ2＝100×（30×5－15×50）255×45×80×20≈9.091>6.635，故否定假设H0，所以认为政策是否有效与性别有关系．7．解析：(1)高一年级参赛学生的平均成绩为(45×0.04＋55×0.04＋65

×0.01＋75×0.01)×10＝54分，高二年级参赛学生的平均成绩为(45×0.015＋55×0.025＋65×0.035＋75×0.025)×10＝62分．(2)补全2×2列联表如下：单位：人成绩低于

60分成绩不低于60分合计高一年级8020100高二年级4060100合计12080200假设为H0：两个年级的成绩相互独立，即高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩没有差异．计算可得χ2＝200×（80×60－20×40）2100×100

×120×80≈33.333>10.828，故否定假设H0，所以认为高一高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．课时作业(三十七)独立性检验(2)1．解析：因χ2＝3.305，且3.305>2.706，由临界值表知，P(χ2≥2.706)≈0.10，1－0.1＝90%，所以有90%的把握

认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确．答案：A2．解析：由题意，

利用2×2列联表，计算可得χ2＝7.236，由临界值表可得6.635<7.236<7.879，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：C3．解析：因为4.844>3.841，所以由临界值表可知在出错

的概率不超过0.05的前提下认为“喜欢乡村音乐与性别有关”．答案：0.054．解析：设参加调查的男生、女生各x人，依题意填写2×2列联表，如下：支持不支持总计男生45x15xx女生23x13xx总计2215x815x2x若有99%的把握认为是否支持该政策与性别有关，

则χ2>6.635，即χ2＝2x·（45x·13x－23x·15x）22215x·815x·x·x＝122x>6.635，解得x>145.970，由题意知x>0，且x是15的整数倍，所以x取150.答案：D5．解析：完善列联表

如下：未发病发病总计未注射疫苗302050注射疫苗401050总计7030100由列联表知，A正确，2030＝23，B正确，χ2＝100×（30×10－40×20）270×30×50×50≈4.762∈(3.841，6.635)，不能在犯错概率不超过0.0

05的前提下，认为疫苗有效，C错误；疫苗的有效率约为4050＝80%，D正确．答案：ABD6．解析：在交通事故致死的摩托车骑乘人员中，不戴头盔与戴头盔的人数比例是80∶20＝4∶1，所以按照分层随机抽样的方法抽取的5人中，

不戴头盔的有5×45＝4(人)，戴头盔的有5×15＝1(人)，从5人中随机抽取2人，共有C25种可能的结果，而这2人都是不戴头盔的有C24种可能的结果，所以这2人都是不戴头盔致死的概率P＝C24C25＝35.由题表计算可得，χ

2＝200×（802－202）2100×100×100×100＝72>10.828，由临界值表可知有99.9%的把握判断交通事故中摩托车骑乘人员致死与不戴头盔有关．答案：3599.9%7．解析：(1)因为男、女生的人

数比为3∶2，所以男生有120人，女生有80人，又由表格中数据可知不喜欢晨跑的男生有40人，所以喜欢晨跑的男生80人，不喜欢晨跑的女生有30人．列联表如下：喜欢晨跑不喜欢晨跑合计男生8040120女生503080合计13070200所以χ2＝200×（80×30－

40×50）2120×80×130×70＝100273≈0.366<2.706，所以由临界值表可知没有90%的把握认为喜欢晨跑与性别有关．(2)由题可知5人中，女生3人，分别记为Ai(i＝1，2，3)，男

生2人，分别记为Bi(i＝1，2)，现从中抽取2人，所有组合有：(A1A2)，(A1A3)，(A1B1)，(A1B2)，(A2A3)，(A2B1)，(A2B2)，(A3B1)，(A3B2)，(B1B2)，共10种，其中

男生与女生均有的情况有：(A1B1)，(A1B2)，(A2B1)，(A2B2)，(A3B1)，(A3B2)，共有6种，所以在5人中选取的2人中男生与女生都有的概率P＝610＝35.8．解析：(1)由表中数据可知，χ2＝100×（50×20－25×5）275×25×55×45≈16.4

98，因为16.498>6.635，由临界值表可知有99%的把握认为选科与性别有关．(2)依题意可知选该校高一学生选物理的频率为50＋25100＝34，由题意可得ξ～B(3，34)，则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，又P(ξ＝0

)＝(14)3＝164，P(ξ＝1)＝C13(34)(14)2＝964，P(ξ＝2)＝C23(34)2(14)＝2764，P(ξ＝3)＝(34)3＝2764，∴ξ的分布列如下：ξ0123P16496427642764所以ξ的期望是E(ξ)＝3×

34＝94.章末过关检测(一)导数及其应用1．解析：对于A，(2x2＋3)′＝4x，A错误；对于B，因cosπ2是常数，则(cosπ2)′＝0，B错误；对于C，(x)′＝12x，C正确；对于D，(e－x)′＝e－

x(－x)′＝－e－x，D错误．答案：C2．解析：由题意可得：f′(x)＝5x4，所以f′(－1)＝5.答案：C3．解析：当f′(x)<0时，函数单调递减，由图可知，x∈(x2，x4)时，f′(x)<0，所以函数的单调递减区间是(x2，x4).故选B

.答案：B4．解析：由题意，切线经过点(2，0)，(0，4)，可得切线的斜率为k＝4－00－2＝－2，即f′(1)＝－2，又由切线方程为y＝－2x＋4，令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)＋f′(1

)＝2－2＝0.故选B.答案：B5．解析：f′(x)＝3x2－12，由f′(x)>0，得x<－2或x>2，由f′(x)<0，得－2<x<2，所以f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，2)上递减，在(2，＋∞)

上递增，所以极大值为f(－2)＝16>0，极小值为f(2)＝－16<0，所以f(x)有3个零点，且f(x)无最小值．答案：C6．解析：∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝1＋lnx，∴f′(1)＝1＋ln1＝1，∴k＝1，∴曲线y＝f(x)在A(1，0)处的切线方程为y＝x－1，由y

＝x－1y＝ax2－x得ax2－2x＋1＝0，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.答案：B7.解析：由f(x)＝x3－3x2－9x，得f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)>0⇒x<－1或x>3，令f′(x

)<0⇒－1<x<3，所以函数f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，且f(－1)＝5，f(3)＝－27，如图，由图可知函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝3处取得极小值，又函数f(x)在

(a，＋∞)内有极大值，故a<－1.故选A.答案：A8．解析：∵f(3＋x)＝f(3－x)，∴f(4)＝f(2)，当x∈(0，3)时，f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，故f′(x)

