【文档说明】高二数学上学期期中模拟卷（全解全析版）.docx，共(15)页，1.076 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标

号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版（2019）选择性必修第一册第一章~第二章（空间向量与立体几何+平面解析几何）。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过两点𝐴(2,𝑚),𝐵(−𝑚,4)的直线𝑙的倾斜角为135∘，则𝑚的值为（）A．-2B．1C．3D．4【答案】B【解析】经过两点𝐴(2,

𝑚),𝐵(−𝑚,4)的直线𝑙的斜率为𝑘=𝑚−42+𝑚，又直线𝑙的倾斜角为135∘，所以𝑚−42+𝑚=tan135∘=−1，解得𝑚=1.故选：B.2．已知向量()()()3,2,1,2,2,1,,10,1abcm=−=−=，若,,

abc共面，则m=（）A．2B．3C．1−D．5−【答案】D【解析】因为,,abc共面，所以cxayb=+，即()()()(),10,13,2,12,2,132,22,mxyxyxyxy=−+−=−++−，所以3222101xymxyxy−+=+=−=，解得3,2,5xym===−.故

选D.3．材料一:已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为()()()Sppapbpc=−−−，其中2abcp++=，这个公式被称为海伦-秦九韶公式；材料二:阿波罗尼奥斯()Apollonius在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与

两个定点1F，2F的距离的和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答:已知ABC中，4BC=，8ABAC+=，则ABC面积的最大值为（）A．23B．3C．43D．6【答案】C【解析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，()()()Sppapbpc=−

−−，其中2abcp++=，由题意，可知4a=，8+=bc，4862p+==，且64pa−=−，故()()()()()26666466126612432bcSbcbc−+−=−−−=−−=；当且仅

当66bc−=−，即4bc==时取等号.用材料二：以BC的中点为原点，由椭圆的定义易知，椭圆方程为2211612xy+=，1||2ASBCy=（||Ay为A到BC的距离），11||4234322ASBCy==，

当且仅当ABAC=时取等号.故选C.4．在正四面体PABC−中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则PCPD的值为（）A．14−B．14C．12−D．12【答案】D【解析】如图，因为D为棱AB的中点，所以()12PDPAPB=+，()()1122PCPDPCPCCP

APBPABPP==++，因为几何体为正四面体，故𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑与PC夹角为60°，同理𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑与PC夹角为60°，111cos602PPAPBCPC===，故21211122PCPD=+=，故选D.5．若双曲线()222210,0xya

bab−=的离心率为5，则椭圆22221xyab+=的离心率为（）A．12B．22C．32D．33【答案】C【解析】设双曲线()222210,0xyabab−=、椭圆22221xyab+=的焦距分别为12c、22c，离心率分别为1e、2e，则

221112215ccbeaaa===+=，可得224ba=，所以，椭圆22221xyab+=的焦点在y轴上，则2222222222312ccbaaebbbb−====−=.故选C.6．在矩形ABCD中，23AB=，3AD=，E、F分别为边AD、BC上的点，且2AEBF

==，现将ABE沿直线BE折成1ABE，使得点1A在平面BCDE上的射影在四边形CDEF内（不含边界），设二面角1ABEC−−的大小为，直线1AB与平面BCDE所成的角为，直线1AE与直线BC所成角为，则（）A．

B．C．D．【答案】D【解析】过A作BE的垂线，分别交EB，EF，DC于M，G，N，如图，显然AMN=.因为//BCAD，所以直线AE与AD所成角即为.当A在平面BCDE上的射影为G时，AE⊥平面AEF，此时2=.于是当A在平面BCDE上的

射影在线段GN上时，2AED，所以AED=.由于EAEA=，MAMA=，进而得2EAA=，2MAA=.因为AM是AA在平面ABCD上的射影，所以由线面角最小性知22EAAMAA==，即.再由二面角的最大性知.故选D.7．过

点()0,2−与圆22410xyx+−−=相切的两条直线的夹角为，则sin=（）A．1B．154C．104D．64【答案】B【解析】方法一：因为22410xyx+−−=，即()2225xy−+=，可得圆心()2,0C，

