【文档说明】2021年广东省春季高考数学模拟试卷（9）含解析.docx，共(19)页，607.912 KB，由小赞的店铺上传

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2021年广东春季高考数学模拟试卷(9)解析版注：本卷共22小题，满分150分。一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1．已知集合2,,0Aaa=，1,2B=，若1AB=，则实数a

的值为（）A．1−B．0C．1D．【答案】A【解析】【分析】根据1AB=，得1A，根据元素的互异性可知1a=−【详解】因为1AB=，所以1A，又2aa，所以0a且1a，所以21a=，所以1a=−(1a=已舍)，此时满足1AB=.故选：A【点睛】本

题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.2．若函数2(21)1yxax=+−+在区间(,2]−上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．3,2−+B．3,2−−C．5,2+D．5,2−

【答案】B【解析】【分析】比较抛物线的对称轴和区间的关系得1222a−，即可求得答案.【详解】函数2(21)1yxax=+−+是开口向上的抛物线，对称轴为122ax−=保证在区间(,2]−上是减函数，则1222a−32a−即3,2a−−.故选:B.【点睛】本

题考查了根据二次函数单调区间判断参数范围，掌握二次函数图像特征是解题关键，属于基础题.3．函数()ln26fxxx=+−的零点一定位于区间（）A．()1,2B．()2,3C．()3,4D．()4,5【答案】

B【解析】【分析】函数()fxlnx2x6=+−在其定义域上连续，同时可判断f（2）＜0，f（3）＞0；从而可得解．【详解】函数f（x）＝lnx2x6+−在其定义域上连续，f（2）＝ln2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0

，f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数()fxlnx2x6=+−的零点在区间（2，3）上，故选B．【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．4．已知向量(

4sin,1cos),(1,2)ab=−=−,若2ab=−,则22sincos2sincos=−()A．1B．1−C．27−D．12−【答案】A【解析】【分析】利用ab的坐标运算列方程求出1tan2=−，再将22sincos2sincos−变形，用t

an表示出来，代入tan的值即可.【详解】由2ab=−，得4sin2(1cos)2−−=−，整理得1tan2=−，所以2221sincostan2112sincos2tan112−===−−−

，故选：A.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.5．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若sincos43ABab=，则cosB=（）A．45−B．35C．34D．45【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得3sinsin4sincosB

AAB=，化简后求出tanB，然后求出cosB即可．【详解】sincos43ABab=，3sinsin4sincosBAAB=，sin0A，3sin4cosBB=，4tan3B=，3cos5B=．故选B．【点睛】本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本

关系，属于基础题．6．下面结论正确的是（）A．若四边形ABCD内一点O满足OAOCOBOD+=+，则ABCD是平行四边形B．若a，b是单位向量，ab=C．12(3,5),(6,10)ee==，则1e和2e可以作为一组基底

.D．若acbc=，则ab=【答案】A【解析】【分析】对A化简向量式可得BACD=，可确定ABCD是平行四边形；对B由单位向量的定义进行判断；对C按基底的性质判断；对D根据数量积的定义判断；【详解】由OAOCOBOD+=+，得BACD=，

故四边形ABCD是平行四边形，A正确；单位向量未规定方向，故,ab不一定相等，B错误；12(3,5),(6,10)ee==，则212ee=，1e和2e共线，不能作为一组基底，C错误；若acbc=，则||cos,||cos,aacbbc=，即a在c方向的投影与b

在c方向的投影相等，不一定有ab=，D错误.故选：A.【点睛】本题考查了向量的概念，向量的共线，数量积的定义，属于基础题.7．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，

第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，，依次类推，根据图案中点的排列规律，第10个图形由多少个点组成（）A．89B．91C．95D．98【答案】B【解析】【分析】利用累加法求出数列

的通项公式即可求解.【详解】记此图案的点数为na，11a=则2131221aa−=−==，3273422aa−=−==，43137623aa−=−==，，()121nnaan−−=−，将上式相加可得()()()211112123

122nnnaannn−+−−=+++−==−，所以21nann=−+，所以2101010191a=−+=.故选：B【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了基本运算能力，属于基础题.8．已知实数m，n满足2

