【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第38讲 空间几何体的结构特征及表面积与体积（达标检测） Word版含解析.docx，共(17)页，1.458 MB，由小赞的店铺上传

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第38讲空间几何体的结构特征及表面积与体积（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•道里区校级期末）下列说法正确的是()A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C．圆柱的上

底面下底面互相平行D．五棱锥只有五条棱【分析】对于A，通过圆台侧面上一点只能做出1条母线；对于B，直角三角形绕其绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体；对于C，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行；对于D，五棱锥有十条棱．【解答】解：

对于A，通过圆台侧面上一点只能做出1条母线，故A错误；对于B，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体，故B错误；对于C，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底

面互相平行，故C正确；对于D，五棱锥有十条棱，故D错误．故选：C．2．（2020春•秦淮区期末）底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是()A．3B．1C．32D．13【分析】先求出正三棱柱的底面积，由此能求出正三棱柱的体积．【解答】解：底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是

：122sin60132VSH===．故选：A．3．（2020春•苏州期末）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为()A．16B．20C．36D．40【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．【解答】解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥

的侧面积为4520S==侧．故选：B．4．（2020•天津）若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12B．24C．36D．144【分析】正方体的对角线就是球的直径

，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以23236R==，所以3R=，2436SR==．故选：C．5．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆．若1

O的面积为4，1ABBCACOO===，则球O的表面积为()A．64B．48C．36D．32【分析】画出图形，利用已知条件求出1OO，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】解：由题意可知图形如图：1O的面积为4，可得12OA=，则13

sin602AOAB=，13322AOAB=，123ABBCACOO====，外接球的半径为：22114RAOOO=+=，球O的表面积：24464=．故选：A．6．（2020•济南模拟）如图，在圆柱12OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线

均相切．若122OO=，则圆柱12OO的表面积为()A．4B．5C．6D．7【分析】根据图形可以得出22hr==；代入圆柱的表面积公式即可得到结论．【解答】解：由题意可得：221hrr===；222266Srrhr

=+==；故选：C．7．（2020•新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()

A．514−B．512−C．514+D．512+【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h，则依题意有：222212()2hahahh==−，因此有

222151()4()2()10224ahhhhahaaa+−=−−==（负值舍去）；故选：C．8．（2020•永康市模拟）连接正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为()A．112B．16C

．14D．13【分析】设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22，求出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积，得到比值．【解答】解：解：设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成

，以上面一个正四棱锥为例，它的高等于正方体棱长的一半12，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22，这个正四棱锥的体积是12211322212=，构成的八面体的体积是112126=，八面体的体积是1V，正方体体积是2V，12:1:6VV=．故选：B

．9．（2020春•达州期末）已知三棱锥PABC−四个顶点都在球O上，23PAPBPC===，3BC=，60BAC=．则球O的表面积为()A．36B．16C．12D．163【分析】先求解出底面外接圆半径和高，结合球心在高线上，利用球心到各顶点距离等于球半径即可求

解．进一步求出球的表面积．【解答】解：由题知三棱锥PABC−四个顶点都在球O上，故该球为三棱锥PABC−的外接球，在ABC中，3BC=，60BAC=，根据三角形的外接圆半径公式2sinarA=，可得ABC的外

接圆半径133232r==，因此，三棱锥PABC−的外接球半径22()2PARr=+，因为2PA=，所以222(3)()2R=+，故三棱锥PABC−的外接球半径为2，根据球体的表面积公式24SR=，可得球O的表面积为24216S==．故

选：B．10．（2020春•临沂期末）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4，若“牟

合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为()A．18B．6C．3D．2【分析】先求出正方体的内切球的体积，再求出正方体内切球半径，由此能求出正方体的棱长．【解答】解：正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4，“牟合方盖”的体积为18，正方体的内

切球的体积91842V==球，设正方体内切球半径为r，则34932r=，解得32r=，正方体的棱长为23r=．故选：C．11．（2020春•韶关期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称

之为“鳖臑”．现有一鳖臑PABC−如图所示，PB⊥底面ABC，ACBC⊥，4PBAC==，其体积为8，则这个鳖臑的表面积为()A．4417+B．32C．885+D．24813+【分析】根据三棱锥的体积求出BC的