半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，因为()222222PC=+−=，则223PAPCr=−=，可得51036sin,cos442222APCAPC====，则10615sin

sin22sincos2444APBAPCAPCAPC====，22226101coscos2cossin0444APBAPCAPCAPC==−=−=−，即APB为钝角，所

以()15sinsinπsin4APBAPB=−==；法二：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，连接AB，可得()222222PC=+−=，则223PAPBPCr==−=，因为22222cos2c

osPAPBPAPBAPBCACBCACBACB+−=+−且πACBAPB=−，则()336cos5510cosπAPBAPB+−=+−−，即3cos55cosAPBAPB−=+，解得1cos04APB=−，即APB

为钝角，则()1coscosπcos4APBAPB=−=−=，且为锐角，所以215sin1cos4=−=；方法三：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，若切线斜率不存在，则切线方程为0y=，则圆心到切点的距离2dr=，不合题

意；若切线斜率存在，设切线方程为2ykx=−，即20kxy−−=，则22251kk−=+，整理得2810kk++=，且644600=−=设两切线斜率分别为12,kk，则12128,1kkkk+=−=，可得()21212124215kkkkkk−=+

−=，所以1212tan151kkkk−==+，即sin15cos=，可得sincos15=，则2222sinsincossin115+=+=，且π0,2，则sin0，解得15sin4=

.故选B.8．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，P是双曲线上一点，且22()0OPOFFP+=（O为坐标原点），若12PFF内切圆的半径为2a，则C的离心率是（）A．31+B．312+C．612+D．61+【

答案】C【解析】22()0OPOFFP+=，即为22()()0OPOFOPOF+−=，即为222OPOF=，可得||OP=c．所以12PFPF⊥．根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设12PFF的内切圆切三边分别

于G，D，E三点，则||||PGPE=，11GFDF=，22EFDF=．又122PFPFa−=，所以1212GFEFDFDF−=−．设0(,0)Dx，则00()2xccxa+−−=，所以0xa=，所以切点D为双曲线的右顶点，所以111

3||222aaaPFGPGFDFcac=+=+=++=+，222||222aaaPFPEEFDFcac=+=+=+−=−．在12RtPFF△中，由勾股定理得2223(2)22aaccc++−=，整理得224450caca−−=，即24450ee−−=，解得1

62e=，又因为1e，所以C的离心率为612e+=，故选C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知空间四点()()()()0

,0,0,0,1,2,2,0,1,3,2,1OABC−，则下列说法正确的是（）A．2OAOB=−B．2cos,3OAOB=−C．点O到直线BC的距离为5D．O，A，B，C四点共面【答案】AC【解析】由题意，(0,1,2),(

2,0,1)OAOB==−，02102(1)2OAOB=++−=−，A正确；22cos,555OAOBOAOBOAOB−===−，B错误；(1,2,2)BC=，2102(1)20OBBC=++−=，所以OBBC⊥，5OB

=，所以点O到直线BC的距离为5，C正确；(3,2,1)OC=，假设若O，A，B，C四点共面，则,,OAOBOC共面，设OCxOAyOB=+，则23221yxxy==−=，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错．故选AC．1

0．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过原点的直线l与双曲线交于A、B两点.若四边形12AFBF为矩形，且123AFAF=，则下列正确的是（）A．||10ABa=B．双曲线C的离心率为102C．矩形12AFBF的面积为2

4aD．双曲线C的渐近线方程为6yx=【答案】AB【解析】如下图所示：设|𝐴𝐹2|=𝑚，所以1233AFAFm==，由双曲线的定义可知122AFAFama−==，因为四边形12AFBF为矩形，所以2222222212129104ABFFAFAFaaac==+=+==，因此||

10ABa=，所以选项A正确；由22101041022acace===，所以选项B正确；矩形12AFBF的面积为233aaa=，所以选项C不正确；因为()2222261041042bacaaba==+=，所以双曲线C的渐近线方程为62yx=，因此选项D

不正确，故选AB.11．已知点P在圆()()225516xy−+−=上，点()4,0A、()0,2B，则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当PBA最小时，32PB=D．当PBA最大时，32PB

=【答案】ACD【解析】圆()()225516xy−+−=的圆心为()5,5M，半径为4，直线AB的方程为142xy+=，即240xy+−=，圆心M到直线AB的距离为2252541111545512+−==+，所以，点P到直线AB的距离的最小值为1

15425−，最大值为1154105+，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB⊥，()()22052534BM=−+−=，4MP=，由勾股定理可得2232BPBMMP=−=，CD选项正确.故选ACD.

