【文档说明】江西省南康中学2020-2021学年高二上学期第三次大考（11月）数学（理）试题.doc，共(4)页，1.627 MB，由小赞的店铺上传

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南康中学2020～2021学年度第一学期高二第三次大考数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几

何体的组成方式为（）A.上面为圆台，下面为圆柱B.上面为圆台，下面为棱柱C.上面为棱台，下面为棱柱D.上面为棱台，下面为圆柱2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．abcB．cb

aC．cabD．bca3．某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为（）A．11B．12C．13D．144.如图，在正方体1111AB

CDABCD−中，异面直线AC和1AB所成的角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.120°5.已知a，b是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若//ab，b，则//aB.若//a

，//a，b=，则//abC.若//a，//，则//aD.若//a，//a，则//6.如图所示，正方形''''OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形按斜二测画法画出的直

观图，则原图形的周长是（）cmA.6B.8C.232+D.223+7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．101−C．111−D．231−8.若圆锥的轴截面是一个顶角为23，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（）A.3

2B.1C.3D.29．等比数列na的各项均为正数，且236aae=，则128lnlnlnaaa+++=（）A．8B．10C．12D．1410.五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污

损，无法确认，假设这个数字x具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（）A.34B.13C.35D.2511．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则O到平

面ABC1D1的距离为()A.32B.24C.12D.3312.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sinB＋2sinAcosC＝0，则当cosB取最小值时，ca＝（）A.2B.3C.2D.33二、填空题：本题共4小题，

每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上.13.已知数列na满足1120,2nnaaan+=−=，则通项na=______.14.若a，1,1,2b−，则函数()22faxxbx=++有零点的概率为______

____.15.在面积为4的正方形ABCD中，M是线段AB的中点，现将图形沿,MCMD折起，使线段,MAMB重合，得到一个四面体ACDM−（其中点B重合于点A），则该四面体外接球的表面积为_________．16.边长为1的正方体ABCDABCD−,点P为面对角线CD

上一点，则AP+BP的最小值为________.三．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17．赣州市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车

途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用

所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程ybxa=+；（2）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．参考公式：1122211()(),()nnijiiiinniiiixynxyxxyybaybxxnxxx====−−−=

==−−−．18．如图，在正三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.19．某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，，…，，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，

回答下列问题．（1）求成绩在的频率，并补全这个频率分布直方图：（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）（3）从成绩在和的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．20.已知na为等比数列，且各项均为正值，2116

a=，463916aaaa=.（1）求数列na的通项公式；（2）若4lognnba=，数列21nnbb+的前n项和为nT，求nT.21.已知直线l过定点()2,1A−，圆C：2286210xyxy+−−+=．（1）若l与圆C相切，求l的方程

；（2）若l与圆C交于M，N两点，求CMN面积的最大值，并求此时l的直线方程．22.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，60ABC=，3AB=，23AD=，3AP=．(1)求证：平面P

CA⊥平面PCD；(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角EABD−−的余弦值．南康中学2020～2021学年度第一学期高二第三次大考数学（理科）参考答案一.选择题1－12ABBCBBCDADBB12.由s

inB＋2sinAcosC＝0，根据正弦定理和余弦定理得222202abcbaab+−+=，∴22220abc+−=，∴2222cab−=，∴22222333cos24442acbacacBacacca+−+===+，当且仅当3

44acca=，即3ca=时取等号，cosB取最小值32．故选：B．二．填空题13.220nn−+14.2315.19316.36+三．解答题17．解：（1）由表中数据，计算；………………2分………………4分…6分所以与之间的回归直线方

程为…8分（2）时，………………10分18．（1）证明：连接，交于点，连接.因为为矩形，则为的中点；因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以1AB//平面.…………4分（2）在正三棱柱中，因为平面，平面，所以.因为

为等边三角形，为的中点，所以.又因为，平面，所以平面；…………8分（3）由（2）知，平面，所以即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，则，所以在中，，，所以.即直线与平面所成的角的正弦值为.…………12分19．解：（1）因为各组的频率之和等于1，所以成绩在的频率为…………2

分补全频率分布直方图如图所示：（2）根据题意，60分及以上的分数在，，，这四个组，其频率之和为，故本次考试的及格率为75%……………………6分利用中值估算学生成绩的平均分，则有…………8分所以本次考试的平均分为71分。（

3）成绩在的人数为人，成绩在的人数为人从成绩在和的学生中选两人，将分数段的4人编号为，，，，将分数段的2人编号为，，从中任选两人，则基本事件构成集合共15个，其中同一分数段内所含基本事件为：，，，，，，共7个，故

概率………………12分20．(1)设数列na的公比为q，由463916aaaa=得225616aa=，所以2116q=由条件可知0q，故14q=………………2分由2116a=，得114a=，故数列na的通项公式为14nna=；………………4分（2）因为441loglog4nnnba

n===−………………6分故()211111222nnbbnnnn+==−++…………………8分∴13242111111111......1......23242nnnTbbbbbbnn+=++

+=−+−++−+………10分()()211113512212412nnnnnn++−−=++++所以数列21nnbb+的前n项和()()23541

2nnnTnn+=++.………………12分21.（1）由题，得圆C的标准方程为22(4)(3)4xy−+−=，则圆心坐标为(4,3)，半径2r=…1分①当直线l的斜率不存在时，直线2x=，符合题意；………………2分②当直线l的斜

率存在时，设直线l：()12ykx+=−，即210kxyk−−−=．………3分因为直线l与圆C相切，所以圆心(4,3)到直线l的距离等于半径2，即22421kk−=+，解得34k=，……………4分所以直线的方程为331042

xy−−−=，化为一般式为34100xy−−=．………………5分综上，l的方程为2x=或34100xy−−=；………………6分（2）由第（1）知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，则直线l的方程为210kxyk−−−=，所以圆心到

直线l的距离2241kdk−=+，………………7分所以ΔCMN面积()222421··244242Sddddd=−=−=−−+，………………9分所以当2d=时，S取得最大值2，由22421kdk−==+，解得1k=或7k=，………………11分所以直线l的方程为30xy−−=或

7150xy−−=．………………12分22.解：(1)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，CD3=，AD23=，由余弦定理得2220ACADCD2ADCDcosADC1232233cos609=+−•=+−=，∴222ACCDAD+=，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，………………

1分又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，…………2分又ACCDC=，∴CD⊥平面PCA.………………3分又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.………………4分(2)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，

z轴，建立空间直角坐标系.则()A0,0,0，()B3,0,0，()C0,3,0，()D3,3,0−，()P0,0,3.设()Ex,y,z，()PEλPC0λ1=，则()()x,y,z3λ0,3,3−=−∴

x=0，y3λ=，z33λ=−，即点E的坐标为()0,3λ,33λ−∴()BE3,3λ,33λ=−−……………………6分又平面ABCD的一个法向量为()n0,0,1=，∴sin45°()2233λcos<BE,n>39λ33λ−==++−解得1λ3=……………………8分∴点

E的坐标为()0,1,2，∴()AE0,1,2=，()AB3,0,0=，设平面EAB的法向量为()mx,y,z=，由mAB0mAE0•=•=得020xyz=+=令z=1，得平面EAB的一个法向量为()m0,2,1=−………………10分∴mn15cosm,nmn55•===.又二面角E

-AB-D的平面角为锐角，所以，二面角E-AB-D的余弦值为55……………………12分