【文档说明】安徽省六安市舒城县2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(12)页，1.097 MB，由小赞的店铺上传

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舒城县2020－2021学年度第二学期期末质检高一数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若复数z满足2izi=−，则||z=（）A.1B.2C.3D.52.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是

必然事件的是（）A.3个都是篮球B.至少有1个是排球C.3个都是排球D.至少有1个是篮球3.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果,ABaADb==，那么向量MN=（）A.1122ab−B.1122ab−+C.

12ab+D.1122ab−−4.某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（）A.甲班不及格率高于乙班不及格率B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩C.甲班学生比乙班学生发挥稳定D.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数5.口

袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（）A.0.32B.0.45C.0.64D.0.676.已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是

一个半圆，则此圆锥的体积为（）A.33B.33C.3D.37.设m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列说法错误的是（）A.若m⊥，n⊥，则m//n；B.若//，m⊥，则m⊥；C．若m//，n//，则m//n；D.若m⊥，m//，则⊥．8.“幸福感指数

”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位舒城县居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（）A.7.5B.8C.8.

5D.99.若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，那么△ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形10.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，点P是以AB为直径的圆弧上任一点．则AEAP的最大值为（）A.4B.5C

.25D.2＋511.【市示范选做】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m＋n，当t＝4时的概率是（）A.14B.112C.536D.1911.【省示范选做】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m

，n，记t＝m＋n，则下列说法正确的是（）A.事件“t＝12”的概率为121B.事件“t是奇数”与“m＝n”互为对立事件C.事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件D.事件“t＞8且mn＜32”的概率为1412.【市示

范选做】如图，正方体ABCDABCD−的棱长为1，则下列四个命题错误的是（）A.若点M，N分别是线段,AAAD的中点，则//MNBCB.点C到平面ABCD的距离为2C.直线BC与平面ABCD所成的角等于4D.三棱柱AADBBC−的外接球的表面

积为312.【省示范选做】如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则下列结论错误的是（）A.AP⊥EFB.点P在平面AEF内的射影为△AEF的垂心C.二面角A

－EF－P的余弦值为13D.若四面体P－AEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概

率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：4889328124589894312573900245567341135375696

83907966191925271据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为．14.已知||3,(1,0)ae==，向量a与向量e的夹角为23，则向量a在向量e方向上的投影向量的坐标为．15.【市示范选做】

一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213），若,,{1,2,3}abc，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为．15.【省示范选做】一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当

a＞b，b＜c时称为“凹数”如213），若,,{1,2,3,4}abc，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为．16.【市示范选做】如图，在三棱锥V－ABC中，AB＝22，VA＝VB，AC＝BC，VC＝1，且AV⊥BV，AC⊥BC，则二面角V－

AB－C的余弦值是．16.【省示范选做】已知正方体1111ABCDABCD−棱长为4，P是1AA中点，过点1D作平面，满足CP⊥平面，则平面与正方体1111ABCDABCD−的截面周长为．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分

）已知122,34zaizi=+=−（其中i为虚数单位）（1）若12zz为纯虚数，求实数a的值；（2）若121zzz−（其中2z是复数2z的共扼复数），求实数a的取值范围．18.（本小题满分12分）某校命制了一套调査间巻（试卷

满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试，先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计50名学生的成绩的

平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次成绩不低于70分的人数．19.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，2||2,||1,,(1,3)3OAA

BOABBC====−．（1）求点B，点C的坐标；（2）求四边形OABC的面积．20.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3（1）设G，H分别为PB，AC的中

点，求证：GH∥平面PAD；（2）求证：PA⊥平面PCD．21.【市示范选做】（本小题满分12分）甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）两人都射中的概率；（2）两人中至少有一

人射中的概率．21.【省示范选做】（本小题满分12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了

垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．（1）求p和q的值；（2）试

求两人共答对3道题的概率．22.【市示范选做】（本小题满分12分）某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形ABCD为儿童娛乐设施建筑用地，AB＝AD＝2CD＝6，BC＝9（1

）求儿童娱乐设施建筑用地的面积；（2）若A，C，D不动，在圆弧ABC上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积最大，并求出最大值．22.【省示范选做】（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯

视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知，AD＝6m，AE＝6m，AP＝2m，∠MPN＝4．记∠

EPM＝（rad），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S2m．（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据：5tan34）（2）求S的最小值．参考答案一、选择题题号1234567891011市11省12市12省答案DDBABACCBDBDBD二、填空题0.3；14、3(

,0)2−；15市、13；15省、13；16市、34；16省、45＋62．三、解答题17、【解析】（1）由12zai=+，234zi=−，得122(2)(34)384634252525zaiaiiaaizi+++−+===+−，－－－－－－3分12zz为纯虚数，38025a−=，且46025a

+，83a=．－－－－－－－5分（2）12(2)(34)(3)2zzaiiai−=+−+=−−，－－－－－－－6分121zzz−，22121zzz−，即()22344aa−++，－－－－－－8分解得32a．－－－－－－－10分18、（1）由频率分布直方图得，第4

组的频率为为1﹣（0.01＋0.03＋0.03＋0.01）×10＝0.2，所以x＝0.02；－－－－－－－2分所以抽到50名学生成绩的平均数为X＝（55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01）×10

＝74；由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，－－－－－－－5分前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，所以中位数在第3组；设中位数为t分，则有（t﹣70）×0.03＝0.1，解得t＝2003；所以所求中位数是2003．－－－－－－－8分（2）由（1）知50学生中不低于70分的