第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线380xy−+=和圆222(0)xyrr+=相交于,AB两点．若||6AB=，则r的值为_________．【答案

】5【解析】因为圆心()0,0到直线380xy−+=的距离8413d==+，由22||2ABrd=−可得22624r=−，解得=5r．故答案为：5．13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【答案】28【

解析】方法一：由于2142=，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为()1446323=，截去的正四棱锥的体积为()122343=，所以棱台的体积为32428−=.方法二：棱台的体积为()13164164283++=.

故答案为：28.14．已知椭圆224xy+＝1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则三角形F2AB的内切圆半径的取值范围为.【答案】10,2【解析】如图，由椭圆2214xy+=，得24a=，21b=，∴2a=，3c=，当直线A

B无限接近x轴时，2AFB无限趋近于0，则ABCV的内切圆的半径无限趋近于0；设:3ABxmy=−，联立22314xmyxy=−+=，得()2242310mymy+−−=.121222231,44myyyymm−+==++.设内切圆半径为r，则1211412322ryy=−

即1243ryy=−，∴()221212223323444444mryyyymm=+−=+++22134mm+=+，令()211tmt=+，得113926rtt=++，当且仅当3t=时等号成

立，∴三角形2FAB的内切圆半径的取值范围为10,2.故答案为：10,2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中2A

B=，4=AD，16AA=，1160AABAADDAB===，设ABa=，ADb=，1AAc=.(1)用a，b，c表示1ACuuur并求出1AC；(2)求异面直线1AC与1CB所成角的余弦值.【解析】（1）由题意得11,BCADbCCAAc====，故11ACABBCC

Cabc=++=++，------------------------------------------------------------------2分()222221222ACabcabcabbcac=++=++

+++uuurrrrrrrrrrrrr222246224cos246cos226c606060os=+++++4163682412100=+++++=，--------------------

---------------------------------------------------5分故110AC=；---------------------------------------------------------------------------

----------------6分（2）11CBCBBBbc=+=−+，故()()2211ACCBbcabacbbcbccabc−+=−=+++−+−+uuurrrrurrrrruurrrrrrrr222224cos6026cos60

46abacbc=−+−+=−+−+rrrrrr46163622=−+−+=，-------------------------------------------------------------

------------------8分()22221216246cos603628CBbcbbcc=−+=−+=−+=，故127CB=，---------------------------------------------------------------

------------------------10分设异面直线1AC与1CB所成角的大小为，则111122117cos701027CBAACBCC===，-----------------------

------------------------------------12分故异面直线1AC与1CB所成角的余弦值为11770.----------------------------------------

--------13分16．（15分）过点0(2)P，有一条直线l，它夹在两条直线1:220−−=lxy与2:30lxy++=之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【解析】设直线l夹在直线12,ll之

间的线段是AB，（A在1l上，B在2l上）设1122,),,)AxyBxy（（，因为AB被点P平分，所以12124,0xxyy+=+=，于是21214xxyy=−=−，------------------------------

----4分由于A在1l上，B在2l上，所以()1111220430xyxy−−=−−+=，解得113,4xy==，--------------------------------------------------10分即A的坐标是()3,4，而0(2)P，，4

0432APk−==−，利用点斜式得：4(2)yx=−，即480xy−−=.----------------------------14分所以直线l的方程是：480xy−−=--------------------------

-----------------------------------15分17．（15分）如图所示，在三棱锥SABC−中，22ABSASC===，22ACBC==，23SB=．(1)求证：SACABC⊥平面平面；(2)若15DSBS=，求直线CD与平面SAB所成角

