福建省厦门市2023届高三毕业班第四次质量检测 数学答案

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以下为本文档部分文字说明:

1厦门市2023届高三毕业班第四次质量检测数学参考答案一、选择题:1~4:DACB5~8:ABCA二、多选题:9.AD10.ABD11.ACD12.ACD8.提示:圆台得高()2264133h=−−=,将圆台补成圆锥,由相似比1

:4知轴截面是边长为8的等边三角形,此时该圆锥内切球半径221484333r=−=,此时2rh,所以该球半径最大时433r=,对应情形为:与下底面和侧面相切,不与上底面相切,其表面积为64π3.12.提示:A.设00(,)Pxy所以01PFy=+,因为00y,所以min1

PF=.A正确B.设(0,1),0EQFQE=,所以Q点轨迹为2259()(0)24xyx+−=,设5(0,)2R,设200(,)4xPx,minmin32PQPR=−,又因为222200051()(2)664216x

PRxx=+−=−+,所以min362PQ=−,B错误C.设1122(,),(,)AxyBxy,又因为244ykxxy=+=,所以24160xkx−−=,12120,4,16xxkxx+==−,所以21212()116xxyy==,又因为212121

21212(1)(1)()1470FAFBxxyyxxyyyyk=+−−=+−++=−−,所以AFB为钝角,C正确(或者由,OAOBAFBAOB⊥)D.设00(,)Pxy,因为PFAPFB=,所以FAFPFBFPFAFB=,所以011

0022012(1)(1)(1)(1)11xxyyxxyyyy+−−+−−=++,所以012120021210(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxyyyyxxyyyy++−+−=++−+−所以0120101221021020122

1(1)(1)(1)(1)xxyxxyyyyyxxyxxyyyyy++−−++=++−+−+所以12220122101201()()(1)()042xxxxxxxxyxx−+−+−−=,又因为12xx,所以1200()5(1

)02xxxy++−=,即0052(1)0xky+−=,即152kk=−,D正确三、填空题:213.014.112yx=+,212yx=+(写出其中一条直线方程)15.π316.1;32657,,2322

16.提示:第一空:当1a=时,当01x时,()cos0fxx==,解得12x=;当1x时,()()2248240fxxxx=−+=−+,无零点.故此时()fx的零点个数是1;第二空:显然,()248yxaxxa=−+至多有2个零点

,故cosπyx=在()0,a上至少有2个零点,所以32a,①若()cosπ0yxxa=恰有2个零点,则3522a,此时()248yxaxxa=−+恰有两个零点,所以()222,16320,380aaafaa=−=−+解得2623a,此时32623a;②若

()cosπ0yxxa=恰有3个零点,则5722a,此时()2830faa=−,所以()248yxaxxa=−+恰有1个零点,符合要求.③当72a时,()2830faa=−,所以()248yxaxxa=−+恰有1个零点,而()cosπyx

xa=至少有4个零点,此时()fx至少有5个零点,不符合要求,舍去.综上,32623a或5722a.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.本题考查正弦定理、余弦定理

、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识;考查运算求解、推理论证能力;考查数形结合、化归与转化思想等.本题满分10分.解:(1)由题意得2sincos2sinsinBCAC=+-------------------------

----------------------1分所以2sincos2sin()sinBCBCC=++----------------------------------------------------------2分即2

sincos2sincos2cossinsinBCBCBCC=++--------------------------------------------3分3所以2cossinsin0BCC+=-------------------------------------------------

----------------------4分因为,(0,π)BC,所以sin0C,所以1cos2B=−,所以2π3B=----------------------5分(2)ABC△中,2222cosbacacB=+−,2ca=,2π3B=,-------------------

--------6分所以222742aaa=++,所以1,2ac==,----------------------------------------------------7分又因为BD为角B的平分线,ABDCBDABCSSS+=△△△----------------

-------------------------8分所以1π1π12πsinsinsin232323BDcBDaac+=-----------------------------------------

--9分所以23BD=-----------------------------------------------------------------------------------------1

0分18.本题考查数列递推关系、数列通项、数列求和等基础知识;考查运算求解、推理论证能力;考查函数与方程思想、化归与转化思想等.本题满分12分.解:(1)当1n=时,112Ta==所以1=+(1)11nTTnn−=+--

----------------------------------------------------------------------1分所以1231naaaan=+当2n时,1231naaaan−

=---------------------------------------------------------------------2分所以1(2)nnann+=---------------