2mn+=，其中0mn，则12mn+的最小值为（）A．4B．6C．8D．12【答案】A【解析】实数m，n满足22mn+=，其中0mn121121414(2)()(4)(42)4222nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=,当且仅当422,nmmnmn=

+=，即22nm==时取等号.12mn+的最小值是4.所以A选项是正确的.点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；

②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件22mn+=化为1，即112112(2)1,(2)()22mnmnmnmn+=+=++.9．下列说法不正确的

．．．．是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.【答案】D【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平

面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了10．已知点P是直线3450xy++=上的动点，点Q为圆()()22224xy−+−=的动点，则PQ的最小值为（）．A．19

5B．95C．59D．295【答案】B【解析】【分析】由题意可知，PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径的差即为所求【详解】解：圆()()22224xy−+−=的圆心为(2,2)，半径为2，则圆心到直线

3450xy++=的距离为6851955++=，所以PQ的最小值为199255−=．故选：B．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题11．用系统抽样方法从编号为1，

2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，按照等间隔抽取的方法，则第5段中被抽中的学生编号为（）A．48B．62C．76D．90【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样等距性，结合等差数列求解编号.【详解】

根据系统抽样等距性，所以各段中被抽中的学生编号依次构成公差为700=1450的等差数列，因此第5段中被抽中的学生编号为20(52)1462+−=，故选：B【点睛】本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.12．把一个正四面体的骰子（它的

4个面上分别写有1，2，3，4）随机抛两次，记第一次的底面上的点数大于第二次的底面上的点数为事件A，则事件A的概率为（）A．116B．316C．38D．34【答案】C【解析】【分析】根据枚举法列出所以的基本

事件，再分析概率即可.【详解】设第一次的底面上的点数为横坐标，第二次的底面上的点数为纵坐标，列出如下的表格，共16个点，事件A对应的点有6个，所以事件A的概率为63168=．12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(

2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)故选：C【点睛】本题主要考查了利用枚举法求解古典概型的问题，属于基础题.13．已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（）A．4B．4C．

2D．2【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为a，根据侧面积相等，可得圆柱的底面半径为2aR=，再根据体积公式可得答案.【详解】设正方体的棱长为a，则圆柱的高为a，设圆柱的底面半径为R，则正方体的侧面积为24a，圆柱的侧面积为2Ra，所以242aRa=，所以2aR=，所以正方

体和圆柱的体积之比为32aRa322aaa==4.故选：B.【点睛】本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题.14．已知na是公差为2的等差数列，nS为na的前n项和．若2a，5a，17a成

等比数列，则7S=（）A．73B．42C．49D．7【答案】B【解析】【分析】由2a，5a，17a成等比数列，可得25217aaa=，再利用等差数列的通项公式化简可得10a=，再利用等差数列前n项和公式即可得7S.【详解】因为2a，5a，17a成等比数列，所以25217aa

a=，又na是公差为2的等差数列，所以2111(4)()(16)adadad+=++即2111(8)(2)(32)aaa+=++，即111634aa=，可得：10a=，所以717677042422Sad=+=+=，故选：B【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项

公式和前n项和公式，属于基础题.15．函数y=2xsin2x的图象可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin2xfxx=，因为,()2sin2()2sin2()xxxRfxxxfx−−=−=

−=−，所以||()2sin2xfxx=为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x时，()0fx，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数

的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．二、填空题16．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第_________象限角．【答案】

第三象限角【解析】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0且tanα＞0，则α是第三象限角．考点：三角函数值的象限符号.17．已知向量a、b，满足2a=，且1ab=−，则

()aab−=______.【答案】5【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得()aab−的值.【详解】由平面向量数量积的运算性质可得()()22215aabaab−=−=−−=.故答案为：5.【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算性质计算平面向量的数量积，考查计算能力，

属于基础题.18．不等式组3020xxyxy+−+，，„……表示的平面区域的面积等于____________.【答案】16【解析】【分析】画出可行域并计算出三条直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算出平面