长，再求出三棱锥的表面积．【解答】解：三棱锥PABC−的体积为11441632PABCVBC−==三棱锥，所以3BC=，所以5ABPC==，又PB⊥底面ABC，所以PBAC⊥，又ACBC⊥，所以AC⊥平面PBC，所以ACPC⊥，所以13462PBCABCSS===，154102

PACPABSS===，所以这个鳖臑的表面积为66101032S=+++=．故选：B．12．（2020春•菏泽期末）如图所示，已知正三棱柱111ABCABC−的所有棱长均为1，则四棱锥11ABBCC−的体积为()A．312B．66C．34D．36【分析】取BC中点O，连接AO，求得AO

并证明AO⊥平面11BBCC，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：如图，取BC中点O，连接AO，三棱柱111ABCABC−是正三棱柱，AOBC⊥，又正三角形ABC的边长为1，32AO=．而平面BAC⊥平面11BBCC，且平面BAC平面11BBCCBC=，AO⊥平面11BBCC，又四边形11B

BCC是边长为1的正方形，四棱锥11ABBCC−的体积为13311326V==．故选：D．13．（2019•新课标Ⅰ）已知三棱锥PABC−的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC==，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，90CEF=，则球O的体积为()A．8

6B．46C．26D．6【分析】由题意画出图形，证明三棱锥PABC−为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O的体积．【解答】解：如图，由PAPBPC==，ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥PABC−为正三棱锥，则顶点P在底面的射影1O为底面三角形的中心，

连接1BO并延长，交AC于G，则ACBG⊥，又1POAC⊥，11POBGO=，可得AC⊥平面PBG，则PBAC⊥，E，F分别是PA，AB的中点，//EFPB，又90CEF=，即EFCE⊥，PBCE⊥，得PB⊥平面PAC，正三棱锥PABC−的三

条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为2222222221()2DPAPBPCPAPBPBPCPAPC=++=+++++22222211()(222)622ABBCAC=++=++=．半径为62，则球O的体积为346(

)632=．故选：D．14．（多选）（2020春•沈阳期末）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是()A．正三棱锥高为3．B．正三棱锥的斜高为392C．正三棱锥的体积为2734D．正三棱锥

侧面积为3394【分析】正三棱锥SABCk−，底面ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长为23SASBSC===，取BC中点D，连结SD，AD，过S作SO⊥平面ABC，交AD于O，由此能求出正三棱锥高、斜高、体积和侧面积．【解答】解：正三棱锥SABCk−，底面ABC是边长为3

的等边三角形，侧棱长为23SASBSC===，取BC中点D，连结SD，AD，过S作SO⊥平面ABC，交AD于O，223333()22AD=−=，22333332AOAD===，正三棱锥高为：2222(23)(3)3SOSAAO=−=−=，故A正确；正三棱锥的斜高为：222233

9(23)()22SDSCCD=−=−=，故B正确；正三棱锥的体积为：11133933333224ABCVSSO===，故C错误；正三棱锥侧面积为：13993933224S==，故D错误．故选：AB．15．

（2020春•湖北期末）棱长为a的正四面体的外接球的表面积为．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为22

a，正方体的对角线长为62a，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为22634()42aa=．故答案为：232a．16．（2020•海南）已知正方体1111ABCDABCD−的棱

长为2，M、N分别为1BB、AB的中点，则三棱锥1ANMD−的体积为．【分析】由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥1ANMD−的体积．【解答】解：如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，M、N分别为1BB、AB的中点，111122ANMS==，111112323ANMDD

AMNVV−−===．故答案为：13．17．（2020•浙江）已知圆锥的侧面积（单位：2)cm为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm是．【分析】利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．【解答】解

：圆锥侧面展开图是半圆，面积为22cm，设圆锥的母线长为acm，则2122a=，2acm=，侧面展开扇形的弧长为2cm，设圆锥的底面半径OCrcm=，则22r=，解得1rcm=．故答案为：1cm．18．（2019

