【文档说明】安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，2.448 MB，由小赞的店铺上传

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马鞍山市第二中学2023级高二年级9月练习数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()1i2iz−=+，则复数z的虚部为（）A.32B.32−C.

3i2D.3i2−【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，即可判断其虚部.【详解】因为()1i2iz−=+，所以()()()()2i1i2i13i1i1i1i22z+++==+−−+

=，故z的虚部为32.故选：A.2.已知向量()2,1BC=，()0,1AB=−，则AC=（）A.2B.3C.2D.22【答案】A【解析】【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得()2,0AC=，再求其模.【详解】根据题意，()()()0

,12,12,0ACABBC=+=−+=，所以22202AC=+=.故选：A3.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（）比赛成绩678910班级数35444A.8.5B

.9C.9.5D.10【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可.【详解】因为80%2016=，所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是9109.52+=.故选：C.4.设,mn是两条不同的直线，,

是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若,m⊥∥，则m⊥B.若m∥,n⊥，则mn⊥C若,⊥⊥mnn，则m∥D.若∥,,mm∥n，则n∥【答案】B【解析】【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断.【详

解】对于A，如图，,m⊥∥，此时m，故A错误；对于B，若m，面内可以找一条直线c，使得mc；而n⊥，n与内任意一条直线c都垂直，则nc⊥，则mn⊥.故B正确；对于C，如图，,⊥⊥mn

n，此时m，故C错误；对于D，如图，∥,,mm∥n，此时n，故D错误．.故选：B.5.一个射手进行射击，记事件1A=“脱靶”，2A=“中靶”，3A=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（）A.1A

与2AB.1A与3AC.2A与3AD.以上都不对【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.详解】射手进行射击时，事件1A=“脱靶”，2A=“中靶”，3A=“中靶环数大于

4”，事件1A与2A不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件1A与2A是互斥且对立，A不是；事件1A与3A不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件1A与3A是互斥不对立，B是；事件2A与3A可以同时发生，即事件2A与3A不互斥不对立，C不是，显然D不正确.故选：B

6.在ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a=，1b=，1cos3C=−，则边c上的高为（）A.62B.63C.32D.33【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理可得23c=，再根据三角形的面积列方程即可得解

.【详解】由余弦定理可知2222212cos31231123cababC=+−=+−−=，即23c=，又1cos3C=−，()0,πC，【则22sin3C=，所以ABCV的面积1122sin312223

ABCSabC===，又ABCV面积12ABCSch=，即12232h=，解得63h=，故选：B.7.如图，AOBV是由斜二测画法得到的AOBV水平放置的直观图，其中2OAOB==，点C

为线段AB的中点，C对应原图中的点C，则在原图中下列说法正确的是（）A.0OCAB=B.AOBV的面积为2C.OC在OB上的投影向量为2OBD.与AB同向的单位向量为510AB【答案】D【解析】【分析】根据题意

画出原图，然后逐个分析判断即可.【详解】根据题意可知原图如图所示，其中==OA2,OB4，则(2,0),(0,4)AB，因为点C为线段AB的中点，所以C为AB的中点，则(1,2)C，对于A，因(1,2),(2,

4)OCAB==−，所以2860OCAB=−+=，所以A错误，对于B，1124422AOBSOAOB===，所以B错误，对于C，因为(1,2),(0,4)OCOB==，所以OC在OB上的投影向量为81442OCOBOBOBOBOBOB==，

所以C错误，对于D，因为(2,4)AB=−，所以与AB同向的单位向量为225102524ABABABABAB===+，所以D正确.故选：D8.如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度MN，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB，高为a米，在地面

上点C处（,,BCN三点共线）测得建筑物顶部A，钟楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得钟楼顶部M的仰角为，则钟楼的高度为（）米.A.()()sinsinsinsina+−B.()()sinsinsinsinaa

++−C.()()sinsinsinsina+−D.()()sinsinsinsinaa++−【答案】C【解析】【分析】利用RtACB△求出AC，在MAC△中利用正弦定理求出MC，最后借助于RtMCN△中三角函为数的定义即可求得钟楼的高度MN

.【详解】如图所示，在RtACB△中，sinaAC=，在MAC△中，,π()MACMCA=+=−+,则π[π()]CMA=−−+++=−，由正弦定理，sinsinACMCCMAMAC=，故得sin

()sin()sin()sinsin()ACaMC++==−−,在RtMCN△中，sin()sinsinsinsin()aMNMC+==−.故选：C.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（）A.若甲､乙两组数据的

平均数分别为12,xx，则12xxB.若甲､乙两组数据的方差分别为2212,ss，则2212ssC.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差【答案】ACD【解析】【分析】对四个选项

一一判断：根据散点图直接判断选项A、B、D；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C.【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以12xx，故选项A正确；由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得22

12ss.故选项B错误；因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数，由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上，而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数.