区域的面积.【详解】画出可行域如下图所示，经计算得()()()1,1,3,3,3,5ABC−−,围成的区域为三角形ABC，故面积为()()15331162++=.故填：16.【点睛】本小题主要考查线性约束条件表示区域面积的求

法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.19．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的

体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4．若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为__________．【答案】12【解析】【分析】根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.【详解】因为“牟合方盖”的体积

为163，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4，所以正方体的内切球的体积V球164433==，所以内切球的半径1r=，所以正方体的棱长为2，所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即22

3R=，所以3R=，所以正方体的外接球的表面积为2244(3)12SR===．故答案为：12.【点睛】本题以数学文化为背景，考查正方体与球的“内切”“外接”问题，掌握它们之间的关系是解题的关键，属于基础题.三、解答题20．已知函数()()3sin2cos21fxxxxR=+

−.（1）写出函数()fx的最小正周期以及单调递增区间；（2）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若()30,2fBBABC==，且4ac+=，求b的值.【答案】（1）T=，,,36kkkZ−+；（2）7b=【解析】【分析】（1）利用

辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性直接求解即可；（2）由()0fB=可以求出B，再由平面向量的数量积的定义可由32BABC=uuruuur求出ac的值，结合4ac+=、余弦定理可以求出b的值.【详解】解：（1）()2

sin216fxx=+−，所以()fx的最小正周期22T==，222()262,()36kxkkZkxkkZ−−+++，所以()fx的单调递增区间是,,36kkkZ

−+；（2）()2sin2106BfB=+−=，故1sin262B+=，所以2266Bk+=+或522,66BkkZ+−+，因为B是三角形内角，所以3B=；而3cos2BABCacB

==，所以，3ac=，又4ac+=，所以2210ac+=，所以，2222cos7bacaB+−==，所以7b=.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的最小正周期和单调性，考查了余弦定理、平面向量数量积的定义，考查了特殊角的三角函

数值,考查了数学运算能力.21．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，2,22,ADPACDEF、===分别是AB、PD的中点．(1)求证：AF⊥平面PCD．(2)求三棱锥PEFC−的体积．【答案】（1

）详见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）先根据PA⊥平面ABCD可得CDPA⊥，结合CDAD⊥可得CD⊥平面PAD，从而AFCD⊥，再根据PAD为等腰直角三角形及F为PD的中点得到AFPD⊥，从而可证AF⊥平面PCD.（2）取PC的中点为G，连接,FGEG，可证EG⊥平

面PFC，从而可计算PEFCV−.【详解】∵2PAAD==，F为PD中点，∴AFPD⊥.∵PA⊥平面ABCD,又CD平面ABCD.∴PACD⊥.∵ADCD⊥,PAADA=,∴CD⊥平面PAD.∵AF平面PAD.∴AFCD⊥.∵PDCDD=，∴AF⊥平

面PCD.（2）取PC的中点G,连接EG、GF，则GF∥CD，12GFCD=.又EA∥CD，12EACD=，∴AE∥GF，AEGF=.∴四边形AEGF为平行四边形.∴EG∥AF，由（1）AF⊥平面PD

C，∴GE⊥平面PCD，EG为三棱锥EPFC−的高.又2GFAFEG===，122PFPD==.122PCFSPFCD==.得三棱锥PEFC−的体积12233PCFVSEG==.【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意

线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算22．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为()Cx，当年产量不

足80千件时，21()103Cxxx=+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450Cxxx=+−（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()Lx（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少

千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）2140200,0803()100001250,80xxxLxxxx−+−=−+（2）100千件【解析】【分析】（

1）根据题意，分080x，80x两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051000x万元，依题意得：

当080x时，2211()(0.051000)102004020033=−+−=−+−Lxxxxxx．当80x时，10000()(0.051000)511450200Lxxxx=−+−−1

00001250=−+xx所以2140200,0803()100001250,80xxxLxxxx−+−=−+（2）当080x时，21()(60)10003Lxx=−−+．此时，当60x=时，()Lx取得最

大值(60)1000L=万元．当80x时，1000010000()125012502Lxxxxx=−+−12502001050=−=．此时10000xx=，即100x=时，()Lx取得最大值1050万元．由于10001050，答：当年产量为10

0千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1050万元【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.