•全国）已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为3，则球O的表面积为．【分析】根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径R的值，再根据球的表面积公式，可得球的表面积．【解

答】解：平面截球O的球面所得圆的面积为，则圆的半径为1，该平面与球心的距离3d=，球半径221310R=+=．球的表面积2440SR==．故答案为：40．19．（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．【分析】易知圆锥内

半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线3BS=，底面半径1BC=，则其高2222SCBSBC=−=，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令ODOCr==，由SODS

BC∽，则ODBCOSBS=，即1322rr=−，解得22r=，34233Vr==，故答案为：23．20．（2020•江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为

0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm．【分析】通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：1622sin6021232=，圆柱的体积为：2(0.5)22=，所以此六角螺帽毛坯的体积是：3(123)2cm−，故答案为

：1232−．21．（2019•江苏）如图，长方体1111ABCDABCD−的体积是120，E为1CC的中点，则三棱锥EBCD−的体积是．【分析】推导出11111120ABCDABCDVABBCDD−==，三棱锥EBCD−的体积：111

1133212EBCDBCDVSCEBCDCCEABBCDD−===，由此能求出结果．【解答】解：长方体1111ABCDABCD−的体积是120，E为1CC的中点，11111120ABCDABCDVABBCDD−==，三棱锥EBCD−

的体积：13EBCDBCDVSCE−=1132BCDCCE=1112ABBCDD=10=．故答案为：10．22．（2020春•济南期末）在①PA⊥平面ABC，②60ABC=，③点P在平面ABC内的射影为ABC的垂心．这三个条件

中任选两个补充在下面的问题中，并解答．三棱锥PABC−中，6PAABAC===，若_____，求三棱锥PABC−的体积．注：如果选择多种条件组合分别解答，按第一种解答计分．【分析】情形一：若选择①和②，由题

意求出三角形ABC的面积，又因为三棱锥PABC−的高即为PA的长度，于是直接利用三棱锥体积公式直接求解即可；情形二：若选择①和③，由题意得到A即为ABC的垂心，进而求出ABC的面积，又因为三棱锥PABC−的高即为PA的长度，于是直接利用三棱锥体积公式直接求解即可；情形三：若选择②和

③，由题意得到点P在平面ABC内的射影为ABC的垂心即等边ABC的中心O，于是PO即为三棱锥PABC−的高，再利用三棱锥体积公式直接求解即可．【解答】解：情形一：若选择①和②，6ABAC==，60ABC=，ABC为等边三角形，236

934ABCS==，PA⊥平面ABC，PA即为点P到平面ABC的距离，且6PA=，1193618333PABCABCVSPA−===．情形二：若选择①和③，PA⊥平面ABC，点A为点P在平面ABC内的射

影，又因为点P在平面ABC内的射影为ABC的垂心，点A即为ABC的垂心，90BAC=，6ABAC==，216182ABCS==，PA⊥平面ABC，PA即为点P到平面ABC的距离，且6PA=，111863633PABCABCVSPA−===．情形三

：若选择②和③，6ABAC==，60ABC=，ABC为等边三角形，236934ABCS==，设ABC的中心为点O，则点O即为ABC的垂心，且36233OA==，因为点P在平面ABC内的射影为ABC的垂心，PO

⊥平面ABC，PO即为点P到平面ABC的距离，且226(23)26PO=−=，11932618233PABCABCVSPO−===．23．（2020春•浦东新区校级期末）已知圆柱和圆柱的侧面展开图为两个全等的矩形，若该矩形的两边分别为4和9，设圆柱的高为1h，体积为1

V，圆柱的高为2h，体积为2V，其中12hh．（1）求12hh的值；（2）求12VV的值．【分析】（1）设圆柱的底面半径为1r，圆柱的底面半径为2r，由题意列式求得1h，2h的值，则12hh的值可求；（2）由（1）求得1r，1h，2

r，2h的值，代入圆柱体积公式可得1V，2V，则答案可求．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为1r，圆柱的底面半径为2r，已知圆柱的高为1h，圆柱的高为2h，12hh．由圆柱和圆柱的侧面展开图为两个全等的矩形，可