----------------------------------------------------------------3分又12a=符合1nnan+=---------------------------------------------------------------------

--------4分所以1nnan+=----------------------------------------------------------------------------------------5分(2)由(1)得12nnbn=+------------

-------------------------------------------------------------6分所以231234+++222212nnnnnS−++=+……①所以23411234++++2222212

nnnnnS++=+……②------------------------------------------------7分①-②得2341121111(+++)22222221nnnnS+−+=++-------

--------------------------------------8分11111()42112121nnn−+−−−+=+-------------------------------------------------------10分131(

1)222nnn++−=−所以332nnnS+−=-------------------------------------------------------------------------------

---12分19.本题考查直线与平面的位置关系、空间角、空间向量等基础知识;考查空间想象、运算求解、推理论证能力;考查数形结合思想、化归与转化思想等.本题满分12分.解:(1)依题11,,DEBEDEAEBEAEE⊥⊥=,所以DE⊥平面1AEB,-----------1分4则1AEB为二面角1

ADEB−−的平面角,即160AEB=,-----------------------------2分因为1EAEB=,所以1BEA△为等边三角形,取BE中点O,连接1OA,OC,CE,则1BEAO⊥,------------------------------------3

分因为BCBECE==,所以BEOC⊥,又1OCOAO=,所以BE⊥平面1OCA,----------------------------------------------------4分又1AC平面

1OCA,所以1BEAC⊥---------------------------------------------------------------------------------------5分(2)因为11,,DEEBDEAEEBAEE⊥⊥=,所以DE⊥面1AEB,从而

1DEAO⊥-----------------------------------------------------------6分因为DEBE⊥,BEOC⊥,所以DECO∥,所以1COAO⊥,所以1,,OCOBOA两两垂直以O为原点,以1,,OCOBOA的方向分别

为,,xyz轴的正方向,建立空间坐标系Oxyz−,如图所示------------------------------------------------------------7分则()()()()10,0,33,33,0,0,23,3,0,0,3,0ACDE−−,所以()1

0,3,33EA=,-----------------------------------------------------------------------------8分()()133,0,33,3,3,0ACCD=−=−−设平面1ACD的法向量(),,nxyz=,则10

,0,nACnCD==所以0,330xzxy−=−−=,令1y=,则平面1ACD的一个法向量()3,1,3n=−−,---------------------------------10分设直线1AE与平面1ACD所成角为,则10397si

ncos,767EAn+−===,xzyOBA1DCAE5则直线1AE与平面1ACD所成角的正弦值为77.--------------------------------------------12分20.本题考查椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识;考查运算求解

、逻辑思维能力;考查数形结合思想、化归与转化思想等.本题满分12分.解:(1)依题3tan3bAFBc==,2225ABab=+=,结合222abc=+-------------2分得222413abc===,所以22:14xy+=.-----------

------------------------------------------------------4分(2)OCD△的面积不可能大于1.理由如下:---------------------------------------

--------5分依题设直线:1,ACykx=+:(2),BDykx=−(0k).设(,)CCCxy,(,)DDDxy由221,44ykxxy=++=得()221480kxkx++=,所以281

4Ckxk−=+,从而222814,1414kkCkk−−++.---------------------------------------------------------------------------6分由22(2),44ykxxy=−+=得(

)222214161640kxkxk+−+−=,所以22164214Dkxk−=+,从而222824,1414kkDkk−−++.---------------------------------------

-----------------------------------7分记OCD△面积为S,COD=,则22221sin4SOCOD=-----------------------------------------------------------------------8

分()2221=1cos4OCOD−()22214OCODOCOD=−-------------------------------------------------------------9分()()()()2222221144DDCCCDCDCDDCxyxyx

xyyxyxy=++−+=−-------------------10分所以()222222224221182143213216212214142168114CDDCkkkkkSxyxykkkkk−−−−−=−

=−==+++++所以OCD△的面积不可能大于1.--------------------------------------------------------------12分21.本题考查相互独立事件的

概率等基础知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查分类与整合、概率统计等思想.本题满分12分.解:(1)记第i轮比赛丁胜、平、负的事件分别为iA,iB,(1,2,3)iCi=,每场比赛结果6相互独立。丁总分为7分,则丁

三场比赛两胜一平,记丁三轮比赛两胜一平的事件为D-------1分2123123123111()()()()3()()6336PDPAABPABAPBAA=++==---------------------------3分丁总