故选项C正确；因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确.故选：ACD.10.在复平面内，下列说法正确的是（）A.复数12zi=−，则z在复平面内对应的点位于第一象限B.若复数2

212zz=，则12=zzC.若复数12,zz满足1212zzzz+=−，则120zz=D.若复数z满足13z，则复数z对应的点所构成的图形面积为2π【答案】ABD【解析】【分析】A选项，得到12iz=+，确定其对应的点为()1,2，A正确；B选项，设1izab=

+，2izcd=+，得到2222,abcdabcd−=−=，从而求出2222+=+abcd，所以12=zz；C选项，举出反例；D选项，求出复数z对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积.【详解】A选项，复数12zi=−，则12iz=+，故12iz=+在复平面内对应

的点为()1,2，位于第一象限，A正确；B选项，设1izab=+，2izcd=+，2212zz=，则()()22iiabcd+=+，即22222i2iababcdcd−+=−+，故2222,abcdabcd−=−=，2

222abcd−=−两边平方得4224422422aabbccdd−+=−+，故4444abcd+=+，所以4224422422aabbccdd++=++，即()()222222abcd+=+，故2222+=+abcd，

其中222212,zabzcd=+=+，故12=zz，B正确；C选项，设复数12,1i1izz=+=−，满足12122zzzz+=−=，但()()121i1i112zz=+−=+=，C错误；D选项，1z表示原点为圆心，1为半径的圆的外部，3z表示原点为

圆心，3为半径的圆的内部，则复数z对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界），故面积为()22π3π12π−=，D正确.故选：ABD11.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，1,AB

E=为棱AB上的动点，DF⊥平面1,DECF为垂足，下列结论正确的是（）A.1FDFC=B.二面角1DCED−−的正切值的最大值为2C.三棱锥1CDED−的体积为定值D.三角形1AEC的周长最大值为35+【答案】AC【解析】【分析】连接1DC交1CD于点O，利用线面垂直

的判定性质证得1OFCD⊥判断A；求出二面角1DCED−−的正切值表达式判断B；利用等体积法推理判断C；举例说明判断D.【详解】对于A，在正方体1111ABCDABCD−中，连接1DC交1CD于点O，连接

OF，则1DOCD⊥，由DF⊥平面1DEC，1CD平面1DEC，得1CDDF⊥，而,,DFDODDFDO=平面DOF，则1CD⊥平面DOF，又OF平面DOF，于是1OFCD⊥，又O为1CD的中点，因此1FDFC=，A正确；对于

B，过D作DGCE^于G，连接1DG，由1DD⊥平面ABCD，CE平面ABCD，得1DDCE⊥，而11,,DDDGDDDDG=平面1DDG，则CE⊥平面1DDG，又1DG平面1DDG，于是1DGCE⊥，1DGD是二面角1DCED−−的平面角，1122DCESDGCE==，1

DGCE=，11tan2DDDGDCEDG==，当E与A重合时取等号，B错误；对于C，由//AB平面1CDD，E为棱AB上的动点，得点E到平面1CDD的距离为定值1，而1CDD面积为定值，则三棱锥1CDED−的体积11C

DEDECDDVV−−=为定值，C正确；对于D，当点E与A重合时，1AEC△的周长为1131235ACAAAC++=+++，D错误.故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆台的母线长为2，上､下底面半径分别为2，3，则该圆台的体积为__________.【答案】

19π3##19π3【解析】的【分析】首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的母线长为2，上､下底面半径分别为2，3，所以圆台的高()()222321h=−−=，所以圆台的体积()2222119ππ2π3π2π3133V=++=.故答案为：19π313

.在直角三角形ABCV中，90,2,4===AABAC，点P在ABCV斜边BC的中线AD上，则PBPC的取值范围为__________.【答案】5,0−【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算