得：12212924hrhr====，1294hh=；（2）由（1）可得，19h=，12r=，24h=，292r=．211136Vrh==，222281Vrh==．123636481819VV===．

24．（2020春•威宁县期末）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底

面．（Ⅰ）试计算出图案中圆柱与球的体积比；（Ⅱ）假设球半径2r=，试计算出图案中圆锥的体积和表面积．【分析】（Ⅰ）球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，设为a，先求出圆柱的体积和球的体积，由此能求出图案中圆柱与球的体积比．（Ⅱ）假设球半径2r=，利用圆锥的体

积公式和表面积公式直接求解．【解答】解：（Ⅰ）球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，设为a，则圆柱的体积32()24aaVa==圆柱，球的体积334()326aaV==球，图案中圆柱与球的体积比为：333426aVaV==圆柱球．（Ⅱ）

假设球半径2r=，图案中圆锥的体积为：2211162222333Vrr===．圆锥的表面积为：22222(22)22454Srlr=+=++=+．[B组]—强基必备1．（2020•湖北模拟）已知P，A，B

，C是半径为3的球面上四点，其中PA过球心，2,23ABBCAC===，则三棱锥PABC−的体积是()A．3B．22C．263D．2153【分析】由余弦定理得120B=，设ABC外接圆的半径为r，由正弦定理

，得2r=．球心到平面ABC的距离22945dRr=−=−=．由此能求出三棱锥PABC−的体积．【解答】解：P，A，B，C是半径为3的球面上四点，其中PA过球心，2,23ABBCAC===，由余弦定理得2221cos22ABBCACBABBC+−==−

，120B=，设ABC外接圆的半径为r，则由正弦定理，得232sin120sin120ACr==，解得2r=．球心到平面ABC的距离22945dRr=−=−=．三棱锥PABC−的体积：2211

12152232(3)253323ABCVSd==−=．故选：D．2．（2020•安徽模拟）如图，在平面四边形ABCD中，满足ABBC=，CDAD=，且10ABAD+=，8BD=．沿着BD把ABD

折起，使点A到达点P的位置，且使2PC=，则三棱锥PBCD−体积的最大值为()A．12B．122C．1623D．163【分析】过点P作PEBD⊥于E，连结CE，推导出BD⊥平面PCE，当PCES最大时，PBCDV−取得最大值，取PC的中点F，则EFPC⊥，推导出点P到以BD

为焦点的椭圆上，PE的最大值为对应短半轴长，由此能求出三棱锥PBCD−体积的最大值．【解答】解：过点P作PEBD⊥于E，连结CE，由题意知BPDBCD，CEBD⊥，且PECE=，BD⊥平面PCE，1833PBCDBPCEDPCEPCEPCEVVVSBDS−−−=+=

=，当PCES最大时，PBCDV−取得最大值，取PC的中点F，则EFPC⊥，2112PCESPCEFPE==−，10PBPD+=，8BD=，点P到以BD为焦点的椭圆上，PE的最大值为对应短半轴长，PE最大值为2

2543−=，PCES最大值为22，三棱锥PBCD−体积的最大值为1623．故选：C．3．（2020•安阳二模）如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是

边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体的体积为．【分析】该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：222432V==，交叉部分的体积为四棱锥SABCD

−的体积的2倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为6的棱形，设AC的中点为H，连结BH，SH，由题意得SH为四棱锥SABCD−的高，求出821233SABCDABCDVS−==平行四边形，由此能求出这个几何体的体积．【解答】解：该几何

体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：222432V==，交叉部分的体积为四棱锥SABCD−的体积的2倍，在等腰ABS中，22SB=，SB边上的高为2，则6SA=，由该几何体前

后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为6的棱形，设AC的中点为H，连结BH，SH，由题意得SH为四棱锥SABCD−的高，在RtABH中，22622BHABAH=−=−=，又22ACSB==，12222422ABCDS==平行四边形，BHSH=，82112422333S

ABCDABCDVS−===平行四边形，这个几何体的体积为821623223233V=−=−．故答案为：162323−．