>0，∴f(x)在(0，3)内单调递增，又0<ln3<2<e<3，∴f(ln3)<f(2)<f(e)，所以f(ln3)<f(4)<f(e).故选B.答案：B9．解析：对于A，函数f(x)＝x3，f′(x)

＝3x2，f′(1)＝3，则函数f(x)＝x3的图象在点(1，1)处切线y＝3x－2，由y＝3x－2y＝x3解得：x＝1y＝1或x＝－2y＝－8，即曲线y＝x3在点(1，1)处切线与曲线

有两个公共点(－2，－8)，(1，1)，A不正确；对于B，函数y＝lnx＋x2定义域为(0，＋∞)，y′＝1x＋2x>0，B正确；对于C，在函数h(t)＝－4.9t2＋5t＋11中，h′(t)＝－9.8t＋5，当t>2549时，h′(t)

<0，即h(t)在(2549，＋∞)上递减，C不正确；对于D，依题意，y′(t)＝t＋2，当t＝2时，y′(2)＝4，即t＝2s时的瞬时速度为4m/s，D正确．故选BD.答案：BD10．解析：∵f(x)＝(x－a)(x－3)2，∴f′(x)＝(x－3)2＋2(x－a)(x－3)

＝(x－3)(3x－3－2a)，令f′(x)＝0，则x＝3或x＝3＋2a3，当3＋2a3>3时，即a>3时，f(x)在(－∞，3)单调递增，(3，3＋2a3)单调递减，(3＋2a3，＋∞)单调递增，此时，当x＝3时，f(x)有极大值，则a的取值可

以是4，5，6.故选ABC.答案：ABC11．解析：因为f′(x)＝1－1x＝x－1x，所以f′(1)＝0，所以A不正确；因为x>1时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数，所以B正确；因为f′(x)的定义域为

{x|x>0}，且0<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数，所以C不正确：因为f(x)的定义域为{x|x>0}．且f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝1，所以D正确，故选BD.答案：BD1

2．解析：对于A：函数的定义域是(－2，＋∞)，故A错误；对于B：令f(x)＝0，即xln(x＋2)＝0，解得：x＝0或x＝－1，故函数f(x)有2个零点，故B正确；对于C：斜率k＝f′(－1)＝ln

(－1＋2)＋－1－1＋2＝－1，故C正确；对于D：f′(x)＝ln(x＋2)＋xx＋2，x>0时，ln(x＋2)>0，xx＋2>0，故f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BCD.答案：BCD13．解析：f′(x)＝a－ex，则f′(0)＝a－1，则a－1＝－2，

解得a＝－1.答案：－114．解析：因为f(x)＝ln(x＋1)－x，所以f′(x)＝1x＋1－12x＝－（x－1）22x（x＋1），x≥0，因为f′(x)＝－（x－1）22x（x＋1）≤0，所以f(x)在[0，＋∞)

上单调递减，f(x)的最大值为f(0)＝0.答案：015．解析：由题意得，f′(x)＝2x＋2ax－3，因为函数f(x)＝2lnx＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，所以f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝1

2，所以f(x)＝2lnx＋12x2－3x，f′(x)＝2x＋x－3＝（x－1）（x－2）x，∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(1)＝12－3＝－52.答案：12－5216．解

析：∵f(x)＝(ex－m－ax)(lnx－2ax)＝2x2(ex－mx－a)(lnx2x－a)(x＞0)，令h(x)＝ex－mx，则h′(x)＝ex－m（x－1）x2，由h′(x)＞0，得x＞1，由h′(x)＜0，得0＜x＜1，∴h(x)在(0，1)上单调递减，在

(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)∈[e1－m，＋∞)，令g(x)＝lnx2x，则g′(x)＝2－2lnx4x2，由g′(x)＞0，得0＜x＜e，由g′(x)＜0，得x＞e，∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴g(x)∈(－∞，12e]，若存在实数a，使得f(x)＜0

成立，即存在实数a，使得(ex－mx－a)(lnx2x－a)＜0成立，即存在实数a，使得lnx2x＜a＜ex－mx恒成立，∴h(x)min＞g(x)max，∴e1－m＞12e，解得m＜2＋ln2，∴m的取值范

围为(－∞，2＋ln2).答案：(－∞，2＋ln2)17．解析：(1)∵f(x)＝x3－ax2，∴f′(x)＝3x2－2ax，∴f′(1)＝3－2a＝1，解得a＝1，故f(x)＝x3－x2，f(1)＝0，曲线y

＝f(x)在点(1，f(1))处的斜率为k＝1，切线方程y－f(1)＝k(x－1)，即y＝x－1.(2)由(1)可知：f(x)＝x3－x2，f′(x)＝3x2－2x，令f′(x)＝3x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝23，故当x∈[0，23)时，

f′(x)<0，所以f(x)单调递减；当x∈[23，2]时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增；f(x)在区间[0，2]内，当x＝2时取最大值，最大值为f(2)＝4.18．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞

)，f′(x)＝1－1x，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞).(2)由(1)可知f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(1)＝2，∵对任意的

x>0，都有f(x)－a≥0成立，即对任意的x>0，都有a≤f(x)成立，∴a≤f(x)min＝f(1)＝2，∴实数a的取值范围为(－∞，2].19．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝(x－1)ex－1，

所以f′(x)＝xex，当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(0)＝－2，无极大值．(2)f′(x)＝xex＋a，因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0恒成立，即a≥

－xex恒成立，令h(x)＝－xex，则h′(x)＝－(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(－1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(－1)＝1e，所以a的取值范围为[1e，＋∞

).20．解析：(1)f(x)定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2－1x＝2x－1x，当f′(x)>0时，x>12，当f′(x)<0时，0<x<12，所以f(x)的单调增区间是(12，＋∞)，单调减区间是(0，12).当x＝12时，f(x)取得极小值且为f(12)＝1＋ln2，无极大值

．(2)因为g(x)＝f(x)＋(a－2)x＝ax－lnx，所以g′(x)＝a－1x＝ax－1x，当1a≥e，即0<a≤1e时，g′(x)≤0，所以g(x)在(0，e]上递减，所以g(x)min＝g(e)＝ae－1＝2，解得a＝3e(舍去)，当0<1a<e，即a>1e时，当0<x<

1a时，g′(x)<0，当1a<x<e时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(1a)＝1＋lna＝2，解得a＝e.满足条件，综上，实数a的值是e.21．解析：(1)设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm)，则a＝2x，h＝2(30－x)，0