分7分一定出线-------------------------------------------------------------------------------4分理由如下:丁三场比赛中赢两场,这两场丁的对手比分最多6分.小组赛两队出线,所以丁一定出线.---------------

----------------------------------------------5分(2)第一轮比赛,甲胜乙,丙胜丁,又丁总分为6分,则丁对战甲、乙都获胜,此时,乙队总分最多3分,少于丁队总

分-------------------------------------------------------------6分①第二轮中若甲负于丙或平丙时,甲总分最多4分,少于丁队总分,此时甲、乙两队少于丁队总分,丁一定出线,其相应的概率1P=11111[()]336654+=-----

---------------7分②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时,丙总分最多4分,此时丙、乙两队少于丁队总分,丁一定出线,其相应的概率2P=111111()[()]36336162+=---------9分③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时,甲、丁

、丙队总分均为6分,此时由抽签确定出线,三队中有两队出线,每队出线概率为23,丁队出线的概率3P=111121()()36363486=----------------------------------------------11分

综上,丁以6分出线的概率为1231119311354162486486486PPP++++=++==---------12分22.本题考查函数及用导数研究函数的单调性、极值、最值等基础知识;考查运算求解、逻辑思维能力;考查

分类与整合、化归与转化等数学思想.本题满分12分.解:(1)依题意,1a=时1e()ln(0)xfxxxxx−=+−,所以1122(1)e1(1)(e)()1xxxxxfxxxx−−−−−=+−=,----------------------------------

----------2分记1()exqxx−=−,则1()e1xqx−=−,当01x时,()0qx,()qx单调递减;当1x时,()0qx,()qx单调递增;所以()(1)0qxq=,当且仅当1x=取等号,即1e0xx

−−,----------------------------3分所以()(),,xfxfx变化情况如下:x()0,11()1,+()fx−0+()fx单调递减极小值单调递增所以()fx的极小值为(1)=0f,无极大值.--------------------

---------------------------------5分7(2)1122e(1)1(1)(e)()1xxxxaxfxaxxax−−−−−=+−=,①当1a时,由(1)可知,1e0xx−−,当且仅当1x=取等号,所以当0x时

,11ee0xxaxx−−−−,所以当01x时,()0fx,()fx单调递减,当1x时,()0fx,()fx单调递增;所以()fx没有三个极值点,舍去.---------------------------

------------------------------------6分②当1a时,记1()exrxax−=−,1()exrxa−=−,所以当0ln1xa+时,()0rx,()rx单调递减;当ln1xa+时,()0rx,()rx单调递增;min()(l

n1)ln0rxraaa=+=−,1(0)0er=,(1)10ra=−,由零点存在性定理知存在唯一1(0,1)x,使得1()0rx=,即111exax−=,由(1)有1exx−,所以当2x时,有12e2xx−,所以222ee()2x

xx,取max2,ema=,则()121e()0eemmrmammamma−=−−=−,由零点存在性定理知存在唯一3(ln1,)xam+,使得3()0rx=,313exax−=由以上推理知1301ln1xax+,且有当10xx或3xx时,()0rx

;当13xxx时,()0rx,所以,(),()xfxfx变化情况如下:x1(0,)x1x1(,1)x13(1,)x3x3(,)x+()fx−0+0−0+()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()fx有三个极值点13,1,xx,(其中21x=)

----------------------------------------------8分此时131113e,e,xxaxax−−==两式相除得3131exxxx−=……①8设31(1,)xtx=+,……②由①②可得13lnln,11tttxxtt==−−所以13ln1tt

xxt=−,记ln()(1)1ttgttt=−,则2211(ln)(1)ln12(1)2()ln(1)12(1)ttttttttgtttttt+−−+−==−−−+−,设22(1)()ln(1)1trtttt−=−+,则222(1

)()0(1)trttt−=+,所以22()(1)0rtr=,从而()0gt,所以()gt在(1,)+上单调递减,又因为132ln2xx,即()(2)gtg,所以2t,---------------------------

------------------------------------------10分此时1ln1txt=−,记3ln()(2)1trttt=−,3211ln()(1)ttrtt−−=−,由(1)有1exx−,所以当0t

时有111ett−,111lntt−,所以11ln0tt−−,所以3()0rt,3()rt在)2,+单调递减,所以133()(2)ln2xrtr==,故10ln2x,---------------------------------------

---------11分此时111exax−=,记()()14e0ln2xrxxx−=,142e(1)()0xxrxx−−=,所以4142()(ln2)eln2arxr==,故a的最小值为2eln2.----------------------

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