律计算即得.【详解】在ABCV中，由90,2,4===AABAC，得2225BCABAC=+=，由点P在ABCV斜边BC的中线AD上，得||[0,5]PD，得222()()5[5,0]PBPCPDDBPDDBPDDBPD=+−=−=−−.故答案为：5,0−14.空间四边形ABCD

中，2,1,3ABBCCDAD====，且异面直线AD与BC成60o，求异面直线AB与CD所成角的余弦值为______.【答案】12##0.5【解析】【分析】先得到ADBCABCD−=+，两边平方后，结合边长和直

线AD与BC所成角得到方程，求出1cos,2ABCD=或cos,2ABCD=，舍去不合要求的解，得到答案.【详解】因为ADABBCCD=++，所以ADBCABCD−=+，两边平方得222222ADADBC

BCABABCDCD−+=++，2,1,3ABBCCDAD====，且异面直线AD与BC成60o，故13cos603122ADBCADBC===，或13cos1203122ADBCADBC==−=−，所以931422cos,1ABC

D−+=++，或931422cos,1ABCD++=++，解得1cos,2ABCD=，或cos,2ABCD=（舍去），所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为12.故答案为：12四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或

演算步骤.15.在ABCV中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知2cos3sinacbCbC+=+.（1）求角B；（2）若3b=，求ABCV周长的最大值.【答案】（1）2π3（2）323+【解析】【分析】（1）由正弦定理、两角和正弦公式化

简已知得3sincos2BB−=，再利用辅助角及特殊角求值即可.（2）利用正弦定理把周长化为π23sin33LA=++，利用正弦函数的性质即可求解最值.【小问1详解】因为2cos3sinacbCbC+=+，整理得，sin

2sinsincos3sinsinACBCBC+=+，即()sin2sinsincos3sinsinBCCBCBC++=+，即cossin2sin3sinsinBCCBC+=，因为()0,π,sin0CC，可得3sincos2BB−=，所以πsin16B−=

，结合()0,πB，解得ππ62B−=，所以2π3B=；【小问2详解】因为3232πsinsinsinsin3abcABC====，所以23sin,23sinaAcC==，所以周长2π23sin23sin323sinsin33LabcACAA

=++=++=+++1323sincos322AA=++π23sin33A=++，当π6A=时，πsin13A+=，故ABCV周长的最大值为323+.16.漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文

化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名

游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：))40,50,50,60,,90,100得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；（2）已知满

意度分值落在)70,80的平均数175z=，方差219s=，在[80,90)的平均数为285z=，方差224s=，试求满意度分值在)70,90的平均数z和方差2s.【答案】（1）0.030a=，众数为85，中位数为82（2）平均数为81；方差为30【解析】【分析】（1）根

据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合众数和中位数的含义即可求得它们的值；（2）根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案.【小问1详解】由频率分布直方图可得，()0.0050.01020.0200.025101a++++

=，解得0.030a=，由频率分布直方图可估计众数为85，满意度分值在)40,80的频率为()0.0050.01020.020100.450.5++=，在)40,90的频率为()0.0050.01020.0020.030100.750.5+++=

，所以中位数落在区间[80,90)内，所以中位数为0.50.452458010820.33−+=.【小问2详解】由频率分布直方图得，满意度分值在)70,80的频率为0.02100.2=，人数为20；在[80,90)的频率为

0.03100.3=，人数为30，把满意度分值在)70,80记为1220,,,xxx，其平均数175z=，方差219s=，在[80,90)内记为1230,,,yyy，其平均数285z=，方差224s=，所以满意度分值在)70,90的平均数12203020753085815050zz

z++===，根据方差的定义，满意度分值在)70,90的方差为()()203022211150ijijsxzyz===−+−()()203022112211150ijijxzzzyzzz===−+−+−+−

由()20201111200iiiixzxz==−=−=，可得()()()()2020111111220iiiixzzzzzxz==−−=−−=，同理可得()()3022120jjyzzz=−−=，因此，()()()()2020303022222112211111

50ijiijjsxzzzyzzz=====−+−+−+−()()2222112220305050szzszz=+−++−2220309(7581)4(8581)305050=+−++−=17.