<x<30，所以V＝a2h＝22(－x3＋30x2)＝－22x3＋602x2，其定义域为{x|0<x<30}．(2)由V＝22(－x3＋30x2)，可得V′＝62x(20－x)，当x∈(0，20)时，V′>0；当x∈(20，30)时，V′<0；∴当x＝20时，V取得

极大值也是最大值：80002.此时，h∶a＝(30－x)∶x＝12，所以，高与底面边长的比值为12.22．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－2a2x2＋1＝x2＋ax－2a2x2＝（x－a）（x＋2a）x2，当a>0时，令f′(x)>0，得x>a，令f′(x

)<0，得0<x<a，所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．当a<0时，令f′(x)>0，得x>－2a，令f′(x)<0，得0<x<－2a，所以f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，＋∞

)上单调递增．(2)当a∈(－∞，0)时，由(1)知，f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，＋∞)上单调递增，所以g(a)＝f(－2a)＝aln(－2a)＋2a2－2a－2a＝aln(－2a)－3a，g′(a)＝ln(－2a)＋a－2a×(－2)－3＝ln(－2

a)－2，令g′(a)>0，得a<－e22，令g′(a)<0，得－e22<a<0，所以g(a)在(－∞，－e22)上单调递增，在(－e22，0)上单调递减，所以g(a)≤g(－e22)＝－e22ln[－2×(－e22)]－3(－e22

)＝e22.章末过关检测(二)空间向量与立体几何1．解析：由空间向量共面定理的推论若OP→＝aOA→＋bOB→＋cOC→，满足a＋b＋c＝1，则A，B，C，P四点共面，∵OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，而34＋18＋18＝1，

故A，B，C，P四点共面．故选B.答案：B2．解析：因为向量a＝(2，4，5)，向量b＝(1，2，t)，若a⊥b，则a·b＝2×1＋4×2＋5t＝0，解得：t＝－2，故选C.答案：C3．解析：由a＝(2，3，4)，b＝(1，2，0)，得a＋b＝(3，5，4

)，因此|a＋b|＝32＋52＋42＝52.故选C.答案：C4．解析：由题设知：OA→＝(0，0，3)，AB→＝(－1，1，－1)，∴AB→＝OB→－OA→，若B(x，y，z)，则(－1，1，－1)＝(x，y，z－3)，易得x＝－1，y＝1

，z＝2，∴B(－1，1，2).故选D.答案：D5.解析：如图所示：A．因为AB→，AC→，AD→共面，故错误；B．因为𝐴B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝AB→＋𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以AB→，𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面，故错误；C．因为D1A1⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗，D1C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，D1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗不共面，故正确；D．因为𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，A1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面，故错误．故选C.答案：C6．解析：显然n1，n2不平行，而n

1·n2＝－6－3－20＝－29，故n1，n2不垂直，所以法向量既不平行也不垂直，所以α，β相交但不垂直，故选C.答案：C7．解析：因为AE→＝AB→＋BC→＋CE→＝AB→＋BC→＋EP→＝AB→＋BC→＋(AP→－

AE→)，所以2AE→＝AB→＋BC→＋AP→，所以AE→＝12AB→＋12BC→＋12AP→，所以x＝12，2y＝12，3z＝12，解得x＝12，y＝14，z＝16，所以x＋y＋z＝12＋14＋16＝1112，故选B.答案：

B8.解析：以C为坐标原点，分别以CA→，CB→，𝐶C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知可得C(0，0，0)，C1(0，0，1)，D(1，12，1)，B(0，1，0)，则C1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，1，－1)，CD

→＝(1，12，1)，所以cos〈C1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CD→〉＝＝12－12×94＝－26.又因为异面直线所成的角的范围为(0，π2]，所以异面直线CD与BC1所成角的余弦值为26.故选A.答案：A9．解析：由向量加法的平行四边形法则，只有a⊥b，即a·b＝0时，都有|a＋b|＝|b－

a|，A不成立；由数量积的运算律有(a＋b)·c＝a·c＋b·c，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，a·b与b·c不一定相等，B不成立；向量数乘法则，C一定成立；只有a，b共线且a≠0时，才存在λ，使得b＝λa，D不成立．故选ABD.答案：ABD10．解析：∵v1，v2分别为直

线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，∴v1∥v2⇔l1∥l2，故A错误；v1⊥v2⇔l1⊥l2，故B正确；∵n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，∴n1∥n2⇔α∥β，故C错误；n1⊥n2⇔α⊥β，故D正确；故选BD.答案：BD11．解析：对于A，由题意，AB→＝(2，

1，0)，AC→＝(－1，2，1)，则AB→≠λAC→，λ∈R，所以AB→与AC→不共线，所以A错误；对于B，向量(1，1，0)的模等于2≠1，所以B错误；对于C，BC→＝(－3，1，1)，所以cos〈AB→，BC→〉＝AB→·BC→|AB→|·|BC→|

＝－5511，所以C错误；对于D，设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，则AB→·n＝0AC→·n＝0，即2x＋y＝0－x＋2y＋z＝0，取x＝1，得y＝－2，z＝5，则平面ABC的

一个法向量是(1，－2，5)，所以D正确．故选ABC.答案：ABC12.解析：建立如图所示空间直角坐标系．A(1，0，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，AC1·B1C＝(－1，1，1)·(

－1，0，－1)＝1－1＝0，所以AC1⊥B1C，A选项正确；D1(0，0，1)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，CD1＝(0，－1，1)，BD→＝(－1，－1，0)，cos〈CD1，BD→〉＝＝12·2＝12，所以直线CD

1与BD所成的角为60°，B选项正确；平面AA1D1D的法向量为n＝(0，1，0)，cos〈n，𝐴C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉＝＝11·3＝33，所以直线AC1与平面AA1D1D所成角的正弦值为33，所以D选项错误；根据正方体的性质可知，AC⊥BD，AC

⊥BB1，由于BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BDD1B1，所以VO－B1CD1＝VC－OB1D1＝13×S△OB1D1×OC＝13×(12×2×1)×22＝16，所以C选项错误．故选AB.答案：AB13．解析：点P到平面α的距离为|OP→

·n||n|＝4＋5＋33＝43.答案：4314．解析：∵CM→＝CB→＋BA→＋AM→＝－BC→－AB→＋AM→，又∵M是AA1的中点，∴AM→＝12𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴CM→＝－BC→－AB→＋12𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∵AB→＝a，AD→＝b