的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6＝1200（人）．－－－－－－－12分19、【解析】（1）在平面直角坐标系xOy中

，设12(,)Bxy，则因为||2|2||2OAAB===，所以A（2，0）．－－－－－－－－－2分又23OAB=．所以252cos()32Bx=+−=，230sin()32By=+−=所以点53(,)22B．－－－－－－－－4分又(1

,3)BC=−，所以53333(1,3)(,)2222OCOBBC=+=−+=，所以点333(,).22C－－－－－－－－6分由（1）可得333(,)22OC=，13(,)22AB=，－－－－－－－8分所以3,//.OCABOCAB=又||

132||BCOA=+==，所以四边形OABC为等腰梯形，－－－－－－－10分如图，延长CB交x轴于点D，则DC＝DO，BD＝AD．又233BAD=−=，则OCD，ABD均为等边三角形．∴四边形OABC

的面积2233312344OCDABDSSS=−=−=－－－－－－－－12分20、【解析】（1）证明：连接BD，易知ACBDH=，BHDH=．又由BGPG=，故//GHPD．又因为GH平面PAD，PD平面PAD，所以//GH平面PAD；

－－－－－－－－6分（2）证明：如图，取棱PC的中点N，连接DN．依题意得DNPC⊥，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC平面PCDPC=，DN平面PCD，所以DN⊥平面PAC，又PA平面PAC

，故DNPA⊥．又已知PACD⊥，CDDND=，所以PA⊥平面PCD；－－－－－－－12分【市示范选做】设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B．事件A与B是相互独立的．（1）两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72.－

－－－－－－5分（2）两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有击中的概率，∴所求的概率等于1﹣P（AB）＝1﹣P（A）•P（B）＝1﹣0.2×0.1＝0.98.－－－－－－－12分21、【省示范选做】【详解】（1）设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，则()PAp=，()

PBq=．设C={甲、乙二人均答对第一题}，D={甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则CAB=，DABAB=+．由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，AB与AB相互互斥，所以()()()()PCPABPAPB==，()()PDPABAB=+(

)()()()()()()()()()()()11PABPABPAPBPAPBPAPBPAPB=+=+=−+−．由题意可得()()1,2511,12pqpqqp=−+−=即1,217.12pqpq=+=解得3,4

2,3pq==或2,33.4pq==由于pq，所以34p=，23q=．（2）设=iA{甲同学答对了i道题}，iB={乙同学答对了i道题}，0i=，1，2.由题意得，()11331344448P

A=+=，()23394416PA==，()12112433339PB=+=，()2224339PB==．设E={甲乙二人共答对3道题}，则1221EABAB=+．由于iA和iB相互独立，12AB与21AB相互互斥，所以()()()()()()(

)12211221349458916912PEPABPABPAPBPAPB=+=+=+=．所以，甲乙二人共答对3道题的概率为512．22、【市示范选做】．【解析】（1）连接AC（图略），由题意可得ABCADC+=，则coscos0ABCADC+=．①由余弦定

理可得222222cos2cosACABBCABBCABCADCDADCDADC=+−=+−，则2222269269cos63263cosACABCADC=+−=+−．②由①②可得11cos,cos22ABCADC==−，从而2,33ABC

ADC==．故四边形ABCD的面积为111313sinsin6963222222ABBCABCADCDADC+=+183=．（2）由余弦定理可得222163263632AC=+−−=．由（1）可得3AEC=，由余

弦定理可得222ACAECEAECEAECE=+−…，则63AECE„，从而△AEC的面积113633sin244SAECEAECAECE==„．由（1）可知△ACD的面积为2932S=，则儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积为128134SS+„．

22、【省示范选做】【解析】（1）解法1：在PME△中，EPM=，4mPEAEAP=−=，4PEM=，34PME=−，由正弦定理得sinPMPEPEMPME=，所以sin2243sinsincossin4PEPEMPMPME

===+−．－－－－－－2分同理，在PNE△中，由正弦定理得sinsinPNPEPENPNE=，所以sin2222sincossin2PEPENPNPNE===−．－－－－－－－4分所以

PMN△的面积1sin2SPMPNMPN=24cossincos=+41cos21sin222=++8sin2cos21=++82sin214=++，当M与E重合时，0=；当N与D重合时，tan3APD=，即54APD

=，3544=−，所以35044−．综上，可得82sin214S=++，350,44−．－－－－－－－－6分解法2：在PME△中，EPM=，4mPEAEAP=−=，4PEM=，3

4PME=−，由正弦定理可知，sinsinMEPEPME=，所以sin4sin42sin3sinsincossin4PEMEPME===+−．－－－－－－－2分在PNE△中，由正弦定理

可知sinsinNEPEEPNPNE=，所以()sin4sin22sincos44coscossin2PENE+++===−．－－－－－－－－－

4分所以()22sincoscosMNNEME+=−=．又点P到DE的距离为4sin224d==，所以PMN△的面积12SMNd=24cossincos=+41cos21sin222=++8sin

2cos21=++82sin214=++，当M与E重合时，0=；当N与D重合时，tan3APD=，即54APD=，3544=−，所以35044−．综上，可得82sin2

14S=++，350,44−．－－－－－－－6分（2）357100,2,,44444−−+，－－－－－－－8分当242+=，即350,844=−时，ma

xsin214+=－－－－－－－10分S取得最小值为()882121=−+．所以可视区域PMN△面积的最小值为()2821m−．－－－－－－12分