的正弦值．【解析】（1）证明：因为22216ACBCAB+==，所以BCAC⊥，-----------------------2分同理可得222BCSCSB+=，故BCSC⊥，----------------------------

---------------------------4分因为SCACC=，,ACSC平面SAC，所以⊥BC平面SAC-------------------------------5分因为BC平面A

BC，故平面SAC⊥平面ABC．-----------------------------------------------6分（2）以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系--------------------

---7分因为15DSBS=则(0,0,0)C，(22,0,0)A，(0,22,0)B，(2,0,2)S，422242,,555D，----------8分所以(2,0,2)SA=−，(2,22,2)BS=−，422242,,555CD=

．-------------------9分设(,,)nxyz=为平面SAB的法向量，则0,0,SAnBSn==即220,22220,xzxyz−=−+=令1x=，得(1,1,1)n=．----------------------------12

分设直线CD与平面SAB所成的角为，则||2253sin|cos,|9||||6235CDnCDnCDn====，-----------------------------------------14分所以直线CD与平面SAB所成角的正弦值为539

．-----------------------------------------15分18．（17分）已知圆C：22120xyDxEy+++−=关于直线20xy+−=对称，且圆心在x轴上．(1)求圆C的标准方程；(2)若动

点M在直线10x=上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；②求证：直线AB恒过定点．【解析】（1）圆C的方程的圆心坐标为22DE−−，，半径22124DEr

+=+，-------2分由圆心在x轴上，圆关于直线20xy+−=对称得到，0E=，2022DE−−−=，0E=，4D=−，所求圆C的标准方程为22(2)16xy−+=．--------------------------6分（2）①如下图所示，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为

A、B，CAMA⊥，CBMB⊥，216MAMBMC==−，-----------------------------------------7分21224162ACMMACBSSCAMAMC===−四

边形，--------------------------------------9分当MC最小时，四边形的面积最小，当点M在x轴上时min8MC=，此时S的最小值为24816163−=．--------

-----------------------------------------------11分②设点()10Mm，，四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径的圆上，该圆的圆心为62m

，，半径为()221022m−+，22228(6)()24mmxy+−+−=，即2212200xxymy−+−+=，---------------------------------13分AB是圆C与以MC为

直径的圆的公共弦，直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项，得到8320xmy+−=，-----------------------------------------------------------

------------------15分0y=时，4x=，无论m取何值直线8320xmy+−=恒过点()40，．-------------------------------------------17分19．（17分）中国结是一种

手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xOy平面上，我们把与定点()1,0F

a−，()()2,00Faa距离之积等于2a的动点的轨迹称为伯努利双纽线，1F，2F为该曲线的两个焦点.数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线()()22222:9Cxyxy+=−是一条伯努利双纽线.(1)求曲线C的焦

点1F，2F的坐标；(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）方法一：设焦点()1,0Fa−，()()2,00Faa，曲线()

()22222:9Cxyxy+=−与x轴正半轴交于点()3,0P，由题意知()()2212339PFPFaaaa=+−=−=，于是292a=，322a=，--------------------4分因

此132,02F−，232,02F；----------------------------------------------------------------6分方法二：设焦点()1,0Fa−，()()2,

00Faa，由题意知()()22224xayxaya++−+=，即()()222222422xayaxxayaxa+++++−=，--------------------------------------------2分整理

得()()2222222xyaxy+=−，于是292a=，322a=.-----------------------------------4分因此，132,02F−，232,02F；------

-----------------------------------------------------6分（2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即OAOB⊥，由题意知直线OA，OB斜率均存在，--------------------------------

--------------------------7分不妨设直线OA的方程为1ykx=，直线OB的方程为2ykx=，--------------------------9分将直线OA的方程与曲线C联立，得()()2242211191kxxk+=−，即()()2122219101kxk−=+.-

---13分解得111k−，同理211k−，--------------------------------------------------------------15分因此121kk=−不可能成立，于是假设不成立，即曲线C上不

存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.----------------17分