，AA1＝c，∴CM→＝－a－b＋12c.答案：－a－b＋12c15．解析：将式子|a－b|＝7平方可得a2－2a·b＋b2＝7，故可得a2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＋b2＝7，代入数据可得cos〈a

，b〉＝a2＋b2－72|a||b|＝22＋22－72×2×2＝18.答案：1816．解析：依题意可得x＝1在三维空间中，它表示一个平面，在这个平面上所有点的横坐标都为1，过点P(1，－1，2)且法向量为v＝(1，2，3)的平面的方

程为1(x－1)＋2(y＋1)＋3(z－2)＝0，整理得x＋2y＋3z－5＝0.答案：一个平面x＋2y＋3z－5＝017．解析：(1)MN→＝𝑀A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋A1C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋C1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝13𝐵A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋AC→＋23CB

→＝－13AB→＋13𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋AC→＋23(AB→－AC→)＝13AB→＋13𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋13AC→，又AB→＝a，AC→＝b，𝐴A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝c，∴MN→＝13a＋13b＋13c

.(2)∵AB＝AC＝AA1＝1，∴|a|＝|b|＝|c|＝1.∵∠BAC＝90°，∴a·b＝0.∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，∴a·c＝b·c＝12，∴|MN→|2＝19(a＋b＋c)2＝19(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝59，∴

|MN→|＝53.18．证明：(1)EG→＝AG→－AE→＝12(AD→＋AC→)－12AB→＝－12AB→＋12AD→＋12AC→.EH→＋EF→＝12BD→＋12AC→＝12(AD→－AB→)＋12AC→＝－12AB→＋12AD→＋12AC→，所以EG→＝EH→＋EF→，所以E，F，G

，H四点共面．(2)14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)＝14(2OE→＋2OG→)＝12(OE→＋OG→)＝12×2×OM→＝OM→.19.解析：(1)以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A1(1，0，2)，B(

0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，𝐵A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(1，－1，2)，𝐶B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(0，1，2)，∴cos〈𝐵A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉＝＝36·5＝3010.(

2)证明：A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C1(0，0，2)，M(12，12，2)，20.解析：(1)证明：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系．因为AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，

AC的中点，所以A(0，0，0)，B(23，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(3，3，0)，Q(32，72，0)，P(0，0，2).因为FQ→＝(32，32，0)，AE→＝(3，3，0)，所以AE→＝2FQ→，所以AE→∥FQ→.又

AE与FQ无交点，所以AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ，所以AE∥平面PFQ.(2)连接AQ.因为AE∥平面PFQ，所以点A到平面PFQ的距离就是AE到平面PFQ的距离．设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，所以n⊥PF→，n⊥PQ→，即n·

PF→＝0，n·FQ→＝0.又PF→＝(0，2，－2)，所以n·PF→＝2y－2z＝0，即y＝z.又FQ→＝(32，32，0)，所以n·FQ→＝32x＋32y＝0，即x＝－3y.令y＝1，则x＝－3，z＝1，所以平面PFQ的一个法向量为n＝(－3，1，1).又QA→＝(－32，

－72，0)，所以所求距离d＝|QA→·n||n|＝255.21.解析：(1)∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，即PD，AD，CD两两垂直，∴以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直

角坐标系，由PD＝CD＝4，AD＝2，得A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，P(0，0，4)，M(1，0，2)，则AP→＝(－2，0，4)，BC→＝(－2，0，0)，MB→＝(1，4，－2)，设平面CMB的一个法向量为n1＝(x1

，y1，z1)，则BC→·n1＝0MB→·n1＝0，即－2x1＝0x1＋4y1－2z1＝0，令y1＝1，得x1＝0，z1＝2，∴n1＝(0，1，2)，∴sinθ＝cos〈AP→，n1〉＝AP→·n1||AP→·|n1|＝825·5＝45，故直线AP与平面CMB

所成角的正弦值为45.(2)由(1)得PC→＝(0，4，－4)，设平面PBC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则BC→·n2＝0PC→·n2＝0即－2x2＝04y2－4z2＝0，令y2＝1，得x2＝0，z2＝1，∴n2＝(0，1，1)，∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2

|n1||n2|＝35·2＝31010，故二面角M­CB­P的余弦值为31010.22．解析：(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AC、AA1、AB所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)、M(1，12，0)、

N(12，0，12)、P(0，1，λ)，AM→＝(1，12，0)，NP→＝(－12，1，λ－12)，所以，AM→·NP→＝－12＋12＝0，则AM⊥PN，因此，无论λ取何值，总有AM⊥PN.(2)NM→＝(12，12，－12

)，设平面PMN的法向量为n＝(x，y，z)，则n·NM→＝12x＋12y－12z＝0n·NP→＝－12x＋y＋（λ－12）z＝0，取x＝2λ＋1，则y＝2－2λ，z＝3，所以，平面PMN的一个法向量为n＝(2λ＋1，2－2λ，3)，易知平面ABC的一个法向量为m＝(0，1，0)

，由题意可得|cos〈m，n〉|＝|m·n||m|·|n|＝|2－2λ|8λ2－4λ＋14＝32，整理可得4λ2＋10λ＋13＝0，Δ＝102－4×4×13<0，此方程无解，因此，不存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的角为30°.章末过关检测(三)概率1．解析：由题

可知：甲同学答对第7道题的概率为P(A)＝23，甲同学答对第7、8两道题的概率为P(AB)＝12；故在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)＝P（AB）P（A）＝34.故选D.答案：D2．解析：因为D(X)＝2，所以D(3X－1)＝32D(X)＝32×2＝18；故选D.答案：D3．

解析：因为随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1，2，3)，所以12a＋22a＋32a＝1，解得a＝3.所以E(X)＝1×16＋2×26＋3×36＝73.故选C.答案：C4．解析：P(－1≤X≤3)＝2P(－1≤X≤1)＝2×(0.8－0.5)＝0.6，故选C.答案：C5．解析：记甲是通

过飞沫传播被感染为事件A，乙是通过飞沫传播被感染为事件B，P(A)＝P(B)＝23，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为P＝1－P(A－B－)＝1－P(A－)P(B－)＝1－(1－23)×(1－23)＝89.故选D.答案：D6．解析：由题意可知，李先生

走每条路线的概率均为13，走路线A不堵车的概率为0.9，走路线B不堵车的概率为0.7，走路线C不堵车的概率为0.8，由全概率公式得，李先生不堵车的概率P＝13×0.9＋13×0.7＋13×0.8＝0.8.故选D.答案：D7．解析：由题意得：对于选项A：事件甲发生与