已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12.（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i）写出该试验的样本空间；（ii）设置游戏规则如下：若取到两个

球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1；（2）（i）答案见解析；（ii）游戏不公平理由见解析【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球

、蓝球为事件,,ABC，根据,,ABC为两两互斥事件，由()()()13()()41()()2PAPBPCPAPBPBPC++=+=+=求解.（2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示

黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(,)mn表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解.【小问1详解】解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件,,ABC，因为,,ABC为两两互

斥事件，由已知得()()()13()()41()()2PAPBPCPAPBPBPC++=+=+=，解得1()21()41()4PAPBPC===.∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1；【小问2详解】（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个

数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(,)mn表示试验的样本点，则样本空间{(1,1),(1,2),(1,),(1,),(2,1),(2,2),(2,),(2,),(,1),

(,2),ababaa=(,),(,),(,1),(,2),(,),(,)}aaabbbbabb.（ii）由（i）得()16n=，记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则()6

nM=，所以63()168PM==所以35()1()188PNPM=−=−=因5388，所以此游戏不公平.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面,PCDPDPC⊥，点M为AB中点.（1）证明：平面P

BC⊥平面PAD；为（2）求CM与平面APC所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）100,10【解析】【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证得AD⊥平面PCD，进而由线面垂直

的性质定理得ADPC⊥，最后利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）过点P作PHCD⊥交CD于点H，则PH⊥平面ABCD，利用等体积法求得点M到平面PAC的距离，然后利用线面角的定义结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】证明：因为平面ABCD⊥平面PCD

，平面ABCD平面PCDCD=，且ADCD⊥，所以AD⊥平面PCD，又PC平面PCD，所以ADPC⊥，又,,PDPCPDADDPD⊥=平面,PADAD平面PAD，所以PC⊥平面PAD.又PC平面P

BC，所以平面PBC⊥平面PAD.【小问2详解】设2,,ABPCaPDb===，由（1）知PC⊥平面PAD，又PA平面PAD，所以PCPA⊥，所以211422APCSPAPCab==+，过点P作PHCD⊥交CD于点H，则平面ABCD⊥平面PCD

，平面ABCD平面PCDCD=，且PHCD⊥，所以PH⊥平面ABCD，且2abPH=，设点M到平面PAC的距离为d，则由PACMMPACVV−−=，可得1133ACMPACSPHSd=，即211114323

2ababd=+，解得24bdb=+，所以CM与平面APC所成角的正弦值为()22145451dbCMbb==++，因为()0,2b，所以()2412,b++，故21100,41051b+，所以CM与平面A

PC所成角的正弦值的取值范围是100,10.19.在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列()123:,,,,nAnAAAA与()123:,,,,nBnBBBB，其中3n，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②11ii

iiAABB++⊥，其中i1,2,3,,1n=−，则称()An与()Bn互为正交点列.（1）求()()()()1233:1,1,4,1,6,1AAAA−的正交点列()3B；（2）判断()()()()()12344:0,0,1,2,0,4,1,6AAAAA

是否存在正交点列()4B？并说明理由.【答案】（1）()()()1231,1,3,4,6,1BBB（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由正交点列的定义可知()()131,1,6,1BB，设()2,,Bxy，由正交点列的定义可知121223230,0AABBAAB

B==，求解即可.（2）设点列1234,,,BBBB是点列1234,,,AAAA的正交点列，则可设()()()1212323431232,1,2,1,2,1,,,BBBBBB=−==−Z因为1A与14,BA与4B相同,即可得出结论.【小问1详解】设

点列()()()1231,1,4,1,6,1AAA−的正交点列是123,,BBB，由正交点列的定义可知()()131,1,6,1BB，设()()()()()212231223,,3,2,2,2,1,1,6,1BxyAAAABBxyBBxy=−==−−=−−，由正交点列的定义可知121

223230,0AABBAABB==，即()()()()3121026210xyxy−−−=−+−=，解得34xy==所以点列()()()1231,1,4,1,6,1AAA−的正交点列是()()()1231,1,3,4,6,1BBB.【小问2详解】由题可得()()()122

3341,2,1,2,1,2AAAAAA==−=，设点列1234,,,BBBB是点列1234,,,AAAA的正交点列，则可设()()()1212323431232,1,2,1,2,1,,,BBBBBB=−=

=−Z因为1A与14,BA与4B相同，所以有()()1231232221162−+−=++=因为()()123,,,122+Z得方程2413=，显然不成立，所以有序

整点列()()()()12340,0,1,2,0,4,1,6AAAA不存在正交点列.