否影响事件乙的发生，故事件甲与乙不相互独立，故A错误；对于选项B：事件甲事件乙可能同时发生，故B错误；对于选项C，D：由条件知随机变量X服从超几何分布，且E(X)＝10×2100＝0.2，故C错误，D正确．故选D.答案：D8．解

析：因为φμ，σ(x)＝的最大值为12πσ，所以1班的数学成绩X1～N(100，25)，2班数学成绩X2～N(102，36)，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A错误；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学

成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B错误；因为P(X1≥110)＝12(1－P(|X－μ|≤2σ))≈0.02275，所以C错误；因为P(X2≥114)＝12(1－P(|X－μ|≤2

σ))＝P(X1≥110)，所以D正确．故选D.答案：D9．解析：依题意P(X＝0)＝13，P(X＝1)＝23，所以E(X)＝0×13＋1×23＝23，D(X)＝(0－23)2×13＋(1－23)2×23＝29.所以P(X＝1)＝E(X)，E(

3X＋2)＝3×23＋2＝4，D(3X＋2)＝32×29＝2，所以AB选项正确，CD选项错误．故选AB.答案：AB10．解析：对于A，若朝上一面的点数为1，则事件A，B同时发生，∴事件A，B不互斥，A错误；对于B，∵事件A不影响事件B的发生，∴事件A，B相互独立，B正确；对于C，P(A∪

B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝36＋26－16＝23，C正确；对于D，∵P(AB)＝16，P(A)＝36＝12，∴P(|BA)＝P（AB）P（A）＝1612＝13，D正确．故选BCD.答案：BCD11．解析：已知对于样本数据x1

，x2，…，x2022，均值E(X)＝10，标准差D（X）＝10.对于选项A，样本均值E(2X)＝2E(X)＝20，原判断错误；对于选项B，样本均值E(3X＋1)＋1＝3E(X)＋1＝31，标准差D（3X＋1）＝3

D（X）＝30，原判断正确；对于选项C，样本标准差D（0.1X－2）＝0.1D（X）＝1，方差D(0.1X－2)＝0.12D(X)＝1，原判断错误；对于选项D，样本标准差D（0.2X＋8）＝0.2D（X）＝2，方差D(0.2X＋8)＝0.22D(X)＝4

，原判断正确．故选BD.答案：BD12．解析：一次摸奖从n＋5个球中任选两个，有C2n＋5种，它们等可能，其中两球不同色有C1nC15种，一次摸奖中奖的概率p＝10n（n＋5）（n＋4）.若n＝5，一次摸奖中奖的概率p＝59，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是

：P3(1)＝C13·p·(1－p)2＝80243.设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P＝P3(1)＝C13·p·(1－p)2＝3p3－6p2＋3p，0<p<1,P′＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)，知在(0，13)上P

为增函数，在(13，1)上P为减函数，当p＝13时P取得最大值．又p＝10n（n＋5）（n＋4）＝13，解得n＝20.故选ABD.答案：ABD13．解析：用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何

分布，于是E(X)＝n·MN＝5×310＝1.5.答案：1.514．解析：依题意得X服从二项分布，则np＝2np（1－p）＝85，解得p＝15.答案：1515．解析：设D表示这个人患流感，A1，A2，A3表示这个人分别

来自A，B，C三地，由已知P(D|A1)＝350，P(D|A2)＝3100，P(D|A3)＝340，P(A1)＝615＝25，P(A2)＝515＝13，P(A3)＝415，P(D)＝P(D|A1)P(A1)＋P(D

|A2)P(A2)＋P(D|A3)P(A3)＝350×25＋3100×13＋340×415＝0.054.答案：0.05416．解析：甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率P＝0.5×(1－0.4)×(1－0.6)

＋(1－0.5)×0.4×(1－0.6)＋(1－0.5)×(1－0.4)×0.6＝0.38，依题意甲成为主持人的概率P1＝0.5×0.6＝310，乙成为主持人的概率P2＝0.4×0.75＝310，丙成为主持人的概率P3＝0.5×0.6＝310，即甲、乙、丙三

人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的概率均为310，所以X～B(3，310)，则E(X)＝3×310＝910.答案：0.3891017．解析：(1)设甲、乙分别击中目标为事件A，B，易知A，B相互独立且P

(A)＝23，P(B)＝34，甲、乙恰好有一人击中的概率为P(AB－＋A－B)＝23(1－34)＋(1－23)34＝512.(2)目标被击中的概率为P(A＋B)＝1－P(A－B－)＝1－(1－34)(1－23)＝1112.18．解

析：(1)设A＝两件产品中至少有一件是正品，B＝两件产品中有一件是次品，P(B|A)＝n（AB）n（A）＝C12C13C22＋C12C13＝67.(2)设C＝取到甲箱，D＝取到一件正品，P(D)＝P(C)P(D|C)＋P(C－)P(D|C－)＝12×25＋12×35

＝12.19．解析：依题意知学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“民俗人文游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15.X可能的取值为0，1，2，3.则P(X＝0)＝C03×(35)3＝27125，P(X＝1)＝C13×(25)1×(35)2

＝54125，P(X＝2)＝C23×(25)2×(35)1＝36125，P(X＝3)＝C33×(25)3＝8125.X的分布列为X0123P2712554125361258125方法一E(X)＝0×27125＋1×54125＋

2×36125＋3×8125＝65.方法二因为随机变量X～B(3，25)，所以E(X)＝np＝3×25＝65.20．解析：(1)设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，则由表格可得，甲、乙两班

中成绩不低于120分的人数分别为7和6，∴P(A)＝C17·C16C110·C110＝2150，∴被取出的两人的成绩均不低于120分的概率为2150.(2)易知甲、乙两班的这20位同学中，分数不低于130分的有7人，分数不低于140分的有3人，∴随机变量X的可能取值为0，1，

2，3，∴P(X＝0)＝C34·C03C37＝435，P(X＝1)＝C24·C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14·C23C37＝1235，P(X＝3)＝C04·C33C37＝135，∴X的分布列为X0123P43518351235135∴X的数学期望

为E(X)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝4535＝97.21．解析：用X1，X2，X3分别表示方案1，2，3的损失，第一方案，建保护墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水，无大洪水有大洪水损失30

0063000概率0.950.05平均损失E(X1)＝3000×0.95＋63000×0.05＝6000.第二方案：建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水，E(X2)＝7000.第三方案：不采取措施．无洪水有

小洪水有大洪水损失02000060000概率0.70.250.05平均损失E(X3)＝60000×0.05＋20000×0.25＝8000.因为E(X3)>E(X2)>E(X1)，综上，采取方案一较好．22．解析：(1)由题意知：(a＋

0.012＋0.018＋0.034＋0.016＋0.008＋a)×10＝1，解得a＝0.006，样本平均值为0.006×10×35＋0.012×10×45＋0.018×10×55＋0.034×10×65＋0.016×10×75＋0.008×10×

85＋0.006×10×95＝64.(2)①由(1)知：μ＝64，则P(49＜X≤79)＝0.6827，P(X≥79)＝1－0.68272＝0.15865，要使该校有15.865%的学生获得一等奖，则获得一等奖的最

低分数是79分．②易得P(64－2×15＜X≤64＋2×15)＝0.9545，即P(34＜X≤94)＝0.9545，则P(X≥94)＝1－0.95452＝0.02275，则成绩不低于94分的学生数为0.02275×1000＝22.75≈23人，则成绩不低于9

4分的学生数最有可能是23人．章末过关检测(四)统计1．解析：选项A，B中两个变量之间是确定的函数关系，不是相关关系；选项C中学生的学籍号与学生的数学成绩是不相关的；选项D中日照时间与水稻的亩产量是相关的．故选D.答案：D2．解析：对于A，散点的变化具有波动性，非正相关关系，A错

误；对于B，当x变大时，y的变化趋势也是逐渐增大，可知两个变量具有正相关关系，B正确；对于C，当x变大时，y的变化趋势是逐渐减小，可知两个变量具有负相关关系，C错误；对于D，两个变量的变化无规律，二者没有相关性，D错误．故选B.答案：B3．解析：因为变量x和y满足关系y＝0.1x＋

2中0.1>0，因此变量y与x是正相关，又变量y与z是负相关，所以x与z负相关，故选A.答案：A4．解析：在4个不同的回归模型中，模型3的相关系数r＝0.945为最大，所以拟合效果最好，故选C.答案：C5．解析：由已知可得x－＝14×(1＋2＋3＋4)＝2.5，y

－＝14×(2＋3＋4＋5)＝3.5，所以这组数据的样本中心点为(2.5，3.5)，因为样本中心必在回归直线上，所以把样本中心点代入四个选项中验证，可得只有y＝x＋1成立，故选A.答案：A6．解析：由表格中的数据可得x－＝5＋6＋7＋84＝6.5，y－＝1.9＋3.4＋t＋7.1

4＝12.4＋t4，将点(x－，y－)代入回归直线方程得12.4＋t4＝1.78×6.5－7.07＝4.5，解得t＝5.6.故选B.答案：B7．解析：由表1得：χ2＝52×（6×25－7×14）220×32×13×39≈0.43，由表2得：χ2＝5

2×（2×21－11×18）220×32×13×39≈3.9，由表3得：χ2＝52×（4×23－9×16）220×32×13×39≈0.43，由表4得：χ2＝52×（7×26－6×13）220×32×13×39≈1.73，所以这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是高血压，故选B

.答案：B8．解析：由题意可知，y关于x的回归直线方程为y^＝0.21x＋3.217.对于A，第8日的预测水位是y^＝0.21×8＋3.217＝4.897∈[4.7，5.1)，将启动黄色预警，A错误；对于B，第10日的预测水位是y^＝0.21×10＋3

.217＝5.317∈[5.1，5.6)，将启动橙色预警，B错误；对于C，第11日的预测水位是y^＝0.21×11＋3.217＝5.527∈[5.1，5.6)，将启动橙色预警，C错误；对于D，第12日的预测水位是y^＝0.21

×12＋3.217＝5.737>5.6，将启动红色预警，故D正确．故选D.答案：D9．解析：由图可知，第一幅图负相关，第二幅图正相关，故A，B正确；第二幅图中的点比第一幅图中的点更趋于一直线附近，故第二幅图的相关性

比第一幅图的相关性强，故|r1|<|r2|，CD错误．故选AB.答案：AB10．解析：根据相关定义分析知A，B，D正确；对分类变量X与Y，随机变量χ2的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误．故选ABD.答案：ABD11．解析：因为χ2≥6.635，所以

有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，也就是说有1%的可能性使推断出现错误，因此选项AD正确，选项BC不正确，故选AD.答案：AD12．解析：x－＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y－＝2＋3＋4＋5＋75＝4.2，因此选项A不正确；所以有4.2

＝1.2×3＋a^⇒a^＝0.6，因此选项B正确；因为1.2>0，所以变量y与x正相关，因此变量y与x之间的线性相关系数r>0，所以选项C不正确；当x＝6时，y^＝1.2×6＋0.6＝7.8，所以选项D正确，故选BD.答案：BD13．解析：根据独立性检验知，应假设“电离辐射的剂

量与人体受损程度无关”．答案：电离辐射的剂量与人体受损程度无关14．解析：由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是y^＝0.75x－75.5，当x＝160时，y^＝0.75×160－75.5＝44.5，此方程在样本(160，46)处随机误差

为46－44.5＝1.5.答案：1.515．解析：由题意知，y＝cekx，故lny＝lnc＋kx，设z＝lny，求得线性回归方程为z^＝0.3x＋4，两式相比较，∴k＝0.3.答案：0.316．解析：χ2＝50×（20×15－5×10）225×25×30×20≈

8.333，因为8.333>7.879，所以有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关．答案：8.33399.517．解析：(1)由x－＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y－＝15(3＋4＋5＋6＋7)＝5，将(5，5)代入y^＝1320x＋a^可得

5＝1320×5＋a^，解得a^＝74.(2)这5组数据的散点图如下：18．解析：(1)由题可补充列联表如下，y1y2总计x1151530x225530总计402060(2)由(1)可知，χ2＝60（15×5－25×15）240×20×30×30＝7.5>6.635，所以有99%的把握

认为分类变量x和y有关系．19．解析：(1)由表中数据知，x－＝1＋2＋3＋44＝52，y－＝1150＋1000＋900＋7504＝950，所以b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx－2＝8850－4×

950×5230－4×（52）2＝－130，所以a^＝y－－b^x－＝950－(－130)×52＝1275，故所求回归直线方程为y^＝－130x＋1275，(2)令x＝5，则y^＝－130×5＋1275＝625人，则预计该路口2022年不戴头

盔的人数为625人．20．解析：(1)x－＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y－＝18＋20＋23＋25＋295＝23.b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx－2＝1×18＋2×20＋3×23＋4×25＋5×29－5×

3×2312＋22＋32＋42＋52－5×32＝2.7.a^＝y－－b^x－＝23－2.7×3＝14.9，故回归直线方程为y^＝2.7x＋14.9，当x＝6时，y^＝31.1，从而2022年药材A的单价预计为31.1元/公斤．(2

)组距为20，自左向右各组的频率依次为0.1，0.2，0.35，0.25，0.1，从而B药材的平均亩产量为360×0.1＋380×0.2＋400×0.35＋420×0.25＋440×0.1＝401公斤．(3)预计2022年药材A每亩产值为300×31.1＝9330元，药材B每亩产值为2

0×401＝8020元<9330元，所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A.21．解析：(1)由表格数据知：甲机床生产的产品中一级品的频率为150200＝0.75；乙机床生产的产品中一级品的频率为120200＝0

.6.(2)∵χ2＝400×（150×80－50×120）2200×200×270×130＝40039>6.635，∴有99%的把握可以认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．22．解析：(1)根据题意，可得如下的2×2的列联表：年长者年轻人总计电子书4

1620纸质书81220总计122840则χ2＝（4×12－8×16）2×4012×28×20×20≈1.905<2.706，所以没有足够的理由认为有90%的认为喜欢阅读电子书与年龄有关．(2)在抽取的40名顾客的样本中，按照分层

抽样的方法在年轻人中抽取7名，则抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人人数为3名，所以随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，可得P(X＝1)＝C14·C33C47＝435；P(X＝2)＝C24·C23C47＝1835；

P(X＝3)＝C34·C13C47＝1235；P(X＝4)＝C44C47＝135，所以X的分布列为X1234P43518351235135则期望为E(X)＝1×435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167.本册过关检测1．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即2

＋3k－5＝0，解得k＝1.故选A.答案：A2．解析：依题意，4a－1≥03a2＋a≥0（4a－1）＋3a2＋a＝1，解得a＝13，所以实数a的值为13.故选C.答案：C3．解析：根据题意得：f′(x)＝1x－ax2，所以f′(1)＝11－a12＝－1，解得a＝2.故选A.答案：A4

．解析：对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误；对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误；对于C，99%是指“抽烟”和“癌症”存在关联的可能性，并非抽烟人中癌症的发病

率，故错误；对于D，根据卡方计算的定义，正确．答案：D5．解析：两家企业中恰有1家购买该机床设备的概率为12×(1－13)＋(1－12)×13＝12.故选B.答案：B6．解析：因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)>0可得0<x

<e，令f′(x)<0可得x>e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)＝lnxx在x＝e处取得极大值，即最大值，所以f(x)max＝f(e)＝1e.故选C.答案：C7．解析：设M点的坐标为(x，y，1)，

C(0，0，0)，D(2，0，0)，B(0，2，0)，E(0，0，1)，则DE→＝(－2，0，1)，DB→＝(－2，2，0)，CM→＝(x，y，1)，∵CM⊥平面BDE，∴CM⊥DE，CM⊥DB，即CM→⊥DE→，CM→⊥DB→，所以

，－2x＋1＝0－2x＋2y＝0，解得x＝22y＝22，所以，M点的坐标为(22，22，1)，故选A.答案：A8．解析：从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2，由题意可得P(A1)＝25＝0.

4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868，所以该产品合格的概率为0.868.故选C.答案：C9．解析：对于A

，因为向量a，b不平行，所以l1，l2不平行，故A不正确；对于B，因为n＝－2a，所以a∥n，故B正确；对于C，因为a·n＝0×(－2)＋2×0＋0×2＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l在平面α内，故C不正确；对于

D，因为m·n＝－6＋0＋6＝0，所以α⊥β，故D正确．故选BD.答案：BD10．解析：对于A，回归方程y^＝b^x＋a^是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过(x－，y－)，所以A是假命题；对于B，由相

关系数的意义，当|r|越接近1时，表示变量y与x之间的线性相关程度越强，变量y和x之间的相关系数r＝－0.9362，则变量y和x之间具有很强的线性相关关系，所以B是真命题；对于C，用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，所以C是假命题；

对于D，在回归方程y^＝0.5x－8中，变量x＝2时，变量y的预测值是－7，但实际观测值可能不是－7，所以D是假命题．故选ACD.答案：ACD11．解析：若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝12，则D(X)＝12(1－12)＝14，A对；若随机变量ξ服从二项分布B(4

，12)，则D(ξ)＝4×12×(1－12)＝1，B对；若随机变量ξ服从二项分布B(4，12)，则P(ξ＝3)＝C34(12)3(1－12)＝14，C对；若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝9D(Y)＝18，D错，故选ABC.答案：ABC12．解析：对于A：

∵g(x)＝f′(x)＝(1－a)sinx＋xcosx，∴g′(x)＝(2－a)cosx－xsinx，故选项A错误；对于B：当a∈(－∞，2]，x∈(π2，π)时，(2－a)cosx≤0，－xsinx<0，∴g′(x)＝(2－a)cosx－xsinx<

0，∴g(x)在区间(π2，π)上单调递减，故选项B正确；对于C：当a＝1时，f(x)＝xsinx＋cosx－1，f′(x)＝xcosx.当x∈(－π，－π2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－π2，

0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，π2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(π2，π)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(－π)＝f(π)＝－2<0，f(－π2)

＝f(π2)＝π2－1>0，f(0)＝0，∴f(x)在区间(－π，π)上有3个零点，故选项C正确；对于D：当a＝2时，g(x)＝f′(x)＝－sinx＋xcosx，g′(x)＝－xsinx，当x∈(－π2，0)时，g′(x)＝－xsinx<0，f′(x)单

调递减，∴f′(x)>f′(0)＝0，f(x)单调递增；当x∈(0，π2)时，g′(x)＝－xsinx<0，f′(x)单调递减，∴f′(x)<f′(0)＝0，f(x)单调递减，∴当a＝2时，x＝0亦为f(x)的极大值点，故选项D错误；故选BC.答案：BC13．解析：依题意设失败率为

x，则成功率为5x，所以x＋5x＝1，解得x＝16，所以成功率为56，失败率为16，所以P(X＝0)＝16.答案：1614．解析：由题，P(ξ＞180)＝0.5－P(172＜ξ≤180)＝0.1，所以该市身高高于180cm的高中男生人数大约为30000×0.1＝3000.答案

：300015．解析：由题意得：f′(x)＝x2＋2ax＋(a＋2)；∵f(x)定义域为R，且有极大值和极小值，∴f′(x)＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－4(a＋2)>0，解得a<－1或a>2，即实数a的取值范围为(－∞，－

1)∪(2，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)16．解析：如图，连接EC.在△PEC中，PE＝1，EC＝2，PC＝3，所以PE2＋EC2＝PC2，所以PE⊥EC.因为PE⊥DE，DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面BCDE，所以PE

⊥平面BCDE.以E为坐标原点，以EB→，ED→，EP→的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系E－xyz，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，DB→＝(1，－1，0)，DP→＝(0，－1，1)，PC→＝(1，1，－1)，CD

→＝(－1，0，0).设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DB→＝x－y＝0n·DP→＝－y＋z＝0，令x＝1，得n＝(1，1，1)，所以C到平面PBD的距离d＝|CD→·n||n|＝13＝33.因为cos〈PC→

，n〉＝PC→·n|PC→||n|＝13，所以PC与平面PBD所成角的余弦值为223.答案：3322317．解析：(1)记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A，因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮一次且没有命中的概率为1－13＝23.同理，乙

投篮一次且没有命中的概率为1－12＝12，所以P(A)＝23×12＝13.(2)记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B.因为甲每次投篮命中的概率为13，以甲投篮3次，且都没命中的概率为C03×(1－13)3＝827，甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为C13×13×(1－1

3)2＝49.所以P(B)＝827＋49＝2027.18．解析：(1)t－＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y－＝17(21＋26＋34＋38＋43＋46＋51)＝37，∴b^＝i＝17（ti－t－）（yi－y－）i＝17（ti－t－）2＝13928≈4.96，

a^＝y－－b^t－＝37－4.96×4≈17.16，所以，回归直线方程为y^＝4.96t＋17.16.(2)当t＝8时，y＝4.96×8＋17.16＝56.84，故家庭教育支出为10×56.84%＝5.684万元．19．解析：(1)因为f′(x)＝ex＋(x＋a)ex

＝(x＋a＋1)ex，所以f′(1)＝(a＋2)e＝0，得a＝－2，此时f′(x)＝(x－1)ex，所以在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在(1，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递

增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，故实数a的值为－2.(2)由(1)知，f′(x)＝(x＋a＋1)ex，因为f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立．因为ex>0，所以x＋a＋1≥0在(－1，1)上恒成立，即a≥－x－1在(－1

，1)上恒成立．因为g(x)＝－x－1在(－1，1)上单调递减，所以g(x)<g(－1)＝0，故实数a的取值范围为[0，＋∞).20．解析：(1)证明：因为底面四边形ABCD是矩形，有AD⊥AB，而平面A1B1BA⊥平面ABCD，平面A1B1BA∩平面ABCD＝AB，AD⊂平面AB

CD，则AD⊥平面A1B1BA，又AA1⊂平面A1B1BA，则有AD⊥AA1，因平面A1D1DA⊥平面ABCD，同理有AB⊥AA1，而AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥平面ABCD.(2)在四棱台ABCD­A1B1C1D1中

，由(1)知，AB，AD，AA1两两垂直，且AA1即为四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，以A为原点，射线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝h，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(1，0

，h)，D(0，1，0)，BB1＝(－1，0，h)，BD→＝(－2，1，0)，设平面BB1D的一个法向量n＝(x，y，z)，则BB1·n＝－x＋hz＝0BD→·n＝－2x＋y＝0，令z＝1，得n＝(h，2h，1)，平面ABB1的一

个法向量AD→＝(0，1，0)，因此，|cos〈AD→，n〉|＝|AD→·n||AD→||n|＝2h1×1＋5h2＝63，解得h＝1，所以四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为1.21．解析：(1)由表中的数据可得x＝100；y＝80；z＝140；所以2×

2列联表如下：男生女生总计90分钟以上8010018090分钟以下80140220总计160240400χ2＝400（80×140－100×80）2180×220×160×240≈2.694<3.841.所以由临界值表可知没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别

有关．(2)抽取的9人中，需要抽取男生：9180×80＝4人，女生：9180×100＝5人，X取值0，1，2，3，P(X＝0)＝C35C39＝542，P(X＝1)＝C14C25C39＝1021，P(X＝2)＝C24C15C39＝514，P(X＝3)＝C34C

39＝121，故X的分布列为X0123P5421021514121E(X)＝0＋1×1021＋2×514＋3×121＝43.22．解析：(1)由题意可知g(x)＝f（x）x＝axlnx－x2＋2x＝aln

x－x＋2x，所以函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝ax－1－2x2＝－x2＋ax－2x2，令h(x)＝－x2＋ax－2，①Δ＝a2－8≤0，即－22≤a≤22时，h(x)≤0(且不恒为0)，即g′(x)≤0(且不恒为0)，g(x)在(0，＋∞)单调递减；②Δ＝a2－8＞0即a

＞22或a＜－22时，令h(x)＝0，x1＝a－a2－82或x2＝a＋a2－82，当a＜－22时，x1＜x2＜0，x＞0时，h(x)＜0，g′(x)<0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞22时，0＜x1＜x2，令g′(x)<0，0＜x＜a－

a2－82或x＞a＋a2－82，令g′(x)>0，a－a2－82＜x＜a＋a2－82，∴g(x)在(0，a－a2－82)，(a＋a2－82，＋∞)上单调递减，在(a－a2－82，a＋a2－82)上单调递增．综

上所述，当a≤22时，g(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>22时，g(x)在(0，a－a2－82)，(a＋a2－82，＋∞)上单调递减，在(a－a2－82，a＋a2－82)上单调递增．(2)①f′(x)＝alnx＋a－2x，因为f(x)的图象在点(1，1)处的切

线方程为y＝1.所以f′(1)＝0，即f′(1)＝a－2＝0，解得a＝2；所以实数a的值为2.②f′(x)＝2(lnx＋1－x)，设F(x)＝lnx＋1－x，x∈(0，2)，F′(x)＝1x－1＝－（x－1）x，令F′(x)＝0，即－

（x－1）x＝0，解得x＝1，当1<x<2时，F′(x)<0，所以F(x)在(1，2)上递减，当0<x<1时，F′(x)>0，所以F(x)在(0，1)上递增，F(x)max＝F(1)＝ln1＋1－1＝0，∴F(x)≤0，即

f′(x)≤0(且不恒为0)成立，f(x)在(0，2)上单调递减，f(x)>f(2)＝4ln2－2＝ln16－lne2>0，由F(x)≤0可得lnx≤x－1，则f(x)＝2xlnx－x2＋2≤2x(x－1)－x2＋2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1<2，综上可得，当x∈(0，2)时，0<f(

x)<2.